Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oldmj1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oldmj1 35909
Description: De Morgan's law for join in an ortholattice. (chdmj1 28993 analog.) (Contributed by NM, 6-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
oldmm1.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
oldmm1.j = (join‘𝐾)
oldmm1.m = (meet‘𝐾)
oldmm1.o = (oc‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
oldmj1 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(𝑋 𝑌)) = (( 𝑋) ( 𝑌)))

Proof of Theorem oldmj1
StepHypRef Expression
1 oldmm1.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 oldmm1.j . . . 4 = (join‘𝐾)
3 oldmm1.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
4 oldmm1.o . . . 4 = (oc‘𝐾)
51, 2, 3, 4oldmm4 35908 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(( 𝑋) ( 𝑌))) = (𝑋 𝑌))
65fveq2d 6549 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘( ‘(( 𝑋) ( 𝑌)))) = ( ‘(𝑋 𝑌)))
7 olop 35902 . . . 4 (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
873ad2ant1 1126 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
9 ollat 35901 . . . . 5 (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat)
1093ad2ant1 1126 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
111, 4opoccl 35882 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ( 𝑋) ∈ 𝐵)
127, 11sylan 580 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → ( 𝑋) ∈ 𝐵)
13123adant3 1125 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( 𝑋) ∈ 𝐵)
141, 4opoccl 35882 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌𝐵) → ( 𝑌) ∈ 𝐵)
157, 14sylan 580 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑌𝐵) → ( 𝑌) ∈ 𝐵)
16153adant2 1124 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( 𝑌) ∈ 𝐵)
171, 3latmcl 17495 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑌) ∈ 𝐵) → (( 𝑋) ( 𝑌)) ∈ 𝐵)
1810, 13, 16, 17syl3anc 1364 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (( 𝑋) ( 𝑌)) ∈ 𝐵)
191, 4opococ 35883 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ (( 𝑋) ( 𝑌)) ∈ 𝐵) → ( ‘( ‘(( 𝑋) ( 𝑌)))) = (( 𝑋) ( 𝑌)))
208, 18, 19syl2anc 584 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘( ‘(( 𝑋) ( 𝑌)))) = (( 𝑋) ( 𝑌)))
216, 20eqtr3d 2835 1 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(𝑋 𝑌)) = (( 𝑋) ( 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1080   = wceq 1525  wcel 2083  cfv 6232  (class class class)co 7023  Basecbs 16316  occoc 16406  joincjn 17387  meetcmee 17388  Latclat 17488  OPcops 35860  OLcol 35862
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-id 5355  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-proset 17371  df-poset 17389  df-lub 17417  df-glb 17418  df-join 17419  df-meet 17420  df-lat 17489  df-oposet 35864  df-ol 35866
This theorem is referenced by:  oldmj2  35910  oldmj3  35911  cmtbr2N  35941  omlfh1N  35946  omlfh3N  35947  cvrexch  36108  poldmj1N  36616  lhpmod2i2  36726  lhpmod6i1  36727  djajN  37825
  Copyright terms: Public domain W3C validator