Theorem olm11 37168

Description: The meet of an ortholattice element with one equals itself. (chm1i 29719 analog.) (Contributed by NM, 22-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
olm1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
olm1.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
olm1.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
olm11	⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 1 ) = 𝑋)

Proof of Theorem olm11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		olop 37155	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
2	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
3		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
4		olm1.u	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
5		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
6	3, 4, 5	opoc1 37143	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ((oc‘𝐾)‘ 1 ) = (0.‘𝐾))
7	2, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘ 1 ) = (0.‘𝐾))
8	7	oveq2d 7271	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)((oc‘𝐾)‘ 1 )) = (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)(0.‘𝐾)))
9		olm1.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
10	9, 5	opoccl 37135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
11	1, 10	sylan 579	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
12		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
13	9, 12, 3	olj01 37166	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)(0.‘𝐾)) = ((oc‘𝐾)‘𝑋))
14	11, 13	syldan 590	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)(0.‘𝐾)) = ((oc‘𝐾)‘𝑋))
15	8, 14	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)((oc‘𝐾)‘ 1 )) = ((oc‘𝐾)‘𝑋))
16	15	fveq2d 6760	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)((oc‘𝐾)‘ 1 ))) = ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋)))
17	9, 4	op1cl 37126	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ 𝐵)
18	2, 17	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 1 ∈ 𝐵)
19		olm1.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
20	9, 12, 19, 5	oldmj4 37165	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)((oc‘𝐾)‘ 1 ))) = (𝑋 ∧ 1 ))
21	18, 20	mpd3an3 1460	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)((oc‘𝐾)‘ 1 ))) = (𝑋 ∧ 1 ))
22	9, 5	opococ 37136	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
23	1, 22	sylan 579	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
24	16, 21, 23	3eqtr3d 2786	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 1 ) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  occoc 16896  joincjn 17944  meetcmee 17945  0.cp0 18056  1.cp1 18057  OPcops 37113  OLcol 37115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-proset 17928  df-poset 17946  df-lub 17979  df-glb 17980  df-join 17981  df-meet 17982  df-p0 18058  df-p1 18059  df-lat 18065  df-oposet 37117  df-ol 37119

This theorem is referenced by:  olm12  37169  lhpmcvr3  37966  trljat1  38107  trljat2  38108  cdlemc1  38132  cdlemc6  38137  cdleme0cp  38155  cdleme0cq  38156  cdleme1  38168  cdleme4  38179  cdleme5  38181  cdleme8  38191  cdleme9  38194  cdleme10  38195  cdleme20c  38252  cdleme20j  38259  cdleme22e  38285  cdleme22eALTN  38286  cdleme30a  38319  cdleme35b  38391  cdleme35e  38394  cdleme42a  38412  trlcoabs2N  38663  trlcolem  38667  cdlemi1  38759  cdlemk4  38775  dia2dimlem1  39005  cdlemn10  39147  dihglbcpreN  39241