Theorem doch2val2 41734

Description: Double orthocomplement for DVecH vector space. (Contributed by NM, 26-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
doch2val2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
doch2val2.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
doch2val2.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
doch2val2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
doch2val2.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
doch2val2.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
doch2val2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
doch2val2	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = ∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})

Distinct variable groups:   𝑧,𝐻   𝑧,𝐼   𝑧,𝐾   𝑧,𝑉   𝑧,𝑊   𝑧,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑈(𝑧)   ⊥ (𝑧)

Proof of Theorem doch2val2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		doch2val2.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		doch2val2.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
3		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
4		doch2val2.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		doch2val2.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
6		doch2val2.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7		doch2val2.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
8		doch2val2.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
9	3, 4, 5, 6, 7, 8	dochval2 41722	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) = (𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}))))
10	1, 2, 9	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑋) = (𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}))))
11	10	fveq2d 6846	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = ( ⊥ ‘(𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))))
12	1	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
13		hlop 39732	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ OP)
15		ssrab2 4034	. . . . . . 7 ⊢ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ⊆ ran 𝐼
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ⊆ ran 𝐼)
17	4, 5, 6, 7	dih1rn 41657	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑉 ∈ ran 𝐼)
18	1, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ran 𝐼)
19		sseq2 3962	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑉 → (𝑋 ⊆ 𝑧 ↔ 𝑋 ⊆ 𝑉))
20	19	elrab 3648	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ↔ (𝑉 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉))
21	18, 2, 20	sylanbrc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})
22	21	ne0d 4296	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ≠ ∅)
23	4, 5	dihintcl 41714	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ({𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ⊆ ran 𝐼 ∧ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ≠ ∅)) → ∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ∈ ran 𝐼)
24	1, 16, 22, 23	syl12anc 837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ∈ ran 𝐼)
25		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
26	25, 4, 5	dihcnvcl 41641	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}) ∈ (Base‘𝐾))
27	1, 24, 26	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}) ∈ (Base‘𝐾))
28	25, 3	opoccl 39564	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})) ∈ (Base‘𝐾))
29	14, 27, 28	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})) ∈ (Base‘𝐾))
30	25, 3, 4, 5, 8	dochvalr2 41732	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})) ∈ (Base‘𝐾)) → ( ⊥ ‘(𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))) = (𝐼‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))))
31	1, 29, 30	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))) = (𝐼‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))))
32	25, 3	opococ 39565	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}))) = (◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}))
33	14, 27, 32	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}))) = (◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}))
34	33	fveq2d 6846	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))) = (𝐼‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))
35	4, 5	dihcnvid2 41643	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})) = ∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})
36	1, 24, 35	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})) = ∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})
37	34, 36	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))) = ∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})
38	11, 31, 37	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = ∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  {crab 3401   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  ∩ cint 4904  ^◡ccnv 5631  ran crn 5633  ‘cfv 6500  Basecbs 17148  occoc 17197  OPcops 39542  HLchlt 39720  LHypclh 40354  DVecHcdvh 41448  DIsoHcdih 41598  ocHcoch 41717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-riotaBAD 39323

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-tpos 8178  df-undef 8225  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-0g 17373  df-proset 18229  df-poset 18248  df-plt 18263  df-lub 18279  df-glb 18280  df-join 18281  df-meet 18282  df-p0 18358  df-p1 18359  df-lat 18367  df-clat 18434  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-subg 19065  df-cntz 19258  df-lsm 19577  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-oppr 20285  df-dvdsr 20305  df-unit 20306  df-invr 20336  df-dvr 20349  df-drng 20676  df-lmod 20825  df-lss 20895  df-lsp 20935  df-lvec 21067  df-lsatoms 39346  df-oposet 39546  df-ol 39548  df-oml 39549  df-covers 39636  df-ats 39637  df-atl 39668  df-cvlat 39692  df-hlat 39721  df-llines 39868  df-lplanes 39869  df-lvols 39870  df-lines 39871  df-psubsp 39873  df-pmap 39874  df-padd 40166  df-lhyp 40358  df-laut 40359  df-ldil 40474  df-ltrn 40475  df-trl 40529  df-tendo 41125  df-edring 41127  df-disoa 41399  df-dvech 41449  df-dib 41509  df-dic 41543  df-dih 41599  df-doch 41718

This theorem is referenced by:  dochspss  41748