Theorem doch2val2 41952

Description: Double orthocomplement for DVecH vector space. (Contributed by NM, 26-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
doch2val2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
doch2val2.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
doch2val2.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
doch2val2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
doch2val2.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
doch2val2.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
doch2val2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
doch2val2	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = ∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})

Distinct variable groups:   𝑧,𝐻   𝑧,𝐼   𝑧,𝐾   𝑧,𝑉   𝑧,𝑊   𝑧,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑈(𝑧)   ⊥ (𝑧)

Proof of Theorem doch2val2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		doch2val2.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		doch2val2.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
3		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
4		doch2val2.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		doch2val2.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
6		doch2val2.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7		doch2val2.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
8		doch2val2.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
9	3, 4, 5, 6, 7, 8	dochval2 41940	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) = (𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}))))
10	1, 2, 9	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑋) = (𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}))))
11	10	fveq2d 6867	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = ( ⊥ ‘(𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))))
12	1	simpld 498	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
13		hlop 39950	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ OP)
15		ssrab2 4033	. . . . . . 7 ⊢ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ⊆ ran 𝐼
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ⊆ ran 𝐼)
17	4, 5, 6, 7	dih1rn 41875	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑉 ∈ ran 𝐼)
18	1, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ran 𝐼)
19		sseq2 3962	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑉 → (𝑋 ⊆ 𝑧 ↔ 𝑋 ⊆ 𝑉))
20	19	elrab 3650	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ↔ (𝑉 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉))
21	18, 2, 20	sylanbrc 592	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})
22	21	ne0d 4294	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ≠ ∅)
23	4, 5	dihintcl 41932	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ({𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ⊆ ran 𝐼 ∧ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ≠ ∅)) → ∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ∈ ran 𝐼)
24	1, 16, 22, 23	syl12anc 847	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ∈ ran 𝐼)
25		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
26	25, 4, 5	dihcnvcl 41859	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}) ∈ (Base‘𝐾))
27	1, 24, 26	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}) ∈ (Base‘𝐾))
28	25, 3	opoccl 39782	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})) ∈ (Base‘𝐾))
29	14, 27, 28	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})) ∈ (Base‘𝐾))
30	25, 3, 4, 5, 8	dochvalr2 41950	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})) ∈ (Base‘𝐾)) → ( ⊥ ‘(𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))) = (𝐼‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))))
31	1, 29, 30	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐼‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))) = (𝐼‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))))
32	25, 3	opococ 39783	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}))) = (◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}))
33	14, 27, 32	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}))) = (◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧}))
34	33	fveq2d 6867	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))) = (𝐼‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))
35	4, 5	dihcnvid2 41861	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧} ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})) = ∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})
36	1, 24, 35	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})) = ∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})
37	34, 36	eqtrd 2796	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})))) = ∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})
38	11, 31, 37	3eqtrd 2800	1 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = ∩ {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑋 ⊆ 𝑧})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  {crab 3413   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  ∩ cint 4904  ^◡ccnv 5644  ran crn 5646  ‘cfv 6517  Basecbs 17228  occoc 17277  OPcops 39760  HLchlt 39938  LHypclh 40572  DVecHcdvh 41666  DIsoHcdih 41816  ocHcoch 41935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-riotaBAD 39541

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-tpos 8201  df-undef 8248  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-map 8805  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-fz 13510  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-0g 17453  df-proset 18309  df-poset 18328  df-plt 18343  df-lub 18359  df-glb 18360  df-join 18361  df-meet 18362  df-p0 18438  df-p1 18439  df-lat 18447  df-clat 18514  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-submnd 18801  df-grp 18961  df-minusg 18962  df-sbg 18963  df-subg 19148  df-cntz 19340  df-lsm 19659  df-cmn 19805  df-abl 19806  df-mgp 20170  df-rng 20182  df-ur 20211  df-ring 20264  df-oppr 20365  df-dvdsr 20385  df-unit 20386  df-invr 20416  df-dvr 20429  df-drng 20760  df-lmod 20909  df-lss 20979  df-lsp 21019  df-lvec 21150  df-lsatoms 39564  df-oposet 39764  df-ol 39766  df-oml 39767  df-covers 39854  df-ats 39855  df-atl 39886  df-cvlat 39910  df-hlat 39939  df-llines 40086  df-lplanes 40087  df-lvols 40088  df-lines 40089  df-psubsp 40091  df-pmap 40092  df-padd 40384  df-lhyp 40576  df-laut 40577  df-ldil 40692  df-ltrn 40693  df-trl 40747  df-tendo 41343  df-edring 41345  df-disoa 41617  df-dvech 41667  df-dib 41727  df-dic 41761  df-dih 41817  df-doch 41936

This theorem is referenced by:  dochspss  41966