Theorem oldmj1 40371

Description: De Morgan's law for join in an ortholattice. (chdmj1 32136 analog.) (Contributed by NM, 6-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
oldmm1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
oldmm1.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
oldmm1.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
oldmm1.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
oldmj1	⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = (( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)))

Proof of Theorem oldmj1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oldmm1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		oldmm1.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		oldmm1.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4		oldmm1.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	oldmm4 40370	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌))) = (𝑋 ∨ 𝑌))
6	5	fveq2d 6889	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)))) = ( ⊥ ‘(𝑋 ∨ 𝑌)))
7		olop 40364	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
8	7	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
9		ollat 40363	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat)
10	9	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
11	1, 4	opoccl 40344	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)
12	7, 11	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)
13	12	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)
14	1, 4	opoccl 40344	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
15	7, 14	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
16	15	3adant2 1149	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
17	1, 3	latmcl 18619	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ 𝐵)
18	10, 13, 16, 17	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ 𝐵)
19	1, 4	opococ 40345	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)))) = (( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)))
20	8, 18, 19	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)))) = (( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)))
21	6, 20	eqtr3d 2797	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = (( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17392  occoc 17441  joincjn 18490  meetcmee 18491  Latclat 18610  OPcops 40322  OLcol 40324

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-proset 18473  df-poset 18492  df-lub 18523  df-glb 18524  df-join 18525  df-meet 18526  df-lat 18611  df-oposet 40326  df-ol 40328

This theorem is used by:  oldmj2  40372  oldmj3  40373  cmtbr2N  40403  omlfh1N  40408  omlfh3N  40409  cvrexch  40570  poldmj1N  41078  lhpmod2i2  41188  lhpmod6i1  41189  djajN  42287