Theorem oldmm3N 39882

Description: De Morgan's law for meet in an ortholattice. (chdmm3 31819 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
oldmm1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
oldmm1.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
oldmm1.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
oldmm1.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
oldmm3N	⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∧ ( ⊥ ‘𝑌))) = (( ⊥ ‘𝑋) ∨ 𝑌))

Proof of Theorem oldmm3N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		olop 39877	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
2	1	3ad2ant1 1149	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
3		simp3 1154	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		oldmm1.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
5		oldmm1.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
6	4, 5	opoccl 39857	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
7	2, 3, 6	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
8		oldmm1.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
9		oldmm1.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
10	4, 8, 9, 5	oldmm1 39880	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∧ ( ⊥ ‘𝑌))) = (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))))
11	7, 10	syld3an3 1434	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∧ ( ⊥ ‘𝑌))) = (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))))
12	4, 5	opococ 39858	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) = 𝑌)
13	2, 3, 12	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) = 𝑌)
14	13	oveq2d 7427	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))) = (( ⊥ ‘𝑋) ∨ 𝑌))
15	11, 14	eqtrd 2804	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∧ ( ⊥ ‘𝑌))) = (( ⊥ ‘𝑋) ∨ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17268  occoc 17317  joincjn 18366  meetcmee 18367  OPcops 39835  OLcol 39837

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-proset 18349  df-poset 18368  df-lub 18399  df-glb 18400  df-join 18401  df-meet 18402  df-lat 18487  df-oposet 39839  df-ol 39841

This theorem is referenced by:  cmtbr3N  39917  lhprelat3N  40703