Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2polvalN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2polvalN 35719
Description: Value of double polarity. (Contributed by NM, 25-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2polval.u 𝑈 = (lub‘𝐾)
2polval.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2polval.m 𝑀 = (pmap‘𝐾)
2polval.p = (⊥𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
2polvalN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( ‘( 𝑋)) = (𝑀‘(𝑈𝑋)))

Proof of Theorem 2polvalN
StepHypRef Expression
1 2polval.u . . . 4 𝑈 = (lub‘𝐾)
2 eqid 2771 . . . 4 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3 2polval.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 2polval.m . . . 4 𝑀 = (pmap‘𝐾)
5 2polval.p . . . 4 = (⊥𝑃𝐾)
61, 2, 3, 4, 5polval2N 35711 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( 𝑋) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘(𝑈𝑋))))
76fveq2d 6334 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( ‘( 𝑋)) = ( ‘(𝑀‘((oc‘𝐾)‘(𝑈𝑋)))))
8 hlop 35167 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
98adantr 466 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → 𝐾 ∈ OP)
10 hlclat 35163 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
11 eqid 2771 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1211, 3atssbase 35095 . . . . . 6 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
13 sstr 3760 . . . . . 6 ((𝑋𝐴𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
1412, 13mpan2 671 . . . . 5 (𝑋𝐴𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
1511, 1clatlubcl 17316 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → (𝑈𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
1610, 14, 15syl2an 583 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝑈𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
1711, 2opoccl 34999 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑈𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑈𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
189, 16, 17syl2anc 573 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ((oc‘𝐾)‘(𝑈𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
1911, 2, 4, 5polpmapN 35717 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘(𝑈𝑋)) ∈ (Base‘𝐾)) → ( ‘(𝑀‘((oc‘𝐾)‘(𝑈𝑋)))) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑈𝑋)))))
2018, 19syldan 579 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( ‘(𝑀‘((oc‘𝐾)‘(𝑈𝑋)))) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑈𝑋)))))
2111, 2opococ 35000 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑈𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑈𝑋))) = (𝑈𝑋))
229, 16, 21syl2anc 573 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑈𝑋))) = (𝑈𝑋))
2322fveq2d 6334 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑈𝑋)))) = (𝑀‘(𝑈𝑋)))
247, 20, 233eqtrd 2809 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( ‘( 𝑋)) = (𝑀‘(𝑈𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wss 3723  cfv 6029  Basecbs 16060  occoc 16153  lubclub 17146  CLatccla 17311  OPcops 34977  Atomscatm 35068  HLchlt 35155  pmapcpmap 35302  𝑃cpolN 35707
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-riotaBAD 34757
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-undef 7551  df-preset 17132  df-poset 17150  df-plt 17162  df-lub 17178  df-glb 17179  df-join 17180  df-meet 17181  df-p0 17243  df-p1 17244  df-lat 17250  df-clat 17312  df-oposet 34981  df-ol 34983  df-oml 34984  df-covers 35071  df-ats 35072  df-atl 35103  df-cvlat 35127  df-hlat 35156  df-pmap 35309  df-polarityN 35708
This theorem is referenced by:  2polssN  35720  3polN  35721  sspmaplubN  35730  2pmaplubN  35731  paddunN  35732  pnonsingN  35738  pmapidclN  35747  poml4N  35758
  Copyright terms: Public domain W3C validator