Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oldmm4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oldmm4 36971
Description: De Morgan's law for meet in an ortholattice. (chdmm4 29609 analog.) (Contributed by NM, 6-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
oldmm1.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
oldmm1.j = (join‘𝐾)
oldmm1.m = (meet‘𝐾)
oldmm1.o = (oc‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
oldmm4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(( 𝑋) ( 𝑌))) = (𝑋 𝑌))

Proof of Theorem oldmm4
StepHypRef Expression
1 olop 36965 . . . . 5 (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
2 oldmm1.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 oldmm1.o . . . . . 6 = (oc‘𝐾)
42, 3opoccl 36945 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌𝐵) → ( 𝑌) ∈ 𝐵)
51, 4sylan 583 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑌𝐵) → ( 𝑌) ∈ 𝐵)
653adant2 1133 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( 𝑌) ∈ 𝐵)
7 oldmm1.j . . . 4 = (join‘𝐾)
8 oldmm1.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
92, 7, 8, 3oldmm2 36969 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵 ∧ ( 𝑌) ∈ 𝐵) → ( ‘(( 𝑋) ( 𝑌))) = (𝑋 ( ‘( 𝑌))))
106, 9syld3an3 1411 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(( 𝑋) ( 𝑌))) = (𝑋 ( ‘( 𝑌))))
112, 3opococ 36946 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌𝐵) → ( ‘( 𝑌)) = 𝑌)
121, 11sylan 583 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑌𝐵) → ( ‘( 𝑌)) = 𝑌)
13123adant2 1133 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘( 𝑌)) = 𝑌)
1413oveq2d 7229 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 ( ‘( 𝑌))) = (𝑋 𝑌))
1510, 14eqtrd 2777 1 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(( 𝑋) ( 𝑌))) = (𝑋 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760  occoc 16810  joincjn 17818  meetcmee 17819  OPcops 36923  OLcol 36925
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-proset 17802  df-poset 17820  df-lub 17852  df-glb 17853  df-join 17854  df-meet 17855  df-lat 17938  df-oposet 36927  df-ol 36929
This theorem is referenced by:  oldmj1  36972  omlfh3N  37010  pmapj2N  37680  djhlj  39152
  Copyright terms: Public domain W3C validator