Theorem 2polvalN 40184

Description: Value of double polarity. (Contributed by NM, 25-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
2polval.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
2polval.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2polval.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
2polval.p	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2polvalN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = (𝑀‘(𝑈‘𝑋)))

Proof of Theorem 2polvalN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2polval.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
2		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3		2polval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		2polval.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
5		2polval.p	. . . 4 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
6	1, 2, 3, 4, 5	polval2N 40176	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘(𝑈‘𝑋))))
7	6	fveq2d 6838	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = ( ⊥ ‘(𝑀‘((oc‘𝐾)‘(𝑈‘𝑋)))))
8		hlop 39632	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝐾 ∈ OP)
10		hlclat 39628	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
11		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
12	11, 3	atssbase 39560	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
13		sstr 3942	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
14	12, 13	mpan2 691	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝐴 → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
15	11, 1	clatlubcl 18426	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → (𝑈‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
16	10, 14, 15	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
17	11, 2	opoccl 39464	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑈‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑈‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
18	9, 16, 17	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((oc‘𝐾)‘(𝑈‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
19	11, 2, 4, 5	polpmapN 40182	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘(𝑈‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾)) → ( ⊥ ‘(𝑀‘((oc‘𝐾)‘(𝑈‘𝑋)))) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑈‘𝑋)))))
20	18, 19	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘(𝑀‘((oc‘𝐾)‘(𝑈‘𝑋)))) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑈‘𝑋)))))
21	11, 2	opococ 39465	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑈‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑈‘𝑋))) = (𝑈‘𝑋))
22	9, 16, 21	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑈‘𝑋))) = (𝑈‘𝑋))
23	22	fveq2d 6838	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑈‘𝑋)))) = (𝑀‘(𝑈‘𝑋)))
24	7, 20, 23	3eqtrd 2775	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = (𝑀‘(𝑈‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3901  ‘cfv 6492  Basecbs 17136  occoc 17185  lubclub 18232  CLatccla 18421  OPcops 39442  Atomscatm 39533  HLchlt 39620  pmapcpmap 39767  ⊥_𝑃cpolN 40172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-proset 18217  df-poset 18236  df-plt 18251  df-lub 18267  df-glb 18268  df-join 18269  df-meet 18270  df-p0 18346  df-p1 18347  df-lat 18355  df-clat 18422  df-oposet 39446  df-ol 39448  df-oml 39449  df-covers 39536  df-ats 39537  df-atl 39568  df-cvlat 39592  df-hlat 39621  df-pmap 39774  df-polarityN 40173

This theorem is referenced by:  2polssN  40185  3polN  40186  sspmaplubN  40195  2pmaplubN  40196  paddunN  40197  pnonsingN  40203  pmapidclN  40212  poml4N  40223