Theorem dochoc 39036

Description: Double negative law for orthocomplement of a closed subspace. (Contributed by NM, 14-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochoc.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochoc.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dochoc.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dochoc	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem dochoc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
2		dochoc.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		dochoc.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
4		dochoc.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	dochvalr 39026	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ( ⊥ ‘𝑋) = (𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋))))
6	5	fveq2d 6690	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = ( ⊥ ‘(𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋)))))
7		hlop 37031	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
8	7	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → 𝐾 ∈ OP)
9		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
10	9, 2, 3	dihcnvcl 38940	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
11	9, 1	opoccl 36863	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
12	8, 10, 11	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
13	9, 2, 3	dihcl 38939	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋))) ∈ ran 𝐼)
14	12, 13	syldan 594	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋))) ∈ ran 𝐼)
15	1, 2, 3, 4	dochvalr 39026	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋))) ∈ ran 𝐼) → ( ⊥ ‘(𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋)))) = (𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘(𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋)))))))
16	14, 15	syldan 594	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ( ⊥ ‘(𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋)))) = (𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘(𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋)))))))
17	9, 2, 3	dihcnvid1 38941	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾)) → (◡𝐼‘(𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋)))) = ((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋)))
18	12, 17	syldan 594	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘(𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋)))) = ((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋)))
19	18	fveq2d 6690	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘(𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋))))) = ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋))))
20	9, 1	opococ 36864	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋))) = (◡𝐼‘𝑋))
21	8, 10, 20	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋))) = (◡𝐼‘𝑋))
22	19, 21	eqtrd 2774	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘(𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋))))) = (◡𝐼‘𝑋))
23	22	fveq2d 6690	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘(𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋)))))) = (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)))
24	2, 3	dihcnvid2 38942	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
25	23, 24	eqtrd 2774	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘(𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋)))))) = 𝑋)
26	16, 25	eqtrd 2774	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ( ⊥ ‘(𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋)))) = 𝑋)
27	6, 26	eqtrd 2774	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ^◡ccnv 5534  ran crn 5536  ‘cfv 6349  Basecbs 16598  occoc 16688  OPcops 36841  HLchlt 37019  LHypclh 37653  DIsoHcdih 38897  ocHcoch 39016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-cnex 10683  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703  ax-pre-mulgt0 10704  ax-riotaBAD 36622

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-iin 4894  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6185  df-on 6186  df-lim 6187  df-suc 6188  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-om 7612  df-1st 7726  df-2nd 7727  df-tpos 7933  df-undef 7980  df-wrecs 7988  df-recs 8049  df-rdg 8087  df-1o 8143  df-er 8332  df-map 8451  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-fin 8571  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-sub 10962  df-neg 10963  df-nn 11729  df-2 11791  df-3 11792  df-4 11793  df-5 11794  df-6 11795  df-n0 11989  df-z 12075  df-uz 12337  df-fz 12994  df-struct 16600  df-ndx 16601  df-slot 16602  df-base 16604  df-sets 16605  df-ress 16606  df-plusg 16693  df-mulr 16694  df-sca 16696  df-vsca 16697  df-0g 16830  df-proset 17666  df-poset 17684  df-plt 17696  df-lub 17712  df-glb 17713  df-join 17714  df-meet 17715  df-p0 17777  df-p1 17778  df-lat 17784  df-clat 17846  df-mgm 17980  df-sgrp 18029  df-mnd 18040  df-submnd 18085  df-grp 18234  df-minusg 18235  df-sbg 18236  df-subg 18406  df-cntz 18577  df-lsm 18891  df-cmn 19038  df-abl 19039  df-mgp 19371  df-ur 19383  df-ring 19430  df-oppr 19507  df-dvdsr 19525  df-unit 19526  df-invr 19556  df-dvr 19567  df-drng 19635  df-lmod 19767  df-lss 19835  df-lsp 19875  df-lvec 20006  df-oposet 36845  df-ol 36847  df-oml 36848  df-covers 36935  df-ats 36936  df-atl 36967  df-cvlat 36991  df-hlat 37020  df-llines 37167  df-lplanes 37168  df-lvols 37169  df-lines 37170  df-psubsp 37172  df-pmap 37173  df-padd 37465  df-lhyp 37657  df-laut 37658  df-ldil 37773  df-ltrn 37774  df-trl 37828  df-tendo 38424  df-edring 38426  df-disoa 38698  df-dvech 38748  df-dib 38808  df-dic 38842  df-dih 38898  df-doch 39017

This theorem is referenced by:  dochsscl  39037  dochoccl  39038  dochord  39039  dochord2N  39040  dochord3  39041  dochn0nv  39044  dihoml4  39046  dochocsp  39048  dochocsn  39050  dochsat  39052  dochdmj1  39059  dochnoncon  39060  dochdmm1  39079  djhexmid  39080  djhlsmcl  39083  dochsatshpb  39121  dochsnkr2cl  39143  dochpolN  39159  lcfl7lem  39168  lcfl6  39169  lcfl8  39171  lcfl9a  39174  lclkrlem2e  39180  lclkrlem2j  39185  lclkrlem2s  39194  lcfrlem14  39225  lcfrlem23  39234  mapdordlem2  39306