Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wepwsolem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wepwsolem 39509
 Description: Transfer an ordering on characteristic functions by isomorphism to the power set. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
wepwso.t 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐴 ((𝑧𝑦 ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤𝑥𝑤𝑦)))}
wepwso.u 𝑈 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐴 ((𝑥𝑧) E (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
wepwso.f 𝐹 = (𝑎 ∈ (2om 𝐴) ↦ (𝑎 “ {1o}))
Assertion
Ref Expression
wepwsolem (𝐴 ∈ V → 𝐹 Isom 𝑈, 𝑇 ((2om 𝐴), 𝒫 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧,𝑤   𝑇,𝑎   𝑈,𝑎
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐹(𝑎)

Proof of Theorem wepwsolem
Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wepwso.f . . 3 𝐹 = (𝑎 ∈ (2om 𝐴) ↦ (𝑎 “ {1o}))
21pw2f1o2 39502 . 2 (𝐴 ∈ V → 𝐹:(2om 𝐴)–1-1-onto→𝒫 𝐴)
3 fvex 6679 . . . . . . . 8 (𝑐𝑧) ∈ V
43epeli 5466 . . . . . . 7 ((𝑏𝑧) E (𝑐𝑧) ↔ (𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧))
5 elmapi 8421 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ (2om 𝐴) → 𝑏:𝐴⟶2o)
65ad2antrl 724 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2om 𝐴))) → 𝑏:𝐴⟶2o)
76ffvelrnda 6846 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2om 𝐴))) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑏𝑧) ∈ 2o)
8 elmapi 8421 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 ∈ (2om 𝐴) → 𝑐:𝐴⟶2o)
98ad2antll 725 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2om 𝐴))) → 𝑐:𝐴⟶2o)
109ffvelrnda 6846 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2om 𝐴))) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑐𝑧) ∈ 2o)
11 n0i 4302 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧) → ¬ (𝑐𝑧) = ∅)
1211adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑏𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐𝑧) ∈ 2o) ∧ (𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧)) → ¬ (𝑐𝑧) = ∅)
13 elpri 4585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐𝑧) ∈ {∅, 1o} → ((𝑐𝑧) = ∅ ∨ (𝑐𝑧) = 1o))
14 df2o3 8111 . . . . . . . . . . . . . 14 2o = {∅, 1o}
1513, 14eleq2s 2935 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐𝑧) ∈ 2o → ((𝑐𝑧) = ∅ ∨ (𝑐𝑧) = 1o))
1615ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑏𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐𝑧) ∈ 2o) ∧ (𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧)) → ((𝑐𝑧) = ∅ ∨ (𝑐𝑧) = 1o))
17 orel1 884 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝑐𝑧) = ∅ → (((𝑐𝑧) = ∅ ∨ (𝑐𝑧) = 1o) → (𝑐𝑧) = 1o))
1812, 16, 17sylc 65 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑏𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐𝑧) ∈ 2o) ∧ (𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧)) → (𝑐𝑧) = 1o)
19 1on 8103 . . . . . . . . . . . . . 14 1o ∈ On
2019onirri 6294 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 1o ∈ 1o
21 eleq12 2906 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑏𝑧) = 1o ∧ (𝑐𝑧) = 1o) → ((𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧) ↔ 1o ∈ 1o))
2221biimpd 230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑏𝑧) = 1o ∧ (𝑐𝑧) = 1o) → ((𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧) → 1o ∈ 1o))
2322expcom 414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐𝑧) = 1o → ((𝑏𝑧) = 1o → ((𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧) → 1o ∈ 1o)))
2423com3r 87 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧) → ((𝑐𝑧) = 1o → ((𝑏𝑧) = 1o → 1o ∈ 1o)))
2524imp 407 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧) ∧ (𝑐𝑧) = 1o) → ((𝑏𝑧) = 1o → 1o ∈ 1o))
2625adantll 710 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑏𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐𝑧) ∈ 2o) ∧ (𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧)) ∧ (𝑐𝑧) = 1o) → ((𝑏𝑧) = 1o → 1o ∈ 1o))
2720, 26mtoi 200 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑏𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐𝑧) ∈ 2o) ∧ (𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧)) ∧ (𝑐𝑧) = 1o) → ¬ (𝑏𝑧) = 1o)
2818, 27mpdan 683 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑏𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐𝑧) ∈ 2o) ∧ (𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧)) → ¬ (𝑏𝑧) = 1o)
2918, 28jca 512 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐𝑧) ∈ 2o) ∧ (𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧)) → ((𝑐𝑧) = 1o ∧ ¬ (𝑏𝑧) = 1o))
30 elpri 4585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏𝑧) ∈ {∅, 1o} → ((𝑏𝑧) = ∅ ∨ (𝑏𝑧) = 1o))
3130, 14eleq2s 2935 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏𝑧) ∈ 2o → ((𝑏𝑧) = ∅ ∨ (𝑏𝑧) = 1o))
3231adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐𝑧) ∈ 2o) → ((𝑏𝑧) = ∅ ∨ (𝑏𝑧) = 1o))
33 orel2 886 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ (𝑏𝑧) = 1o → (((𝑏𝑧) = ∅ ∨ (𝑏𝑧) = 1o) → (𝑏𝑧) = ∅))
3432, 33mpan9 507 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑏𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐𝑧) ∈ 2o) ∧ ¬ (𝑏𝑧) = 1o) → (𝑏𝑧) = ∅)
3534adantrl 712 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑏𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐𝑧) ∈ 2o) ∧ ((𝑐𝑧) = 1o ∧ ¬ (𝑏𝑧) = 1o)) → (𝑏𝑧) = ∅)
36 0lt1o 8123 . . . . . . . . . . . 12 ∅ ∈ 1o
3735, 36syl6eqel 2925 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑏𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐𝑧) ∈ 2o) ∧ ((𝑐𝑧) = 1o ∧ ¬ (𝑏𝑧) = 1o)) → (𝑏𝑧) ∈ 1o)
38 simprl 767 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑏𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐𝑧) ∈ 2o) ∧ ((𝑐𝑧) = 1o ∧ ¬ (𝑏𝑧) = 1o)) → (𝑐𝑧) = 1o)
3937, 38eleqtrrd 2920 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐𝑧) ∈ 2o) ∧ ((𝑐𝑧) = 1o ∧ ¬ (𝑏𝑧) = 1o)) → (𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧))
4029, 39impbida 797 . . . . . . . . 9 (((𝑏𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐𝑧) ∈ 2o) → ((𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧) ↔ ((𝑐𝑧) = 1o ∧ ¬ (𝑏𝑧) = 1o)))
417, 10, 40syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2om 𝐴))) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧) ↔ ((𝑐𝑧) = 1o ∧ ¬ (𝑏𝑧) = 1o)))
42 simplrr 774 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2om 𝐴))) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑐 ∈ (2om 𝐴))
431pw2f1o2val2 39504 . . . . . . . . . 10 ((𝑐 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑧 ∈ (𝐹𝑐) ↔ (𝑐𝑧) = 1o))
4442, 43sylancom 588 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2om 𝐴))) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑧 ∈ (𝐹𝑐) ↔ (𝑐𝑧) = 1o))
45 simplrl 773 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2om 𝐴))) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑏 ∈ (2om 𝐴))
461pw2f1o2val2 39504 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑧 ∈ (𝐹𝑏) ↔ (𝑏𝑧) = 1o))
4745, 46sylancom 588 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2om 𝐴))) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑧 ∈ (𝐹𝑏) ↔ (𝑏𝑧) = 1o))
4847notbid 319 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2om 𝐴))) ∧ 𝑧𝐴) → (¬ 𝑧 ∈ (𝐹𝑏) ↔ ¬ (𝑏𝑧) = 1o))
4944, 48anbi12d 630 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2om 𝐴))) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑧 ∈ (𝐹𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹𝑏)) ↔ ((𝑐𝑧) = 1o ∧ ¬ (𝑏𝑧) = 1o)))
5041, 49bitr4d 283 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2om 𝐴))) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑏𝑧) ∈ (𝑐𝑧) ↔ (𝑧 ∈ (𝐹𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹𝑏))))
514, 50syl5bb 284 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2om 𝐴))) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑏𝑧) E (𝑐𝑧) ↔ (𝑧 ∈ (𝐹𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹𝑏))))
526ffvelrnda 6846 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2om 𝐴))) ∧ 𝑤𝐴) → (𝑏𝑤) ∈ 2o)
539ffvelrnda 6846 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2om 𝐴))) ∧ 𝑤𝐴) → (𝑐𝑤) ∈ 2o)
54 eqeq1 2829 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏𝑤) = (𝑐𝑤) → ((𝑏𝑤) = 1o ↔ (𝑐𝑤) = 1o))
55 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑏𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏𝑤) = 1o ↔ (𝑐𝑤) = 1o)) → (𝑏𝑤) = ∅)
56 1n0 8113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1o ≠ ∅
5756nesymi 3077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ¬ ∅ = 1o
58 eqeq1 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑏𝑤) = ∅ → ((𝑏𝑤) = 1o ↔ ∅ = 1o))
5957, 58mtbiri 328 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑏𝑤) = ∅ → ¬ (𝑏𝑤) = 1o)
6059ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑏𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏𝑤) = 1o ↔ (𝑐𝑤) = 1o)) → ¬ (𝑏𝑤) = 1o)
61 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑏𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏𝑤) = 1o ↔ (𝑐𝑤) = 1o)) → ((𝑏𝑤) = 1o ↔ (𝑐𝑤) = 1o))
6260, 61mtbid 325 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑏𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏𝑤) = 1o ↔ (𝑐𝑤) = 1o)) → ¬ (𝑐𝑤) = 1o)
63 elpri 4585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑐𝑤) ∈ {∅, 1o} → ((𝑐𝑤) = ∅ ∨ (𝑐𝑤) = 1o))
6463, 14eleq2s 2935 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑐𝑤) ∈ 2o → ((𝑐𝑤) = ∅ ∨ (𝑐𝑤) = 1o))
6564ad3antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑏𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏𝑤) = 1o ↔ (𝑐𝑤) = 1o)) → ((𝑐𝑤) = ∅ ∨ (𝑐𝑤) = 1o))
66 orel2 886 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ (𝑐𝑤) = 1o → (((𝑐𝑤) = ∅ ∨ (𝑐𝑤) = 1o) → (𝑐𝑤) = ∅))
6762, 65, 66sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑏𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏𝑤) = 1o ↔ (𝑐𝑤) = 1o)) → (𝑐𝑤) = ∅)
6855, 67eqtr4d 2863 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑏𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏𝑤) = 1o ↔ (𝑐𝑤) = 1o)) → (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤))
6968ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑏𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏𝑤) = ∅) → (((𝑏𝑤) = 1o ↔ (𝑐𝑤) = 1o) → (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤)))
70 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑏𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏𝑤) = 1o) ∧ ((𝑏𝑤) = 1o ↔ (𝑐𝑤) = 1o)) → (𝑏𝑤) = 1o)
71 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑏𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏𝑤) = 1o) ∧ ((𝑏𝑤) = 1o ↔ (𝑐𝑤) = 1o)) → ((𝑏𝑤) = 1o ↔ (𝑐𝑤) = 1o))
7270, 71mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑏𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏𝑤) = 1o) ∧ ((𝑏𝑤) = 1o ↔ (𝑐𝑤) = 1o)) → (𝑐𝑤) = 1o)
7370, 72eqtr4d 2863 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑏𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏𝑤) = 1o) ∧ ((𝑏𝑤) = 1o ↔ (𝑐𝑤) = 1o)) → (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤))
7473ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑏𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏𝑤) = 1o) → (((𝑏𝑤) = 1o ↔ (𝑐𝑤) = 1o) → (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤)))
75 elpri 4585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏𝑤) ∈ {∅, 1o} → ((𝑏𝑤) = ∅ ∨ (𝑏𝑤) = 1o))
7675, 14eleq2s 2935 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏𝑤) ∈ 2o → ((𝑏𝑤) = ∅ ∨ (𝑏𝑤) = 1o))
7776adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2o) → ((𝑏𝑤) = ∅ ∨ (𝑏𝑤) = 1o))
7869, 74, 77mpjaodan 954 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2o) → (((𝑏𝑤) = 1o ↔ (𝑐𝑤) = 1o) → (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤)))
7954, 78impbid2 227 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐𝑤) ∈ 2o) → ((𝑏𝑤) = (𝑐𝑤) ↔ ((𝑏𝑤) = 1o ↔ (𝑐𝑤) = 1o)))
8052, 53, 79syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2om 𝐴))) ∧ 𝑤𝐴) → ((𝑏𝑤) = (𝑐𝑤) ↔ ((𝑏𝑤) = 1o ↔ (𝑐𝑤) = 1o)))
81 simplrl 773 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2om 𝐴))) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑏 ∈ (2om 𝐴))
821pw2f1o2val2 39504 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑤𝐴) → (𝑤 ∈ (𝐹𝑏) ↔ (𝑏𝑤) = 1o))
8381, 82sylancom 588 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2om 𝐴))) ∧ 𝑤𝐴) → (𝑤 ∈ (𝐹𝑏) ↔ (𝑏𝑤) = 1o))
84 simplrr 774 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2om 𝐴))) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑐 ∈ (2om 𝐴))
851pw2f1o2val2 39504 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑐 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑤𝐴) → (𝑤 ∈ (𝐹𝑐) ↔ (𝑐𝑤) = 1o))
8684, 85sylancom 588 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2om 𝐴))) ∧ 𝑤𝐴) → (𝑤 ∈ (𝐹𝑐) ↔ (𝑐𝑤) = 1o))
8783, 86bibi12d 347 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2om 𝐴))) ∧ 𝑤𝐴) → ((𝑤 ∈ (𝐹𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹𝑐)) ↔ ((𝑏𝑤) = 1o ↔ (𝑐𝑤) = 1o)))
8880, 87bitr4d 283 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2om 𝐴))) ∧ 𝑤𝐴) → ((𝑏𝑤) = (𝑐𝑤) ↔ (𝑤 ∈ (𝐹𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹𝑐))))
8988imbi2d 342 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2om 𝐴))) ∧ 𝑤𝐴) → ((𝑤𝑅𝑧 → (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤)) ↔ (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹𝑐)))))
9089ralbidva 3200 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2om 𝐴))) → (∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤)) ↔ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹𝑐)))))
9190adantr 481 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2om 𝐴))) ∧ 𝑧𝐴) → (∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤)) ↔ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹𝑐)))))
9251, 91anbi12d 630 . . . . 5 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2om 𝐴))) ∧ 𝑧𝐴) → (((𝑏𝑧) E (𝑐𝑧) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤))) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐹𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹𝑏)) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹𝑐))))))
9392rexbidva 3300 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2om 𝐴))) → (∃𝑧𝐴 ((𝑏𝑧) E (𝑐𝑧) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤))) ↔ ∃𝑧𝐴 ((𝑧 ∈ (𝐹𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹𝑏)) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹𝑐))))))
94 vex 3502 . . . . 5 𝑏 ∈ V
95 vex 3502 . . . . 5 𝑐 ∈ V
96 fveq1 6665 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑏 → (𝑥𝑧) = (𝑏𝑧))
97 fveq1 6665 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑐 → (𝑦𝑧) = (𝑐𝑧))
9896, 97breqan12d 5078 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝑐) → ((𝑥𝑧) E (𝑦𝑧) ↔ (𝑏𝑧) E (𝑐𝑧)))
99 fveq1 6665 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑏 → (𝑥𝑤) = (𝑏𝑤))
100 fveq1 6665 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑐 → (𝑦𝑤) = (𝑐𝑤))
10199, 100eqeqan12d 2842 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝑐) → ((𝑥𝑤) = (𝑦𝑤) ↔ (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤)))
102101imbi2d 342 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝑐) → ((𝑤𝑅𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)) ↔ (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤))))
103102ralbidv 3201 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝑐) → (∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)) ↔ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤))))
10498, 103anbi12d 630 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝑐) → (((𝑥𝑧) E (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))) ↔ ((𝑏𝑧) E (𝑐𝑧) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤)))))
105104rexbidv 3301 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝑐) → (∃𝑧𝐴 ((𝑥𝑧) E (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))) ↔ ∃𝑧𝐴 ((𝑏𝑧) E (𝑐𝑧) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤)))))
106 wepwso.u . . . . 5 𝑈 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐴 ((𝑥𝑧) E (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
10794, 95, 105, 106braba 5420 . . . 4 (𝑏𝑈𝑐 ↔ ∃𝑧𝐴 ((𝑏𝑧) E (𝑐𝑧) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏𝑤) = (𝑐𝑤))))
108 fvex 6679 . . . . 5 (𝐹𝑏) ∈ V
109 fvex 6679 . . . . 5 (𝐹𝑐) ∈ V
110 eleq2 2905 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝐹𝑐) → (𝑧𝑦𝑧 ∈ (𝐹𝑐)))
111 eleq2 2905 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐹𝑏) → (𝑧𝑥𝑧 ∈ (𝐹𝑏)))
112111notbid 319 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐹𝑏) → (¬ 𝑧𝑥 ↔ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹𝑏)))
113110, 112bi2anan9r 636 . . . . . . 7 ((𝑥 = (𝐹𝑏) ∧ 𝑦 = (𝐹𝑐)) → ((𝑧𝑦 ∧ ¬ 𝑧𝑥) ↔ (𝑧 ∈ (𝐹𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹𝑏))))
114 eleq2 2905 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐹𝑏) → (𝑤𝑥𝑤 ∈ (𝐹𝑏)))
115 eleq2 2905 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐹𝑐) → (𝑤𝑦𝑤 ∈ (𝐹𝑐)))
116114, 115bi2bian9 637 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = (𝐹𝑏) ∧ 𝑦 = (𝐹𝑐)) → ((𝑤𝑥𝑤𝑦) ↔ (𝑤 ∈ (𝐹𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹𝑐))))
117116imbi2d 342 . . . . . . . 8 ((𝑥 = (𝐹𝑏) ∧ 𝑦 = (𝐹𝑐)) → ((𝑤𝑅𝑧 → (𝑤𝑥𝑤𝑦)) ↔ (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹𝑐)))))
118117ralbidv 3201 . . . . . . 7 ((𝑥 = (𝐹𝑏) ∧ 𝑦 = (𝐹𝑐)) → (∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤𝑥𝑤𝑦)) ↔ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹𝑐)))))
119113, 118anbi12d 630 . . . . . 6 ((𝑥 = (𝐹𝑏) ∧ 𝑦 = (𝐹𝑐)) → (((𝑧𝑦 ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤𝑥𝑤𝑦))) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐹𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹𝑏)) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹𝑐))))))
120119rexbidv 3301 . . . . 5 ((𝑥 = (𝐹𝑏) ∧ 𝑦 = (𝐹𝑐)) → (∃𝑧𝐴 ((𝑧𝑦 ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤𝑥𝑤𝑦))) ↔ ∃𝑧𝐴 ((𝑧 ∈ (𝐹𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹𝑏)) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹𝑐))))))
121 wepwso.t . . . . 5 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐴 ((𝑧𝑦 ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤𝑥𝑤𝑦)))}
122108, 109, 120, 121braba 5420 . . . 4 ((𝐹𝑏)𝑇(𝐹𝑐) ↔ ∃𝑧𝐴 ((𝑧 ∈ (𝐹𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹𝑏)) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹𝑐)))))
12393, 107, 1223bitr4g 315 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2om 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2om 𝐴))) → (𝑏𝑈𝑐 ↔ (𝐹𝑏)𝑇(𝐹𝑐)))
124123ralrimivva 3195 . 2 (𝐴 ∈ V → ∀𝑏 ∈ (2om 𝐴)∀𝑐 ∈ (2om 𝐴)(𝑏𝑈𝑐 ↔ (𝐹𝑏)𝑇(𝐹𝑐)))
125 df-isom 6360 . 2 (𝐹 Isom 𝑈, 𝑇 ((2om 𝐴), 𝒫 𝐴) ↔ (𝐹:(2om 𝐴)–1-1-onto→𝒫 𝐴 ∧ ∀𝑏 ∈ (2om 𝐴)∀𝑐 ∈ (2om 𝐴)(𝑏𝑈𝑐 ↔ (𝐹𝑏)𝑇(𝐹𝑐))))
1262, 124, 125sylanbrc 583 1 (𝐴 ∈ V → 𝐹 Isom 𝑈, 𝑇 ((2om 𝐴), 𝒫 𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 843   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  ∀wral 3142  ∃wrex 3143  Vcvv 3499  ∅c0 4294  𝒫 cpw 4541  {csn 4563  {cpr 4565   class class class wbr 5062  {copab 5124   ↦ cmpt 5142   E cep 5462  ◡ccnv 5552   “ cima 5556  ⟶wf 6347  –1-1-onto→wf1o 6350  ‘cfv 6351   Isom wiso 6352  (class class class)co 7151  1oc1o 8089  2oc2o 8090   ↑m cmap 8399 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-ord 6191  df-on 6192  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-1o 8096  df-2o 8097  df-map 8401 This theorem is referenced by:  wepwso  39510
 Copyright terms: Public domain W3C validator