Theorem doch2val2 41810

Description: Double orthocomplement for DVecH vector space. (Contributed by NM, 26-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
doch2val2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
doch2val2.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
doch2val2.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
doch2val2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
doch2val2.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
doch2val2.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
doch2val2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
doch2val2	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = ∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})

Distinct variable groups:   𝑧,𝐻   𝑧,𝐼   𝑧,𝐾   𝑧,𝑉   𝑧,𝑊   𝑧,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑈(𝑧)   ⊥ (𝑧)

Proof of Theorem doch2val2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		doch2val2.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		doch2val2.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
3		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
4		doch2val2.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		doch2val2.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
6		doch2val2.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7		doch2val2.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
8		doch2val2.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
9	3, 4, 5, 6, 7, 8	dochval2 41798	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) = (𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}))))
10	1, 2, 9	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑋) = (𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}))))
11	10	fveq2d 6844	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = ( ⊥ ‘(𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))))
12	1	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
13		hlop 39808	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ OP)
15		ssrab2 4020	. . . . . . 7 ⊢ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ⊆ ran 𝐼
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ⊆ ran 𝐼)
17	4, 5, 6, 7	dih1rn 41733	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑉 ∈ ran 𝐼)
18	1, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ran 𝐼)
19		sseq2 3948	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑉 → (𝑋 ⊆ 𝑧 ↔ 𝑋 ⊆ 𝑉))
20	19	elrab 3634	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ↔ (𝑉 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉))
21	18, 2, 20	sylanbrc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})
22	21	ne0d 4282	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ≠ ∅)
23	4, 5	dihintcl 41790	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ({𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ⊆ ran 𝐼 ∧ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ≠ ∅)) → ∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ∈ ran 𝐼)
24	1, 16, 22, 23	syl12anc 837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ∈ ran 𝐼)
25		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
26	25, 4, 5	dihcnvcl 41717	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}) ∈ (Base‘𝐾))
27	1, 24, 26	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}) ∈ (Base‘𝐾))
28	25, 3	opoccl 39640	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})) ∈ (Base‘𝐾))
29	14, 27, 28	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})) ∈ (Base‘𝐾))
30	25, 3, 4, 5, 8	dochvalr2 41808	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})) ∈ (Base‘𝐾)) → ( ⊥ ‘(𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))) = (𝐼‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))))
31	1, 29, 30	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))) = (𝐼‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))))
32	25, 3	opococ 39641	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}))) = (◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}))
33	14, 27, 32	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}))) = (◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}))
34	33	fveq2d 6844	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))) = (𝐼‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))
35	4, 5	dihcnvid2 41719	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})) = ∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})
36	1, 24, 35	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})) = ∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})
37	34, 36	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))) = ∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})
38	11, 31, 37	3eqtrd 2775	1 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = ∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  {crab 3389   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273  ∩ cint 4889  ^◡ccnv 5630  ran crn 5632  ‘cfv 6498  Basecbs 17179  occoc 17228  OPcops 39618  HLchlt 39796  LHypclh 40430  DVecHcdvh 41524  DIsoHcdih 41674  ocHcoch 41793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-riotaBAD 39399

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-tpos 8176  df-undef 8223  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-0g 17404  df-proset 18260  df-poset 18279  df-plt 18294  df-lub 18310  df-glb 18311  df-join 18312  df-meet 18313  df-p0 18389  df-p1 18390  df-lat 18398  df-clat 18465  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-subg 19099  df-cntz 19292  df-lsm 19611  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-unit 20338  df-invr 20368  df-dvr 20381  df-drng 20708  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-lsp 20967  df-lvec 21098  df-lsatoms 39422  df-oposet 39622  df-ol 39624  df-oml 39625  df-covers 39712  df-ats 39713  df-atl 39744  df-cvlat 39768  df-hlat 39797  df-llines 39944  df-lplanes 39945  df-lvols 39946  df-lines 39947  df-psubsp 39949  df-pmap 39950  df-padd 40242  df-lhyp 40434  df-laut 40435  df-ldil 40550  df-ltrn 40551  df-trl 40605  df-tendo 41201  df-edring 41203  df-disoa 41475  df-dvech 41525  df-dib 41585  df-dic 41619  df-dih 41675  df-doch 41794

This theorem is referenced by:  dochspss  41824