Theorem 2polvalN 39298

Description: Value of double polarity. (Contributed by NM, 25-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
2polval.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
2polval.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2polval.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
2polval.p	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2polvalN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = (𝑀‘(𝑈‘𝑋)))

Proof of Theorem 2polvalN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2polval.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
2		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3		2polval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		2polval.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
5		2polval.p	. . . 4 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
6	1, 2, 3, 4, 5	polval2N 39290	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘(𝑈‘𝑋))))
7	6	fveq2d 6889	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = ( ⊥ ‘(𝑀‘((oc‘𝐾)‘(𝑈‘𝑋)))))
8		hlop 38745	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝐾 ∈ OP)
10		hlclat 38741	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
11		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
12	11, 3	atssbase 38673	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
13		sstr 3985	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
14	12, 13	mpan2 688	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝐴 → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
15	11, 1	clatlubcl 18468	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → (𝑈‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
16	10, 14, 15	syl2an 595	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
17	11, 2	opoccl 38577	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑈‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑈‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
18	9, 16, 17	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((oc‘𝐾)‘(𝑈‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
19	11, 2, 4, 5	polpmapN 39296	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘(𝑈‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾)) → ( ⊥ ‘(𝑀‘((oc‘𝐾)‘(𝑈‘𝑋)))) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑈‘𝑋)))))
20	18, 19	syldan 590	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘(𝑀‘((oc‘𝐾)‘(𝑈‘𝑋)))) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑈‘𝑋)))))
21	11, 2	opococ 38578	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑈‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑈‘𝑋))) = (𝑈‘𝑋))
22	9, 16, 21	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑈‘𝑋))) = (𝑈‘𝑋))
23	22	fveq2d 6889	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑈‘𝑋)))) = (𝑀‘(𝑈‘𝑋)))
24	7, 20, 23	3eqtrd 2770	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = (𝑀‘(𝑈‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3943  ‘cfv 6537  Basecbs 17153  occoc 17214  lubclub 18274  CLatccla 18463  OPcops 38555  Atomscatm 38646  HLchlt 38733  pmapcpmap 38881  ⊥_𝑃cpolN 39286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-pmap 38888  df-polarityN 39287

This theorem is referenced by:  2polssN  39299  3polN  39300  sspmaplubN  39309  2pmaplubN  39310  paddunN  39311  pnonsingN  39317  pmapidclN  39326  poml4N  39337