Theorem wepwsolem 44028

Description: Transfer an ordering on characteristic functions by isomorphism to the power set. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
wepwso.t	⊢ 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑥) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ 𝑥 ↔ 𝑤 ∈ 𝑦)))}
wepwso.u	⊢ 𝑈 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥‘𝑧) E (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}
wepwso.f	⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ (2o ↑m 𝐴) ↦ (◡𝑎 “ {1o}))

Assertion

Ref	Expression
wepwsolem	⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐹 Isom 𝑈, 𝑇 ((2o ↑m 𝐴), 𝒫 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧,𝑤   𝑇,𝑎   𝑈,𝑎

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤)   𝑈(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤)   𝐹(𝑎)

Proof of Theorem wepwsolem

Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wepwso.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ (2o ↑m 𝐴) ↦ (◡𝑎 “ {1o}))
2	1	pw2f1o2 44024	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐹:(2o ↑m 𝐴)–1-1-onto→𝒫 𝐴)
3		fvex 6896	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐‘𝑧) ∈ V
4	3	epeli 5553	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏‘𝑧) E (𝑐‘𝑧) ↔ (𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧))
5		elmapi 8862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) → 𝑏:𝐴⟶2o)
6	5	ad2antrl 741	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) → 𝑏:𝐴⟶2o)
7	6	ffvelcdmda 7082	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑏‘𝑧) ∈ 2o)
8		elmapi 8862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴) → 𝑐:𝐴⟶2o)
9	8	ad2antll 742	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) → 𝑐:𝐴⟶2o)
10	9	ffvelcdmda 7082	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑐‘𝑧) ∈ 2o)
11		n0i 4286	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧) → ¬ (𝑐‘𝑧) = ∅)
12	11	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑏‘𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2o) ∧ (𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧)) → ¬ (𝑐‘𝑧) = ∅)
13		elpri 4608	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑐‘𝑧) ∈ {∅, 1o} → ((𝑐‘𝑧) = ∅ ∨ (𝑐‘𝑧) = 1o))
14		df2o3 8477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2o = {∅, 1o}
15	13, 14	eleq2s 2879	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑐‘𝑧) ∈ 2o → ((𝑐‘𝑧) = ∅ ∨ (𝑐‘𝑧) = 1o))
16	15	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑏‘𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2o) ∧ (𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧)) → ((𝑐‘𝑧) = ∅ ∨ (𝑐‘𝑧) = 1o))
17		orel1 902	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (𝑐‘𝑧) = ∅ → (((𝑐‘𝑧) = ∅ ∨ (𝑐‘𝑧) = 1o) → (𝑐‘𝑧) = 1o))
18	12, 16, 17	sylc 66	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑏‘𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2o) ∧ (𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧)) → (𝑐‘𝑧) = 1o)
19		1on 8482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1o ∈ On
20	19	onirri 6476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ 1o ∈ 1o
21		eleq12 2851	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑏‘𝑧) = 1o ∧ (𝑐‘𝑧) = 1o) → ((𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧) ↔ 1o ∈ 1o))
22	21	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑏‘𝑧) = 1o ∧ (𝑐‘𝑧) = 1o) → ((𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧) → 1o ∈ 1o))
23	22	expcom 419	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑐‘𝑧) = 1o → ((𝑏‘𝑧) = 1o → ((𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧) → 1o ∈ 1o)))
24	23	com3r 88	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧) → ((𝑐‘𝑧) = 1o → ((𝑏‘𝑧) = 1o → 1o ∈ 1o)))
25	24	imp 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧) ∧ (𝑐‘𝑧) = 1o) → ((𝑏‘𝑧) = 1o → 1o ∈ 1o))
26	25	adantll 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑏‘𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2o) ∧ (𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧)) ∧ (𝑐‘𝑧) = 1o) → ((𝑏‘𝑧) = 1o → 1o ∈ 1o))
27	20, 26	mtoi 202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑏‘𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2o) ∧ (𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧)) ∧ (𝑐‘𝑧) = 1o) → ¬ (𝑏‘𝑧) = 1o)
28	18, 27	mpdan 700	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑏‘𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2o) ∧ (𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧)) → ¬ (𝑏‘𝑧) = 1o)
29	18, 28	jca 521	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑏‘𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2o) ∧ (𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧)) → ((𝑐‘𝑧) = 1o ∧ ¬ (𝑏‘𝑧) = 1o))
30		elpri 4608	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏‘𝑧) ∈ {∅, 1o} → ((𝑏‘𝑧) = ∅ ∨ (𝑏‘𝑧) = 1o))
31	30, 14	eleq2s 2879	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏‘𝑧) ∈ 2o → ((𝑏‘𝑧) = ∅ ∨ (𝑏‘𝑧) = 1o))
32	31	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑏‘𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2o) → ((𝑏‘𝑧) = ∅ ∨ (𝑏‘𝑧) = 1o))
33		orel2 904	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ (𝑏‘𝑧) = 1o → (((𝑏‘𝑧) = ∅ ∨ (𝑏‘𝑧) = 1o) → (𝑏‘𝑧) = ∅))
34	32, 33	mpan9 516	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏‘𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2o) ∧ ¬ (𝑏‘𝑧) = 1o) → (𝑏‘𝑧) = ∅)
35	34	adantrl 729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑏‘𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2o) ∧ ((𝑐‘𝑧) = 1o ∧ ¬ (𝑏‘𝑧) = 1o)) → (𝑏‘𝑧) = ∅)
36		0lt1o 8505	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ 1o
37	35, 36	eqeltrdi 2869	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑏‘𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2o) ∧ ((𝑐‘𝑧) = 1o ∧ ¬ (𝑏‘𝑧) = 1o)) → (𝑏‘𝑧) ∈ 1o)
38		simprl 783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑏‘𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2o) ∧ ((𝑐‘𝑧) = 1o ∧ ¬ (𝑏‘𝑧) = 1o)) → (𝑐‘𝑧) = 1o)
39	37, 38	eleqtrrd 2864	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑏‘𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2o) ∧ ((𝑐‘𝑧) = 1o ∧ ¬ (𝑏‘𝑧) = 1o)) → (𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧))
40	29, 39	impbida 813	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏‘𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2o) → ((𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧) ↔ ((𝑐‘𝑧) = 1o ∧ ¬ (𝑏‘𝑧) = 1o)))
41	7, 10, 40	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧) ↔ ((𝑐‘𝑧) = 1o ∧ ¬ (𝑏‘𝑧) = 1o)))
42		simplrr 790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))
43	1	pw2f1o2val2 44026	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ (𝐹‘𝑐) ↔ (𝑐‘𝑧) = 1o))
44	42, 43	sylancom 600	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ (𝐹‘𝑐) ↔ (𝑐‘𝑧) = 1o))
45		simplrl 789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴))
46	1	pw2f1o2val2 44026	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ (𝑏‘𝑧) = 1o))
47	45, 46	sylancom 600	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ (𝑏‘𝑧) = 1o))
48	47	notbid 321	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ ¬ (𝑏‘𝑧) = 1o))
49	44, 48	anbi12d 644	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑧 ∈ (𝐹‘𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏)) ↔ ((𝑐‘𝑧) = 1o ∧ ¬ (𝑏‘𝑧) = 1o)))
50	41, 49	bitr4d 285	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧) ↔ (𝑧 ∈ (𝐹‘𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏))))
51	4, 50	bitrid 286	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑏‘𝑧) E (𝑐‘𝑧) ↔ (𝑧 ∈ (𝐹‘𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏))))
52	6	ffvelcdmda 7082	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑏‘𝑤) ∈ 2o)
53	9	ffvelcdmda 7082	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑐‘𝑤) ∈ 2o)
54		eqeq1 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤) → ((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o))
55		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑏‘𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏‘𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o)) → (𝑏‘𝑤) = ∅)
56		1n0 8488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1o ≠ ∅
57	56	nesymi 3013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ¬ ∅ = 1o
58		eqeq1 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑏‘𝑤) = ∅ → ((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ ∅ = 1o))
59	57, 58	mtbiri 330	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑏‘𝑤) = ∅ → ¬ (𝑏‘𝑤) = 1o)
60	59	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑏‘𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏‘𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o)) → ¬ (𝑏‘𝑤) = 1o)
61		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑏‘𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏‘𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o)) → ((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o))
62	60, 61	mtbid 327	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑏‘𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏‘𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o)) → ¬ (𝑐‘𝑤) = 1o)
63		elpri 4608	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑐‘𝑤) ∈ {∅, 1o} → ((𝑐‘𝑤) = ∅ ∨ (𝑐‘𝑤) = 1o))
64	63, 14	eleq2s 2879	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑐‘𝑤) ∈ 2o → ((𝑐‘𝑤) = ∅ ∨ (𝑐‘𝑤) = 1o))
65	64	ad3antlr 744	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑏‘𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏‘𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o)) → ((𝑐‘𝑤) = ∅ ∨ (𝑐‘𝑤) = 1o))
66		orel2 904	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ (𝑐‘𝑤) = 1o → (((𝑐‘𝑤) = ∅ ∨ (𝑐‘𝑤) = 1o) → (𝑐‘𝑤) = ∅))
67	62, 65, 66	sylc 66	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑏‘𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏‘𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o)) → (𝑐‘𝑤) = ∅)
68	55, 67	eqtr4d 2799	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑏‘𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏‘𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o)) → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤))
69	68	ex 418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏‘𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏‘𝑤) = ∅) → (((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o) → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤)))
70		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑏‘𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏‘𝑤) = 1o) ∧ ((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o)) → (𝑏‘𝑤) = 1o)
71		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑏‘𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏‘𝑤) = 1o) ∧ ((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o)) → ((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o))
72	70, 71	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑏‘𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏‘𝑤) = 1o) ∧ ((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o)) → (𝑐‘𝑤) = 1o)
73	70, 72	eqtr4d 2799	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑏‘𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏‘𝑤) = 1o) ∧ ((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o)) → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤))
74	73	ex 418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏‘𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏‘𝑤) = 1o) → (((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o) → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤)))
75		elpri 4608	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏‘𝑤) ∈ {∅, 1o} → ((𝑏‘𝑤) = ∅ ∨ (𝑏‘𝑤) = 1o))
76	75, 14	eleq2s 2879	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏‘𝑤) ∈ 2o → ((𝑏‘𝑤) = ∅ ∨ (𝑏‘𝑤) = 1o))
77	76	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑏‘𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2o) → ((𝑏‘𝑤) = ∅ ∨ (𝑏‘𝑤) = 1o))
78	69, 74, 77	mpjaodan 973	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑏‘𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2o) → (((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o) → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤)))
79	54, 78	impbid2 229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑏‘𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2o) → ((𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤) ↔ ((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o)))
80	52, 53, 79	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤) ↔ ((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o)))
81		simplrl 789	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴))
82	1	pw2f1o2val2 44026	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ (𝑏‘𝑤) = 1o))
83	81, 82	sylancom 600	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ (𝑏‘𝑤) = 1o))
84		simplrr 790	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))
85	1	pw2f1o2val2 44026	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐) ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o))
86	84, 85	sylancom 600	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐) ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o))
87	83, 86	bibi12d 348	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐)) ↔ ((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o)))
88	80, 87	bitr4d 285	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤) ↔ (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐))))
89	88	imbi2d 343	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝑤𝑅𝑧 → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤)) ↔ (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐)))))
90	89	ralbidva 3184	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) → (∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤)) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐)))))
91	90	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤)) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐)))))
92	51, 91	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (((𝑏‘𝑧) E (𝑐‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤))) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐹‘𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏)) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐))))))
93	92	rexbidva 3185	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑏‘𝑧) E (𝑐‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤))) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ∈ (𝐹‘𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏)) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐))))))
94		vex 3455	. . . . 5 ⊢ 𝑏 ∈ V
95		vex 3455	. . . . 5 ⊢ 𝑐 ∈ V
96		fveq1 6882	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑥‘𝑧) = (𝑏‘𝑧))
97		fveq1 6882	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑐 → (𝑦‘𝑧) = (𝑐‘𝑧))
98	96, 97	breqan12d 5119	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = 𝑐) → ((𝑥‘𝑧) E (𝑦‘𝑧) ↔ (𝑏‘𝑧) E (𝑐‘𝑧)))
99		fveq1 6882	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑥‘𝑤) = (𝑏‘𝑤))
100		fveq1 6882	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑐 → (𝑦‘𝑤) = (𝑐‘𝑤))
101	99, 100	eqeqan12d 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = 𝑐) → ((𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤) ↔ (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤)))
102	101	imbi2d 343	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = 𝑐) → ((𝑤𝑅𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)) ↔ (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤))))
103	102	ralbidv 3186	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = 𝑐) → (∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤))))
104	98, 103	anbi12d 644	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = 𝑐) → (((𝑥‘𝑧) E (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))) ↔ ((𝑏‘𝑧) E (𝑐‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤)))))
105	104	rexbidv 3187	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = 𝑐) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥‘𝑧) E (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑏‘𝑧) E (𝑐‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤)))))
106		wepwso.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥‘𝑧) E (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}
107	94, 95, 105, 106	braba 5511	. . . 4 ⊢ (𝑏𝑈𝑐 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑏‘𝑧) E (𝑐‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤))))
108		fvex 6896	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝑏) ∈ V
109		fvex 6896	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝑐) ∈ V
110		eleq2 2850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑐) → (𝑧 ∈ 𝑦 ↔ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑐)))
111		eleq2 2850	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑏) → (𝑧 ∈ 𝑥 ↔ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏)))
112	111	notbid 321	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑏) → (¬ 𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏)))
113	110, 112	bi2anan9r 651	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = (𝐹‘𝑏) ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑐)) → ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ (𝑧 ∈ (𝐹‘𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏))))
114		eleq2 2850	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑏) → (𝑤 ∈ 𝑥 ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏)))
115		eleq2 2850	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑐) → (𝑤 ∈ 𝑦 ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐)))
116	114, 115	bi2bian9 652	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = (𝐹‘𝑏) ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑐)) → ((𝑤 ∈ 𝑥 ↔ 𝑤 ∈ 𝑦) ↔ (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐))))
117	116	imbi2d 343	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = (𝐹‘𝑏) ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑐)) → ((𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ 𝑥 ↔ 𝑤 ∈ 𝑦)) ↔ (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐)))))
118	117	ralbidv 3186	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = (𝐹‘𝑏) ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑐)) → (∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ 𝑥 ↔ 𝑤 ∈ 𝑦)) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐)))))
119	113, 118	anbi12d 644	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = (𝐹‘𝑏) ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑐)) → (((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑥) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ 𝑥 ↔ 𝑤 ∈ 𝑦))) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐹‘𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏)) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐))))))
120	119	rexbidv 3187	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = (𝐹‘𝑏) ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑐)) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑥) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ 𝑥 ↔ 𝑤 ∈ 𝑦))) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ∈ (𝐹‘𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏)) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐))))))
121		wepwso.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑥) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ 𝑥 ↔ 𝑤 ∈ 𝑦)))}
122	108, 109, 120, 121	braba 5511	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑏)𝑇(𝐹‘𝑐) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ∈ (𝐹‘𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏)) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐)))))
123	93, 107, 122	3bitr4g 317	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) → (𝑏𝑈𝑐 ↔ (𝐹‘𝑏)𝑇(𝐹‘𝑐)))
124	123	ralrimivva 3206	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → ∀𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴)∀𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴)(𝑏𝑈𝑐 ↔ (𝐹‘𝑏)𝑇(𝐹‘𝑐)))
125		df-isom 6546	. 2 ⊢ (𝐹 Isom 𝑈, 𝑇 ((2o ↑m 𝐴), 𝒫 𝐴) ↔ (𝐹:(2o ↑m 𝐴)–1-1-onto→𝒫 𝐴 ∧ ∀𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴)∀𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴)(𝑏𝑈𝑐 ↔ (𝐹‘𝑏)𝑇(𝐹‘𝑐))))
126	2, 124, 125	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐹 Isom 𝑈, 𝑇 ((2o ↑m 𝐴), 𝒫 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  Vcvv 3451  ∅c0 4279  𝒫 cpw 4557  {csn 4584  {cpr 4586   class class class wbr 5103  {copab 5167   ↦ cmpt 5186   E cep 5550  ^◡ccnv 5650   “ cima 5654  ⟶wf 6533  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537   Isom wiso 6538  (class class class)co 7418  1_oc1o 8462  2_oc2o 8463   ↑_m cmap 8840

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-1o 8469  df-2o 8470  df-map 8842

This theorem is used by:  wepwso  44029