Theorem 2polvalN 40971

Description: Value of double polarity. (Contributed by NM, 25-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
2polval.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
2polval.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2polval.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
2polval.p	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2polvalN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = (𝑀‘(𝑈‘𝑋)))

Proof of Theorem 2polvalN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2polval.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
2		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3		2polval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		2polval.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
5		2polval.p	. . . 4 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
6	1, 2, 3, 4, 5	polval2N 40963	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘(𝑈‘𝑋))))
7	6	fveq2d 6889	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = ( ⊥ ‘(𝑀‘((oc‘𝐾)‘(𝑈‘𝑋)))))
8		hlop 40419	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
9	8	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝐾 ∈ OP)
10		hlclat 40415	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
11		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
12	11, 3	atssbase 40347	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
13		sstr 3939	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
14	12, 13	mpan2 704	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝐴 → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
15	11, 1	clatlubcl 18677	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → (𝑈‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
16	10, 14, 15	syl2an 608	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
17	11, 2	opoccl 40251	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑈‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑈‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
18	9, 16, 17	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((oc‘𝐾)‘(𝑈‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
19	11, 2, 4, 5	polpmapN 40969	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘(𝑈‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾)) → ( ⊥ ‘(𝑀‘((oc‘𝐾)‘(𝑈‘𝑋)))) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑈‘𝑋)))))
20	18, 19	syldan 603	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘(𝑀‘((oc‘𝐾)‘(𝑈‘𝑋)))) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑈‘𝑋)))))
21	11, 2	opococ 40252	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑈‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑈‘𝑋))) = (𝑈‘𝑋))
22	9, 16, 21	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑈‘𝑋))) = (𝑈‘𝑋))
23	22	fveq2d 6889	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑈‘𝑋)))) = (𝑀‘(𝑈‘𝑋)))
24	7, 20, 23	3eqtrd 2800	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = (𝑀‘(𝑈‘𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6538  Basecbs 17387  occoc 17436  lubclub 18483  CLatccla 18672  OPcops 40229  Atomscatm 40320  HLchlt 40407  pmapcpmap 40554  ⊥_𝑃cpolN 40959

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-proset 18468  df-poset 18487  df-plt 18502  df-lub 18518  df-glb 18519  df-join 18520  df-meet 18521  df-p0 18597  df-p1 18598  df-lat 18606  df-clat 18673  df-oposet 40233  df-ol 40235  df-oml 40236  df-covers 40323  df-ats 40324  df-atl 40355  df-cvlat 40379  df-hlat 40408  df-pmap 40561  df-polarityN 40960

This theorem is used by:  2polssN  40972  3polN  40973  sspmaplubN  40982  2pmaplubN  40983  paddunN  40984  pnonsingN  40990  pmapidclN  40999  poml4N  41010