Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | 2polval.u |
. . . 4
β’ π = (lubβπΎ) |
2 | | eqid 2737 |
. . . 4
β’
(ocβπΎ) =
(ocβπΎ) |
3 | | 2polval.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
4 | | 2polval.m |
. . . 4
β’ π = (pmapβπΎ) |
5 | | 2polval.p |
. . . 4
β’ β₯ =
(β₯πβπΎ) |
6 | 1, 2, 3, 4, 5 | polval2N 38372 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄) β ( β₯ βπ) = (πβ((ocβπΎ)β(πβπ)))) |
7 | 6 | fveq2d 6847 |
. 2
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄) β ( β₯ β( β₯
βπ)) = ( β₯
β(πβ((ocβπΎ)β(πβπ))))) |
8 | | hlop 37827 |
. . . . 5
β’ (πΎ β HL β πΎ β OP) |
9 | 8 | adantr 482 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄) β πΎ β OP) |
10 | | hlclat 37823 |
. . . . 5
β’ (πΎ β HL β πΎ β CLat) |
11 | | eqid 2737 |
. . . . . . 7
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
12 | 11, 3 | atssbase 37755 |
. . . . . 6
β’ π΄ β (BaseβπΎ) |
13 | | sstr 3953 |
. . . . . 6
β’ ((π β π΄ β§ π΄ β (BaseβπΎ)) β π β (BaseβπΎ)) |
14 | 12, 13 | mpan2 690 |
. . . . 5
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
15 | 11, 1 | clatlubcl 18393 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β CLat β§ π β (BaseβπΎ)) β (πβπ) β (BaseβπΎ)) |
16 | 10, 14, 15 | syl2an 597 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄) β (πβπ) β (BaseβπΎ)) |
17 | 11, 2 | opoccl 37659 |
. . . 4
β’ ((πΎ β OP β§ (πβπ) β (BaseβπΎ)) β ((ocβπΎ)β(πβπ)) β (BaseβπΎ)) |
18 | 9, 16, 17 | syl2anc 585 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄) β ((ocβπΎ)β(πβπ)) β (BaseβπΎ)) |
19 | 11, 2, 4, 5 | polpmapN 38378 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§
((ocβπΎ)β(πβπ)) β (BaseβπΎ)) β ( β₯ β(πβ((ocβπΎ)β(πβπ)))) = (πβ((ocβπΎ)β((ocβπΎ)β(πβπ))))) |
20 | 18, 19 | syldan 592 |
. 2
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄) β ( β₯ β(πβ((ocβπΎ)β(πβπ)))) = (πβ((ocβπΎ)β((ocβπΎ)β(πβπ))))) |
21 | 11, 2 | opococ 37660 |
. . . 4
β’ ((πΎ β OP β§ (πβπ) β (BaseβπΎ)) β ((ocβπΎ)β((ocβπΎ)β(πβπ))) = (πβπ)) |
22 | 9, 16, 21 | syl2anc 585 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄) β ((ocβπΎ)β((ocβπΎ)β(πβπ))) = (πβπ)) |
23 | 22 | fveq2d 6847 |
. 2
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄) β (πβ((ocβπΎ)β((ocβπΎ)β(πβπ)))) = (πβ(πβπ))) |
24 | 7, 20, 23 | 3eqtrd 2781 |
1
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄) β ( β₯ β( β₯
βπ)) = (πβ(πβπ))) |