Theorem lhpoc2N 41115

Description: The orthocomplement of an atom is a co-atom (lattice hyperplane). (Contributed by NM, 20-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpoc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lhpoc.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
lhpoc.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpoc.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpoc2N	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑊 ∈ 𝐴 ↔ ( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐻))

Proof of Theorem lhpoc2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlop 40462	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
2		lhpoc.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		lhpoc.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
4	2, 3	opoccl 40294	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐵)
5	1, 4	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐵)
6		lhpoc.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7		lhpoc.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8	2, 3, 6, 7	lhpoc 41114	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐻 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑊)) ∈ 𝐴))
9	5, 8	syldan 603	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐻 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑊)) ∈ 𝐴))
10	2, 3	opococ 40295	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑊)) = 𝑊)
11	1, 10	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑊)) = 𝑊)
12	11	eleq1d 2845	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑊)) ∈ 𝐴 ↔ 𝑊 ∈ 𝐴))
13	9, 12	bitr2d 283	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑊 ∈ 𝐴 ↔ ( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐻))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  Basecbs 17387  occoc 17436  OPcops 40272  Atomscatm 40363  HLchlt 40450  LHypclh 41084

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-proset 18468  df-poset 18487  df-plt 18502  df-lub 18518  df-glb 18519  df-p0 18597  df-p1 18598  df-oposet 40276  df-ol 40278  df-oml 40279  df-covers 40366  df-ats 40367  df-hlat 40451  df-lhyp 41088

This theorem is used by:  lhprelat3N  41140