Theorem oldmj3 38396

Description: De Morgan's law for join in an ortholattice. (chdmj3 31039 analog.) (Contributed by NM, 7-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
oldmm1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
oldmm1.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
oldmm1.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
oldmm1.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
oldmj3	⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌))) = (( ⊥ ‘𝑋) ∧ 𝑌))

Proof of Theorem oldmj3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		olop 38387	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
2	1	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
3		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		oldmm1.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
5		oldmm1.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
6	4, 5	opoccl 38367	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
7	2, 3, 6	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
8		oldmm1.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
9		oldmm1.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
10	4, 8, 9, 5	oldmj1 38394	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌))) = (( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))))
11	7, 10	syld3an3 1409	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌))) = (( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))))
12	4, 5	opococ 38368	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) = 𝑌)
13	2, 3, 12	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) = 𝑌)
14	13	oveq2d 7427	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))) = (( ⊥ ‘𝑋) ∧ 𝑌))
15	11, 14	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑌))) = (( ⊥ ‘𝑋) ∧ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  occoc 17209  joincjn 18268  meetcmee 18269  OPcops 38345  OLcol 38347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-proset 18252  df-poset 18270  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-lat 18389  df-oposet 38349  df-ol 38351

This theorem is referenced by:  latmassOLD  38402