Theorem doch2val2 42624

Description: Double orthocomplement for DVecH vector space. (Contributed by NM, 26-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
doch2val2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
doch2val2.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
doch2val2.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
doch2val2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
doch2val2.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
doch2val2.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
doch2val2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
doch2val2	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = ∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})

Distinct variable groups:   𝑧,𝐻   𝑧,𝐼   𝑧,𝐾   𝑧,𝑉   𝑧,𝑊   𝑧,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑈(𝑧)   ⊥ (𝑧)

Proof of Theorem doch2val2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		doch2val2.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		doch2val2.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
3		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
4		doch2val2.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		doch2val2.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
6		doch2val2.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7		doch2val2.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
8		doch2val2.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
9	3, 4, 5, 6, 7, 8	dochval2 42612	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) = (𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}))))
10	1, 2, 9	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑋) = (𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}))))
11	10	fveq2d 6915	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = ( ⊥ ‘(𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))))
12	1	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
13		hlop 40622	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
14	12, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ OP)
15		ssrab2 4008	. . . . . . 7 ⊢ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ⊆ ran 𝐼
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ⊆ ran 𝐼)
17	4, 5, 6, 7	dih1rn 42547	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑉 ∈ ran 𝐼)
18	1, 17	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ran 𝐼)
19		sseq2 3939	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑉 → (𝑋 ⊆ 𝑧 ↔ 𝑋 ⊆ 𝑉))
20	19	elrab 3648	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ↔ (𝑉 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉))
21	18, 2, 20	sylanbrc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})
22	21	ne0d 4291	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ≠ ∅)
23	4, 5	dihintcl 42604	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ({𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ⊆ ran 𝐼 ∧ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ≠ ∅)) → ∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ∈ ran 𝐼)
24	1, 16, 22, 23	syl12anc 850	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ∈ ran 𝐼)
25		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
26	25, 4, 5	dihcnvcl 42531	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}) ∈ (Base‘𝐾))
27	1, 24, 26	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}) ∈ (Base‘𝐾))
28	25, 3	opoccl 40454	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})) ∈ (Base‘𝐾))
29	14, 27, 28	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})) ∈ (Base‘𝐾))
30	25, 3, 4, 5, 8	dochvalr2 42622	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})) ∈ (Base‘𝐾)) → ( ⊥ ‘(𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))) = (𝐼‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))))
31	1, 29, 30	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))) = (𝐼‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))))
32	25, 3	opococ 40455	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}))) = (◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}))
33	14, 27, 32	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}))) = (◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}))
34	33	fveq2d 6915	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))) = (𝐼‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))
35	4, 5	dihcnvid2 42533	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})) = ∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})
36	1, 24, 35	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})) = ∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})
37	34, 36	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))) = ∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})
38	11, 31, 37	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = ∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  {crab 3416   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281  ∩ cint 4910  ^◡ccnv 5655  ran crn 5657  ‘cfv 6561  Basecbs 17419  occoc 17468  OPcops 40432  HLchlt 40610  LHypclh 41244  DVecHcdvh 42338  DIsoHcdih 42488  ocHcoch 42607

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-riotaBAD 40213

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-tpos 8274  df-undef 8321  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-map 8880  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-fz 13670  df-struct 17357  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-0g 17644  df-proset 18500  df-poset 18519  df-plt 18534  df-lub 18550  df-glb 18551  df-join 18552  df-meet 18553  df-p0 18629  df-p1 18630  df-lat 18638  df-clat 18705  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-submnd 19011  df-grp 19179  df-minusg 19180  df-sbg 19181  df-subg 19365  df-cntz 19564  df-lsm 19883  df-cmn 20029  df-abl 20030  df-mgp 20394  df-rng 20408  df-ur 20441  df-ring 20494  df-oppr 20600  df-dvdsr 20620  df-unit 20621  df-invr 20651  df-dvr 20664  df-drng 21015  df-lmod 21170  df-lss 21240  df-lsp 21280  df-lvec 21411  df-lsatoms 40236  df-oposet 40436  df-ol 40438  df-oml 40439  df-covers 40526  df-ats 40527  df-atl 40558  df-cvlat 40582  df-hlat 40611  df-llines 40758  df-lplanes 40759  df-lvols 40760  df-lines 40761  df-psubsp 40763  df-pmap 40764  df-padd 41056  df-lhyp 41248  df-laut 41249  df-ldil 41364  df-ltrn 41365  df-trl 41419  df-tendo 42015  df-edring 42017  df-disoa 42289  df-dvech 42339  df-dib 42399  df-dic 42433  df-dih 42489  df-doch 42608

This theorem is used by:  dochspss  42638