Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oldmj2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oldmj2 37233
Description: De Morgan's law for join in an ortholattice. (chdmj2 29889 analog.) (Contributed by NM, 7-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
oldmm1.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
oldmm1.j = (join‘𝐾)
oldmm1.m = (meet‘𝐾)
oldmm1.o = (oc‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
oldmj2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(( 𝑋) 𝑌)) = (𝑋 ( 𝑌)))

Proof of Theorem oldmj2
StepHypRef Expression
1 olop 37225 . . . . 5 (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
2 oldmm1.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 oldmm1.o . . . . . 6 = (oc‘𝐾)
42, 3opoccl 37205 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ( 𝑋) ∈ 𝐵)
51, 4sylan 580 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → ( 𝑋) ∈ 𝐵)
653adant3 1131 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( 𝑋) ∈ 𝐵)
7 oldmm1.j . . . 4 = (join‘𝐾)
8 oldmm1.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
92, 7, 8, 3oldmj1 37232 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋) ∈ 𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(( 𝑋) 𝑌)) = (( ‘( 𝑋)) ( 𝑌)))
106, 9syld3an2 1410 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(( 𝑋) 𝑌)) = (( ‘( 𝑋)) ( 𝑌)))
112, 3opococ 37206 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)
121, 11sylan 580 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)
13123adant3 1131 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)
1413oveq1d 7292 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (( ‘( 𝑋)) ( 𝑌)) = (𝑋 ( 𝑌)))
1510, 14eqtrd 2778 1 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(( 𝑋) 𝑌)) = (𝑋 ( 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  cfv 6435  (class class class)co 7277  Basecbs 16910  occoc 16968  joincjn 18027  meetcmee 18028  OPcops 37183  OLcol 37185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5211  ax-sep 5225  ax-nul 5232  ax-pow 5290  ax-pr 5354  ax-un 7588
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4842  df-iun 4928  df-br 5077  df-opab 5139  df-mpt 5160  df-id 5491  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-iota 6393  df-fun 6437  df-fn 6438  df-f 6439  df-f1 6440  df-fo 6441  df-f1o 6442  df-fv 6443  df-riota 7234  df-ov 7280  df-oprab 7281  df-proset 18011  df-poset 18029  df-lub 18062  df-glb 18063  df-join 18064  df-meet 18065  df-lat 18148  df-oposet 37187  df-ol 37189
This theorem is referenced by:  oldmj4  37235  latmassOLD  37240  cmtcomlemN  37259
  Copyright terms: Public domain W3C validator