Theorem dochocss 39380

Description: Double negative law for orthocomplement of an arbitrary set of vectors. (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochss.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochss.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochss.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dochocss	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))

Proof of Theorem dochocss

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssintub 4897	. 2 ⊢ 𝑋 ⊆ ∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}
2		dochss.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
4		dochss.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		dochss.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
6		dochss.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
7	2, 3, 4, 5, 6	dochcl 39367	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
8		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
9	8, 2, 3, 6	dochvalr 39371	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( ⊥ ‘𝑋)))))
10	7, 9	syldan 591	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( ⊥ ‘𝑋)))))
11	8, 2, 3, 4, 5, 6	dochval2 39366	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}))))
12	11	fveq2d 6778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( ⊥ ‘𝑋)) = (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))))
13		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
14		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
15	13, 2, 3, 4, 14	dihf11 39281	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1→(LSubSp‘𝑈))
16	15	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1→(LSubSp‘𝑈))
17		f1f1orn 6727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1→(LSubSp‘𝑈) → ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1-onto→ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1-onto→ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
19		hlop 37376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
20	19	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → 𝐾 ∈ OP)
21		simpl 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
22		ssrab2 4013	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ⊆ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ⊆ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
24		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
25	24, 2, 3, 4, 5	dih1 39300	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(1.‘𝐾)) = 𝑉)
26	25	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(1.‘𝐾)) = 𝑉)
27		f1fn 6671	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1→(LSubSp‘𝑈) → ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) Fn (Base‘𝐾))
28	16, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) Fn (Base‘𝐾))
29	13, 24	op1cl 37199	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
30	20, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
31		fnfvelrn 6958	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) Fn (Base‘𝐾) ∧ (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(1.‘𝐾)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
32	28, 30, 31	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(1.‘𝐾)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
33	26, 32	eqeltrrd 2840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → 𝑉 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
34		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → 𝑋 ⊆ 𝑉)
35		sseq2 3947	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑉 → (𝑋 ⊆ 𝑧 ↔ 𝑋 ⊆ 𝑉))
36	35	elrab 3624	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑉 ∈ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ↔ (𝑉 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉))
37	33, 34, 36	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → 𝑉 ∈ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})
38	37	ne0d 4269	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ≠ ∅)
39	2, 3	dihintcl 39358	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ({𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ⊆ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∧ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ≠ ∅)) → ∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
40	21, 23, 38, 39	syl12anc 834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
41		f1ocnvdm 7157	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1-onto→ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∧ ∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}) ∈ (Base‘𝐾))
42	18, 40, 41	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}) ∈ (Base‘𝐾))
43	13, 8	opoccl 37208	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})) ∈ (Base‘𝐾))
44	20, 42, 43	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})) ∈ (Base‘𝐾))
45		f1ocnvfv1 7148	. . . . . . . 8 ⊢ ((((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1-onto→ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∧ ((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})) ∈ (Base‘𝐾)) → (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))) = ((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))
46	18, 44, 45	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))) = ((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))
47	12, 46	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( ⊥ ‘𝑋)) = ((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))
48	47	fveq2d 6778	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( ⊥ ‘𝑋))) = ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}))))
49	13, 8	opococ 37209	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}))) = (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}))
50	20, 42, 49	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}))) = (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}))
51	48, 50	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( ⊥ ‘𝑋))) = (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}))
52	51	fveq2d 6778	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( ⊥ ‘𝑋)))) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))
53		f1ocnvfv2 7149	. . . 4 ⊢ ((((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1-onto→ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∧ ∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})) = ∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})
54	18, 40, 53	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})) = ∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})
55	10, 52, 54	3eqtrrd 2783	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
56	1, 55	sseqtrid 3973	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  {crab 3068   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  ∩ cint 4879  ^◡ccnv 5588  ran crn 5590   Fn wfn 6428  –1-1→wf1 6430  –1-1-onto→wf1o 6432  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  occoc 16970  1.cp1 18142  LSubSpclss 20193  OPcops 37186  HLchlt 37364  LHypclh 37998  DVecHcdvh 39092  DIsoHcdih 39242  ocHcoch 39361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-riotaBAD 36967

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-undef 8089  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-0g 17152  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-p0 18143  df-p1 18144  df-lat 18150  df-clat 18217  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-cntz 18923  df-lsm 19241  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-dvr 19925  df-drng 19993  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-lvec 20365  df-lsatoms 36990  df-oposet 37190  df-ol 37192  df-oml 37193  df-covers 37280  df-ats 37281  df-atl 37312  df-cvlat 37336  df-hlat 37365  df-llines 37512  df-lplanes 37513  df-lvols 37514  df-lines 37515  df-psubsp 37517  df-pmap 37518  df-padd 37810  df-lhyp 38002  df-laut 38003  df-ldil 38118  df-ltrn 38119  df-trl 38173  df-tendo 38769  df-edring 38771  df-disoa 39043  df-dvech 39093  df-dib 39153  df-dic 39187  df-dih 39243  df-doch 39362

This theorem is referenced by:  dochsscl  39382  dochsat  39397  dochshpncl  39398  dochlkr  39399  dochdmj1  39404  dochnoncon  39405