Theorem 2polvalN 37052

Description: Value of double polarity. (Contributed by NM, 25-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
2polval.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
2polval.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2polval.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
2polval.p	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2polvalN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = (𝑀‘(𝑈‘𝑋)))

Proof of Theorem 2polvalN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2polval.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
2		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3		2polval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		2polval.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
5		2polval.p	. . . 4 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
6	1, 2, 3, 4, 5	polval2N 37044	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘(𝑈‘𝑋))))
7	6	fveq2d 6676	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = ( ⊥ ‘(𝑀‘((oc‘𝐾)‘(𝑈‘𝑋)))))
8		hlop 36500	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
9	8	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝐾 ∈ OP)
10		hlclat 36496	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
11		eqid 2823	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
12	11, 3	atssbase 36428	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
13		sstr 3977	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
14	12, 13	mpan2 689	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝐴 → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
15	11, 1	clatlubcl 17724	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → (𝑈‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
16	10, 14, 15	syl2an 597	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
17	11, 2	opoccl 36332	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑈‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑈‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
18	9, 16, 17	syl2anc 586	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((oc‘𝐾)‘(𝑈‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
19	11, 2, 4, 5	polpmapN 37050	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘(𝑈‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾)) → ( ⊥ ‘(𝑀‘((oc‘𝐾)‘(𝑈‘𝑋)))) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑈‘𝑋)))))
20	18, 19	syldan 593	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘(𝑀‘((oc‘𝐾)‘(𝑈‘𝑋)))) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑈‘𝑋)))))
21	11, 2	opococ 36333	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑈‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑈‘𝑋))) = (𝑈‘𝑋))
22	9, 16, 21	syl2anc 586	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑈‘𝑋))) = (𝑈‘𝑋))
23	22	fveq2d 6676	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑈‘𝑋)))) = (𝑀‘(𝑈‘𝑋)))
24	7, 20, 23	3eqtrd 2862	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = (𝑀‘(𝑈‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3938  ‘cfv 6357  Basecbs 16485  occoc 16575  lubclub 17554  CLatccla 17719  OPcops 36310  Atomscatm 36401  HLchlt 36488  pmapcpmap 36635  ⊥_𝑃cpolN 37040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-riotaBAD 36091

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-undef 7941  df-proset 17540  df-poset 17558  df-plt 17570  df-lub 17586  df-glb 17587  df-join 17588  df-meet 17589  df-p0 17651  df-p1 17652  df-lat 17658  df-clat 17720  df-oposet 36314  df-ol 36316  df-oml 36317  df-covers 36404  df-ats 36405  df-atl 36436  df-cvlat 36460  df-hlat 36489  df-pmap 36642  df-polarityN 37041

This theorem is referenced by:  2polssN  37053  3polN  37054  sspmaplubN  37063  2pmaplubN  37064  paddunN  37065  pnonsingN  37071  pmapidclN  37080  poml4N  37091