HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ococ Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ococ 30351
Description: Complement of complement of a closed subspace of Hilbert space. Theorem 3.7(ii) of [Beran] p. 102. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ococ (𝐴C → (⊥‘(⊥‘𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem ococ
StepHypRef Expression
1 2fveq3 6848 . . 3 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, ℋ) → (⊥‘(⊥‘𝐴)) = (⊥‘(⊥‘if(𝐴C , 𝐴, ℋ))))
2 id 22 . . 3 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, ℋ) → 𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, ℋ))
31, 2eqeq12d 2753 . 2 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, ℋ) → ((⊥‘(⊥‘𝐴)) = 𝐴 ↔ (⊥‘(⊥‘if(𝐴C , 𝐴, ℋ))) = if(𝐴C , 𝐴, ℋ)))
4 ifchhv 30189 . . 3 if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∈ C
54ococi 30350 . 2 (⊥‘(⊥‘if(𝐴C , 𝐴, ℋ))) = if(𝐴C , 𝐴, ℋ)
63, 5dedth 4545 1 (𝐴C → (⊥‘(⊥‘𝐴)) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  ifcif 4487  cfv 6497  chba 29864   C cch 29874  cort 29875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9578  ax-cc 10372  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130  ax-addf 11131  ax-mulf 11132  ax-hilex 29944  ax-hfvadd 29945  ax-hvcom 29946  ax-hvass 29947  ax-hv0cl 29948  ax-hvaddid 29949  ax-hfvmul 29950  ax-hvmulid 29951  ax-hvmulass 29952  ax-hvdistr1 29953  ax-hvdistr2 29954  ax-hvmul0 29955  ax-hfi 30024  ax-his1 30027  ax-his2 30028  ax-his3 30029  ax-his4 30030  ax-hcompl 30147
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-oadd 8417  df-omul 8418  df-er 8649  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fi 9348  df-sup 9379  df-inf 9380  df-oi 9447  df-card 9876  df-acn 9879  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-q 12875  df-rp 12917  df-xneg 13034  df-xadd 13035  df-xmul 13036  df-ico 13271  df-icc 13272  df-fz 13426  df-fl 13698  df-seq 13908  df-exp 13969  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-clim 15371  df-rlim 15372  df-rest 17305  df-topgen 17326  df-psmet 20791  df-xmet 20792  df-met 20793  df-bl 20794  df-mopn 20795  df-fbas 20796  df-fg 20797  df-top 22246  df-topon 22263  df-bases 22299  df-cld 22373  df-ntr 22374  df-cls 22375  df-nei 22452  df-lm 22583  df-haus 22669  df-fil 23200  df-fm 23292  df-flim 23293  df-flf 23294  df-cfil 24622  df-cau 24623  df-cmet 24624  df-grpo 29438  df-gid 29439  df-ginv 29440  df-gdiv 29441  df-ablo 29490  df-vc 29504  df-nv 29537  df-va 29540  df-ba 29541  df-sm 29542  df-0v 29543  df-vs 29544  df-nmcv 29545  df-ims 29546  df-ssp 29667  df-ph 29758  df-cbn 29808  df-hnorm 29913  df-hba 29914  df-hvsub 29916  df-hlim 29917  df-hcau 29918  df-sh 30152  df-ch 30166  df-oc 30197  df-ch0 30198
This theorem is referenced by:  dfch2  30352  ococin  30353  shlub  30359  pjhtheu2  30361  shjshseli  30438  chsscon1  30446  chpsscon1  30449  chpsscon2  30450  chdmm2  30471  chdmm3  30472  chdmm4  30473  chdmj1  30474  chdmj2  30475  chdmj3  30476  chdmj4  30477  fh2  30564  hstle  31175  hstoh  31177  mddmd  31246
  Copyright terms: Public domain W3C validator