Theorem dochocss 41812

Description: Double negative law for orthocomplement of an arbitrary set of vectors. (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochss.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochss.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochss.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dochocss	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))

Proof of Theorem dochocss

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssintub 4908	. 2 ⊢ 𝑋 ⊆ ∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}
2		dochss.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
4		dochss.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		dochss.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
6		dochss.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
7	2, 3, 4, 5, 6	dochcl 41799	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
8		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
9	8, 2, 3, 6	dochvalr 41803	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( ⊥ ‘𝑋)))))
10	7, 9	syldan 592	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( ⊥ ‘𝑋)))))
11	8, 2, 3, 4, 5, 6	dochval2 41798	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}))))
12	11	fveq2d 6844	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( ⊥ ‘𝑋)) = (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))))
13		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
14		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
15	13, 2, 3, 4, 14	dihf11 41713	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1→(LSubSp‘𝑈))
16	15	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1→(LSubSp‘𝑈))
17		f1f1orn 6791	. . . . . . . . 9 ⊢ (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1→(LSubSp‘𝑈) → ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1-onto→ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1-onto→ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
19		hlop 39808	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
20	19	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → 𝐾 ∈ OP)
21		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
22		ssrab2 4020	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ⊆ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ⊆ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
24		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
25	24, 2, 3, 4, 5	dih1 41732	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(1.‘𝐾)) = 𝑉)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(1.‘𝐾)) = 𝑉)
27		f1fn 6737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1→(LSubSp‘𝑈) → ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) Fn (Base‘𝐾))
28	16, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) Fn (Base‘𝐾))
29	13, 24	op1cl 39631	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
30	20, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
31		fnfvelrn 7032	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) Fn (Base‘𝐾) ∧ (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(1.‘𝐾)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
32	28, 30, 31	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(1.‘𝐾)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
33	26, 32	eqeltrrd 2837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → 𝑉 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
34		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → 𝑋 ⊆ 𝑉)
35		sseq2 3948	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑉 → (𝑋 ⊆ 𝑧 ↔ 𝑋 ⊆ 𝑉))
36	35	elrab 3634	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑉 ∈ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ↔ (𝑉 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉))
37	33, 34, 36	sylanbrc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → 𝑉 ∈ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})
38	37	ne0d 4282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ≠ ∅)
39	2, 3	dihintcl 41790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ({𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ⊆ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∧ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ≠ ∅)) → ∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
40	21, 23, 38, 39	syl12anc 837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
41		f1ocnvdm 7240	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1-onto→ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∧ ∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}) ∈ (Base‘𝐾))
42	18, 40, 41	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}) ∈ (Base‘𝐾))
43	13, 8	opoccl 39640	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})) ∈ (Base‘𝐾))
44	20, 42, 43	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})) ∈ (Base‘𝐾))
45		f1ocnvfv1 7231	. . . . . . . 8 ⊢ ((((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1-onto→ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∧ ((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})) ∈ (Base‘𝐾)) → (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))) = ((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))
46	18, 44, 45	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))) = ((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))
47	12, 46	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( ⊥ ‘𝑋)) = ((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))
48	47	fveq2d 6844	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( ⊥ ‘𝑋))) = ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}))))
49	13, 8	opococ 39641	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}))) = (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}))
50	20, 42, 49	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}))) = (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}))
51	48, 50	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( ⊥ ‘𝑋))) = (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}))
52	51	fveq2d 6844	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( ⊥ ‘𝑋)))) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))
53		f1ocnvfv2 7232	. . . 4 ⊢ ((((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1-onto→ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∧ ∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})) = ∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})
54	18, 40, 53	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})) = ∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})
55	10, 52, 54	3eqtrrd 2776	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
56	1, 55	sseqtrid 3964	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  {crab 3389   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273  ∩ cint 4889  ^◡ccnv 5630  ran crn 5632   Fn wfn 6493  –1-1→wf1 6495  –1-1-onto→wf1o 6497  ‘cfv 6498  Basecbs 17179  occoc 17228  1.cp1 18388  LSubSpclss 20926  OPcops 39618  HLchlt 39796  LHypclh 40430  DVecHcdvh 41524  DIsoHcdih 41674  ocHcoch 41793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-riotaBAD 39399

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-tpos 8176  df-undef 8223  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-0g 17404  df-proset 18260  df-poset 18279  df-plt 18294  df-lub 18310  df-glb 18311  df-join 18312  df-meet 18313  df-p0 18389  df-p1 18390  df-lat 18398  df-clat 18465  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-subg 19099  df-cntz 19292  df-lsm 19611  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-unit 20338  df-invr 20368  df-dvr 20381  df-drng 20708  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-lsp 20967  df-lvec 21098  df-lsatoms 39422  df-oposet 39622  df-ol 39624  df-oml 39625  df-covers 39712  df-ats 39713  df-atl 39744  df-cvlat 39768  df-hlat 39797  df-llines 39944  df-lplanes 39945  df-lvols 39946  df-lines 39947  df-psubsp 39949  df-pmap 39950  df-padd 40242  df-lhyp 40434  df-laut 40435  df-ldil 40550  df-ltrn 40551  df-trl 40605  df-tendo 41201  df-edring 41203  df-disoa 41475  df-dvech 41525  df-dib 41585  df-dic 41619  df-dih 41675  df-doch 41794

This theorem is referenced by:  dochsscl  41814  dochsat  41829  dochshpncl  41830  dochlkr  41831  dochdmj1  41836  dochnoncon  41837