Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochocss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dochocss 37976
Description: Double negative law for orthocomplement of an arbitrary set of vectors. (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dochss.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochss.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochss.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochss.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
dochocss (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋 ⊆ ( ‘( 𝑋)))

Proof of Theorem dochocss
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssintub 4763 . 2 𝑋 {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧}
2 dochss.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 eqid 2772 . . . . 5 ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
4 dochss.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5 dochss.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
6 dochss.o . . . . 5 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
72, 3, 4, 5, 6dochcl 37963 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → ( 𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
8 eqid 2772 . . . . 5 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
98, 2, 3, 6dochvalr 37967 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ‘( 𝑋)) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( 𝑋)))))
107, 9syldan 582 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → ( ‘( 𝑋)) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( 𝑋)))))
118, 2, 3, 4, 5, 6dochval2 37962 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → ( 𝑋) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧}))))
1211fveq2d 6500 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( 𝑋)) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})))))
13 eqid 2772 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
14 eqid 2772 . . . . . . . . . . 11 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
1513, 2, 3, 4, 14dihf11 37877 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1→(LSubSp‘𝑈))
1615adantr 473 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1→(LSubSp‘𝑈))
17 f1f1orn 6452 . . . . . . . . 9 (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1→(LSubSp‘𝑈) → ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1-onto→ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1-onto→ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
19 hlop 35972 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
2019ad2antrr 713 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → 𝐾 ∈ OP)
21 simpl 475 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
22 ssrab2 3940 . . . . . . . . . . . 12 {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧} ⊆ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
2322a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧} ⊆ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
24 eqid 2772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
2524, 2, 3, 4, 5dih1 37896 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(1.‘𝐾)) = 𝑉)
2625adantr 473 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(1.‘𝐾)) = 𝑉)
27 f1fn 6402 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1→(LSubSp‘𝑈) → ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) Fn (Base‘𝐾))
2816, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) Fn (Base‘𝐾))
2913, 24op1cl 35795 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ OP → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
3020, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
31 fnfvelrn 6671 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) Fn (Base‘𝐾) ∧ (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(1.‘𝐾)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
3228, 30, 31syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(1.‘𝐾)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
3326, 32eqeltrrd 2861 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑉 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
34 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋𝑉)
35 sseq2 3877 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑉 → (𝑋𝑧𝑋𝑉))
3635elrab 3589 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑉 ∈ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧} ↔ (𝑉 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑋𝑉))
3733, 34, 36sylanbrc 575 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑉 ∈ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})
3837ne0d 4181 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧} ≠ ∅)
392, 3dihintcl 37954 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ({𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧} ⊆ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∧ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧} ≠ ∅)) → {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧} ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
4021, 23, 38, 39syl12anc 824 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧} ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
41 f1ocnvdm 6864 . . . . . . . . . 10 ((((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1-onto→ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∧ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧} ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧}) ∈ (Base‘𝐾))
4218, 40, 41syl2anc 576 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧}) ∈ (Base‘𝐾))
4313, 8opoccl 35804 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OP ∧ (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧}) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})) ∈ (Base‘𝐾))
4420, 42, 43syl2anc 576 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → ((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})) ∈ (Base‘𝐾))
45 f1ocnvfv1 6856 . . . . . . . 8 ((((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1-onto→ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∧ ((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})) ∈ (Base‘𝐾)) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})))) = ((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})))
4618, 44, 45syl2anc 576 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})))) = ((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})))
4712, 46eqtrd 2808 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( 𝑋)) = ((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})))
4847fveq2d 6500 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → ((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( 𝑋))) = ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧}))))
4913, 8opococ 35805 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧}) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧}))) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧}))
5020, 42, 49syl2anc 576 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧}))) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧}))
5148, 50eqtrd 2808 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → ((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( 𝑋))) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧}))
5251fveq2d 6500 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( 𝑋)))) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})))
53 f1ocnvfv2 6857 . . . 4 ((((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1-onto→ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∧ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧} ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})) = {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})
5418, 40, 53syl2anc 576 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})) = {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})
5510, 52, 543eqtrrd 2813 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧} = ( ‘( 𝑋)))
561, 55syl5sseq 3903 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋 ⊆ ( ‘( 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2961  {crab 3086  wss 3823  c0 4172   cint 4745  ccnv 5402  ran crn 5404   Fn wfn 6180  1-1wf1 6182  1-1-ontowf1o 6184  cfv 6185  Basecbs 16337  occoc 16427  1.cp1 17518  LSubSpclss 19437  OPcops 35782  HLchlt 35960  LHypclh 36594  DVecHcdvh 37688  DIsoHcdih 37838  ocHcoch 37957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410  ax-riotaBAD 35563
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-iin 4791  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-tpos 7693  df-undef 7740  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-oadd 7907  df-er 8087  df-map 8206  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-4 11503  df-5 11504  df-6 11505  df-n0 11706  df-z 11792  df-uz 12057  df-fz 12707  df-struct 16339  df-ndx 16340  df-slot 16341  df-base 16343  df-sets 16344  df-ress 16345  df-plusg 16432  df-mulr 16433  df-sca 16435  df-vsca 16436  df-0g 16569  df-proset 17408  df-poset 17426  df-plt 17438  df-lub 17454  df-glb 17455  df-join 17456  df-meet 17457  df-p0 17519  df-p1 17520  df-lat 17526  df-clat 17588  df-mgm 17722  df-sgrp 17764  df-mnd 17775  df-submnd 17816  df-grp 17906  df-minusg 17907  df-sbg 17908  df-subg 18072  df-cntz 18230  df-lsm 18534  df-cmn 18680  df-abl 18681  df-mgp 18975  df-ur 18987  df-ring 19034  df-oppr 19108  df-dvdsr 19126  df-unit 19127  df-invr 19157  df-dvr 19168  df-drng 19239  df-lmod 19370  df-lss 19438  df-lsp 19478  df-lvec 19609  df-lsatoms 35586  df-oposet 35786  df-ol 35788  df-oml 35789  df-covers 35876  df-ats 35877  df-atl 35908  df-cvlat 35932  df-hlat 35961  df-llines 36108  df-lplanes 36109  df-lvols 36110  df-lines 36111  df-psubsp 36113  df-pmap 36114  df-padd 36406  df-lhyp 36598  df-laut 36599  df-ldil 36714  df-ltrn 36715  df-trl 36769  df-tendo 37365  df-edring 37367  df-disoa 37639  df-dvech 37689  df-dib 37749  df-dic 37783  df-dih 37839  df-doch 37958
This theorem is referenced by:  dochsscl  37978  dochsat  37993  dochshpncl  37994  dochlkr  37995  dochdmj1  38000  dochnoncon  38001
  Copyright terms: Public domain W3C validator