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Theorem pwxpndom2 9933
Description: The powerset of a Dedekind-infinite set does not inject into its Cartesian product with itself. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.) (Proof shortened by AV, 18-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
pwxpndom2 (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)))

Proof of Theorem pwxpndom2
Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwfseq 9932 . 2 (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 𝑛 ∈ ω (𝐴𝑚 𝑛))
2 reldom 8363 . . . . . . 7 Rel ≼
32brrelex2i 5495 . . . . . 6 (ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ V)
4 df1o2 7967 . . . . . . . 8 1o = {∅}
54oveq2i 7027 . . . . . . 7 (𝐴𝑚 1o) = (𝐴𝑚 {∅})
6 id 22 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ V)
7 0ex 5102 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ V
87a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ V → ∅ ∈ V)
96, 8mapsnend 8436 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V → (𝐴𝑚 {∅}) ≈ 𝐴)
105, 9eqbrtrid 4997 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → (𝐴𝑚 1o) ≈ 𝐴)
11 ensym 8406 . . . . . 6 ((𝐴𝑚 1o) ≈ 𝐴𝐴 ≈ (𝐴𝑚 1o))
123, 10, 113syl 18 . . . . 5 (ω ≼ 𝐴𝐴 ≈ (𝐴𝑚 1o))
13 map2xp 8534 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → (𝐴𝑚 2o) ≈ (𝐴 × 𝐴))
14 ensym 8406 . . . . . 6 ((𝐴𝑚 2o) ≈ (𝐴 × 𝐴) → (𝐴 × 𝐴) ≈ (𝐴𝑚 2o))
153, 13, 143syl 18 . . . . 5 (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 × 𝐴) ≈ (𝐴𝑚 2o))
16 elmapi 8278 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐴𝑚 1o) → 𝑥:1o𝐴)
1716fdmd 6391 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐴𝑚 1o) → dom 𝑥 = 1o)
1817adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (𝐴𝑚 1o) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝑚 2o)) → dom 𝑥 = 1o)
19 1oex 7961 . . . . . . . . . . . . 13 1o ∈ V
2019sucid 6145 . . . . . . . . . . . 12 1o ∈ suc 1o
21 df-2o 7954 . . . . . . . . . . . 12 2o = suc 1o
2220, 21eleqtrri 2882 . . . . . . . . . . 11 1o ∈ 2o
23 1on 7960 . . . . . . . . . . . 12 1o ∈ On
2423onirri 6172 . . . . . . . . . . 11 ¬ 1o ∈ 1o
25 nelneq2 2908 . . . . . . . . . . 11 ((1o ∈ 2o ∧ ¬ 1o ∈ 1o) → ¬ 2o = 1o)
2622, 24, 25mp2an 688 . . . . . . . . . 10 ¬ 2o = 1o
27 elmapi 8278 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝐴𝑚 2o) → 𝑥:2o𝐴)
2827fdmd 6391 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝐴𝑚 2o) → dom 𝑥 = 2o)
2928adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (𝐴𝑚 1o) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝑚 2o)) → dom 𝑥 = 2o)
3029eqeq1d 2797 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (𝐴𝑚 1o) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝑚 2o)) → (dom 𝑥 = 1o ↔ 2o = 1o))
3126, 30mtbiri 328 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (𝐴𝑚 1o) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝑚 2o)) → ¬ dom 𝑥 = 1o)
3218, 31pm2.65i 195 . . . . . . . 8 ¬ (𝑥 ∈ (𝐴𝑚 1o) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝑚 2o))
33 elin 4090 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ((𝐴𝑚 1o) ∩ (𝐴𝑚 2o)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴𝑚 1o) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝑚 2o)))
3432, 33mtbir 324 . . . . . . 7 ¬ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑚 1o) ∩ (𝐴𝑚 2o))
3534a1i 11 . . . . . 6 (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑚 1o) ∩ (𝐴𝑚 2o)))
3635eq0rdv 4277 . . . . 5 (ω ≼ 𝐴 → ((𝐴𝑚 1o) ∩ (𝐴𝑚 2o)) = ∅)
37 djuenun 9442 . . . . 5 ((𝐴 ≈ (𝐴𝑚 1o) ∧ (𝐴 × 𝐴) ≈ (𝐴𝑚 2o) ∧ ((𝐴𝑚 1o) ∩ (𝐴𝑚 2o)) = ∅) → (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)) ≈ ((𝐴𝑚 1o) ∪ (𝐴𝑚 2o)))
3812, 15, 36, 37syl3anc 1364 . . . 4 (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)) ≈ ((𝐴𝑚 1o) ∪ (𝐴𝑚 2o)))
39 omex 8952 . . . . . 6 ω ∈ V
40 ovex 7048 . . . . . 6 (𝐴𝑚 𝑛) ∈ V
4139, 40iunex 7525 . . . . 5 𝑛 ∈ ω (𝐴𝑚 𝑛) ∈ V
42 1onn 8115 . . . . . . 7 1o ∈ ω
43 oveq2 7024 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1o → (𝐴𝑚 𝑛) = (𝐴𝑚 1o))
4443ssiun2s 4871 . . . . . . 7 (1o ∈ ω → (𝐴𝑚 1o) ⊆ 𝑛 ∈ ω (𝐴𝑚 𝑛))
4542, 44ax-mp 5 . . . . . 6 (𝐴𝑚 1o) ⊆ 𝑛 ∈ ω (𝐴𝑚 𝑛)
46 2onn 8116 . . . . . . 7 2o ∈ ω
47 oveq2 7024 . . . . . . . 8 (𝑛 = 2o → (𝐴𝑚 𝑛) = (𝐴𝑚 2o))
4847ssiun2s 4871 . . . . . . 7 (2o ∈ ω → (𝐴𝑚 2o) ⊆ 𝑛 ∈ ω (𝐴𝑚 𝑛))
4946, 48ax-mp 5 . . . . . 6 (𝐴𝑚 2o) ⊆ 𝑛 ∈ ω (𝐴𝑚 𝑛)
5045, 49unssi 4082 . . . . 5 ((𝐴𝑚 1o) ∪ (𝐴𝑚 2o)) ⊆ 𝑛 ∈ ω (𝐴𝑚 𝑛)
51 ssdomg 8403 . . . . 5 ( 𝑛 ∈ ω (𝐴𝑚 𝑛) ∈ V → (((𝐴𝑚 1o) ∪ (𝐴𝑚 2o)) ⊆ 𝑛 ∈ ω (𝐴𝑚 𝑛) → ((𝐴𝑚 1o) ∪ (𝐴𝑚 2o)) ≼ 𝑛 ∈ ω (𝐴𝑚 𝑛)))
5241, 50, 51mp2 9 . . . 4 ((𝐴𝑚 1o) ∪ (𝐴𝑚 2o)) ≼ 𝑛 ∈ ω (𝐴𝑚 𝑛)
53 endomtr 8415 . . . 4 (((𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)) ≈ ((𝐴𝑚 1o) ∪ (𝐴𝑚 2o)) ∧ ((𝐴𝑚 1o) ∪ (𝐴𝑚 2o)) ≼ 𝑛 ∈ ω (𝐴𝑚 𝑛)) → (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)) ≼ 𝑛 ∈ ω (𝐴𝑚 𝑛))
5438, 52, 53sylancl 586 . . 3 (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)) ≼ 𝑛 ∈ ω (𝐴𝑚 𝑛))
55 domtr 8410 . . . 4 ((𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)) ∧ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)) ≼ 𝑛 ∈ ω (𝐴𝑚 𝑛)) → 𝒫 𝐴 𝑛 ∈ ω (𝐴𝑚 𝑛))
5655expcom 414 . . 3 ((𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)) ≼ 𝑛 ∈ ω (𝐴𝑚 𝑛) → (𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)) → 𝒫 𝐴 𝑛 ∈ ω (𝐴𝑚 𝑛)))
5754, 56syl 17 . 2 (ω ≼ 𝐴 → (𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)) → 𝒫 𝐴 𝑛 ∈ ω (𝐴𝑚 𝑛)))
581, 57mtod 199 1 (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081  Vcvv 3437  cun 3857  cin 3858  wss 3859  c0 4211  𝒫 cpw 4453  {csn 4472   ciun 4825   class class class wbr 4962   × cxp 5441  dom cdm 5443  suc csuc 6068  (class class class)co 7016  ωcom 7436  1oc1o 7946  2oc2o 7947  𝑚 cmap 8256  cen 8354  cdom 8355  cdju 9173
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-inf2 8950
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-supp 7682  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-seqom 7935  df-1o 7953  df-2o 7954  df-oadd 7957  df-omul 7958  df-oexp 7959  df-er 8139  df-map 8258  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-fsupp 8680  df-oi 8820  df-har 8868  df-cnf 8971  df-dju 9176  df-card 9214
This theorem is referenced by:  pwxpndom  9934  pwdjundom  9935
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