Theorem onnog 42484

Description: Every ordinal maps to a surreal number. (Contributed by RP, 21-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
onnog	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o}) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ No )

Proof of Theorem onnog

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconst6g 6781	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ {1o, 2o} → (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{1o, 2o})
2	1	adantl 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o}) → (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{1o, 2o})
3		simp3 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o} ∧ (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{1o, 2o}) → (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{1o, 2o})
4	3	ffund 6722	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o} ∧ (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{1o, 2o}) → Fun (𝐴 × {𝐵}))
5		simp2 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o} ∧ (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{1o, 2o}) → 𝐵 ∈ {1o, 2o})
6		snnzg 4779	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ {1o, 2o} → {𝐵} ≠ ∅)
7		dmxp 5929	. . . . . 6 ⊢ ({𝐵} ≠ ∅ → dom (𝐴 × {𝐵}) = 𝐴)
8	7	eqcomd 2736	. . . . 5 ⊢ ({𝐵} ≠ ∅ → 𝐴 = dom (𝐴 × {𝐵}))
9	5, 6, 8	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o} ∧ (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{1o, 2o}) → 𝐴 = dom (𝐴 × {𝐵}))
10		simp1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o} ∧ (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{1o, 2o}) → 𝐴 ∈ On)
11	9, 10	eqeltrrd 2832	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o} ∧ (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{1o, 2o}) → dom (𝐴 × {𝐵}) ∈ On)
12	3	frnd 6726	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o} ∧ (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{1o, 2o}) → ran (𝐴 × {𝐵}) ⊆ {1o, 2o})
13		elno2 27391	. . 3 ⊢ ((𝐴 × {𝐵}) ∈ No ↔ (Fun (𝐴 × {𝐵}) ∧ dom (𝐴 × {𝐵}) ∈ On ∧ ran (𝐴 × {𝐵}) ⊆ {1o, 2o}))
14	4, 11, 12, 13	syl3anbrc 1341	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o} ∧ (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{1o, 2o}) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ No )
15	2, 14	mpd3an3 1460	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ {1o, 2o}) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ No )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938   ⊆ wss 3949  ∅c0 4323  {csn 4629  {cpr 4631   × cxp 5675  dom cdm 5677  ran crn 5678  Oncon0 6365  Fun wfun 6538  ⟶wf 6540  1_oc1o 8463  2_oc2o 8464   No csur 27377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-no 27380

This theorem is referenced by:  onnobdayg  42485  bdaybndex  42486  onno  42488