Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | oldmm1.b |
. . . 4
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
2 | | oldmm1.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
3 | | oldmm1.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
4 | | oldmm1.o |
. . . 4
β’ β₯ =
(ocβπΎ) |
5 | 1, 2, 3, 4 | oldmm4 37273 |
. . 3
β’ ((πΎ β OL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β ( β₯ β(( β₯
βπ) β§ ( β₯
βπ))) = (π β¨ π)) |
6 | 5 | fveq2d 6804 |
. 2
β’ ((πΎ β OL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β ( β₯ β( β₯
β(( β₯ βπ) β§ ( β₯ βπ)))) = ( β₯ β(π β¨ π))) |
7 | | olop 37267 |
. . . 4
β’ (πΎ β OL β πΎ β OP) |
8 | 7 | 3ad2ant1 1133 |
. . 3
β’ ((πΎ β OL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β πΎ β OP) |
9 | | ollat 37266 |
. . . . 5
β’ (πΎ β OL β πΎ β Lat) |
10 | 9 | 3ad2ant1 1133 |
. . . 4
β’ ((πΎ β OL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β πΎ β Lat) |
11 | 1, 4 | opoccl 37247 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β OP β§ π β π΅) β ( β₯ βπ) β π΅) |
12 | 7, 11 | sylan 581 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β OL β§ π β π΅) β ( β₯ βπ) β π΅) |
13 | 12 | 3adant3 1132 |
. . . 4
β’ ((πΎ β OL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β ( β₯ βπ) β π΅) |
14 | 1, 4 | opoccl 37247 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β OP β§ π β π΅) β ( β₯ βπ) β π΅) |
15 | 7, 14 | sylan 581 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β OL β§ π β π΅) β ( β₯ βπ) β π΅) |
16 | 15 | 3adant2 1131 |
. . . 4
β’ ((πΎ β OL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β ( β₯ βπ) β π΅) |
17 | 1, 3 | latmcl 18199 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ ( β₯
βπ) β π΅ β§ ( β₯ βπ) β π΅) β (( β₯ βπ) β§ ( β₯ βπ)) β π΅) |
18 | 10, 13, 16, 17 | syl3anc 1371 |
. . 3
β’ ((πΎ β OL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (( β₯ βπ) β§ ( β₯ βπ)) β π΅) |
19 | 1, 4 | opococ 37248 |
. . 3
β’ ((πΎ β OP β§ (( β₯
βπ) β§ ( β₯
βπ)) β π΅) β ( β₯ β( β₯
β(( β₯ βπ) β§ ( β₯ βπ)))) = (( β₯ βπ) β§ ( β₯ βπ))) |
20 | 8, 18, 19 | syl2anc 585 |
. 2
β’ ((πΎ β OL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β ( β₯ β( β₯
β(( β₯ βπ) β§ ( β₯ βπ)))) = (( β₯ βπ) β§ ( β₯ βπ))) |
21 | 6, 20 | eqtr3d 2778 |
1
β’ ((πΎ β OL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β ( β₯ β(π β¨ π)) = (( β₯ βπ) β§ ( β₯ βπ))) |