Theorem 2polatN 39934

Description: Double polarity of the singleton of an atom (i.e. a point). (Contributed by NM, 25-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
2polat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2polat.p	⊢ 𝑃 = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2polatN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃‘(𝑃‘{𝑄})) = {𝑄})

Proof of Theorem 2polatN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlol 39362	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
2		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3		2polat.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
5		2polat.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (⊥𝑃‘𝐾)
6	2, 3, 4, 5	polatN 39933	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃‘{𝑄}) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄)))
7	1, 6	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃‘{𝑄}) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄)))
8	7	fveq2d 6910	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃‘(𝑃‘{𝑄})) = (𝑃‘((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄))))
9		hlop 39363	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
10		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
11	10, 3	atbase 39290	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
12	10, 2	opoccl 39195	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
13	9, 11, 12	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((oc‘𝐾)‘𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
14	10, 2, 4, 5	polpmapN 39914	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃‘((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄))) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄))))
15	13, 14	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃‘((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄))) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄))))
16	10, 2	opococ 39196	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄)) = 𝑄)
17	9, 11, 16	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄)) = 𝑄)
18	17	fveq2d 6910	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄))) = ((pmap‘𝐾)‘𝑄))
19	3, 4	pmapat 39765	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘𝑄) = {𝑄})
20	18, 19	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄))) = {𝑄})
21	15, 20	eqtrd 2777	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃‘((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄))) = {𝑄})
22	8, 21	eqtrd 2777	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃‘(𝑃‘{𝑄})) = {𝑄})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {csn 4626  ‘cfv 6561  Basecbs 17247  occoc 17305  OPcops 39173  OLcol 39175  Atomscatm 39264  HLchlt 39351  pmapcpmap 39499  ⊥_𝑃cpolN 39904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-p1 18471  df-lat 18477  df-clat 18544  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-pmap 39506  df-polarityN 39905

This theorem is referenced by:  atpsubclN  39947