Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wepwsolem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wepwsolem 41355
Description: Transfer an ordering on characteristic functions by isomorphism to the power set. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
wepwso.t 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐴 ((𝑧𝑦 ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤𝑥𝑤𝑦)))}
wepwso.u 𝑈 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐴 ((𝑥𝑧) E (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
wepwso.f 𝐹 = (𝑎 ∈ (2om 𝐴) ↦ (𝑎 “ {1o}))
Assertion
Ref Expression
wepwsolem (𝐴 ∈ V → 𝐹 Isom 𝑈, 𝑇 ((2om 𝐴), 𝒫 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧,𝑤   𝑇,𝑎   𝑈,𝑎
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐹(𝑎)

Proof of Theorem wepwsolem
Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wepwso.f . . 3 𝐹 = (𝑎 ∈ (2om 𝐴) ↦ (𝑎 “ {1o}))
21pw2f1o2 41348 . 2 (𝐴 ∈ V → 𝐹:(2om 𝐴)–1-1-onto→𝒫 𝐴)
3 fvex 6855 . . . . . . . 8 (𝑐𝑧) ∈ V
43epeli 5539 . . . . . . 7 ((𝑏𝑧) E (𝑐𝑧) ↔ (𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧))
5 elmapi 8787 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ (2om 𝐴) → 𝑏:𝐴⟶2o)
65ad2antrl 726 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2om 𝐴))) → 𝑏:𝐴⟶2o)
76ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2om 𝐴))) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑏𝑧) ∈ 2o)
8 elmapi 8787 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 ∈ (2om 𝐴) → 𝑐:𝐴⟶2o)
98ad2antll 727 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2om 𝐴))) → 𝑐:𝐴⟶2o)
109ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2om 𝐴))) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑐𝑧) ∈ 2o)
11 n0i 4293 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧) → ¬ (𝑐𝑧) = ∅)
1211adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑏𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐𝑧) ∈ 2o) ∧ (𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧)) → ¬ (𝑐𝑧) = ∅)
13 elpri 4608 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐𝑧) ∈ {∅, 1o} → ((𝑐𝑧) = ∅ ∨ (𝑐𝑧) = 1o))
14 df2o3 8420 . . . . . . . . . . . . . 14 2o = {∅, 1o}
1513, 14eleq2s 2856 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐𝑧) ∈ 2o → ((𝑐𝑧) = ∅ ∨ (𝑐𝑧) = 1o))
1615ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑏𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐𝑧) ∈ 2o) ∧ (𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧)) → ((𝑐𝑧) = ∅ ∨ (𝑐𝑧) = 1o))
17 orel1 887 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝑐𝑧) = ∅ → (((𝑐𝑧) = ∅ ∨ (𝑐𝑧) = 1o) → (𝑐𝑧) = 1o))
1812, 16, 17sylc 65 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑏𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐𝑧) ∈ 2o) ∧ (𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧)) → (𝑐𝑧) = 1o)
19 1on 8424 . . . . . . . . . . . . . 14 1o ∈ On
2019onirri 6430 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 1o ∈ 1o
21 eleq12 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑏𝑧) = 1o ∧ (𝑐𝑧) = 1o) → ((𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧) ↔ 1o ∈ 1o))
2221biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑏𝑧) = 1o ∧ (𝑐𝑧) = 1o) → ((𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧) → 1o ∈ 1o))
2322expcom 414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐𝑧) = 1o → ((𝑏𝑧) = 1o → ((𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧) → 1o ∈ 1o)))
2423com3r 87 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧) → ((𝑐𝑧) = 1o → ((𝑏𝑧) = 1o → 1o ∈ 1o)))
2524imp 407 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧) ∧ (𝑐𝑧) = 1o) → ((𝑏𝑧) = 1o → 1o ∈ 1o))
2625adantll 712 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑏𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐𝑧) ∈ 2o) ∧ (𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧)) ∧ (𝑐𝑧) = 1o) → ((𝑏𝑧) = 1o → 1o ∈ 1o))
2720, 26mtoi 198 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑏𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐𝑧) ∈ 2o) ∧ (𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧)) ∧ (𝑐𝑧) = 1o) → ¬ (𝑏𝑧) = 1o)
2818, 27mpdan 685 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑏𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐𝑧) ∈ 2o) ∧ (𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧)) → ¬ (𝑏𝑧) = 1o)
2918, 28jca 512 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐𝑧) ∈ 2o) ∧ (𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧)) → ((𝑐𝑧) = 1o ∧ ¬ (𝑏𝑧) = 1o))
30 elpri 4608 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏𝑧) ∈ {∅, 1o} → ((𝑏𝑧) = ∅ ∨ (𝑏𝑧) = 1o))
3130, 14eleq2s 2856 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏𝑧) ∈ 2o → ((𝑏𝑧) = ∅ ∨ (𝑏𝑧) = 1o))
3231adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐𝑧) ∈ 2o) → ((𝑏𝑧) = ∅ ∨ (𝑏𝑧) = 1o))
33 orel2 889 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ (𝑏𝑧) = 1o → (((𝑏𝑧) = ∅ ∨ (𝑏𝑧) = 1o) → (𝑏𝑧) = ∅))
3432, 33mpan9 507 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑏𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐𝑧) ∈ 2o) ∧ ¬ (𝑏𝑧) = 1o) → (𝑏𝑧) = ∅)
3534adantrl 714 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑏𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐𝑧) ∈ 2o) ∧ ((𝑐𝑧) = 1o ∧ ¬ (𝑏𝑧) = 1o)) → (𝑏𝑧) = ∅)
36 0lt1o 8450 . . . . . . . . . . . 12 ∅ ∈ 1o
3735, 36eqeltrdi 2846 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑏𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐𝑧) ∈ 2o) ∧ ((𝑐𝑧) = 1o ∧ ¬ (𝑏𝑧) = 1o)) → (𝑏𝑧) ∈ 1o)
38 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑏𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐𝑧) ∈ 2o) ∧ ((𝑐𝑧) = 1o ∧ ¬ (𝑏𝑧) = 1o)) → (𝑐𝑧) = 1o)
3937, 38eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐𝑧) ∈ 2o) ∧ ((𝑐𝑧) = 1o ∧ ¬ (𝑏𝑧) = 1o)) → (𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧))
4029, 39impbida 799 . . . . . . . . 9 (((𝑏𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐𝑧) ∈ 2o) → ((𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧) ↔ ((𝑐𝑧) = 1o ∧ ¬ (𝑏𝑧) = 1o)))
417, 10, 40syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2om 𝐴))) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧) ↔ ((𝑐𝑧) = 1o ∧ ¬ (𝑏𝑧) = 1o)))
42 simplrr 776 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2om 𝐴))) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑐 ∈ (2om 𝐴))
431pw2f1o2val2 41350 . . . . . . . . . 10 ((𝑐 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑧 ∈ (𝐹𝑐) ↔ (𝑐𝑧) = 1o))
4442, 43sylancom 588 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2om 𝐴))) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑧 ∈ (𝐹𝑐) ↔ (𝑐𝑧) = 1o))
45 simplrl 775 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2om 𝐴))) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑏 ∈ (2om 𝐴))
461pw2f1o2val2 41350 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑧 ∈ (𝐹𝑏) ↔ (𝑏𝑧) = 1o))
4745, 46sylancom 588 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2om 𝐴))) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑧 ∈ (𝐹𝑏) ↔ (𝑏𝑧) = 1o))
4847notbid 317 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2om 𝐴))) ∧ 𝑧𝐴) → (¬ 𝑧 ∈ (𝐹𝑏) ↔ ¬ (𝑏𝑧) = 1o))
4944, 48anbi12d 631 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2om 𝐴))) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑧 ∈ (𝐹𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹𝑏)) ↔ ((𝑐𝑧) = 1o ∧ ¬ (𝑏𝑧) = 1o)))
5041, 49bitr4d 281 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2om 𝐴))) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧) ↔ (𝑧 ∈ (𝐹𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹𝑏))))
514, 50bitrid 282 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2om 𝐴))) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑏𝑧) E (𝑐𝑧) ↔ (𝑧 ∈ (𝐹𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹𝑏))))
526ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2om 𝐴))) ∧ 𝑤𝐴) → (𝑏𝑤) ∈ 2o)
539ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2om 𝐴))) ∧ 𝑤𝐴) → (𝑐𝑤) ∈ 2o)
54 eqeq1 2740 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏𝑤) = (𝑐𝑤) → ((𝑏𝑤) = 1o ↔ (𝑐𝑤) = 1o))
55 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑏𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏𝑤) = 1o ↔ (𝑐𝑤) = 1o)) → (𝑏𝑤) = ∅)
56 1n0 8434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1o ≠ ∅
5756nesymi 3001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ¬ ∅ = 1o
58 eqeq1 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑏𝑤) = ∅ → ((𝑏𝑤) = 1o ↔ ∅ = 1o))
5957, 58mtbiri 326 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑏𝑤) = ∅ → ¬ (𝑏𝑤) = 1o)
6059ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑏𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏𝑤) = 1o ↔ (𝑐𝑤) = 1o)) → ¬ (𝑏𝑤) = 1o)
61 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑏𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏𝑤) = 1o ↔ (𝑐𝑤) = 1o)) → ((𝑏𝑤) = 1o ↔ (𝑐𝑤) = 1o))
6260, 61mtbid 323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑏𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏𝑤) = 1o ↔ (𝑐𝑤) = 1o)) → ¬ (𝑐𝑤) = 1o)
63 elpri 4608 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑐𝑤) ∈ {∅, 1o} → ((𝑐𝑤) = ∅ ∨ (𝑐𝑤) = 1o))
6463, 14eleq2s 2856 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑐𝑤) ∈ 2o → ((𝑐𝑤) = ∅ ∨ (𝑐𝑤) = 1o))
6564ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑏𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏𝑤) = 1o ↔ (𝑐𝑤) = 1o)) → ((𝑐𝑤) = ∅ ∨ (𝑐𝑤) = 1o))
66 orel2 889 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ (𝑐𝑤) = 1o → (((𝑐𝑤) = ∅ ∨ (𝑐𝑤) = 1o) → (𝑐𝑤) = ∅))
6762, 65, 66sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑏𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏𝑤) = 1o ↔ (𝑐𝑤) = 1o)) → (𝑐𝑤) = ∅)
6855, 67eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑏𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏𝑤) = 1o ↔ (𝑐𝑤) = 1o)) → (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤))
6968ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑏𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏𝑤) = ∅) → (((𝑏𝑤) = 1o ↔ (𝑐𝑤) = 1o) → (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤)))
70 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑏𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏𝑤) = 1o) ∧ ((𝑏𝑤) = 1o ↔ (𝑐𝑤) = 1o)) → (𝑏𝑤) = 1o)
71 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑏𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏𝑤) = 1o) ∧ ((𝑏𝑤) = 1o ↔ (𝑐𝑤) = 1o)) → ((𝑏𝑤) = 1o ↔ (𝑐𝑤) = 1o))
7270, 71mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑏𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏𝑤) = 1o) ∧ ((𝑏𝑤) = 1o ↔ (𝑐𝑤) = 1o)) → (𝑐𝑤) = 1o)
7370, 72eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑏𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏𝑤) = 1o) ∧ ((𝑏𝑤) = 1o ↔ (𝑐𝑤) = 1o)) → (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤))
7473ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑏𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏𝑤) = 1o) → (((𝑏𝑤) = 1o ↔ (𝑐𝑤) = 1o) → (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤)))
75 elpri 4608 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏𝑤) ∈ {∅, 1o} → ((𝑏𝑤) = ∅ ∨ (𝑏𝑤) = 1o))
7675, 14eleq2s 2856 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏𝑤) ∈ 2o → ((𝑏𝑤) = ∅ ∨ (𝑏𝑤) = 1o))
7776adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2o) → ((𝑏𝑤) = ∅ ∨ (𝑏𝑤) = 1o))
7869, 74, 77mpjaodan 957 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2o) → (((𝑏𝑤) = 1o ↔ (𝑐𝑤) = 1o) → (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤)))
7954, 78impbid2 225 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2o) → ((𝑏𝑤) = (𝑐𝑤) ↔ ((𝑏𝑤) = 1o ↔ (𝑐𝑤) = 1o)))
8052, 53, 79syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2om 𝐴))) ∧ 𝑤𝐴) → ((𝑏𝑤) = (𝑐𝑤) ↔ ((𝑏𝑤) = 1o ↔ (𝑐𝑤) = 1o)))
81 simplrl 775 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2om 𝐴))) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑏 ∈ (2om 𝐴))
821pw2f1o2val2 41350 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑤𝐴) → (𝑤 ∈ (𝐹𝑏) ↔ (𝑏𝑤) = 1o))
8381, 82sylancom 588 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2om 𝐴))) ∧ 𝑤𝐴) → (𝑤 ∈ (𝐹𝑏) ↔ (𝑏𝑤) = 1o))
84 simplrr 776 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2om 𝐴))) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑐 ∈ (2om 𝐴))
851pw2f1o2val2 41350 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑐 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑤𝐴) → (𝑤 ∈ (𝐹𝑐) ↔ (𝑐𝑤) = 1o))
8684, 85sylancom 588 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2om 𝐴))) ∧ 𝑤𝐴) → (𝑤 ∈ (𝐹𝑐) ↔ (𝑐𝑤) = 1o))
8783, 86bibi12d 345 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2om 𝐴))) ∧ 𝑤𝐴) → ((𝑤 ∈ (𝐹𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹𝑐)) ↔ ((𝑏𝑤) = 1o ↔ (𝑐𝑤) = 1o)))
8880, 87bitr4d 281 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2om 𝐴))) ∧ 𝑤𝐴) → ((𝑏𝑤) = (𝑐𝑤) ↔ (𝑤 ∈ (𝐹𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹𝑐))))
8988imbi2d 340 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2om 𝐴))) ∧ 𝑤𝐴) → ((𝑤𝑅𝑧 → (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤)) ↔ (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹𝑐)))))
9089ralbidva 3172 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2om 𝐴))) → (∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤)) ↔ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹𝑐)))))
9190adantr 481 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2om 𝐴))) ∧ 𝑧𝐴) → (∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤)) ↔ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹𝑐)))))
9251, 91anbi12d 631 . . . . 5 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2om 𝐴))) ∧ 𝑧𝐴) → (((𝑏𝑧) E (𝑐𝑧) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤))) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐹𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹𝑏)) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹𝑐))))))
9392rexbidva 3173 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2om 𝐴))) → (∃𝑧𝐴 ((𝑏𝑧) E (𝑐𝑧) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤))) ↔ ∃𝑧𝐴 ((𝑧 ∈ (𝐹𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹𝑏)) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹𝑐))))))
94 vex 3449 . . . . 5 𝑏 ∈ V
95 vex 3449 . . . . 5 𝑐 ∈ V
96 fveq1 6841 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑏 → (𝑥𝑧) = (𝑏𝑧))
97 fveq1 6841 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑐 → (𝑦𝑧) = (𝑐𝑧))
9896, 97breqan12d 5121 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝑐) → ((𝑥𝑧) E (𝑦𝑧) ↔ (𝑏𝑧) E (𝑐𝑧)))
99 fveq1 6841 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑏 → (𝑥𝑤) = (𝑏𝑤))
100 fveq1 6841 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑐 → (𝑦𝑤) = (𝑐𝑤))
10199, 100eqeqan12d 2750 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝑐) → ((𝑥𝑤) = (𝑦𝑤) ↔ (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤)))
102101imbi2d 340 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝑐) → ((𝑤𝑅𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)) ↔ (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤))))
103102ralbidv 3174 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝑐) → (∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)) ↔ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤))))
10498, 103anbi12d 631 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝑐) → (((𝑥𝑧) E (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))) ↔ ((𝑏𝑧) E (𝑐𝑧) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤)))))
105104rexbidv 3175 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝑐) → (∃𝑧𝐴 ((𝑥𝑧) E (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))) ↔ ∃𝑧𝐴 ((𝑏𝑧) E (𝑐𝑧) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤)))))
106 wepwso.u . . . . 5 𝑈 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐴 ((𝑥𝑧) E (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
10794, 95, 105, 106braba 5494 . . . 4 (𝑏𝑈𝑐 ↔ ∃𝑧𝐴 ((𝑏𝑧) E (𝑐𝑧) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤))))
108 fvex 6855 . . . . 5 (𝐹𝑏) ∈ V
109 fvex 6855 . . . . 5 (𝐹𝑐) ∈ V
110 eleq2 2826 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝐹𝑐) → (𝑧𝑦𝑧 ∈ (𝐹𝑐)))
111 eleq2 2826 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐹𝑏) → (𝑧𝑥𝑧 ∈ (𝐹𝑏)))
112111notbid 317 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐹𝑏) → (¬ 𝑧𝑥 ↔ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹𝑏)))
113110, 112bi2anan9r 638 . . . . . . 7 ((𝑥 = (𝐹𝑏) ∧ 𝑦 = (𝐹𝑐)) → ((𝑧𝑦 ∧ ¬ 𝑧𝑥) ↔ (𝑧 ∈ (𝐹𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹𝑏))))
114 eleq2 2826 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐹𝑏) → (𝑤𝑥𝑤 ∈ (𝐹𝑏)))
115 eleq2 2826 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐹𝑐) → (𝑤𝑦𝑤 ∈ (𝐹𝑐)))
116114, 115bi2bian9 639 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = (𝐹𝑏) ∧ 𝑦 = (𝐹𝑐)) → ((𝑤𝑥𝑤𝑦) ↔ (𝑤 ∈ (𝐹𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹𝑐))))
117116imbi2d 340 . . . . . . . 8 ((𝑥 = (𝐹𝑏) ∧ 𝑦 = (𝐹𝑐)) → ((𝑤𝑅𝑧 → (𝑤𝑥𝑤𝑦)) ↔ (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹𝑐)))))
118117ralbidv 3174 . . . . . . 7 ((𝑥 = (𝐹𝑏) ∧ 𝑦 = (𝐹𝑐)) → (∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤𝑥𝑤𝑦)) ↔ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹𝑐)))))
119113, 118anbi12d 631 . . . . . 6 ((𝑥 = (𝐹𝑏) ∧ 𝑦 = (𝐹𝑐)) → (((𝑧𝑦 ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤𝑥𝑤𝑦))) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐹𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹𝑏)) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹𝑐))))))
120119rexbidv 3175 . . . . 5 ((𝑥 = (𝐹𝑏) ∧ 𝑦 = (𝐹𝑐)) → (∃𝑧𝐴 ((𝑧𝑦 ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤𝑥𝑤𝑦))) ↔ ∃𝑧𝐴 ((𝑧 ∈ (𝐹𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹𝑏)) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹𝑐))))))
121 wepwso.t . . . . 5 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐴 ((𝑧𝑦 ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤𝑥𝑤𝑦)))}
122108, 109, 120, 121braba 5494 . . . 4 ((𝐹𝑏)𝑇(𝐹𝑐) ↔ ∃𝑧𝐴 ((𝑧 ∈ (𝐹𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹𝑏)) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹𝑐)))))
12393, 107, 1223bitr4g 313 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2om 𝐴))) → (𝑏𝑈𝑐 ↔ (𝐹𝑏)𝑇(𝐹𝑐)))
124123ralrimivva 3197 . 2 (𝐴 ∈ V → ∀𝑏 ∈ (2om 𝐴)∀𝑐 ∈ (2om 𝐴)(𝑏𝑈𝑐 ↔ (𝐹𝑏)𝑇(𝐹𝑐)))
125 df-isom 6505 . 2 (𝐹 Isom 𝑈, 𝑇 ((2om 𝐴), 𝒫 𝐴) ↔ (𝐹:(2om 𝐴)–1-1-onto→𝒫 𝐴 ∧ ∀𝑏 ∈ (2om 𝐴)∀𝑐 ∈ (2om 𝐴)(𝑏𝑈𝑐 ↔ (𝐹𝑏)𝑇(𝐹𝑐))))
1262, 124, 125sylanbrc 583 1 (𝐴 ∈ V → 𝐹 Isom 𝑈, 𝑇 ((2om 𝐴), 𝒫 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073  Vcvv 3445  c0 4282  𝒫 cpw 4560  {csn 4586  {cpr 4588   class class class wbr 5105  {copab 5167  cmpt 5188   E cep 5536  ccnv 5632  cima 5636  wf 6492  1-1-ontowf1o 6495  cfv 6496   Isom wiso 6497  (class class class)co 7357  1oc1o 8405  2oc2o 8406  m cmap 8765
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-ord 6320  df-on 6321  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-1o 8412  df-2o 8413  df-map 8767
This theorem is referenced by:  wepwso  41356
  Copyright terms: Public domain W3C validator