Theorem oldmm4 39176

Description: De Morgan's law for meet in an ortholattice. (chdmm4 31560 analog.) (Contributed by NM, 6-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
oldmm1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
oldmm1.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
oldmm1.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
oldmm1.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
oldmm4	⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌))) = (𝑋 ∨ 𝑌))

Proof of Theorem oldmm4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		olop 39170	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
2		oldmm1.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		oldmm1.o	. . . . . 6 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
4	2, 3	opoccl 39150	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
5	1, 4	sylan 579	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
6	5	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
7		oldmm1.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
8		oldmm1.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
9	2, 7, 8, 3	oldmm2 39174	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌))) = (𝑋 ∨ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))))
10	6, 9	syld3an3 1409	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌))) = (𝑋 ∨ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))))
11	2, 3	opococ 39151	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) = 𝑌)
12	1, 11	sylan 579	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) = 𝑌)
13	12	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) = 𝑌)
14	13	oveq2d 7464	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))) = (𝑋 ∨ 𝑌))
15	10, 14	eqtrd 2780	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌))) = (𝑋 ∨ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  occoc 17319  joincjn 18381  meetcmee 18382  OPcops 39128  OLcol 39130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-proset 18365  df-poset 18383  df-lub 18416  df-glb 18417  df-join 18418  df-meet 18419  df-lat 18502  df-oposet 39132  df-ol 39134

This theorem is referenced by:  oldmj1  39177  omlfh3N  39215  pmapj2N  39886  djhlj  41358