Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2polatN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2polatN 39315
Description: Double polarity of the singleton of an atom (i.e. a point). (Contributed by NM, 25-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2polat.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
2polat.p 𝑃 = (βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
2polatN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘ƒβ€˜{𝑄})) = {𝑄})

Proof of Theorem 2polatN
StepHypRef Expression
1 hlol 38743 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
2 eqid 2726 . . . . 5 (ocβ€˜πΎ) = (ocβ€˜πΎ)
3 2polat.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
4 eqid 2726 . . . . 5 (pmapβ€˜πΎ) = (pmapβ€˜πΎ)
5 2polat.p . . . . 5 𝑃 = (βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)
62, 3, 4, 5polatN 39314 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (π‘ƒβ€˜{𝑄}) = ((pmapβ€˜πΎ)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘„)))
71, 6sylan 579 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (π‘ƒβ€˜{𝑄}) = ((pmapβ€˜πΎ)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘„)))
87fveq2d 6888 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘ƒβ€˜{𝑄})) = (π‘ƒβ€˜((pmapβ€˜πΎ)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘„))))
9 hlop 38744 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
10 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
1110, 3atbase 38671 . . . . 5 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1210, 2opoccl 38576 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘„) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
139, 11, 12syl2an 595 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘„) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1410, 2, 4, 5polpmapN 39295 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘„) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (π‘ƒβ€˜((pmapβ€˜πΎ)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘„))) = ((pmapβ€˜πΎ)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘„))))
1513, 14syldan 590 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (π‘ƒβ€˜((pmapβ€˜πΎ)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘„))) = ((pmapβ€˜πΎ)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘„))))
1610, 2opococ 38577 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘„)) = 𝑄)
179, 11, 16syl2an 595 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘„)) = 𝑄)
1817fveq2d 6888 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ ((pmapβ€˜πΎ)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘„))) = ((pmapβ€˜πΎ)β€˜π‘„))
193, 4pmapat 39146 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ ((pmapβ€˜πΎ)β€˜π‘„) = {𝑄})
2018, 19eqtrd 2766 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ ((pmapβ€˜πΎ)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘„))) = {𝑄})
2115, 20eqtrd 2766 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (π‘ƒβ€˜((pmapβ€˜πΎ)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘„))) = {𝑄})
228, 21eqtrd 2766 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘ƒβ€˜{𝑄})) = {𝑄})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {csn 4623  β€˜cfv 6536  Basecbs 17150  occoc 17211  OPcops 38554  OLcol 38556  Atomscatm 38645  HLchlt 38732  pmapcpmap 38880  βŠ₯𝑃cpolN 39285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-proset 18257  df-poset 18275  df-plt 18292  df-lub 18308  df-glb 18309  df-join 18310  df-meet 18311  df-p0 18387  df-p1 18388  df-lat 18394  df-clat 18461  df-oposet 38558  df-ol 38560  df-oml 38561  df-covers 38648  df-ats 38649  df-atl 38680  df-cvlat 38704  df-hlat 38733  df-pmap 38887  df-polarityN 39286
This theorem is referenced by:  atpsubclN  39328
  Copyright terms: Public domain W3C validator