Theorem oldmm2 39217

Description: De Morgan's law for meet in an ortholattice. (chdmm2 31474 analog.) (Contributed by NM, 6-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
oldmm1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
oldmm1.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
oldmm1.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
oldmm1.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
oldmm2	⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∧ 𝑌)) = (𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))

Proof of Theorem oldmm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		olop 39213	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
2		oldmm1.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		oldmm1.o	. . . . . 6 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
4	2, 3	opoccl 39193	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)
5	1, 4	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)
6	5	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)
7		oldmm1.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
8		oldmm1.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
9	2, 7, 8, 3	oldmm1 39216	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∧ 𝑌)) = (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))
10	6, 9	syld3an2 1413	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∧ 𝑌)) = (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))
11	2, 3	opococ 39194	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)
12	1, 11	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)
13	12	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)
14	13	oveq1d 7364	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) = (𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))
15	10, 14	eqtrd 2764	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∧ 𝑌)) = (𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Basecbs 17120  occoc 17169  joincjn 18217  meetcmee 18218  OPcops 39171  OLcol 39173

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-proset 18200  df-poset 18219  df-lub 18250  df-glb 18251  df-join 18252  df-meet 18253  df-lat 18338  df-oposet 39175  df-ol 39177

This theorem is referenced by:  oldmm4  39219  omllaw4  39245  omlfh3N  39258  doca2N  41125  djajN  41136