Theorem dochocss 41360

Description: Double negative law for orthocomplement of an arbitrary set of vectors. (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochss.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochss.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochss.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dochocss	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))

Proof of Theorem dochocss

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssintub 4930	. 2 ⊢ 𝑋 ⊆ ∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}
2		dochss.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
4		dochss.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		dochss.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
6		dochss.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
7	2, 3, 4, 5, 6	dochcl 41347	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
8		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
9	8, 2, 3, 6	dochvalr 41351	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( ⊥ ‘𝑋)))))
10	7, 9	syldan 591	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( ⊥ ‘𝑋)))))
11	8, 2, 3, 4, 5, 6	dochval2 41346	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}))))
12	11	fveq2d 6862	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( ⊥ ‘𝑋)) = (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))))
13		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
14		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
15	13, 2, 3, 4, 14	dihf11 41261	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1→(LSubSp‘𝑈))
16	15	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1→(LSubSp‘𝑈))
17		f1f1orn 6811	. . . . . . . . 9 ⊢ (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1→(LSubSp‘𝑈) → ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1-onto→ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1-onto→ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
19		hlop 39355	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
20	19	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → 𝐾 ∈ OP)
21		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
22		ssrab2 4043	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ⊆ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ⊆ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
24		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
25	24, 2, 3, 4, 5	dih1 41280	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(1.‘𝐾)) = 𝑉)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(1.‘𝐾)) = 𝑉)
27		f1fn 6757	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1→(LSubSp‘𝑈) → ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) Fn (Base‘𝐾))
28	16, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) Fn (Base‘𝐾))
29	13, 24	op1cl 39178	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
30	20, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
31		fnfvelrn 7052	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) Fn (Base‘𝐾) ∧ (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(1.‘𝐾)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
32	28, 30, 31	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(1.‘𝐾)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
33	26, 32	eqeltrrd 2829	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → 𝑉 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
34		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → 𝑋 ⊆ 𝑉)
35		sseq2 3973	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑉 → (𝑋 ⊆ 𝑧 ↔ 𝑋 ⊆ 𝑉))
36	35	elrab 3659	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑉 ∈ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ↔ (𝑉 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉))
37	33, 34, 36	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → 𝑉 ∈ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})
38	37	ne0d 4305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ≠ ∅)
39	2, 3	dihintcl 41338	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ({𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ⊆ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∧ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ≠ ∅)) → ∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
40	21, 23, 38, 39	syl12anc 836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
41		f1ocnvdm 7260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1-onto→ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∧ ∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}) ∈ (Base‘𝐾))
42	18, 40, 41	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}) ∈ (Base‘𝐾))
43	13, 8	opoccl 39187	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})) ∈ (Base‘𝐾))
44	20, 42, 43	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})) ∈ (Base‘𝐾))
45		f1ocnvfv1 7251	. . . . . . . 8 ⊢ ((((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1-onto→ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∧ ((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})) ∈ (Base‘𝐾)) → (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))) = ((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))
46	18, 44, 45	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))) = ((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))
47	12, 46	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( ⊥ ‘𝑋)) = ((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))
48	47	fveq2d 6862	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( ⊥ ‘𝑋))) = ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}))))
49	13, 8	opococ 39188	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}))) = (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}))
50	20, 42, 49	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}))) = (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}))
51	48, 50	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( ⊥ ‘𝑋))) = (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}))
52	51	fveq2d 6862	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( ⊥ ‘𝑋)))) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))
53		f1ocnvfv2 7252	. . . 4 ⊢ ((((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1-onto→ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∧ ∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})) = ∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})
54	18, 40, 53	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})) = ∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})
55	10, 52, 54	3eqtrrd 2769	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
56	1, 55	sseqtrid 3989	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  {crab 3405   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  ∩ cint 4910  ^◡ccnv 5637  ran crn 5639   Fn wfn 6506  –1-1→wf1 6508  –1-1-onto→wf1o 6510  ‘cfv 6511  Basecbs 17179  occoc 17228  1.cp1 18383  LSubSpclss 20837  OPcops 39165  HLchlt 39343  LHypclh 39978  DVecHcdvh 41072  DIsoHcdih 41222  ocHcoch 41341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-riotaBAD 38946

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8205  df-undef 8252  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-0g 17404  df-proset 18255  df-poset 18274  df-plt 18289  df-lub 18305  df-glb 18306  df-join 18307  df-meet 18308  df-p0 18384  df-p1 18385  df-lat 18391  df-clat 18458  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-subg 19055  df-cntz 19249  df-lsm 19566  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-oppr 20246  df-dvdsr 20266  df-unit 20267  df-invr 20297  df-dvr 20310  df-drng 20640  df-lmod 20768  df-lss 20838  df-lsp 20878  df-lvec 21010  df-lsatoms 38969  df-oposet 39169  df-ol 39171  df-oml 39172  df-covers 39259  df-ats 39260  df-atl 39291  df-cvlat 39315  df-hlat 39344  df-llines 39492  df-lplanes 39493  df-lvols 39494  df-lines 39495  df-psubsp 39497  df-pmap 39498  df-padd 39790  df-lhyp 39982  df-laut 39983  df-ldil 40098  df-ltrn 40099  df-trl 40153  df-tendo 40749  df-edring 40751  df-disoa 41023  df-dvech 41073  df-dib 41133  df-dic 41167  df-dih 41223  df-doch 41342

This theorem is referenced by:  dochsscl  41362  dochsat  41377  dochshpncl  41378  dochlkr  41379  dochdmj1  41384  dochnoncon  41385