Theorem 2polatN 37946

Description: Double polarity of the singleton of an atom (i.e. a point). (Contributed by NM, 25-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
2polat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2polat.p	⊢ 𝑃 = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2polatN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃‘(𝑃‘{𝑄})) = {𝑄})

Proof of Theorem 2polatN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlol 37375	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
2		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3		2polat.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
5		2polat.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (⊥𝑃‘𝐾)
6	2, 3, 4, 5	polatN 37945	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃‘{𝑄}) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄)))
7	1, 6	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃‘{𝑄}) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄)))
8	7	fveq2d 6778	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃‘(𝑃‘{𝑄})) = (𝑃‘((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄))))
9		hlop 37376	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
10		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
11	10, 3	atbase 37303	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
12	10, 2	opoccl 37208	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
13	9, 11, 12	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((oc‘𝐾)‘𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
14	10, 2, 4, 5	polpmapN 37926	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃‘((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄))) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄))))
15	13, 14	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃‘((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄))) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄))))
16	10, 2	opococ 37209	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄)) = 𝑄)
17	9, 11, 16	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄)) = 𝑄)
18	17	fveq2d 6778	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄))) = ((pmap‘𝐾)‘𝑄))
19	3, 4	pmapat 37777	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘𝑄) = {𝑄})
20	18, 19	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄))) = {𝑄})
21	15, 20	eqtrd 2778	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃‘((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄))) = {𝑄})
22	8, 21	eqtrd 2778	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃‘(𝑃‘{𝑄})) = {𝑄})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {csn 4561  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  occoc 16970  OPcops 37186  OLcol 37188  Atomscatm 37277  HLchlt 37364  pmapcpmap 37511  ⊥_𝑃cpolN 37916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-riotaBAD 36967

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-undef 8089  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-p0 18143  df-p1 18144  df-lat 18150  df-clat 18217  df-oposet 37190  df-ol 37192  df-oml 37193  df-covers 37280  df-ats 37281  df-atl 37312  df-cvlat 37336  df-hlat 37365  df-pmap 37518  df-polarityN 37917

This theorem is referenced by:  atpsubclN  37959