Theorem oldmj4 35300

Description: De Morgan's law for join in an ortholattice. (chdmj4 28947 analog.) (Contributed by NM, 7-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
oldmm1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
oldmm1.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
oldmm1.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
oldmm1.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
oldmj4	⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌))) = (𝑋 ∧ 𝑌))

Proof of Theorem oldmj4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		olop 35290	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
2		oldmm1.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		oldmm1.o	. . . . . 6 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
4	2, 3	opoccl 35270	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
5	1, 4	sylan 577	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
6	5	3adant2 1167	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
7		oldmm1.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
8		oldmm1.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
9	2, 7, 8, 3	oldmj2 35298	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌))) = (𝑋 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))))
10	6, 9	syld3an3 1534	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌))) = (𝑋 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))))
11	2, 3	opococ 35271	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) = 𝑌)
12	1, 11	sylan 577	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) = 𝑌)
13	12	3adant2 1167	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) = 𝑌)
14	13	oveq2d 6922	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))) = (𝑋 ∧ 𝑌))
15	10, 14	eqtrd 2862	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌))) = (𝑋 ∧ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906  Basecbs 16223  occoc 16314  joincjn 17298  meetcmee 17299  OPcops 35248  OLcol 35250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-id 5251  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-proset 17282  df-poset 17300  df-lub 17328  df-glb 17329  df-join 17330  df-meet 17331  df-lat 17400  df-oposet 35252  df-ol 35254

This theorem is referenced by:  olm11  35303  latmassOLD  35305  cmtcomlemN  35324  omlfh3N  35335