Theorem dochoc 40704

Description: Double negative law for orthocomplement of a closed subspace. (Contributed by NM, 14-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochoc.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochoc.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dochoc.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dochoc	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem dochoc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
2		dochoc.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		dochoc.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
4		dochoc.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	dochvalr 40694	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ( ⊥ ‘𝑋) = (𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋))))
6	5	fveq2d 6895	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = ( ⊥ ‘(𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋)))))
7		hlop 38698	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
8	7	ad2antrr 723	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → 𝐾 ∈ OP)
9		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
10	9, 2, 3	dihcnvcl 40608	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
11	9, 1	opoccl 38530	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
12	8, 10, 11	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
13	9, 2, 3	dihcl 40607	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋))) ∈ ran 𝐼)
14	12, 13	syldan 590	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋))) ∈ ran 𝐼)
15	1, 2, 3, 4	dochvalr 40694	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋))) ∈ ran 𝐼) → ( ⊥ ‘(𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋)))) = (𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘(𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋)))))))
16	14, 15	syldan 590	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ( ⊥ ‘(𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋)))) = (𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘(𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋)))))))
17	9, 2, 3	dihcnvid1 40609	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾)) → (◡𝐼‘(𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋)))) = ((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋)))
18	12, 17	syldan 590	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘(𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋)))) = ((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋)))
19	18	fveq2d 6895	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘(𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋))))) = ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋))))
20	9, 1	opococ 38531	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋))) = (◡𝐼‘𝑋))
21	8, 10, 20	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋))) = (◡𝐼‘𝑋))
22	19, 21	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘(𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋))))) = (◡𝐼‘𝑋))
23	22	fveq2d 6895	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘(𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋)))))) = (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)))
24	2, 3	dihcnvid2 40610	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
25	23, 24	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘(𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋)))))) = 𝑋)
26	16, 25	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ( ⊥ ‘(𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋)))) = 𝑋)
27	6, 26	eqtrd 2771	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ^◡ccnv 5675  ran crn 5677  ‘cfv 6543  Basecbs 17151  occoc 17212  OPcops 38508  HLchlt 38686  LHypclh 39321  DIsoHcdih 40565  ocHcoch 40684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-riotaBAD 38289

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8217  df-undef 8264  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-0g 17394  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-p0 18388  df-p1 18389  df-lat 18395  df-clat 18462  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19046  df-cntz 19229  df-lsm 19552  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-dvr 20299  df-drng 20585  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lsp 20815  df-lvec 20947  df-oposet 38512  df-ol 38514  df-oml 38515  df-covers 38602  df-ats 38603  df-atl 38634  df-cvlat 38658  df-hlat 38687  df-llines 38835  df-lplanes 38836  df-lvols 38837  df-lines 38838  df-psubsp 38840  df-pmap 38841  df-padd 39133  df-lhyp 39325  df-laut 39326  df-ldil 39441  df-ltrn 39442  df-trl 39496  df-tendo 40092  df-edring 40094  df-disoa 40366  df-dvech 40416  df-dib 40476  df-dic 40510  df-dih 40566  df-doch 40685

This theorem is referenced by:  dochsscl  40705  dochoccl  40706  dochord  40707  dochord2N  40708  dochord3  40709  dochn0nv  40712  dihoml4  40714  dochocsp  40716  dochocsn  40718  dochsat  40720  dochdmj1  40727  dochnoncon  40728  dochdmm1  40747  djhexmid  40748  djhlsmcl  40751  dochsatshpb  40789  dochsnkr2cl  40811  dochpolN  40827  lcfl7lem  40836  lcfl6  40837  lcfl8  40839  lcfl9a  40842  lclkrlem2e  40848  lclkrlem2j  40853  lclkrlem2s  40862  lcfrlem14  40893  lcfrlem23  40902  mapdordlem2  40974