Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochocss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dochocss 38607
Description: Double negative law for orthocomplement of an arbitrary set of vectors. (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dochss.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochss.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochss.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochss.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
dochocss (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋 ⊆ ( ‘( 𝑋)))

Proof of Theorem dochocss
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssintub 4880 . 2 𝑋 {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧}
2 dochss.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 eqid 2824 . . . . 5 ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
4 dochss.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5 dochss.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
6 dochss.o . . . . 5 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
72, 3, 4, 5, 6dochcl 38594 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → ( 𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
8 eqid 2824 . . . . 5 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
98, 2, 3, 6dochvalr 38598 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ‘( 𝑋)) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( 𝑋)))))
107, 9syldan 594 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → ( ‘( 𝑋)) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( 𝑋)))))
118, 2, 3, 4, 5, 6dochval2 38593 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → ( 𝑋) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧}))))
1211fveq2d 6665 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( 𝑋)) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})))))
13 eqid 2824 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
14 eqid 2824 . . . . . . . . . . 11 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
1513, 2, 3, 4, 14dihf11 38508 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1→(LSubSp‘𝑈))
1615adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1→(LSubSp‘𝑈))
17 f1f1orn 6617 . . . . . . . . 9 (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1→(LSubSp‘𝑈) → ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1-onto→ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1-onto→ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
19 hlop 36603 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
2019ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → 𝐾 ∈ OP)
21 simpl 486 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
22 ssrab2 4042 . . . . . . . . . . . 12 {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧} ⊆ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
2322a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧} ⊆ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
24 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
2524, 2, 3, 4, 5dih1 38527 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(1.‘𝐾)) = 𝑉)
2625adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(1.‘𝐾)) = 𝑉)
27 f1fn 6566 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1→(LSubSp‘𝑈) → ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) Fn (Base‘𝐾))
2816, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) Fn (Base‘𝐾))
2913, 24op1cl 36426 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ OP → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
3020, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
31 fnfvelrn 6839 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) Fn (Base‘𝐾) ∧ (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(1.‘𝐾)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
3228, 30, 31syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(1.‘𝐾)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
3326, 32eqeltrrd 2917 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑉 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
34 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋𝑉)
35 sseq2 3979 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑉 → (𝑋𝑧𝑋𝑉))
3635elrab 3666 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑉 ∈ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧} ↔ (𝑉 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑋𝑉))
3733, 34, 36sylanbrc 586 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑉 ∈ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})
3837ne0d 4284 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧} ≠ ∅)
392, 3dihintcl 38585 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ({𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧} ⊆ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∧ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧} ≠ ∅)) → {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧} ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
4021, 23, 38, 39syl12anc 835 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧} ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
41 f1ocnvdm 7033 . . . . . . . . . 10 ((((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1-onto→ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∧ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧} ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧}) ∈ (Base‘𝐾))
4218, 40, 41syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧}) ∈ (Base‘𝐾))
4313, 8opoccl 36435 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OP ∧ (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧}) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})) ∈ (Base‘𝐾))
4420, 42, 43syl2anc 587 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → ((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})) ∈ (Base‘𝐾))
45 f1ocnvfv1 7025 . . . . . . . 8 ((((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1-onto→ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∧ ((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})) ∈ (Base‘𝐾)) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})))) = ((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})))
4618, 44, 45syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})))) = ((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})))
4712, 46eqtrd 2859 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( 𝑋)) = ((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})))
4847fveq2d 6665 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → ((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( 𝑋))) = ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧}))))
4913, 8opococ 36436 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧}) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧}))) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧}))
5020, 42, 49syl2anc 587 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧}))) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧}))
5148, 50eqtrd 2859 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → ((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( 𝑋))) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧}))
5251fveq2d 6665 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( 𝑋)))) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})))
53 f1ocnvfv2 7026 . . . 4 ((((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1-onto→ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∧ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧} ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})) = {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})
5418, 40, 53syl2anc 587 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})) = {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})
5510, 52, 543eqtrrd 2864 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧} = ( ‘( 𝑋)))
561, 55sseqtrid 4005 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋 ⊆ ( ‘( 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  {crab 3137  wss 3919  c0 4276   cint 4862  ccnv 5541  ran crn 5543   Fn wfn 6338  1-1wf1 6340  1-1-ontowf1o 6342  cfv 6343  Basecbs 16483  occoc 16573  1.cp1 17648  LSubSpclss 19703  OPcops 36413  HLchlt 36591  LHypclh 37225  DVecHcdvh 38319  DIsoHcdih 38469  ocHcoch 38588
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-riotaBAD 36194
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-tpos 7888  df-undef 7935  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-0g 16715  df-proset 17538  df-poset 17556  df-plt 17568  df-lub 17584  df-glb 17585  df-join 17586  df-meet 17587  df-p0 17649  df-p1 17650  df-lat 17656  df-clat 17718  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-subg 18276  df-cntz 18447  df-lsm 18761  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-oppr 19376  df-dvdsr 19394  df-unit 19395  df-invr 19425  df-dvr 19436  df-drng 19504  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-lsp 19744  df-lvec 19875  df-lsatoms 36217  df-oposet 36417  df-ol 36419  df-oml 36420  df-covers 36507  df-ats 36508  df-atl 36539  df-cvlat 36563  df-hlat 36592  df-llines 36739  df-lplanes 36740  df-lvols 36741  df-lines 36742  df-psubsp 36744  df-pmap 36745  df-padd 37037  df-lhyp 37229  df-laut 37230  df-ldil 37345  df-ltrn 37346  df-trl 37400  df-tendo 37996  df-edring 37998  df-disoa 38270  df-dvech 38320  df-dib 38380  df-dic 38414  df-dih 38470  df-doch 38589
This theorem is referenced by:  dochsscl  38609  dochsat  38624  dochshpncl  38625  dochlkr  38626  dochdmj1  38631  dochnoncon  38632
  Copyright terms: Public domain W3C validator