Theorem lhpoc2N 37150

Description: The orthocomplement of an atom is a co-atom (lattice hyperplane). (Contributed by NM, 20-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpoc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lhpoc.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
lhpoc.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpoc.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpoc2N	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑊 ∈ 𝐴 ↔ ( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐻))

Proof of Theorem lhpoc2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlop 36497	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
2		lhpoc.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		lhpoc.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
4	2, 3	opoccl 36329	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐵)
5	1, 4	sylan 582	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐵)
6		lhpoc.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7		lhpoc.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8	2, 3, 6, 7	lhpoc 37149	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐻 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑊)) ∈ 𝐴))
9	5, 8	syldan 593	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐻 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑊)) ∈ 𝐴))
10	2, 3	opococ 36330	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑊)) = 𝑊)
11	1, 10	sylan 582	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑊)) = 𝑊)
12	11	eleq1d 2897	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑊)) ∈ 𝐴 ↔ 𝑊 ∈ 𝐴))
13	9, 12	bitr2d 282	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑊 ∈ 𝐴 ↔ ( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6354  Basecbs 16482  occoc 16572  OPcops 36307  Atomscatm 36398  HLchlt 36485  LHypclh 37119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-proset 17537  df-poset 17555  df-plt 17567  df-lub 17583  df-glb 17584  df-p0 17648  df-p1 17649  df-oposet 36311  df-ol 36313  df-oml 36314  df-covers 36401  df-ats 36402  df-hlat 36486  df-lhyp 37123

This theorem is referenced by:  lhprelat3N  37175