Theorem 2polatN 39933

Description: Double polarity of the singleton of an atom (i.e. a point). (Contributed by NM, 25-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
2polat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2polat.p	⊢ 𝑃 = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2polatN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃‘(𝑃‘{𝑄})) = {𝑄})

Proof of Theorem 2polatN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlol 39361	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
2		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3		2polat.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
5		2polat.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (⊥𝑃‘𝐾)
6	2, 3, 4, 5	polatN 39932	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃‘{𝑄}) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄)))
7	1, 6	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃‘{𝑄}) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄)))
8	7	fveq2d 6865	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃‘(𝑃‘{𝑄})) = (𝑃‘((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄))))
9		hlop 39362	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
10		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
11	10, 3	atbase 39289	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
12	10, 2	opoccl 39194	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
13	9, 11, 12	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((oc‘𝐾)‘𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
14	10, 2, 4, 5	polpmapN 39913	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃‘((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄))) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄))))
15	13, 14	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃‘((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄))) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄))))
16	10, 2	opococ 39195	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄)) = 𝑄)
17	9, 11, 16	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄)) = 𝑄)
18	17	fveq2d 6865	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄))) = ((pmap‘𝐾)‘𝑄))
19	3, 4	pmapat 39764	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘𝑄) = {𝑄})
20	18, 19	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄))) = {𝑄})
21	15, 20	eqtrd 2765	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃‘((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄))) = {𝑄})
22	8, 21	eqtrd 2765	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃‘(𝑃‘{𝑄})) = {𝑄})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4592  ‘cfv 6514  Basecbs 17186  occoc 17235  OPcops 39172  OLcol 39174  Atomscatm 39263  HLchlt 39350  pmapcpmap 39498  ⊥_𝑃cpolN 39903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-proset 18262  df-poset 18281  df-plt 18296  df-lub 18312  df-glb 18313  df-join 18314  df-meet 18315  df-p0 18391  df-p1 18392  df-lat 18398  df-clat 18465  df-oposet 39176  df-ol 39178  df-oml 39179  df-covers 39266  df-ats 39267  df-atl 39298  df-cvlat 39322  df-hlat 39351  df-pmap 39505  df-polarityN 39904

This theorem is referenced by:  atpsubclN  39946