Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  doch2val2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem doch2val2 37378
Description: Double orthocomplement for DVecH vector space. (Contributed by NM, 26-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
doch2val2.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
doch2val2.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
doch2val2.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
doch2val2.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
doch2val2.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
doch2val2.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
doch2val2.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
doch2val2 (𝜑 → ( ‘( 𝑋)) = {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧})
Distinct variable groups:   𝑧,𝐻   𝑧,𝐼   𝑧,𝐾   𝑧,𝑉   𝑧,𝑊   𝑧,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑈(𝑧)   (𝑧)

Proof of Theorem doch2val2
StepHypRef Expression
1 doch2val2.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 doch2val2.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
3 eqid 2798 . . . . 5 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
4 doch2val2.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 doch2val2.i . . . . 5 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
6 doch2val2.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7 doch2val2.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
8 doch2val2.o . . . . 5 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
93, 4, 5, 6, 7, 8dochval2 37366 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → ( 𝑋) = (𝐼‘((oc‘𝐾)‘(𝐼 {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧}))))
101, 2, 9syl2anc 580 . . 3 (𝜑 → ( 𝑋) = (𝐼‘((oc‘𝐾)‘(𝐼 {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧}))))
1110fveq2d 6414 . 2 (𝜑 → ( ‘( 𝑋)) = ( ‘(𝐼‘((oc‘𝐾)‘(𝐼 {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧})))))
121simpld 489 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ HL)
13 hlop 35376 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
1412, 13syl 17 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ OP)
15 ssrab2 3882 . . . . . . 7 {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧} ⊆ ran 𝐼
1615a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧} ⊆ ran 𝐼)
174, 5, 6, 7dih1rn 37301 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑉 ∈ ran 𝐼)
181, 17syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑉 ∈ ran 𝐼)
19 sseq2 3822 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑉 → (𝑋𝑧𝑋𝑉))
2019elrab 3555 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧} ↔ (𝑉 ∈ ran 𝐼𝑋𝑉))
2118, 2, 20sylanbrc 579 . . . . . . 7 (𝜑𝑉 ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧})
2221ne0d 4121 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧} ≠ ∅)
234, 5dihintcl 37358 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ({𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧} ⊆ ran 𝐼 ∧ {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧} ≠ ∅)) → {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧} ∈ ran 𝐼)
241, 16, 22, 23syl12anc 866 . . . . 5 (𝜑 {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧} ∈ ran 𝐼)
25 eqid 2798 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2625, 4, 5dihcnvcl 37285 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧} ∈ ran 𝐼) → (𝐼 {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧}) ∈ (Base‘𝐾))
271, 24, 26syl2anc 580 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧}) ∈ (Base‘𝐾))
2825, 3opoccl 35208 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝐼 {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧}) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘(𝐼 {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧})) ∈ (Base‘𝐾))
2914, 27, 28syl2anc 580 . . 3 (𝜑 → ((oc‘𝐾)‘(𝐼 {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧})) ∈ (Base‘𝐾))
3025, 3, 4, 5, 8dochvalr2 37376 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((oc‘𝐾)‘(𝐼 {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧})) ∈ (Base‘𝐾)) → ( ‘(𝐼‘((oc‘𝐾)‘(𝐼 {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧})))) = (𝐼‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝐼 {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧})))))
311, 29, 30syl2anc 580 . 2 (𝜑 → ( ‘(𝐼‘((oc‘𝐾)‘(𝐼 {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧})))) = (𝐼‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝐼 {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧})))))
3225, 3opococ 35209 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝐼 {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧}) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝐼 {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧}))) = (𝐼 {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧}))
3314, 27, 32syl2anc 580 . . . 4 (𝜑 → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝐼 {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧}))) = (𝐼 {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧}))
3433fveq2d 6414 . . 3 (𝜑 → (𝐼‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝐼 {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧})))) = (𝐼‘(𝐼 {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧})))
354, 5dihcnvid2 37287 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧} ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(𝐼 {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧})) = {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧})
361, 24, 35syl2anc 580 . . 3 (𝜑 → (𝐼‘(𝐼 {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧})) = {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧})
3734, 36eqtrd 2832 . 2 (𝜑 → (𝐼‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝐼 {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧})))) = {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧})
3811, 31, 373eqtrd 2836 1 (𝜑 → ( ‘( 𝑋)) = {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2970  {crab 3092  wss 3768  c0 4114   cint 4666  ccnv 5310  ran crn 5312  cfv 6100  Basecbs 16181  occoc 16272  OPcops 35186  HLchlt 35364  LHypclh 35998  DVecHcdvh 37092  DIsoHcdih 37242  ocHcoch 37361
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2776  ax-rep 4963  ax-sep 4974  ax-nul 4982  ax-pow 5034  ax-pr 5096  ax-un 7182  ax-cnex 10279  ax-resscn 10280  ax-1cn 10281  ax-icn 10282  ax-addcl 10283  ax-addrcl 10284  ax-mulcl 10285  ax-mulrcl 10286  ax-mulcom 10287  ax-addass 10288  ax-mulass 10289  ax-distr 10290  ax-i2m1 10291  ax-1ne0 10292  ax-1rid 10293  ax-rnegex 10294  ax-rrecex 10295  ax-cnre 10296  ax-pre-lttri 10297  ax-pre-lttrn 10298  ax-pre-ltadd 10299  ax-pre-mulgt0 10300  ax-riotaBAD 34967
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2785  df-cleq 2791  df-clel 2794  df-nfc 2929  df-ne 2971  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3386  df-sbc 3633  df-csb 3728  df-dif 3771  df-un 3773  df-in 3775  df-ss 3782  df-pss 3784  df-nul 4115  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-tp 4372  df-op 4374  df-uni 4628  df-int 4667  df-iun 4711  df-iin 4712  df-br 4843  df-opab 4905  df-mpt 4922  df-tr 4945  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5897  df-ord 5943  df-on 5944  df-lim 5945  df-suc 5946  df-iota 6063  df-fun 6102  df-fn 6103  df-f 6104  df-f1 6105  df-fo 6106  df-f1o 6107  df-fv 6108  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-om 7299  df-1st 7400  df-2nd 7401  df-tpos 7589  df-undef 7636  df-wrecs 7644  df-recs 7706  df-rdg 7744  df-1o 7798  df-oadd 7802  df-er 7981  df-map 8096  df-en 8195  df-dom 8196  df-sdom 8197  df-fin 8198  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10557  df-neg 10558  df-nn 11312  df-2 11373  df-3 11374  df-4 11375  df-5 11376  df-6 11377  df-n0 11578  df-z 11664  df-uz 11928  df-fz 12578  df-struct 16183  df-ndx 16184  df-slot 16185  df-base 16187  df-sets 16188  df-ress 16189  df-plusg 16277  df-mulr 16278  df-sca 16280  df-vsca 16281  df-0g 16414  df-proset 17240  df-poset 17258  df-plt 17270  df-lub 17286  df-glb 17287  df-join 17288  df-meet 17289  df-p0 17351  df-p1 17352  df-lat 17358  df-clat 17420  df-mgm 17554  df-sgrp 17596  df-mnd 17607  df-submnd 17648  df-grp 17738  df-minusg 17739  df-sbg 17740  df-subg 17901  df-cntz 18059  df-lsm 18361  df-cmn 18507  df-abl 18508  df-mgp 18803  df-ur 18815  df-ring 18862  df-oppr 18936  df-dvdsr 18954  df-unit 18955  df-invr 18985  df-dvr 18996  df-drng 19064  df-lmod 19180  df-lss 19248  df-lsp 19290  df-lvec 19421  df-lsatoms 34990  df-oposet 35190  df-ol 35192  df-oml 35193  df-covers 35280  df-ats 35281  df-atl 35312  df-cvlat 35336  df-hlat 35365  df-llines 35512  df-lplanes 35513  df-lvols 35514  df-lines 35515  df-psubsp 35517  df-pmap 35518  df-padd 35810  df-lhyp 36002  df-laut 36003  df-ldil 36118  df-ltrn 36119  df-trl 36173  df-tendo 36769  df-edring 36771  df-disoa 37043  df-dvech 37093  df-dib 37153  df-dic 37187  df-dih 37243  df-doch 37362
This theorem is referenced by:  dochspss  37392
  Copyright terms: Public domain W3C validator