Theorem 2polvalN 39427

Description: Value of double polarity. (Contributed by NM, 25-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
2polval.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
2polval.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2polval.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
2polval.p	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2polvalN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = (𝑀‘(𝑈‘𝑋)))

Proof of Theorem 2polvalN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2polval.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
2		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3		2polval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		2polval.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
5		2polval.p	. . . 4 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
6	1, 2, 3, 4, 5	polval2N 39419	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘(𝑈‘𝑋))))
7	6	fveq2d 6906	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = ( ⊥ ‘(𝑀‘((oc‘𝐾)‘(𝑈‘𝑋)))))
8		hlop 38874	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
9	8	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝐾 ∈ OP)
10		hlclat 38870	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
11		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
12	11, 3	atssbase 38802	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
13		sstr 3990	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
14	12, 13	mpan2 689	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝐴 → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
15	11, 1	clatlubcl 18504	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → (𝑈‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
16	10, 14, 15	syl2an 594	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
17	11, 2	opoccl 38706	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑈‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑈‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
18	9, 16, 17	syl2anc 582	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((oc‘𝐾)‘(𝑈‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
19	11, 2, 4, 5	polpmapN 39425	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘(𝑈‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾)) → ( ⊥ ‘(𝑀‘((oc‘𝐾)‘(𝑈‘𝑋)))) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑈‘𝑋)))))
20	18, 19	syldan 589	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘(𝑀‘((oc‘𝐾)‘(𝑈‘𝑋)))) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑈‘𝑋)))))
21	11, 2	opococ 38707	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑈‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑈‘𝑋))) = (𝑈‘𝑋))
22	9, 16, 21	syl2anc 582	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑈‘𝑋))) = (𝑈‘𝑋))
23	22	fveq2d 6906	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑈‘𝑋)))) = (𝑀‘(𝑈‘𝑋)))
24	7, 20, 23	3eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = (𝑀‘(𝑈‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3949  ‘cfv 6553  Basecbs 17189  occoc 17250  lubclub 18310  CLatccla 18499  OPcops 38684  Atomscatm 38775  HLchlt 38862  pmapcpmap 39010  ⊥_𝑃cpolN 39415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-proset 18296  df-poset 18314  df-plt 18331  df-lub 18347  df-glb 18348  df-join 18349  df-meet 18350  df-p0 18426  df-p1 18427  df-lat 18433  df-clat 18500  df-oposet 38688  df-ol 38690  df-oml 38691  df-covers 38778  df-ats 38779  df-atl 38810  df-cvlat 38834  df-hlat 38863  df-pmap 39017  df-polarityN 39416

This theorem is referenced by:  2polssN  39428  3polN  39429  sspmaplubN  39438  2pmaplubN  39439  paddunN  39440  pnonsingN  39446  pmapidclN  39455  poml4N  39466