Theorem ococ 31736

Description: Complement of complement of a closed subspace of Hilbert space. Theorem 3.7(ii) of [Beran] p. 102. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ococ	⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (⊥‘(⊥‘𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem ococ

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2fveq3 6888	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) → (⊥‘(⊥‘𝐴)) = (⊥‘(⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ))))
2		id 23	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) → 𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ))
3	1, 2	eqeq12d 2779	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) → ((⊥‘(⊥‘𝐴)) = 𝐴 ↔ (⊥‘(⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ))) = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ)))
4		ifchhv 31574	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∈ Cℋ
5	4	ococi 31735	. 2 ⊢ (⊥‘(⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ))) = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ)
6	3, 5	dedth 4547	1 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (⊥‘(⊥‘𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ifcif 4488  ‘cfv 6538   ℋchba 31249   C_ℋ cch 31259  ⊥cort 31260

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cc 10420  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179  ax-addf 11180  ax-mulf 11181  ax-hilex 31329  ax-hfvadd 31330  ax-hvcom 31331  ax-hvass 31332  ax-hv0cl 31333  ax-hvaddid 31334  ax-hfvmul 31335  ax-hvmulid 31336  ax-hvmulass 31337  ax-hvdistr1 31338  ax-hvdistr2 31339  ax-hvmul0 31340  ax-hfi 31409  ax-his1 31412  ax-his2 31413  ax-his3 31414  ax-his4 31415  ax-hcompl 31532

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-omul 8459  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fi 9372  df-sup 9403  df-inf 9404  df-oi 9473  df-card 9926  df-acn 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-ico 13379  df-icc 13380  df-fz 13537  df-fl 13827  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-clim 15541  df-rlim 15542  df-rest 17476  df-topgen 17497  df-psmet 21495  df-xmet 21496  df-met 21497  df-bl 21498  df-mopn 21499  df-fbas 21500  df-fg 21501  df-top 23032  df-topon 23049  df-bases 23084  df-cld 23157  df-ntr 23158  df-cls 23159  df-nei 23236  df-lm 23367  df-haus 23453  df-fil 23984  df-fm 24076  df-flim 24077  df-flf 24078  df-cfil 25395  df-cau 25396  df-cmet 25397  df-grpo 30823  df-gid 30824  df-ginv 30825  df-gdiv 30826  df-ablo 30875  df-vc 30889  df-nv 30922  df-va 30925  df-ba 30926  df-sm 30927  df-0v 30928  df-vs 30929  df-nmcv 30930  df-ims 30931  df-ssp 31052  df-ph 31143  df-cbn 31193  df-hnorm 31298  df-hba 31299  df-hvsub 31301  df-hlim 31302  df-hcau 31303  df-sh 31537  df-ch 31551  df-oc 31582  df-ch0 31583

This theorem is referenced by:  dfch2  31737  ococin  31738  shlub  31744  pjhtheu2  31746  shjshseli  31823  chsscon1  31831  chpsscon1  31834  chpsscon2  31835  chdmm2  31856  chdmm3  31857  chdmm4  31858  chdmj1  31859  chdmj2  31860  chdmj3  31861  chdmj4  31862  fh2  31949  hstle  32560  hstoh  32562  mddmd  32631