Theorem wepwsolem 40874

Description: Transfer an ordering on characteristic functions by isomorphism to the power set. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
wepwso.t	⊢ 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑥) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ 𝑥 ↔ 𝑤 ∈ 𝑦)))}
wepwso.u	⊢ 𝑈 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥‘𝑧) E (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}
wepwso.f	⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ (2o ↑m 𝐴) ↦ (◡𝑎 “ {1o}))

Assertion

Ref	Expression
wepwsolem	⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐹 Isom 𝑈, 𝑇 ((2o ↑m 𝐴), 𝒫 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧,𝑤   𝑇,𝑎   𝑈,𝑎

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐹(𝑎)

Proof of Theorem wepwsolem

Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wepwso.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ (2o ↑m 𝐴) ↦ (◡𝑎 “ {1o}))
2	1	pw2f1o2 40867	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐹:(2o ↑m 𝐴)–1-1-onto→𝒫 𝐴)
3		fvex 6796	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐‘𝑧) ∈ V
4	3	epeli 5498	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏‘𝑧) E (𝑐‘𝑧) ↔ (𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧))
5		elmapi 8646	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) → 𝑏:𝐴⟶2o)
6	5	ad2antrl 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) → 𝑏:𝐴⟶2o)
7	6	ffvelrnda 6970	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑏‘𝑧) ∈ 2o)
8		elmapi 8646	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴) → 𝑐:𝐴⟶2o)
9	8	ad2antll 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) → 𝑐:𝐴⟶2o)
10	9	ffvelrnda 6970	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑐‘𝑧) ∈ 2o)
11		n0i 4268	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧) → ¬ (𝑐‘𝑧) = ∅)
12	11	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑏‘𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2o) ∧ (𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧)) → ¬ (𝑐‘𝑧) = ∅)
13		elpri 4584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑐‘𝑧) ∈ {∅, 1o} → ((𝑐‘𝑧) = ∅ ∨ (𝑐‘𝑧) = 1o))
14		df2o3 8314	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2o = {∅, 1o}
15	13, 14	eleq2s 2858	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑐‘𝑧) ∈ 2o → ((𝑐‘𝑧) = ∅ ∨ (𝑐‘𝑧) = 1o))
16	15	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑏‘𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2o) ∧ (𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧)) → ((𝑐‘𝑧) = ∅ ∨ (𝑐‘𝑧) = 1o))
17		orel1 886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (𝑐‘𝑧) = ∅ → (((𝑐‘𝑧) = ∅ ∨ (𝑐‘𝑧) = 1o) → (𝑐‘𝑧) = 1o))
18	12, 16, 17	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑏‘𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2o) ∧ (𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧)) → (𝑐‘𝑧) = 1o)
19		1on 8318	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1o ∈ On
20	19	onirri 6377	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ 1o ∈ 1o
21		eleq12 2829	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑏‘𝑧) = 1o ∧ (𝑐‘𝑧) = 1o) → ((𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧) ↔ 1o ∈ 1o))
22	21	biimpd 228	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑏‘𝑧) = 1o ∧ (𝑐‘𝑧) = 1o) → ((𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧) → 1o ∈ 1o))
23	22	expcom 414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑐‘𝑧) = 1o → ((𝑏‘𝑧) = 1o → ((𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧) → 1o ∈ 1o)))
24	23	com3r 87	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧) → ((𝑐‘𝑧) = 1o → ((𝑏‘𝑧) = 1o → 1o ∈ 1o)))
25	24	imp 407	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧) ∧ (𝑐‘𝑧) = 1o) → ((𝑏‘𝑧) = 1o → 1o ∈ 1o))
26	25	adantll 711	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑏‘𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2o) ∧ (𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧)) ∧ (𝑐‘𝑧) = 1o) → ((𝑏‘𝑧) = 1o → 1o ∈ 1o))
27	20, 26	mtoi 198	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑏‘𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2o) ∧ (𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧)) ∧ (𝑐‘𝑧) = 1o) → ¬ (𝑏‘𝑧) = 1o)
28	18, 27	mpdan 684	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑏‘𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2o) ∧ (𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧)) → ¬ (𝑏‘𝑧) = 1o)
29	18, 28	jca 512	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑏‘𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2o) ∧ (𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧)) → ((𝑐‘𝑧) = 1o ∧ ¬ (𝑏‘𝑧) = 1o))
30		elpri 4584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏‘𝑧) ∈ {∅, 1o} → ((𝑏‘𝑧) = ∅ ∨ (𝑏‘𝑧) = 1o))
31	30, 14	eleq2s 2858	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏‘𝑧) ∈ 2o → ((𝑏‘𝑧) = ∅ ∨ (𝑏‘𝑧) = 1o))
32	31	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑏‘𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2o) → ((𝑏‘𝑧) = ∅ ∨ (𝑏‘𝑧) = 1o))
33		orel2 888	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ (𝑏‘𝑧) = 1o → (((𝑏‘𝑧) = ∅ ∨ (𝑏‘𝑧) = 1o) → (𝑏‘𝑧) = ∅))
34	32, 33	mpan9 507	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏‘𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2o) ∧ ¬ (𝑏‘𝑧) = 1o) → (𝑏‘𝑧) = ∅)
35	34	adantrl 713	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑏‘𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2o) ∧ ((𝑐‘𝑧) = 1o ∧ ¬ (𝑏‘𝑧) = 1o)) → (𝑏‘𝑧) = ∅)
36		0lt1o 8343	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ 1o
37	35, 36	eqeltrdi 2848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑏‘𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2o) ∧ ((𝑐‘𝑧) = 1o ∧ ¬ (𝑏‘𝑧) = 1o)) → (𝑏‘𝑧) ∈ 1o)
38		simprl 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑏‘𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2o) ∧ ((𝑐‘𝑧) = 1o ∧ ¬ (𝑏‘𝑧) = 1o)) → (𝑐‘𝑧) = 1o)
39	37, 38	eleqtrrd 2843	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑏‘𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2o) ∧ ((𝑐‘𝑧) = 1o ∧ ¬ (𝑏‘𝑧) = 1o)) → (𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧))
40	29, 39	impbida 798	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏‘𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2o) → ((𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧) ↔ ((𝑐‘𝑧) = 1o ∧ ¬ (𝑏‘𝑧) = 1o)))
41	7, 10, 40	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧) ↔ ((𝑐‘𝑧) = 1o ∧ ¬ (𝑏‘𝑧) = 1o)))
42		simplrr 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))
43	1	pw2f1o2val2 40869	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ (𝐹‘𝑐) ↔ (𝑐‘𝑧) = 1o))
44	42, 43	sylancom 588	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ (𝐹‘𝑐) ↔ (𝑐‘𝑧) = 1o))
45		simplrl 774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴))
46	1	pw2f1o2val2 40869	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ (𝑏‘𝑧) = 1o))
47	45, 46	sylancom 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ (𝑏‘𝑧) = 1o))
48	47	notbid 318	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ ¬ (𝑏‘𝑧) = 1o))
49	44, 48	anbi12d 631	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑧 ∈ (𝐹‘𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏)) ↔ ((𝑐‘𝑧) = 1o ∧ ¬ (𝑏‘𝑧) = 1o)))
50	41, 49	bitr4d 281	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧) ↔ (𝑧 ∈ (𝐹‘𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏))))
51	4, 50	syl5bb 283	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑏‘𝑧) E (𝑐‘𝑧) ↔ (𝑧 ∈ (𝐹‘𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏))))
52	6	ffvelrnda 6970	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑏‘𝑤) ∈ 2o)
53	9	ffvelrnda 6970	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑐‘𝑤) ∈ 2o)
54		eqeq1 2743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤) → ((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o))
55		simplr 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑏‘𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏‘𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o)) → (𝑏‘𝑤) = ∅)
56		1n0 8327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1o ≠ ∅
57	56	nesymi 3002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ¬ ∅ = 1o
58		eqeq1 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑏‘𝑤) = ∅ → ((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ ∅ = 1o))
59	57, 58	mtbiri 327	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑏‘𝑤) = ∅ → ¬ (𝑏‘𝑤) = 1o)
60	59	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑏‘𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏‘𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o)) → ¬ (𝑏‘𝑤) = 1o)
61		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑏‘𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏‘𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o)) → ((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o))
62	60, 61	mtbid 324	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑏‘𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏‘𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o)) → ¬ (𝑐‘𝑤) = 1o)
63		elpri 4584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑐‘𝑤) ∈ {∅, 1o} → ((𝑐‘𝑤) = ∅ ∨ (𝑐‘𝑤) = 1o))
64	63, 14	eleq2s 2858	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑐‘𝑤) ∈ 2o → ((𝑐‘𝑤) = ∅ ∨ (𝑐‘𝑤) = 1o))
65	64	ad3antlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑏‘𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏‘𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o)) → ((𝑐‘𝑤) = ∅ ∨ (𝑐‘𝑤) = 1o))
66		orel2 888	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ (𝑐‘𝑤) = 1o → (((𝑐‘𝑤) = ∅ ∨ (𝑐‘𝑤) = 1o) → (𝑐‘𝑤) = ∅))
67	62, 65, 66	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑏‘𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏‘𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o)) → (𝑐‘𝑤) = ∅)
68	55, 67	eqtr4d 2782	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑏‘𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏‘𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o)) → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤))
69	68	ex 413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏‘𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏‘𝑤) = ∅) → (((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o) → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤)))
70		simplr 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑏‘𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏‘𝑤) = 1o) ∧ ((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o)) → (𝑏‘𝑤) = 1o)
71		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑏‘𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏‘𝑤) = 1o) ∧ ((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o)) → ((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o))
72	70, 71	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑏‘𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏‘𝑤) = 1o) ∧ ((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o)) → (𝑐‘𝑤) = 1o)
73	70, 72	eqtr4d 2782	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑏‘𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏‘𝑤) = 1o) ∧ ((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o)) → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤))
74	73	ex 413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏‘𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏‘𝑤) = 1o) → (((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o) → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤)))
75		elpri 4584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏‘𝑤) ∈ {∅, 1o} → ((𝑏‘𝑤) = ∅ ∨ (𝑏‘𝑤) = 1o))
76	75, 14	eleq2s 2858	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏‘𝑤) ∈ 2o → ((𝑏‘𝑤) = ∅ ∨ (𝑏‘𝑤) = 1o))
77	76	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑏‘𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2o) → ((𝑏‘𝑤) = ∅ ∨ (𝑏‘𝑤) = 1o))
78	69, 74, 77	mpjaodan 956	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑏‘𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2o) → (((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o) → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤)))
79	54, 78	impbid2 225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑏‘𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2o) → ((𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤) ↔ ((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o)))
80	52, 53, 79	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤) ↔ ((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o)))
81		simplrl 774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴))
82	1	pw2f1o2val2 40869	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ (𝑏‘𝑤) = 1o))
83	81, 82	sylancom 588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ (𝑏‘𝑤) = 1o))
84		simplrr 775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))
85	1	pw2f1o2val2 40869	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐) ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o))
86	84, 85	sylancom 588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐) ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o))
87	83, 86	bibi12d 346	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐)) ↔ ((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o)))
88	80, 87	bitr4d 281	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤) ↔ (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐))))
89	88	imbi2d 341	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝑤𝑅𝑧 → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤)) ↔ (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐)))))
90	89	ralbidva 3112	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) → (∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤)) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐)))))
91	90	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤)) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐)))))
92	51, 91	anbi12d 631	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (((𝑏‘𝑧) E (𝑐‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤))) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐹‘𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏)) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐))))))
93	92	rexbidva 3226	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑏‘𝑧) E (𝑐‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤))) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ∈ (𝐹‘𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏)) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐))))))
94		vex 3437	. . . . 5 ⊢ 𝑏 ∈ V
95		vex 3437	. . . . 5 ⊢ 𝑐 ∈ V
96		fveq1 6782	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑥‘𝑧) = (𝑏‘𝑧))
97		fveq1 6782	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑐 → (𝑦‘𝑧) = (𝑐‘𝑧))
98	96, 97	breqan12d 5091	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = 𝑐) → ((𝑥‘𝑧) E (𝑦‘𝑧) ↔ (𝑏‘𝑧) E (𝑐‘𝑧)))
99		fveq1 6782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑥‘𝑤) = (𝑏‘𝑤))
100		fveq1 6782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑐 → (𝑦‘𝑤) = (𝑐‘𝑤))
101	99, 100	eqeqan12d 2753	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = 𝑐) → ((𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤) ↔ (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤)))
102	101	imbi2d 341	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = 𝑐) → ((𝑤𝑅𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)) ↔ (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤))))
103	102	ralbidv 3113	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = 𝑐) → (∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤))))
104	98, 103	anbi12d 631	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = 𝑐) → (((𝑥‘𝑧) E (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))) ↔ ((𝑏‘𝑧) E (𝑐‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤)))))
105	104	rexbidv 3227	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = 𝑐) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥‘𝑧) E (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑏‘𝑧) E (𝑐‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤)))))
106		wepwso.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥‘𝑧) E (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}
107	94, 95, 105, 106	braba 5451	. . . 4 ⊢ (𝑏𝑈𝑐 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑏‘𝑧) E (𝑐‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤))))
108		fvex 6796	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝑏) ∈ V
109		fvex 6796	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝑐) ∈ V
110		eleq2 2828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑐) → (𝑧 ∈ 𝑦 ↔ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑐)))
111		eleq2 2828	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑏) → (𝑧 ∈ 𝑥 ↔ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏)))
112	111	notbid 318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑏) → (¬ 𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏)))
113	110, 112	bi2anan9r 637	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = (𝐹‘𝑏) ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑐)) → ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ (𝑧 ∈ (𝐹‘𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏))))
114		eleq2 2828	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑏) → (𝑤 ∈ 𝑥 ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏)))
115		eleq2 2828	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑐) → (𝑤 ∈ 𝑦 ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐)))
116	114, 115	bi2bian9 638	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = (𝐹‘𝑏) ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑐)) → ((𝑤 ∈ 𝑥 ↔ 𝑤 ∈ 𝑦) ↔ (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐))))
117	116	imbi2d 341	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = (𝐹‘𝑏) ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑐)) → ((𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ 𝑥 ↔ 𝑤 ∈ 𝑦)) ↔ (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐)))))
118	117	ralbidv 3113	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = (𝐹‘𝑏) ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑐)) → (∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ 𝑥 ↔ 𝑤 ∈ 𝑦)) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐)))))
119	113, 118	anbi12d 631	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = (𝐹‘𝑏) ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑐)) → (((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑥) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ 𝑥 ↔ 𝑤 ∈ 𝑦))) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐹‘𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏)) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐))))))
120	119	rexbidv 3227	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = (𝐹‘𝑏) ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑐)) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑥) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ 𝑥 ↔ 𝑤 ∈ 𝑦))) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ∈ (𝐹‘𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏)) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐))))))
121		wepwso.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑥) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ 𝑥 ↔ 𝑤 ∈ 𝑦)))}
122	108, 109, 120, 121	braba 5451	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑏)𝑇(𝐹‘𝑐) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ∈ (𝐹‘𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏)) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐)))))
123	93, 107, 122	3bitr4g 314	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) → (𝑏𝑈𝑐 ↔ (𝐹‘𝑏)𝑇(𝐹‘𝑐)))
124	123	ralrimivva 3124	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → ∀𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴)∀𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴)(𝑏𝑈𝑐 ↔ (𝐹‘𝑏)𝑇(𝐹‘𝑐)))
125		df-isom 6446	. 2 ⊢ (𝐹 Isom 𝑈, 𝑇 ((2o ↑m 𝐴), 𝒫 𝐴) ↔ (𝐹:(2o ↑m 𝐴)–1-1-onto→𝒫 𝐴 ∧ ∀𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴)∀𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴)(𝑏𝑈𝑐 ↔ (𝐹‘𝑏)𝑇(𝐹‘𝑐))))
126	2, 124, 125	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐹 Isom 𝑈, 𝑇 ((2o ↑m 𝐴), 𝒫 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3065  ∃wrex 3066  Vcvv 3433  ∅c0 4257  𝒫 cpw 4534  {csn 4562  {cpr 4564   class class class wbr 5075  {copab 5137   ↦ cmpt 5158   E cep 5495  ^◡ccnv 5589   “ cima 5593  ⟶wf 6433  –1-1-onto→wf1o 6436  ‘cfv 6437   Isom wiso 6438  (class class class)co 7284  1_oc1o 8299  2_oc2o 8300   ↑_m cmap 8624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-rep 5210  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-ord 6273  df-on 6274  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-isom 6446  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-1st 7840  df-2nd 7841  df-1o 8306  df-2o 8307  df-map 8626

This theorem is referenced by:  wepwso  40875