Theorem wepwsolem 42086

Description: Transfer an ordering on characteristic functions by isomorphism to the power set. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
wepwso.t	⊢ 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑥) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ 𝑥 ↔ 𝑤 ∈ 𝑦)))}
wepwso.u	⊢ 𝑈 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥‘𝑧) E (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}
wepwso.f	⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ (2o ↑m 𝐴) ↦ (◡𝑎 “ {1o}))

Assertion

Ref	Expression
wepwsolem	⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐹 Isom 𝑈, 𝑇 ((2o ↑m 𝐴), 𝒫 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧,𝑤   𝑇,𝑎   𝑈,𝑎

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐹(𝑎)

Proof of Theorem wepwsolem

Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wepwso.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ (2o ↑m 𝐴) ↦ (◡𝑎 “ {1o}))
2	1	pw2f1o2 42079	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐹:(2o ↑m 𝐴)–1-1-onto→𝒫 𝐴)
3		fvex 6903	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐‘𝑧) ∈ V
4	3	epeli 5581	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏‘𝑧) E (𝑐‘𝑧) ↔ (𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧))
5		elmapi 8845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) → 𝑏:𝐴⟶2o)
6	5	ad2antrl 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) → 𝑏:𝐴⟶2o)
7	6	ffvelcdmda 7085	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑏‘𝑧) ∈ 2o)
8		elmapi 8845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴) → 𝑐:𝐴⟶2o)
9	8	ad2antll 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) → 𝑐:𝐴⟶2o)
10	9	ffvelcdmda 7085	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑐‘𝑧) ∈ 2o)
11		n0i 4332	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧) → ¬ (𝑐‘𝑧) = ∅)
12	11	adantl 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑏‘𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2o) ∧ (𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧)) → ¬ (𝑐‘𝑧) = ∅)
13		elpri 4649	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑐‘𝑧) ∈ {∅, 1o} → ((𝑐‘𝑧) = ∅ ∨ (𝑐‘𝑧) = 1o))
14		df2o3 8476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2o = {∅, 1o}
15	13, 14	eleq2s 2849	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑐‘𝑧) ∈ 2o → ((𝑐‘𝑧) = ∅ ∨ (𝑐‘𝑧) = 1o))
16	15	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑏‘𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2o) ∧ (𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧)) → ((𝑐‘𝑧) = ∅ ∨ (𝑐‘𝑧) = 1o))
17		orel1 885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (𝑐‘𝑧) = ∅ → (((𝑐‘𝑧) = ∅ ∨ (𝑐‘𝑧) = 1o) → (𝑐‘𝑧) = 1o))
18	12, 16, 17	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑏‘𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2o) ∧ (𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧)) → (𝑐‘𝑧) = 1o)
19		1on 8480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1o ∈ On
20	19	onirri 6476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ 1o ∈ 1o
21		eleq12 2821	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑏‘𝑧) = 1o ∧ (𝑐‘𝑧) = 1o) → ((𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧) ↔ 1o ∈ 1o))
22	21	biimpd 228	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑏‘𝑧) = 1o ∧ (𝑐‘𝑧) = 1o) → ((𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧) → 1o ∈ 1o))
23	22	expcom 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑐‘𝑧) = 1o → ((𝑏‘𝑧) = 1o → ((𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧) → 1o ∈ 1o)))
24	23	com3r 87	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧) → ((𝑐‘𝑧) = 1o → ((𝑏‘𝑧) = 1o → 1o ∈ 1o)))
25	24	imp 405	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧) ∧ (𝑐‘𝑧) = 1o) → ((𝑏‘𝑧) = 1o → 1o ∈ 1o))
26	25	adantll 710	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑏‘𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2o) ∧ (𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧)) ∧ (𝑐‘𝑧) = 1o) → ((𝑏‘𝑧) = 1o → 1o ∈ 1o))
27	20, 26	mtoi 198	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑏‘𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2o) ∧ (𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧)) ∧ (𝑐‘𝑧) = 1o) → ¬ (𝑏‘𝑧) = 1o)
28	18, 27	mpdan 683	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑏‘𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2o) ∧ (𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧)) → ¬ (𝑏‘𝑧) = 1o)
29	18, 28	jca 510	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑏‘𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2o) ∧ (𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧)) → ((𝑐‘𝑧) = 1o ∧ ¬ (𝑏‘𝑧) = 1o))
30		elpri 4649	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏‘𝑧) ∈ {∅, 1o} → ((𝑏‘𝑧) = ∅ ∨ (𝑏‘𝑧) = 1o))
31	30, 14	eleq2s 2849	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏‘𝑧) ∈ 2o → ((𝑏‘𝑧) = ∅ ∨ (𝑏‘𝑧) = 1o))
32	31	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑏‘𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2o) → ((𝑏‘𝑧) = ∅ ∨ (𝑏‘𝑧) = 1o))
33		orel2 887	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ (𝑏‘𝑧) = 1o → (((𝑏‘𝑧) = ∅ ∨ (𝑏‘𝑧) = 1o) → (𝑏‘𝑧) = ∅))
34	32, 33	mpan9 505	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏‘𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2o) ∧ ¬ (𝑏‘𝑧) = 1o) → (𝑏‘𝑧) = ∅)
35	34	adantrl 712	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑏‘𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2o) ∧ ((𝑐‘𝑧) = 1o ∧ ¬ (𝑏‘𝑧) = 1o)) → (𝑏‘𝑧) = ∅)
36		0lt1o 8506	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ 1o
37	35, 36	eqeltrdi 2839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑏‘𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2o) ∧ ((𝑐‘𝑧) = 1o ∧ ¬ (𝑏‘𝑧) = 1o)) → (𝑏‘𝑧) ∈ 1o)
38		simprl 767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑏‘𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2o) ∧ ((𝑐‘𝑧) = 1o ∧ ¬ (𝑏‘𝑧) = 1o)) → (𝑐‘𝑧) = 1o)
39	37, 38	eleqtrrd 2834	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑏‘𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2o) ∧ ((𝑐‘𝑧) = 1o ∧ ¬ (𝑏‘𝑧) = 1o)) → (𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧))
40	29, 39	impbida 797	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏‘𝑧) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2o) → ((𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧) ↔ ((𝑐‘𝑧) = 1o ∧ ¬ (𝑏‘𝑧) = 1o)))
41	7, 10, 40	syl2anc 582	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧) ↔ ((𝑐‘𝑧) = 1o ∧ ¬ (𝑏‘𝑧) = 1o)))
42		simplrr 774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))
43	1	pw2f1o2val2 42081	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ (𝐹‘𝑐) ↔ (𝑐‘𝑧) = 1o))
44	42, 43	sylancom 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ (𝐹‘𝑐) ↔ (𝑐‘𝑧) = 1o))
45		simplrl 773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴))
46	1	pw2f1o2val2 42081	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ (𝑏‘𝑧) = 1o))
47	45, 46	sylancom 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ (𝑏‘𝑧) = 1o))
48	47	notbid 317	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ ¬ (𝑏‘𝑧) = 1o))
49	44, 48	anbi12d 629	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑧 ∈ (𝐹‘𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏)) ↔ ((𝑐‘𝑧) = 1o ∧ ¬ (𝑏‘𝑧) = 1o)))
50	41, 49	bitr4d 281	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧) ↔ (𝑧 ∈ (𝐹‘𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏))))
51	4, 50	bitrid 282	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑏‘𝑧) E (𝑐‘𝑧) ↔ (𝑧 ∈ (𝐹‘𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏))))
52	6	ffvelcdmda 7085	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑏‘𝑤) ∈ 2o)
53	9	ffvelcdmda 7085	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑐‘𝑤) ∈ 2o)
54		eqeq1 2734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤) → ((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o))
55		simplr 765	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑏‘𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏‘𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o)) → (𝑏‘𝑤) = ∅)
56		1n0 8490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1o ≠ ∅
57	56	nesymi 2996	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ¬ ∅ = 1o
58		eqeq1 2734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑏‘𝑤) = ∅ → ((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ ∅ = 1o))
59	57, 58	mtbiri 326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑏‘𝑤) = ∅ → ¬ (𝑏‘𝑤) = 1o)
60	59	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑏‘𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏‘𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o)) → ¬ (𝑏‘𝑤) = 1o)
61		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑏‘𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏‘𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o)) → ((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o))
62	60, 61	mtbid 323	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑏‘𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏‘𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o)) → ¬ (𝑐‘𝑤) = 1o)
63		elpri 4649	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑐‘𝑤) ∈ {∅, 1o} → ((𝑐‘𝑤) = ∅ ∨ (𝑐‘𝑤) = 1o))
64	63, 14	eleq2s 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑐‘𝑤) ∈ 2o → ((𝑐‘𝑤) = ∅ ∨ (𝑐‘𝑤) = 1o))
65	64	ad3antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑏‘𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏‘𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o)) → ((𝑐‘𝑤) = ∅ ∨ (𝑐‘𝑤) = 1o))
66		orel2 887	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ (𝑐‘𝑤) = 1o → (((𝑐‘𝑤) = ∅ ∨ (𝑐‘𝑤) = 1o) → (𝑐‘𝑤) = ∅))
67	62, 65, 66	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑏‘𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏‘𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o)) → (𝑐‘𝑤) = ∅)
68	55, 67	eqtr4d 2773	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑏‘𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏‘𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o)) → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤))
69	68	ex 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏‘𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏‘𝑤) = ∅) → (((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o) → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤)))
70		simplr 765	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑏‘𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏‘𝑤) = 1o) ∧ ((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o)) → (𝑏‘𝑤) = 1o)
71		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑏‘𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏‘𝑤) = 1o) ∧ ((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o)) → ((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o))
72	70, 71	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑏‘𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏‘𝑤) = 1o) ∧ ((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o)) → (𝑐‘𝑤) = 1o)
73	70, 72	eqtr4d 2773	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑏‘𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏‘𝑤) = 1o) ∧ ((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o)) → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤))
74	73	ex 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏‘𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2o) ∧ (𝑏‘𝑤) = 1o) → (((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o) → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤)))
75		elpri 4649	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏‘𝑤) ∈ {∅, 1o} → ((𝑏‘𝑤) = ∅ ∨ (𝑏‘𝑤) = 1o))
76	75, 14	eleq2s 2849	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏‘𝑤) ∈ 2o → ((𝑏‘𝑤) = ∅ ∨ (𝑏‘𝑤) = 1o))
77	76	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑏‘𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2o) → ((𝑏‘𝑤) = ∅ ∨ (𝑏‘𝑤) = 1o))
78	69, 74, 77	mpjaodan 955	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑏‘𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2o) → (((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o) → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤)))
79	54, 78	impbid2 225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑏‘𝑤) ∈ 2o ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2o) → ((𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤) ↔ ((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o)))
80	52, 53, 79	syl2anc 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤) ↔ ((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o)))
81		simplrl 773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴))
82	1	pw2f1o2val2 42081	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ (𝑏‘𝑤) = 1o))
83	81, 82	sylancom 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ (𝑏‘𝑤) = 1o))
84		simplrr 774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))
85	1	pw2f1o2val2 42081	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐) ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o))
86	84, 85	sylancom 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐) ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o))
87	83, 86	bibi12d 344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐)) ↔ ((𝑏‘𝑤) = 1o ↔ (𝑐‘𝑤) = 1o)))
88	80, 87	bitr4d 281	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤) ↔ (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐))))
89	88	imbi2d 339	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝑤𝑅𝑧 → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤)) ↔ (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐)))))
90	89	ralbidva 3173	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) → (∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤)) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐)))))
91	90	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤)) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐)))))
92	51, 91	anbi12d 629	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (((𝑏‘𝑧) E (𝑐‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤))) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐹‘𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏)) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐))))))
93	92	rexbidva 3174	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑏‘𝑧) E (𝑐‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤))) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ∈ (𝐹‘𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏)) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐))))))
94		vex 3476	. . . . 5 ⊢ 𝑏 ∈ V
95		vex 3476	. . . . 5 ⊢ 𝑐 ∈ V
96		fveq1 6889	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑥‘𝑧) = (𝑏‘𝑧))
97		fveq1 6889	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑐 → (𝑦‘𝑧) = (𝑐‘𝑧))
98	96, 97	breqan12d 5163	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = 𝑐) → ((𝑥‘𝑧) E (𝑦‘𝑧) ↔ (𝑏‘𝑧) E (𝑐‘𝑧)))
99		fveq1 6889	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑥‘𝑤) = (𝑏‘𝑤))
100		fveq1 6889	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑐 → (𝑦‘𝑤) = (𝑐‘𝑤))
101	99, 100	eqeqan12d 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = 𝑐) → ((𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤) ↔ (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤)))
102	101	imbi2d 339	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = 𝑐) → ((𝑤𝑅𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)) ↔ (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤))))
103	102	ralbidv 3175	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = 𝑐) → (∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤))))
104	98, 103	anbi12d 629	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = 𝑐) → (((𝑥‘𝑧) E (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))) ↔ ((𝑏‘𝑧) E (𝑐‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤)))))
105	104	rexbidv 3176	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = 𝑐) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥‘𝑧) E (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑏‘𝑧) E (𝑐‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤)))))
106		wepwso.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥‘𝑧) E (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}
107	94, 95, 105, 106	braba 5536	. . . 4 ⊢ (𝑏𝑈𝑐 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑏‘𝑧) E (𝑐‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤))))
108		fvex 6903	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝑏) ∈ V
109		fvex 6903	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝑐) ∈ V
110		eleq2 2820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑐) → (𝑧 ∈ 𝑦 ↔ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑐)))
111		eleq2 2820	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑏) → (𝑧 ∈ 𝑥 ↔ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏)))
112	111	notbid 317	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑏) → (¬ 𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏)))
113	110, 112	bi2anan9r 636	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = (𝐹‘𝑏) ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑐)) → ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ (𝑧 ∈ (𝐹‘𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏))))
114		eleq2 2820	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑏) → (𝑤 ∈ 𝑥 ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏)))
115		eleq2 2820	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑐) → (𝑤 ∈ 𝑦 ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐)))
116	114, 115	bi2bian9 637	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = (𝐹‘𝑏) ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑐)) → ((𝑤 ∈ 𝑥 ↔ 𝑤 ∈ 𝑦) ↔ (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐))))
117	116	imbi2d 339	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = (𝐹‘𝑏) ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑐)) → ((𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ 𝑥 ↔ 𝑤 ∈ 𝑦)) ↔ (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐)))))
118	117	ralbidv 3175	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = (𝐹‘𝑏) ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑐)) → (∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ 𝑥 ↔ 𝑤 ∈ 𝑦)) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐)))))
119	113, 118	anbi12d 629	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = (𝐹‘𝑏) ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑐)) → (((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑥) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ 𝑥 ↔ 𝑤 ∈ 𝑦))) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐹‘𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏)) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐))))))
120	119	rexbidv 3176	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = (𝐹‘𝑏) ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑐)) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑥) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ 𝑥 ↔ 𝑤 ∈ 𝑦))) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ∈ (𝐹‘𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏)) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐))))))
121		wepwso.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑥) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ 𝑥 ↔ 𝑤 ∈ 𝑦)))}
122	108, 109, 120, 121	braba 5536	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑏)𝑇(𝐹‘𝑐) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ∈ (𝐹‘𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏)) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐)))))
123	93, 107, 122	3bitr4g 313	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴))) → (𝑏𝑈𝑐 ↔ (𝐹‘𝑏)𝑇(𝐹‘𝑐)))
124	123	ralrimivva 3198	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → ∀𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴)∀𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴)(𝑏𝑈𝑐 ↔ (𝐹‘𝑏)𝑇(𝐹‘𝑐)))
125		df-isom 6551	. 2 ⊢ (𝐹 Isom 𝑈, 𝑇 ((2o ↑m 𝐴), 𝒫 𝐴) ↔ (𝐹:(2o ↑m 𝐴)–1-1-onto→𝒫 𝐴 ∧ ∀𝑏 ∈ (2o ↑m 𝐴)∀𝑐 ∈ (2o ↑m 𝐴)(𝑏𝑈𝑐 ↔ (𝐹‘𝑏)𝑇(𝐹‘𝑐))))
126	2, 124, 125	sylanbrc 581	1 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐹 Isom 𝑈, 𝑇 ((2o ↑m 𝐴), 𝒫 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∀wral 3059  ∃wrex 3068  Vcvv 3472  ∅c0 4321  𝒫 cpw 4601  {csn 4627  {cpr 4629   class class class wbr 5147  {copab 5209   ↦ cmpt 5230   E cep 5578  ^◡ccnv 5674   “ cima 5678  ⟶wf 6538  –1-1-onto→wf1o 6541  ‘cfv 6542   Isom wiso 6543  (class class class)co 7411  1_oc1o 8461  2_oc2o 8462   ↑_m cmap 8822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6366  df-on 6367  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-1o 8468  df-2o 8469  df-map 8824

This theorem is referenced by:  wepwso  42087