Theorem lhpoc2N 40644

Description: The orthocomplement of an atom is a co-atom (lattice hyperplane). (Contributed by NM, 20-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpoc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lhpoc.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
lhpoc.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpoc.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpoc2N	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑊 ∈ 𝐴 ↔ ( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐻))

Proof of Theorem lhpoc2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlop 39991	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
2		lhpoc.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		lhpoc.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
4	2, 3	opoccl 39823	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐵)
5	1, 4	sylan 589	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐵)
6		lhpoc.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7		lhpoc.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8	2, 3, 6, 7	lhpoc 40643	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐻 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑊)) ∈ 𝐴))
9	5, 8	syldan 600	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐻 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑊)) ∈ 𝐴))
10	2, 3	opococ 39824	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑊)) = 𝑊)
11	1, 10	sylan 589	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑊)) = 𝑊)
12	11	eleq1d 2849	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑊)) ∈ 𝐴 ↔ 𝑊 ∈ 𝐴))
13	9, 12	bitr2d 282	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑊 ∈ 𝐴 ↔ ( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6523  Basecbs 17247  occoc 17296  OPcops 39801  Atomscatm 39892  HLchlt 39979  LHypclh 40613

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5544  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-proset 18328  df-poset 18347  df-plt 18362  df-lub 18378  df-glb 18379  df-p0 18457  df-p1 18458  df-oposet 39805  df-ol 39807  df-oml 39808  df-covers 39895  df-ats 39896  df-hlat 39980  df-lhyp 40617

This theorem is referenced by:  lhprelat3N  40669