Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oldmm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oldmm2 38578
Description: De Morgan's law for meet in an ortholattice. (chdmm2 31248 analog.) (Contributed by NM, 6-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
oldmm1.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
oldmm1.j = (join‘𝐾)
oldmm1.m = (meet‘𝐾)
oldmm1.o = (oc‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
oldmm2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(( 𝑋) 𝑌)) = (𝑋 ( 𝑌)))

Proof of Theorem oldmm2
StepHypRef Expression
1 olop 38574 . . . . 5 (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
2 oldmm1.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 oldmm1.o . . . . . 6 = (oc‘𝐾)
42, 3opoccl 38554 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ( 𝑋) ∈ 𝐵)
51, 4sylan 579 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → ( 𝑋) ∈ 𝐵)
653adant3 1129 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( 𝑋) ∈ 𝐵)
7 oldmm1.j . . . 4 = (join‘𝐾)
8 oldmm1.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
92, 7, 8, 3oldmm1 38577 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋) ∈ 𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(( 𝑋) 𝑌)) = (( ‘( 𝑋)) ( 𝑌)))
106, 9syld3an2 1408 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(( 𝑋) 𝑌)) = (( ‘( 𝑋)) ( 𝑌)))
112, 3opococ 38555 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)
121, 11sylan 579 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)
13123adant3 1129 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)
1413oveq1d 7416 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (( ‘( 𝑋)) ( 𝑌)) = (𝑋 ( 𝑌)))
1510, 14eqtrd 2764 1 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(( 𝑋) 𝑌)) = (𝑋 ( 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17143  occoc 17204  joincjn 18266  meetcmee 18267  OPcops 38532  OLcol 38534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-proset 18250  df-poset 18268  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-lat 18387  df-oposet 38536  df-ol 38538
This theorem is referenced by:  oldmm4  38580  omllaw4  38606  omlfh3N  38619  doca2N  40487  djajN  40498
  Copyright terms: Public domain W3C validator