Theorem olm11 39227

Description: The meet of an ortholattice element with one equals itself. (chm1i 31392 analog.) (Contributed by NM, 22-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
olm1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
olm1.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
olm1.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
olm11	⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 1 ) = 𝑋)

Proof of Theorem olm11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		olop 39214	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
2	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
3		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
4		olm1.u	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
5		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
6	3, 4, 5	opoc1 39202	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ((oc‘𝐾)‘ 1 ) = (0.‘𝐾))
7	2, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘ 1 ) = (0.‘𝐾))
8	7	oveq2d 7406	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)((oc‘𝐾)‘ 1 )) = (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)(0.‘𝐾)))
9		olm1.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
10	9, 5	opoccl 39194	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
11	1, 10	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
12		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
13	9, 12, 3	olj01 39225	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)(0.‘𝐾)) = ((oc‘𝐾)‘𝑋))
14	11, 13	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)(0.‘𝐾)) = ((oc‘𝐾)‘𝑋))
15	8, 14	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)((oc‘𝐾)‘ 1 )) = ((oc‘𝐾)‘𝑋))
16	15	fveq2d 6865	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)((oc‘𝐾)‘ 1 ))) = ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋)))
17	9, 4	op1cl 39185	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ 𝐵)
18	2, 17	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 1 ∈ 𝐵)
19		olm1.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
20	9, 12, 19, 5	oldmj4 39224	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)((oc‘𝐾)‘ 1 ))) = (𝑋 ∧ 1 ))
21	18, 20	mpd3an3 1464	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)((oc‘𝐾)‘ 1 ))) = (𝑋 ∧ 1 ))
22	9, 5	opococ 39195	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
23	1, 22	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
24	16, 21, 23	3eqtr3d 2773	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 1 ) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  occoc 17235  joincjn 18279  meetcmee 18280  0.cp0 18389  1.cp1 18390  OPcops 39172  OLcol 39174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-proset 18262  df-poset 18281  df-lub 18312  df-glb 18313  df-join 18314  df-meet 18315  df-p0 18391  df-p1 18392  df-lat 18398  df-oposet 39176  df-ol 39178

This theorem is referenced by:  olm12  39228  lhpmcvr3  40026  trljat1  40167  trljat2  40168  cdlemc1  40192  cdlemc6  40197  cdleme0cp  40215  cdleme0cq  40216  cdleme1  40228  cdleme4  40239  cdleme5  40241  cdleme8  40251  cdleme9  40254  cdleme10  40255  cdleme20c  40312  cdleme20j  40319  cdleme22e  40345  cdleme22eALTN  40346  cdleme30a  40379  cdleme35b  40451  cdleme35e  40454  cdleme42a  40472  trlcoabs2N  40723  trlcolem  40727  cdlemi1  40819  cdlemk4  40835  dia2dimlem1  41065  cdlemn10  41207  dihglbcpreN  41301