Theorem oldmj1 38602

Description: De Morgan's law for join in an ortholattice. (chdmj1 31287 analog.) (Contributed by NM, 6-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
oldmm1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
oldmm1.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
oldmm1.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
oldmm1.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
oldmj1	⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = (( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)))

Proof of Theorem oldmj1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oldmm1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		oldmm1.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		oldmm1.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4		oldmm1.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	oldmm4 38601	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌))) = (𝑋 ∨ 𝑌))
6	5	fveq2d 6888	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)))) = ( ⊥ ‘(𝑋 ∨ 𝑌)))
7		olop 38595	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
8	7	3ad2ant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
9		ollat 38594	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat)
10	9	3ad2ant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
11	1, 4	opoccl 38575	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)
12	7, 11	sylan 579	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)
13	12	3adant3 1129	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)
14	1, 4	opoccl 38575	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
15	7, 14	sylan 579	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
16	15	3adant2 1128	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
17	1, 3	latmcl 18403	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ 𝐵)
18	10, 13, 16, 17	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ 𝐵)
19	1, 4	opococ 38576	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)))) = (( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)))
20	8, 18, 19	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)))) = (( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)))
21	6, 20	eqtr3d 2768	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = (( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17151  occoc 17212  joincjn 18274  meetcmee 18275  Latclat 18394  OPcops 38553  OLcol 38555

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-proset 18258  df-poset 18276  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-lat 18395  df-oposet 38557  df-ol 38559

This theorem is referenced by:  oldmj2  38603  oldmj3  38604  cmtbr2N  38634  omlfh1N  38639  omlfh3N  38640  cvrexch  38802  poldmj1N  39310  lhpmod2i2  39420  lhpmod6i1  39421  djajN  40519