Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  olm11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem olm11 39863
Description: The meet of an ortholattice element with one equals itself. (chm1i 31717 analog.) (Contributed by NM, 22-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
olm1.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
olm1.m = (meet‘𝐾)
olm1.u 1 = (1.‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
olm11 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 1 ) = 𝑋)

Proof of Theorem olm11
StepHypRef Expression
1 olop 39850 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
21adantr 485 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
3 eqid 2765 . . . . . . 7 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
4 olm1.u . . . . . . 7 1 = (1.‘𝐾)
5 eqid 2765 . . . . . . 7 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
63, 4, 5opoc1 39838 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OP → ((oc‘𝐾)‘ 1 ) = (0.‘𝐾))
72, 6syl 18 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → ((oc‘𝐾)‘ 1 ) = (0.‘𝐾))
87oveq2d 7416 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)((oc‘𝐾)‘ 1 )) = (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)(0.‘𝐾)))
9 olm1.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
109, 5opoccl 39830 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
111, 10sylan 591 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
12 eqid 2765 . . . . . 6 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
139, 12, 3olj01 39861 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)(0.‘𝐾)) = ((oc‘𝐾)‘𝑋))
1411, 13syldan 602 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)(0.‘𝐾)) = ((oc‘𝐾)‘𝑋))
158, 14eqtrd 2800 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)((oc‘𝐾)‘ 1 )) = ((oc‘𝐾)‘𝑋))
1615fveq2d 6875 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)((oc‘𝐾)‘ 1 ))) = ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋)))
179, 4op1cl 39821 . . . 4 (𝐾 ∈ OP → 1𝐵)
182, 17syl 18 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → 1𝐵)
19 olm1.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
209, 12, 19, 5oldmj4 39860 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵1𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)((oc‘𝐾)‘ 1 ))) = (𝑋 1 ))
2118, 20mpd3an3 1486 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)((oc‘𝐾)‘ 1 ))) = (𝑋 1 ))
229, 5opococ 39831 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
231, 22sylan 591 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
2416, 21, 233eqtr3d 2808 1 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 1 ) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 400   = wceq 1563  wcel 2145  cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17259  occoc 17308  joincjn 18357  meetcmee 18358  0.cp0 18467  1.cp1 18468  OPcops 39808  OLcol 39810
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-proset 18340  df-poset 18359  df-lub 18390  df-glb 18391  df-join 18392  df-meet 18393  df-p0 18469  df-p1 18470  df-lat 18478  df-oposet 39812  df-ol 39814
This theorem is referenced by:  olm12  39864  lhpmcvr3  40661  trljat1  40802  trljat2  40803  cdlemc1  40827  cdlemc6  40832  cdleme0cp  40850  cdleme0cq  40851  cdleme1  40863  cdleme4  40874  cdleme5  40876  cdleme8  40886  cdleme9  40889  cdleme10  40890  cdleme20c  40947  cdleme20j  40954  cdleme22e  40980  cdleme22eALTN  40981  cdleme30a  41014  cdleme35b  41086  cdleme35e  41089  cdleme42a  41107  trlcoabs2N  41358  trlcolem  41362  cdlemi1  41454  cdlemk4  41470  dia2dimlem1  41700  cdlemn10  41842  dihglbcpreN  41936
  Copyright terms: Public domain W3C validator