Theorem oldmm2 39204

Description: De Morgan's law for meet in an ortholattice. (chdmm2 31505 analog.) (Contributed by NM, 6-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
oldmm1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
oldmm1.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
oldmm1.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
oldmm1.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
oldmm2	⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∧ 𝑌)) = (𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))

Proof of Theorem oldmm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		olop 39200	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
2		oldmm1.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		oldmm1.o	. . . . . 6 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
4	2, 3	opoccl 39180	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)
5	1, 4	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)
6	5	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)
7		oldmm1.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
8		oldmm1.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
9	2, 7, 8, 3	oldmm1 39203	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∧ 𝑌)) = (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))
10	6, 9	syld3an2 1413	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∧ 𝑌)) = (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))
11	2, 3	opococ 39181	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)
12	1, 11	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)
13	12	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)
14	13	oveq1d 7384	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) = (𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))
15	10, 14	eqtrd 2764	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∧ 𝑌)) = (𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  occoc 17204  joincjn 18252  meetcmee 18253  OPcops 39158  OLcol 39160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-proset 18235  df-poset 18254  df-lub 18285  df-glb 18286  df-join 18287  df-meet 18288  df-lat 18373  df-oposet 39162  df-ol 39164

This theorem is referenced by:  oldmm4  39206  omllaw4  39232  omlfh3N  39245  doca2N  41113  djajN  41124