Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2polvalN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2polvalN 37044
Description: Value of double polarity. (Contributed by NM, 25-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2polval.u 𝑈 = (lub‘𝐾)
2polval.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2polval.m 𝑀 = (pmap‘𝐾)
2polval.p = (⊥𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
2polvalN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( ‘( 𝑋)) = (𝑀‘(𝑈𝑋)))

Proof of Theorem 2polvalN
StepHypRef Expression
1 2polval.u . . . 4 𝑈 = (lub‘𝐾)
2 eqid 2821 . . . 4 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3 2polval.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 2polval.m . . . 4 𝑀 = (pmap‘𝐾)
5 2polval.p . . . 4 = (⊥𝑃𝐾)
61, 2, 3, 4, 5polval2N 37036 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( 𝑋) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘(𝑈𝑋))))
76fveq2d 6669 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( ‘( 𝑋)) = ( ‘(𝑀‘((oc‘𝐾)‘(𝑈𝑋)))))
8 hlop 36492 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
98adantr 483 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → 𝐾 ∈ OP)
10 hlclat 36488 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
11 eqid 2821 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1211, 3atssbase 36420 . . . . . 6 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
13 sstr 3975 . . . . . 6 ((𝑋𝐴𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
1412, 13mpan2 689 . . . . 5 (𝑋𝐴𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
1511, 1clatlubcl 17716 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → (𝑈𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
1610, 14, 15syl2an 597 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝑈𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
1711, 2opoccl 36324 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑈𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑈𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
189, 16, 17syl2anc 586 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ((oc‘𝐾)‘(𝑈𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
1911, 2, 4, 5polpmapN 37042 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘(𝑈𝑋)) ∈ (Base‘𝐾)) → ( ‘(𝑀‘((oc‘𝐾)‘(𝑈𝑋)))) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑈𝑋)))))
2018, 19syldan 593 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( ‘(𝑀‘((oc‘𝐾)‘(𝑈𝑋)))) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑈𝑋)))))
2111, 2opococ 36325 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑈𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑈𝑋))) = (𝑈𝑋))
229, 16, 21syl2anc 586 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑈𝑋))) = (𝑈𝑋))
2322fveq2d 6669 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑈𝑋)))) = (𝑀‘(𝑈𝑋)))
247, 20, 233eqtrd 2860 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( ‘( 𝑋)) = (𝑀‘(𝑈𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1533  wcel 2110  wss 3936  cfv 6350  Basecbs 16477  occoc 16567  lubclub 17546  CLatccla 17711  OPcops 36302  Atomscatm 36393  HLchlt 36480  pmapcpmap 36627  𝑃cpolN 37032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-riotaBAD 36083
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5455  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-undef 7933  df-proset 17532  df-poset 17550  df-plt 17562  df-lub 17578  df-glb 17579  df-join 17580  df-meet 17581  df-p0 17643  df-p1 17644  df-lat 17650  df-clat 17712  df-oposet 36306  df-ol 36308  df-oml 36309  df-covers 36396  df-ats 36397  df-atl 36428  df-cvlat 36452  df-hlat 36481  df-pmap 36634  df-polarityN 37033
This theorem is referenced by:  2polssN  37045  3polN  37046  sspmaplubN  37055  2pmaplubN  37056  paddunN  37057  pnonsingN  37063  pmapidclN  37072  poml4N  37083
  Copyright terms: Public domain W3C validator