Theorem dochocss 41367

Description: Double negative law for orthocomplement of an arbitrary set of vectors. (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochss.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochss.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochss.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dochocss	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))

Proof of Theorem dochocss

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssintub 4933	. 2 ⊢ 𝑋 ⊆ ∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}
2		dochss.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
4		dochss.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		dochss.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
6		dochss.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
7	2, 3, 4, 5, 6	dochcl 41354	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
8		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
9	8, 2, 3, 6	dochvalr 41358	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( ⊥ ‘𝑋)))))
10	7, 9	syldan 591	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( ⊥ ‘𝑋)))))
11	8, 2, 3, 4, 5, 6	dochval2 41353	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}))))
12	11	fveq2d 6865	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( ⊥ ‘𝑋)) = (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))))
13		eqid 2730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
14		eqid 2730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
15	13, 2, 3, 4, 14	dihf11 41268	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1→(LSubSp‘𝑈))
16	15	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1→(LSubSp‘𝑈))
17		f1f1orn 6814	. . . . . . . . 9 ⊢ (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1→(LSubSp‘𝑈) → ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1-onto→ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1-onto→ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
19		hlop 39362	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
20	19	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → 𝐾 ∈ OP)
21		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
22		ssrab2 4046	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ⊆ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ⊆ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
24		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
25	24, 2, 3, 4, 5	dih1 41287	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(1.‘𝐾)) = 𝑉)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(1.‘𝐾)) = 𝑉)
27		f1fn 6760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1→(LSubSp‘𝑈) → ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) Fn (Base‘𝐾))
28	16, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) Fn (Base‘𝐾))
29	13, 24	op1cl 39185	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
30	20, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
31		fnfvelrn 7055	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) Fn (Base‘𝐾) ∧ (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(1.‘𝐾)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
32	28, 30, 31	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(1.‘𝐾)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
33	26, 32	eqeltrrd 2830	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → 𝑉 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
34		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → 𝑋 ⊆ 𝑉)
35		sseq2 3976	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑉 → (𝑋 ⊆ 𝑧 ↔ 𝑋 ⊆ 𝑉))
36	35	elrab 3662	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑉 ∈ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ↔ (𝑉 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉))
37	33, 34, 36	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → 𝑉 ∈ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})
38	37	ne0d 4308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ≠ ∅)
39	2, 3	dihintcl 41345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ({𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ⊆ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∧ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ≠ ∅)) → ∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
40	21, 23, 38, 39	syl12anc 836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
41		f1ocnvdm 7263	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1-onto→ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∧ ∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}) ∈ (Base‘𝐾))
42	18, 40, 41	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}) ∈ (Base‘𝐾))
43	13, 8	opoccl 39194	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})) ∈ (Base‘𝐾))
44	20, 42, 43	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})) ∈ (Base‘𝐾))
45		f1ocnvfv1 7254	. . . . . . . 8 ⊢ ((((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1-onto→ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∧ ((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})) ∈ (Base‘𝐾)) → (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))) = ((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))
46	18, 44, 45	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))) = ((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))
47	12, 46	eqtrd 2765	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( ⊥ ‘𝑋)) = ((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))
48	47	fveq2d 6865	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( ⊥ ‘𝑋))) = ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}))))
49	13, 8	opococ 39195	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}))) = (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}))
50	20, 42, 49	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}))) = (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}))
51	48, 50	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( ⊥ ‘𝑋))) = (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}))
52	51	fveq2d 6865	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( ⊥ ‘𝑋)))) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))
53		f1ocnvfv2 7255	. . . 4 ⊢ ((((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1-onto→ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∧ ∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})) = ∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})
54	18, 40, 53	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})) = ∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})
55	10, 52, 54	3eqtrrd 2770	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ∩ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
56	1, 55	sseqtrid 3992	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  {crab 3408   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299  ∩ cint 4913  ^◡ccnv 5640  ran crn 5642   Fn wfn 6509  –1-1→wf1 6511  –1-1-onto→wf1o 6513  ‘cfv 6514  Basecbs 17186  occoc 17235  1.cp1 18390  LSubSpclss 20844  OPcops 39172  HLchlt 39350  LHypclh 39985  DVecHcdvh 41079  DIsoHcdih 41229  ocHcoch 41348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-riotaBAD 38953

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8208  df-undef 8255  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-0g 17411  df-proset 18262  df-poset 18281  df-plt 18296  df-lub 18312  df-glb 18313  df-join 18314  df-meet 18315  df-p0 18391  df-p1 18392  df-lat 18398  df-clat 18465  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-subg 19062  df-cntz 19256  df-lsm 19573  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-dvr 20317  df-drng 20647  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-lsp 20885  df-lvec 21017  df-lsatoms 38976  df-oposet 39176  df-ol 39178  df-oml 39179  df-covers 39266  df-ats 39267  df-atl 39298  df-cvlat 39322  df-hlat 39351  df-llines 39499  df-lplanes 39500  df-lvols 39501  df-lines 39502  df-psubsp 39504  df-pmap 39505  df-padd 39797  df-lhyp 39989  df-laut 39990  df-ldil 40105  df-ltrn 40106  df-trl 40160  df-tendo 40756  df-edring 40758  df-disoa 41030  df-dvech 41080  df-dib 41140  df-dic 41174  df-dih 41230  df-doch 41349

This theorem is referenced by:  dochsscl  41369  dochsat  41384  dochshpncl  41385  dochlkr  41386  dochdmj1  41391  dochnoncon  41392