Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpoc2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpoc2N 35797
Description: The orthocomplement of an atom is a co-atom (lattice hyperplane). (Contributed by NM, 20-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpoc.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lhpoc.o = (oc‘𝐾)
lhpoc.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpoc.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhpoc2N ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐵) → (𝑊𝐴 ↔ ( 𝑊) ∈ 𝐻))

Proof of Theorem lhpoc2N
StepHypRef Expression
1 hlop 35144 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
2 lhpoc.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 lhpoc.o . . . . 5 = (oc‘𝐾)
42, 3opoccl 34976 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊𝐵) → ( 𝑊) ∈ 𝐵)
51, 4sylan 571 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐵) → ( 𝑊) ∈ 𝐵)
6 lhpoc.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7 lhpoc.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
82, 3, 6, 7lhpoc 35796 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑊) ∈ 𝐵) → (( 𝑊) ∈ 𝐻 ↔ ( ‘( 𝑊)) ∈ 𝐴))
95, 8syldan 581 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐵) → (( 𝑊) ∈ 𝐻 ↔ ( ‘( 𝑊)) ∈ 𝐴))
102, 3opococ 34977 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊𝐵) → ( ‘( 𝑊)) = 𝑊)
111, 10sylan 571 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐵) → ( ‘( 𝑊)) = 𝑊)
1211eleq1d 2877 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐵) → (( ‘( 𝑊)) ∈ 𝐴𝑊𝐴))
139, 12bitr2d 271 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐵) → (𝑊𝐴 ↔ ( 𝑊) ∈ 𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1637  wcel 2157  cfv 6104  Basecbs 16071  occoc 16164  OPcops 34954  Atomscatm 35045  HLchlt 35132  LHypclh 35766
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2791  ax-rep 4971  ax-sep 4982  ax-nul 4990  ax-pow 5042  ax-pr 5103  ax-un 7182
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2638  df-clab 2800  df-cleq 2806  df-clel 2809  df-nfc 2944  df-ne 2986  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rab 3112  df-v 3400  df-sbc 3641  df-csb 3736  df-dif 3779  df-un 3781  df-in 3783  df-ss 3790  df-nul 4124  df-if 4287  df-pw 4360  df-sn 4378  df-pr 4380  df-op 4384  df-uni 4638  df-iun 4721  df-br 4852  df-opab 4914  df-mpt 4931  df-id 5226  df-xp 5324  df-rel 5325  df-cnv 5326  df-co 5327  df-dm 5328  df-rn 5329  df-res 5330  df-ima 5331  df-iota 6067  df-fun 6106  df-fn 6107  df-f 6108  df-f1 6109  df-fo 6110  df-f1o 6111  df-fv 6112  df-riota 6838  df-ov 6880  df-proset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-p0 17247  df-p1 17248  df-oposet 34958  df-ol 34960  df-oml 34961  df-covers 35048  df-ats 35049  df-hlat 35133  df-lhyp 35770
This theorem is referenced by:  lhprelat3N  35822
  Copyright terms: Public domain W3C validator