Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oldmj1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oldmj1 38693
Description: De Morgan's law for join in an ortholattice. (chdmj1 31352 analog.) (Contributed by NM, 6-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
oldmm1.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
oldmm1.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
oldmm1.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
oldmm1.o βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
oldmj1 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)))

Proof of Theorem oldmj1
StepHypRef Expression
1 oldmm1.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 oldmm1.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
3 oldmm1.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
4 oldmm1.o . . . 4 βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
51, 2, 3, 4oldmm4 38692 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ))) = (𝑋 ∨ π‘Œ))
65fveq2d 6901 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)))) = ( βŠ₯ β€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)))
7 olop 38686 . . . 4 (𝐾 ∈ OL β†’ 𝐾 ∈ OP)
873ad2ant1 1131 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ OP)
9 ollat 38685 . . . . 5 (𝐾 ∈ OL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
1093ad2ant1 1131 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
111, 4opoccl 38666 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
127, 11sylan 579 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
13123adant3 1130 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
141, 4opoccl 38666 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
157, 14sylan 579 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
16153adant2 1129 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
171, 3latmcl 18432 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) ∈ 𝐡)
1810, 13, 16, 17syl3anc 1369 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) ∈ 𝐡)
191, 4opococ 38667 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)))) = (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)))
208, 18, 19syl2anc 583 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)))) = (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)))
216, 20eqtr3d 2770 1 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180  occoc 17241  joincjn 18303  meetcmee 18304  Latclat 18423  OPcops 38644  OLcol 38646
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-proset 18287  df-poset 18305  df-lub 18338  df-glb 18339  df-join 18340  df-meet 18341  df-lat 18424  df-oposet 38648  df-ol 38650
This theorem is referenced by:  oldmj2  38694  oldmj3  38695  cmtbr2N  38725  omlfh1N  38730  omlfh3N  38731  cvrexch  38893  poldmj1N  39401  lhpmod2i2  39511  lhpmod6i1  39512  djajN  40610
  Copyright terms: Public domain W3C validator