Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2polatN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2polatN 37176
Description: Double polarity of the singleton of an atom (i.e. a point). (Contributed by NM, 25-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2polat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2polat.p 𝑃 = (⊥𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
2polatN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → (𝑃‘(𝑃‘{𝑄})) = {𝑄})

Proof of Theorem 2polatN
StepHypRef Expression
1 hlol 36605 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
2 eqid 2824 . . . . 5 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3 2polat.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 eqid 2824 . . . . 5 (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
5 2polat.p . . . . 5 𝑃 = (⊥𝑃𝐾)
62, 3, 4, 5polatN 37175 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑄𝐴) → (𝑃‘{𝑄}) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄)))
71, 6sylan 583 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → (𝑃‘{𝑄}) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄)))
87fveq2d 6665 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → (𝑃‘(𝑃‘{𝑄})) = (𝑃‘((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄))))
9 hlop 36606 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
10 eqid 2824 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1110, 3atbase 36533 . . . . 5 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
1210, 2opoccl 36438 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
139, 11, 12syl2an 598 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → ((oc‘𝐾)‘𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
1410, 2, 4, 5polpmapN 37156 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃‘((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄))) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄))))
1513, 14syldan 594 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → (𝑃‘((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄))) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄))))
1610, 2opococ 36439 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄)) = 𝑄)
179, 11, 16syl2an 598 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄)) = 𝑄)
1817fveq2d 6665 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄))) = ((pmap‘𝐾)‘𝑄))
193, 4pmapat 37007 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘𝑄) = {𝑄})
2018, 19eqtrd 2859 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄))) = {𝑄})
2115, 20eqtrd 2859 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → (𝑃‘((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄))) = {𝑄})
228, 21eqtrd 2859 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → (𝑃‘(𝑃‘{𝑄})) = {𝑄})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  {csn 4550  cfv 6343  Basecbs 16483  occoc 16573  OPcops 36416  OLcol 36418  Atomscatm 36507  HLchlt 36594  pmapcpmap 36741  𝑃cpolN 37146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-riotaBAD 36197
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-undef 7935  df-proset 17538  df-poset 17556  df-plt 17568  df-lub 17584  df-glb 17585  df-join 17586  df-meet 17587  df-p0 17649  df-p1 17650  df-lat 17656  df-clat 17718  df-oposet 36420  df-ol 36422  df-oml 36423  df-covers 36510  df-ats 36511  df-atl 36542  df-cvlat 36566  df-hlat 36595  df-pmap 36748  df-polarityN 37147
This theorem is referenced by:  atpsubclN  37189
  Copyright terms: Public domain W3C validator