Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oldmm4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oldmm4 35837
Description: De Morgan's law for meet in an ortholattice. (chdmm4 28984 analog.) (Contributed by NM, 6-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
oldmm1.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
oldmm1.j = (join‘𝐾)
oldmm1.m = (meet‘𝐾)
oldmm1.o = (oc‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
oldmm4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(( 𝑋) ( 𝑌))) = (𝑋 𝑌))

Proof of Theorem oldmm4
StepHypRef Expression
1 olop 35831 . . . . 5 (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
2 oldmm1.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 oldmm1.o . . . . . 6 = (oc‘𝐾)
42, 3opoccl 35811 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌𝐵) → ( 𝑌) ∈ 𝐵)
51, 4sylan 580 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑌𝐵) → ( 𝑌) ∈ 𝐵)
653adant2 1122 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( 𝑌) ∈ 𝐵)
7 oldmm1.j . . . 4 = (join‘𝐾)
8 oldmm1.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
92, 7, 8, 3oldmm2 35835 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵 ∧ ( 𝑌) ∈ 𝐵) → ( ‘(( 𝑋) ( 𝑌))) = (𝑋 ( ‘( 𝑌))))
106, 9syld3an3 1400 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(( 𝑋) ( 𝑌))) = (𝑋 ( ‘( 𝑌))))
112, 3opococ 35812 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌𝐵) → ( ‘( 𝑌)) = 𝑌)
121, 11sylan 580 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑌𝐵) → ( ‘( 𝑌)) = 𝑌)
13123adant2 1122 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘( 𝑌)) = 𝑌)
1413oveq2d 7023 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 ( ‘( 𝑌))) = (𝑋 𝑌))
1510, 14eqtrd 2829 1 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(( 𝑋) ( 𝑌))) = (𝑋 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1078   = wceq 1520  wcel 2079  cfv 6217  (class class class)co 7007  Basecbs 16300  occoc 16390  joincjn 17371  meetcmee 17372  OPcops 35789  OLcol 35791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-op 4473  df-uni 4740  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-id 5340  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-proset 17355  df-poset 17373  df-lub 17401  df-glb 17402  df-join 17403  df-meet 17404  df-lat 17473  df-oposet 35793  df-ol 35795
This theorem is referenced by:  oldmj1  35838  omlfh3N  35876  pmapj2N  36546  djhlj  38018
  Copyright terms: Public domain W3C validator