Theorem oldmj1 40102

Description: De Morgan's law for join in an ortholattice. (chdmj1 32018 analog.) (Contributed by NM, 6-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
oldmm1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
oldmm1.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
oldmm1.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
oldmm1.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
oldmj1	⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = (( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)))

Proof of Theorem oldmj1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oldmm1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		oldmm1.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		oldmm1.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4		oldmm1.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	oldmm4 40101	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌))) = (𝑋 ∨ 𝑌))
6	5	fveq2d 6886	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)))) = ( ⊥ ‘(𝑋 ∨ 𝑌)))
7		olop 40095	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
8	7	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
9		ollat 40094	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat)
10	9	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
11	1, 4	opoccl 40075	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)
12	7, 11	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)
13	12	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)
14	1, 4	opoccl 40075	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
15	7, 14	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
16	15	3adant2 1149	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
17	1, 3	latmcl 18534	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ 𝐵)
18	10, 13, 16, 17	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ 𝐵)
19	1, 4	opococ 40076	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)))) = (( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)))
20	8, 18, 19	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)))) = (( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)))
21	6, 20	eqtr3d 2799	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = (( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307  occoc 17356  joincjn 18405  meetcmee 18406  Latclat 18525  OPcops 40053  OLcol 40055

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-proset 18388  df-poset 18407  df-lub 18438  df-glb 18439  df-join 18440  df-meet 18441  df-lat 18526  df-oposet 40057  df-ol 40059

This theorem is used by:  oldmj2  40103  oldmj3  40104  cmtbr2N  40134  omlfh1N  40139  omlfh3N  40140  cvrexch  40301  poldmj1N  40809  lhpmod2i2  40919  lhpmod6i1  40920  djajN  42018