Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oldmm4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oldmm4 37649
Description: De Morgan's law for meet in an ortholattice. (chdmm4 30356 analog.) (Contributed by NM, 6-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
oldmm1.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
oldmm1.j = (join‘𝐾)
oldmm1.m = (meet‘𝐾)
oldmm1.o = (oc‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
oldmm4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(( 𝑋) ( 𝑌))) = (𝑋 𝑌))

Proof of Theorem oldmm4
StepHypRef Expression
1 olop 37643 . . . . 5 (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
2 oldmm1.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 oldmm1.o . . . . . 6 = (oc‘𝐾)
42, 3opoccl 37623 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌𝐵) → ( 𝑌) ∈ 𝐵)
51, 4sylan 580 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑌𝐵) → ( 𝑌) ∈ 𝐵)
653adant2 1131 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( 𝑌) ∈ 𝐵)
7 oldmm1.j . . . 4 = (join‘𝐾)
8 oldmm1.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
92, 7, 8, 3oldmm2 37647 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵 ∧ ( 𝑌) ∈ 𝐵) → ( ‘(( 𝑋) ( 𝑌))) = (𝑋 ( ‘( 𝑌))))
106, 9syld3an3 1409 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(( 𝑋) ( 𝑌))) = (𝑋 ( ‘( 𝑌))))
112, 3opococ 37624 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌𝐵) → ( ‘( 𝑌)) = 𝑌)
121, 11sylan 580 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑌𝐵) → ( ‘( 𝑌)) = 𝑌)
13123adant2 1131 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘( 𝑌)) = 𝑌)
1413oveq2d 7369 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 ( ‘( 𝑌))) = (𝑋 𝑌))
1510, 14eqtrd 2776 1 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(( 𝑋) ( 𝑌))) = (𝑋 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6493  (class class class)co 7353  Basecbs 17075  occoc 17133  joincjn 18192  meetcmee 18193  OPcops 37601  OLcol 37603
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-proset 18176  df-poset 18194  df-lub 18227  df-glb 18228  df-join 18229  df-meet 18230  df-lat 18313  df-oposet 37605  df-ol 37607
This theorem is referenced by:  oldmj1  37650  omlfh3N  37688  pmapj2N  38359  djhlj  39831
  Copyright terms: Public domain W3C validator