Theorem oldmj1 38693

Description: De Morgan's law for join in an ortholattice. (chdmj1 31352 analog.) (Contributed by NM, 6-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
oldmm1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
oldmm1.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
oldmm1.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
oldmm1.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
oldmj1	⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = (( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)))

Proof of Theorem oldmj1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oldmm1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		oldmm1.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		oldmm1.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4		oldmm1.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	oldmm4 38692	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌))) = (𝑋 ∨ 𝑌))
6	5	fveq2d 6901	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)))) = ( ⊥ ‘(𝑋 ∨ 𝑌)))
7		olop 38686	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
8	7	3ad2ant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
9		ollat 38685	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat)
10	9	3ad2ant1 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
11	1, 4	opoccl 38666	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)
12	7, 11	sylan 579	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)
13	12	3adant3 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)
14	1, 4	opoccl 38666	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
15	7, 14	sylan 579	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
16	15	3adant2 1129	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
17	1, 3	latmcl 18432	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ 𝐵)
18	10, 13, 16, 17	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ 𝐵)
19	1, 4	opococ 38667	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)))) = (( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)))
20	8, 18, 19	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)))) = (( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)))
21	6, 20	eqtr3d 2770	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = (( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180  occoc 17241  joincjn 18303  meetcmee 18304  Latclat 18423  OPcops 38644  OLcol 38646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-proset 18287  df-poset 18305  df-lub 18338  df-glb 18339  df-join 18340  df-meet 18341  df-lat 18424  df-oposet 38648  df-ol 38650

This theorem is referenced by:  oldmj2  38694  oldmj3  38695  cmtbr2N  38725  omlfh1N  38730  omlfh3N  38731  cvrexch  38893  poldmj1N  39401  lhpmod2i2  39511  lhpmod6i1  39512  djajN  40610