Theorem oldmj1 40470

Description: De Morgan's law for join in an ortholattice. (chdmj1 32161 analog.) (Contributed by NM, 6-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
oldmm1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
oldmm1.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
oldmm1.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
oldmm1.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
oldmj1	⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = (( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)))

Proof of Theorem oldmj1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oldmm1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		oldmm1.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		oldmm1.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4		oldmm1.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	oldmm4 40469	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌))) = (𝑋 ∨ 𝑌))
6	5	fveq2d 6912	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)))) = ( ⊥ ‘(𝑋 ∨ 𝑌)))
7		olop 40463	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
8	7	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
9		ollat 40462	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat)
10	9	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
11	1, 4	opoccl 40443	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)
12	7, 11	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)
13	12	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)
14	1, 4	opoccl 40443	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
15	7, 14	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
16	15	3adant2 1149	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
17	1, 3	latmcl 18643	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ 𝐵)
18	10, 13, 16, 17	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ 𝐵)
19	1, 4	opococ 40444	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)))) = (( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)))
20	8, 18, 19	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)))) = (( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)))
21	6, 20	eqtr3d 2800	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = (( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Basecbs 17416  occoc 17465  joincjn 18514  meetcmee 18515  Latclat 18634  OPcops 40421  OLcol 40423

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-proset 18497  df-poset 18516  df-lub 18547  df-glb 18548  df-join 18549  df-meet 18550  df-lat 18635  df-oposet 40425  df-ol 40427

This theorem is used by:  oldmj2  40471  oldmj3  40472  cmtbr2N  40502  omlfh1N  40507  omlfh3N  40508  cvrexch  40669  poldmj1N  41177  lhpmod2i2  41287  lhpmod6i1  41288  djajN  42386