Theorem 2polatN 39915

Description: Double polarity of the singleton of an atom (i.e. a point). (Contributed by NM, 25-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
2polat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2polat.p	⊢ 𝑃 = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2polatN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃‘(𝑃‘{𝑄})) = {𝑄})

Proof of Theorem 2polatN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlol 39343	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
2		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3		2polat.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
5		2polat.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (⊥𝑃‘𝐾)
6	2, 3, 4, 5	polatN 39914	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃‘{𝑄}) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄)))
7	1, 6	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃‘{𝑄}) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄)))
8	7	fveq2d 6911	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃‘(𝑃‘{𝑄})) = (𝑃‘((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄))))
9		hlop 39344	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
10		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
11	10, 3	atbase 39271	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
12	10, 2	opoccl 39176	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
13	9, 11, 12	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((oc‘𝐾)‘𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
14	10, 2, 4, 5	polpmapN 39895	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃‘((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄))) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄))))
15	13, 14	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃‘((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄))) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄))))
16	10, 2	opococ 39177	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄)) = 𝑄)
17	9, 11, 16	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄)) = 𝑄)
18	17	fveq2d 6911	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄))) = ((pmap‘𝐾)‘𝑄))
19	3, 4	pmapat 39746	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘𝑄) = {𝑄})
20	18, 19	eqtrd 2775	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄))) = {𝑄})
21	15, 20	eqtrd 2775	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃‘((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄))) = {𝑄})
22	8, 21	eqtrd 2775	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃‘(𝑃‘{𝑄})) = {𝑄})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  {csn 4631  ‘cfv 6563  Basecbs 17245  occoc 17306  OPcops 39154  OLcol 39156  Atomscatm 39245  HLchlt 39332  pmapcpmap 39480  ⊥_𝑃cpolN 39885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18490  df-clat 18557  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-pmap 39487  df-polarityN 39886

This theorem is referenced by:  atpsubclN  39928