Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oldmj1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oldmj1 37274
Description: De Morgan's law for join in an ortholattice. (chdmj1 29932 analog.) (Contributed by NM, 6-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
oldmm1.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
oldmm1.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
oldmm1.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
oldmm1.o βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
oldmj1 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)))

Proof of Theorem oldmj1
StepHypRef Expression
1 oldmm1.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 oldmm1.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
3 oldmm1.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
4 oldmm1.o . . . 4 βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
51, 2, 3, 4oldmm4 37273 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ))) = (𝑋 ∨ π‘Œ))
65fveq2d 6804 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)))) = ( βŠ₯ β€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)))
7 olop 37267 . . . 4 (𝐾 ∈ OL β†’ 𝐾 ∈ OP)
873ad2ant1 1133 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ OP)
9 ollat 37266 . . . . 5 (𝐾 ∈ OL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
1093ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
111, 4opoccl 37247 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
127, 11sylan 581 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
13123adant3 1132 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
141, 4opoccl 37247 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
157, 14sylan 581 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
16153adant2 1131 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
171, 3latmcl 18199 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) ∈ 𝐡)
1810, 13, 16, 17syl3anc 1371 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) ∈ 𝐡)
191, 4opococ 37248 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)))) = (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)))
208, 18, 19syl2anc 585 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)))) = (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)))
216, 20eqtr3d 2778 1 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  β€˜cfv 6454  (class class class)co 7303  Basecbs 16953  occoc 17011  joincjn 18070  meetcmee 18071  Latclat 18190  OPcops 37225  OLcol 37227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7616
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5496  df-xp 5602  df-rel 5603  df-cnv 5604  df-co 5605  df-dm 5606  df-rn 5607  df-res 5608  df-ima 5609  df-iota 6406  df-fun 6456  df-fn 6457  df-f 6458  df-f1 6459  df-fo 6460  df-f1o 6461  df-fv 6462  df-riota 7260  df-ov 7306  df-oprab 7307  df-proset 18054  df-poset 18072  df-lub 18105  df-glb 18106  df-join 18107  df-meet 18108  df-lat 18191  df-oposet 37229  df-ol 37231
This theorem is referenced by:  oldmj2  37275  oldmj3  37276  cmtbr2N  37306  omlfh1N  37311  omlfh3N  37312  cvrexch  37473  poldmj1N  37981  lhpmod2i2  38091  lhpmod6i1  38092  djajN  39190
  Copyright terms: Public domain W3C validator