Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oldmj1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oldmj1 36516
 Description: De Morgan's law for join in an ortholattice. (chdmj1 29316 analog.) (Contributed by NM, 6-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
oldmm1.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
oldmm1.j = (join‘𝐾)
oldmm1.m = (meet‘𝐾)
oldmm1.o = (oc‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
oldmj1 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(𝑋 𝑌)) = (( 𝑋) ( 𝑌)))

Proof of Theorem oldmj1
StepHypRef Expression
1 oldmm1.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 oldmm1.j . . . 4 = (join‘𝐾)
3 oldmm1.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
4 oldmm1.o . . . 4 = (oc‘𝐾)
51, 2, 3, 4oldmm4 36515 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(( 𝑋) ( 𝑌))) = (𝑋 𝑌))
65fveq2d 6653 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘( ‘(( 𝑋) ( 𝑌)))) = ( ‘(𝑋 𝑌)))
7 olop 36509 . . . 4 (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
873ad2ant1 1130 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
9 ollat 36508 . . . . 5 (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat)
1093ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
111, 4opoccl 36489 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ( 𝑋) ∈ 𝐵)
127, 11sylan 583 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → ( 𝑋) ∈ 𝐵)
13123adant3 1129 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( 𝑋) ∈ 𝐵)
141, 4opoccl 36489 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌𝐵) → ( 𝑌) ∈ 𝐵)
157, 14sylan 583 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑌𝐵) → ( 𝑌) ∈ 𝐵)
16153adant2 1128 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( 𝑌) ∈ 𝐵)
171, 3latmcl 17658 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑌) ∈ 𝐵) → (( 𝑋) ( 𝑌)) ∈ 𝐵)
1810, 13, 16, 17syl3anc 1368 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (( 𝑋) ( 𝑌)) ∈ 𝐵)
191, 4opococ 36490 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ (( 𝑋) ( 𝑌)) ∈ 𝐵) → ( ‘( ‘(( 𝑋) ( 𝑌)))) = (( 𝑋) ( 𝑌)))
208, 18, 19syl2anc 587 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘( ‘(( 𝑋) ( 𝑌)))) = (( 𝑋) ( 𝑌)))
216, 20eqtr3d 2838 1 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(𝑋 𝑌)) = (( 𝑋) ( 𝑌)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  Basecbs 16479  occoc 16569  joincjn 17550  meetcmee 17551  Latclat 17651  OPcops 36467  OLcol 36469 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-proset 17534  df-poset 17552  df-lub 17580  df-glb 17581  df-join 17582  df-meet 17583  df-lat 17652  df-oposet 36471  df-ol 36473 This theorem is referenced by:  oldmj2  36517  oldmj3  36518  cmtbr2N  36548  omlfh1N  36553  omlfh3N  36554  cvrexch  36715  poldmj1N  37223  lhpmod2i2  37333  lhpmod6i1  37334  djajN  38432
 Copyright terms: Public domain W3C validator