Theorem olm11 39982

Description: The meet of an ortholattice element with one equals itself. (chm1i 31789 analog.) (Contributed by NM, 22-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
olm1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
olm1.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
olm1.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
olm11	⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 1 ) = 𝑋)

Proof of Theorem olm11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		olop 39969	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
2	1	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
3		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
4		olm1.u	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
5		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
6	3, 4, 5	opoc1 39957	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ((oc‘𝐾)‘ 1 ) = (0.‘𝐾))
7	2, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘ 1 ) = (0.‘𝐾))
8	7	oveq2d 7428	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)((oc‘𝐾)‘ 1 )) = (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)(0.‘𝐾)))
9		olm1.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
10	9, 5	opoccl 39949	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
11	1, 10	sylan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
12		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
13	9, 12, 3	olj01 39980	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)(0.‘𝐾)) = ((oc‘𝐾)‘𝑋))
14	11, 13	syldan 602	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)(0.‘𝐾)) = ((oc‘𝐾)‘𝑋))
15	8, 14	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)((oc‘𝐾)‘ 1 )) = ((oc‘𝐾)‘𝑋))
16	15	fveq2d 6887	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)((oc‘𝐾)‘ 1 ))) = ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋)))
17	9, 4	op1cl 39940	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ 𝐵)
18	2, 17	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 1 ∈ 𝐵)
19		olm1.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
20	9, 12, 19, 5	oldmj4 39979	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)((oc‘𝐾)‘ 1 ))) = (𝑋 ∧ 1 ))
21	18, 20	mpd3an3 1491	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)((oc‘𝐾)‘ 1 ))) = (𝑋 ∧ 1 ))
22	9, 5	opococ 39950	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
23	1, 22	sylan 591	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
24	16, 21, 23	3eqtr3d 2806	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 1 ) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270  occoc 17319  joincjn 18368  meetcmee 18369  0.cp0 18478  1.cp1 18479  OPcops 39927  OLcol 39929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-proset 18351  df-poset 18370  df-lub 18401  df-glb 18402  df-join 18403  df-meet 18404  df-p0 18480  df-p1 18481  df-lat 18489  df-oposet 39931  df-ol 39933

This theorem is referenced by:  olm12  39983  lhpmcvr3  40780  trljat1  40921  trljat2  40922  cdlemc1  40946  cdlemc6  40951  cdleme0cp  40969  cdleme0cq  40970  cdleme1  40982  cdleme4  40993  cdleme5  40995  cdleme8  41005  cdleme9  41008  cdleme10  41009  cdleme20c  41066  cdleme20j  41073  cdleme22e  41099  cdleme22eALTN  41100  cdleme30a  41133  cdleme35b  41205  cdleme35e  41208  cdleme42a  41226  trlcoabs2N  41477  trlcolem  41481  cdlemi1  41573  cdlemk4  41589  dia2dimlem1  41819  cdlemn10  41961  dihglbcpreN  42055