Theorem dochocss 42391

Description: Double negative law for orthocomplement of an arbitrary set of vectors. (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochss.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochss.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochss.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dochocss	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))

Proof of Theorem dochocss

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssintub 4926	. 2 ⊢ 𝑋 ⊆ ∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}
2		dochss.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
4		dochss.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		dochss.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
6		dochss.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
7	2, 3, 4, 5, 6	dochcl 42378	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
8		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
9	8, 2, 3, 6	dochvalr 42382	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( ⊥ ‘𝑋)))))
10	7, 9	syldan 603	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( ⊥ ‘𝑋)))))
11	8, 2, 3, 4, 5, 6	dochval2 42377	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}))))
12	11	fveq2d 6881	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( ⊥ ‘𝑋)) = (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))))
13		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
14		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
15	13, 2, 3, 4, 14	dihf11 42292	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1→(LSubSp‘𝑈))
16	15	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1→(LSubSp‘𝑈))
17		f1f1orn 6828	. . . . . . . . 9 ⊢ (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1→(LSubSp‘𝑈) → ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1-onto→ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
18	16, 17	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1-onto→ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
19		hlop 40387	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
20	19	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → 𝐾 ∈ OP)
21		simpl 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
22		ssrab2 4028	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ⊆ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ⊆ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
24		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
25	24, 2, 3, 4, 5	dih1 42311	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(1.‘𝐾)) = 𝑉)
26	25	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(1.‘𝐾)) = 𝑉)
27		f1fn 6771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1→(LSubSp‘𝑈) → ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) Fn (Base‘𝐾))
28	16, 27	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) Fn (Base‘𝐾))
29	13, 24	op1cl 40210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
30	20, 29	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
31		fnfvelrn 7072	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) Fn (Base‘𝐾) ∧ (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(1.‘𝐾)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
32	28, 30, 31	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(1.‘𝐾)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
33	26, 32	eqeltrrd 2862	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → 𝑉 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
34		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → 𝑋 ⊆ 𝑉)
35		sseq2 3957	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑉 → (𝑋 ⊆ 𝑧 ↔ 𝑋 ⊆ 𝑉))
36	35	elrab 3645	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑉 ∈ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ↔ (𝑉 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉))
37	33, 34, 36	sylanbrc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → 𝑉 ∈ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})
38	37	ne0d 4288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ≠ ∅)
39	2, 3	dihintcl 42369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ({𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ⊆ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∧ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ≠ ∅)) → ∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
40	21, 23, 38, 39	syl12anc 850	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
41		f1ocnvdm 7285	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1-onto→ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∧ ∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}) ∈ (Base‘𝐾))
42	18, 40, 41	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}) ∈ (Base‘𝐾))
43	13, 8	opoccl 40219	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})) ∈ (Base‘𝐾))
44	20, 42, 43	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})) ∈ (Base‘𝐾))
45		f1ocnvfv1 7276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1-onto→ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∧ ((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})) ∈ (Base‘𝐾)) → (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))) = ((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))
46	18, 44, 45	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))) = ((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))
47	12, 46	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( ⊥ ‘𝑋)) = ((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))
48	47	fveq2d 6881	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( ⊥ ‘𝑋))) = ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}))))
49	13, 8	opococ 40220	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}))) = (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}))
50	20, 42, 49	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}))) = (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}))
51	48, 50	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( ⊥ ‘𝑋))) = (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}))
52	51	fveq2d 6881	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( ⊥ ‘𝑋)))) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))
53		f1ocnvfv2 7277	. . . 4 ⊢ ((((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1-onto→ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∧ ∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})) = ∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})
54	18, 40, 53	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})) = ∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})
55	10, 52, 54	3eqtrrd 2801	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
56	1, 55	sseqtrid 3973	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  {crab 3413   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ∩ cint 4907  ^◡ccnv 5650  ran crn 5652   Fn wfn 6526  –1-1→wf1 6528  –1-1-onto→wf1o 6530  ‘cfv 6531  Basecbs 17367  occoc 17416  1.cp1 18576  LSubSpclss 21186  OPcops 40197  HLchlt 40375  LHypclh 41009  DVecHcdvh 42103  DIsoHcdih 42253  ocHcoch 42372

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-riotaBAD 39978

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-tpos 8227  df-undef 8274  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-0g 17592  df-proset 18448  df-poset 18467  df-plt 18482  df-lub 18498  df-glb 18499  df-join 18500  df-meet 18501  df-p0 18577  df-p1 18578  df-lat 18586  df-clat 18653  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-submnd 18959  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-sbg 19129  df-subg 19313  df-cntz 19511  df-lsm 19830  df-cmn 19976  df-abl 19977  df-mgp 20341  df-rng 20355  df-ur 20388  df-ring 20441  df-oppr 20547  df-dvdsr 20567  df-unit 20568  df-invr 20598  df-dvr 20611  df-drng 20962  df-lmod 21117  df-lss 21187  df-lsp 21227  df-lvec 21358  df-lsatoms 40001  df-oposet 40201  df-ol 40203  df-oml 40204  df-covers 40291  df-ats 40292  df-atl 40323  df-cvlat 40347  df-hlat 40376  df-llines 40523  df-lplanes 40524  df-lvols 40525  df-lines 40526  df-psubsp 40528  df-pmap 40529  df-padd 40821  df-lhyp 41013  df-laut 41014  df-ldil 41129  df-ltrn 41130  df-trl 41184  df-tendo 41780  df-edring 41782  df-disoa 42054  df-dvech 42104  df-dib 42164  df-dic 42198  df-dih 42254  df-doch 42373

This theorem is used by:  dochsscl  42393  dochsat  42408  dochshpncl  42409  dochlkr  42410  dochdmj1  42415  dochnoncon  42416