Theorem olm11 39858

Description: The meet of an ortholattice element with one equals itself. (chm1i 31713 analog.) (Contributed by NM, 22-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
olm1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
olm1.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
olm1.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
olm11	⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 1 ) = 𝑋)

Proof of Theorem olm11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		olop 39845	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
2	1	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
3		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
4		olm1.u	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
5		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
6	3, 4, 5	opoc1 39833	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ((oc‘𝐾)‘ 1 ) = (0.‘𝐾))
7	2, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘ 1 ) = (0.‘𝐾))
8	7	oveq2d 7416	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)((oc‘𝐾)‘ 1 )) = (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)(0.‘𝐾)))
9		olm1.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
10	9, 5	opoccl 39825	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
11	1, 10	sylan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
12		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
13	9, 12, 3	olj01 39856	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)(0.‘𝐾)) = ((oc‘𝐾)‘𝑋))
14	11, 13	syldan 602	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)(0.‘𝐾)) = ((oc‘𝐾)‘𝑋))
15	8, 14	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)((oc‘𝐾)‘ 1 )) = ((oc‘𝐾)‘𝑋))
16	15	fveq2d 6875	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)((oc‘𝐾)‘ 1 ))) = ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋)))
17	9, 4	op1cl 39816	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ 𝐵)
18	2, 17	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 1 ∈ 𝐵)
19		olm1.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
20	9, 12, 19, 5	oldmj4 39855	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)((oc‘𝐾)‘ 1 ))) = (𝑋 ∧ 1 ))
21	18, 20	mpd3an3 1486	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)((oc‘𝐾)‘ 1 ))) = (𝑋 ∧ 1 ))
22	9, 5	opococ 39826	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
23	1, 22	sylan 591	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
24	16, 21, 23	3eqtr3d 2808	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 1 ) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17257  occoc 17306  joincjn 18355  meetcmee 18356  0.cp0 18465  1.cp1 18466  OPcops 39803  OLcol 39805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-proset 18338  df-poset 18357  df-lub 18388  df-glb 18389  df-join 18390  df-meet 18391  df-p0 18467  df-p1 18468  df-lat 18476  df-oposet 39807  df-ol 39809

This theorem is referenced by:  olm12  39859  lhpmcvr3  40656  trljat1  40797  trljat2  40798  cdlemc1  40822  cdlemc6  40827  cdleme0cp  40845  cdleme0cq  40846  cdleme1  40858  cdleme4  40869  cdleme5  40871  cdleme8  40881  cdleme9  40884  cdleme10  40885  cdleme20c  40942  cdleme20j  40949  cdleme22e  40975  cdleme22eALTN  40976  cdleme30a  41009  cdleme35b  41081  cdleme35e  41084  cdleme42a  41102  trlcoabs2N  41353  trlcolem  41357  cdlemi1  41449  cdlemk4  41465  dia2dimlem1  41695  cdlemn10  41837  dihglbcpreN  41931