Theorem dochoc 37443

Description: Double negative law for orthocomplement of a closed subspace. (Contributed by NM, 14-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochoc.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochoc.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dochoc.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dochoc	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem dochoc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2826	. . . 4 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
2		dochoc.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		dochoc.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
4		dochoc.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	dochvalr 37433	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ( ⊥ ‘𝑋) = (𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋))))
6	5	fveq2d 6438	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = ( ⊥ ‘(𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋)))))
7		hlop 35438	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
8	7	ad2antrr 719	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → 𝐾 ∈ OP)
9		eqid 2826	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
10	9, 2, 3	dihcnvcl 37347	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
11	9, 1	opoccl 35270	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
12	8, 10, 11	syl2anc 581	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
13	9, 2, 3	dihcl 37346	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋))) ∈ ran 𝐼)
14	12, 13	syldan 587	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋))) ∈ ran 𝐼)
15	1, 2, 3, 4	dochvalr 37433	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋))) ∈ ran 𝐼) → ( ⊥ ‘(𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋)))) = (𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘(𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋)))))))
16	14, 15	syldan 587	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ( ⊥ ‘(𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋)))) = (𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘(𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋)))))))
17	9, 2, 3	dihcnvid1 37348	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾)) → (◡𝐼‘(𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋)))) = ((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋)))
18	12, 17	syldan 587	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘(𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋)))) = ((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋)))
19	18	fveq2d 6438	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘(𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋))))) = ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋))))
20	9, 1	opococ 35271	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋))) = (◡𝐼‘𝑋))
21	8, 10, 20	syl2anc 581	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋))) = (◡𝐼‘𝑋))
22	19, 21	eqtrd 2862	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘(𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋))))) = (◡𝐼‘𝑋))
23	22	fveq2d 6438	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘(𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋)))))) = (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)))
24	2, 3	dihcnvid2 37349	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
25	23, 24	eqtrd 2862	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘(𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋)))))) = 𝑋)
26	16, 25	eqtrd 2862	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ( ⊥ ‘(𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋)))) = 𝑋)
27	6, 26	eqtrd 2862	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ^◡ccnv 5342  ran crn 5344  ‘cfv 6124  Basecbs 16223  occoc 16314  OPcops 35248  HLchlt 35426  LHypclh 36060  DIsoHcdih 37304  ocHcoch 37423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-riotaBAD 35029

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-iin 4744  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-tpos 7618  df-undef 7665  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-oadd 7831  df-er 8010  df-map 8125  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-5 11418  df-6 11419  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-fz 12621  df-struct 16225  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-sets 16230  df-ress 16231  df-plusg 16319  df-mulr 16320  df-sca 16322  df-vsca 16323  df-0g 16456  df-proset 17282  df-poset 17300  df-plt 17312  df-lub 17328  df-glb 17329  df-join 17330  df-meet 17331  df-p0 17393  df-p1 17394  df-lat 17400  df-clat 17462  df-mgm 17596  df-sgrp 17638  df-mnd 17649  df-submnd 17690  df-grp 17780  df-minusg 17781  df-sbg 17782  df-subg 17943  df-cntz 18101  df-lsm 18403  df-cmn 18549  df-abl 18550  df-mgp 18845  df-ur 18857  df-ring 18904  df-oppr 18978  df-dvdsr 18996  df-unit 18997  df-invr 19027  df-dvr 19038  df-drng 19106  df-lmod 19222  df-lss 19290  df-lsp 19332  df-lvec 19463  df-oposet 35252  df-ol 35254  df-oml 35255  df-covers 35342  df-ats 35343  df-atl 35374  df-cvlat 35398  df-hlat 35427  df-llines 35574  df-lplanes 35575  df-lvols 35576  df-lines 35577  df-psubsp 35579  df-pmap 35580  df-padd 35872  df-lhyp 36064  df-laut 36065  df-ldil 36180  df-ltrn 36181  df-trl 36235  df-tendo 36831  df-edring 36833  df-disoa 37105  df-dvech 37155  df-dib 37215  df-dic 37249  df-dih 37305  df-doch 37424

This theorem is referenced by:  dochsscl  37444  dochoccl  37445  dochord  37446  dochord2N  37447  dochord3  37448  dochn0nv  37451  dihoml4  37453  dochocsp  37455  dochocsn  37457  dochsat  37459  dochdmj1  37466  dochnoncon  37467  dochdmm1  37486  djhexmid  37487  djhlsmcl  37490  dochsatshpb  37528  dochsnkr2cl  37550  dochpolN  37566  lcfl7lem  37575  lcfl6  37576  lcfl8  37578  lcfl9a  37581  lclkrlem2e  37587  lclkrlem2j  37592  lclkrlem2s  37601  lcfrlem14  37632  lcfrlem23  37641  mapdordlem2  37713