Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oldmj2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oldmj2 35024
Description: De Morgan's law for join in an ortholattice. (chdmj2 28723 analog.) (Contributed by NM, 7-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
oldmm1.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
oldmm1.j = (join‘𝐾)
oldmm1.m = (meet‘𝐾)
oldmm1.o = (oc‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
oldmj2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(( 𝑋) 𝑌)) = (𝑋 ( 𝑌)))

Proof of Theorem oldmj2
StepHypRef Expression
1 olop 35016 . . . . 5 (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
2 oldmm1.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 oldmm1.o . . . . . 6 = (oc‘𝐾)
42, 3opoccl 34996 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ( 𝑋) ∈ 𝐵)
51, 4sylan 561 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → ( 𝑋) ∈ 𝐵)
653adant3 1125 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( 𝑋) ∈ 𝐵)
7 oldmm1.j . . . 4 = (join‘𝐾)
8 oldmm1.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
92, 7, 8, 3oldmj1 35023 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋) ∈ 𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(( 𝑋) 𝑌)) = (( ‘( 𝑋)) ( 𝑌)))
106, 9syld3an2 1517 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(( 𝑋) 𝑌)) = (( ‘( 𝑋)) ( 𝑌)))
112, 3opococ 34997 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)
121, 11sylan 561 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)
13123adant3 1125 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)
1413oveq1d 6807 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (( ‘( 𝑋)) ( 𝑌)) = (𝑋 ( 𝑌)))
1510, 14eqtrd 2804 1 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(( 𝑋) 𝑌)) = (𝑋 ( 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144  cfv 6031  (class class class)co 6792  Basecbs 16063  occoc 16156  joincjn 17151  meetcmee 17152  OPcops 34974  OLcol 34976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-preset 17135  df-poset 17153  df-lub 17181  df-glb 17182  df-join 17183  df-meet 17184  df-lat 17253  df-oposet 34978  df-ol 34980
This theorem is referenced by:  oldmj4  35026  latmassOLD  35031  cmtcomlemN  35050
  Copyright terms: Public domain W3C validator