Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  olm11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem olm11 37692
Description: The meet of an ortholattice element with one equals itself. (chm1i 30401 analog.) (Contributed by NM, 22-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
olm1.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
olm1.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
olm1.u 1 = (1.β€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
olm11 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ 1 ) = 𝑋)

Proof of Theorem olm11
StepHypRef Expression
1 olop 37679 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ OL β†’ 𝐾 ∈ OP)
21adantr 482 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ OP)
3 eqid 2737 . . . . . . 7 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
4 olm1.u . . . . . . 7 1 = (1.β€˜πΎ)
5 eqid 2737 . . . . . . 7 (ocβ€˜πΎ) = (ocβ€˜πΎ)
63, 4, 5opoc1 37667 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OP β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜ 1 ) = (0.β€˜πΎ))
72, 6syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜ 1 ) = (0.β€˜πΎ))
87oveq2d 7374 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜ 1 )) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)(0.β€˜πΎ)))
9 olm1.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
109, 5opoccl 37659 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
111, 10sylan 581 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
12 eqid 2737 . . . . . 6 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
139, 12, 3olj01 37690 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)(0.β€˜πΎ)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹))
1411, 13syldan 592 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)(0.β€˜πΎ)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹))
158, 14eqtrd 2777 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜ 1 )) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹))
1615fveq2d 6847 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜ 1 ))) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)))
179, 4op1cl 37650 . . . 4 (𝐾 ∈ OP β†’ 1 ∈ 𝐡)
182, 17syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 1 ∈ 𝐡)
19 olm1.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
209, 12, 19, 5oldmj4 37689 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 1 ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜ 1 ))) = (𝑋 ∧ 1 ))
2118, 20mpd3an3 1463 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜ 1 ))) = (𝑋 ∧ 1 ))
229, 5opococ 37660 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)) = 𝑋)
231, 22sylan 581 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)) = 𝑋)
2416, 21, 233eqtr3d 2785 1 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ 1 ) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17084  occoc 17142  joincjn 18201  meetcmee 18202  0.cp0 18313  1.cp1 18314  OPcops 37637  OLcol 37639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-proset 18185  df-poset 18203  df-lub 18236  df-glb 18237  df-join 18238  df-meet 18239  df-p0 18315  df-p1 18316  df-lat 18322  df-oposet 37641  df-ol 37643
This theorem is referenced by:  olm12  37693  lhpmcvr3  38491  trljat1  38632  trljat2  38633  cdlemc1  38657  cdlemc6  38662  cdleme0cp  38680  cdleme0cq  38681  cdleme1  38693  cdleme4  38704  cdleme5  38706  cdleme8  38716  cdleme9  38719  cdleme10  38720  cdleme20c  38777  cdleme20j  38784  cdleme22e  38810  cdleme22eALTN  38811  cdleme30a  38844  cdleme35b  38916  cdleme35e  38919  cdleme42a  38937  trlcoabs2N  39188  trlcolem  39192  cdlemi1  39284  cdlemk4  39300  dia2dimlem1  39530  cdlemn10  39672  dihglbcpreN  39766
  Copyright terms: Public domain W3C validator