Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  doch2val2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem doch2val2 39024
Description: Double orthocomplement for DVecH vector space. (Contributed by NM, 26-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
doch2val2.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
doch2val2.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
doch2val2.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
doch2val2.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
doch2val2.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
doch2val2.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
doch2val2.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
doch2val2 (𝜑 → ( ‘( 𝑋)) = {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧})
Distinct variable groups:   𝑧,𝐻   𝑧,𝐼   𝑧,𝐾   𝑧,𝑉   𝑧,𝑊   𝑧,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑈(𝑧)   (𝑧)

Proof of Theorem doch2val2
StepHypRef Expression
1 doch2val2.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 doch2val2.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
3 eqid 2739 . . . . 5 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
4 doch2val2.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 doch2val2.i . . . . 5 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
6 doch2val2.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7 doch2val2.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
8 doch2val2.o . . . . 5 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
93, 4, 5, 6, 7, 8dochval2 39012 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → ( 𝑋) = (𝐼‘((oc‘𝐾)‘(𝐼 {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧}))))
101, 2, 9syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → ( 𝑋) = (𝐼‘((oc‘𝐾)‘(𝐼 {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧}))))
1110fveq2d 6681 . 2 (𝜑 → ( ‘( 𝑋)) = ( ‘(𝐼‘((oc‘𝐾)‘(𝐼 {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧})))))
121simpld 498 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ HL)
13 hlop 37022 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
1412, 13syl 17 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ OP)
15 ssrab2 3970 . . . . . . 7 {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧} ⊆ ran 𝐼
1615a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧} ⊆ ran 𝐼)
174, 5, 6, 7dih1rn 38947 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑉 ∈ ran 𝐼)
181, 17syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑉 ∈ ran 𝐼)
19 sseq2 3904 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑉 → (𝑋𝑧𝑋𝑉))
2019elrab 3589 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧} ↔ (𝑉 ∈ ran 𝐼𝑋𝑉))
2118, 2, 20sylanbrc 586 . . . . . . 7 (𝜑𝑉 ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧})
2221ne0d 4225 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧} ≠ ∅)
234, 5dihintcl 39004 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ({𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧} ⊆ ran 𝐼 ∧ {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧} ≠ ∅)) → {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧} ∈ ran 𝐼)
241, 16, 22, 23syl12anc 836 . . . . 5 (𝜑 {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧} ∈ ran 𝐼)
25 eqid 2739 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2625, 4, 5dihcnvcl 38931 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧} ∈ ran 𝐼) → (𝐼 {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧}) ∈ (Base‘𝐾))
271, 24, 26syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧}) ∈ (Base‘𝐾))
2825, 3opoccl 36854 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝐼 {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧}) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘(𝐼 {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧})) ∈ (Base‘𝐾))
2914, 27, 28syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → ((oc‘𝐾)‘(𝐼 {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧})) ∈ (Base‘𝐾))
3025, 3, 4, 5, 8dochvalr2 39022 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((oc‘𝐾)‘(𝐼 {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧})) ∈ (Base‘𝐾)) → ( ‘(𝐼‘((oc‘𝐾)‘(𝐼 {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧})))) = (𝐼‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝐼 {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧})))))
311, 29, 30syl2anc 587 . 2 (𝜑 → ( ‘(𝐼‘((oc‘𝐾)‘(𝐼 {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧})))) = (𝐼‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝐼 {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧})))))
3225, 3opococ 36855 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝐼 {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧}) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝐼 {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧}))) = (𝐼 {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧}))
3314, 27, 32syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝐼 {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧}))) = (𝐼 {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧}))
3433fveq2d 6681 . . 3 (𝜑 → (𝐼‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝐼 {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧})))) = (𝐼‘(𝐼 {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧})))
354, 5dihcnvid2 38933 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧} ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(𝐼 {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧})) = {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧})
361, 24, 35syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (𝐼‘(𝐼 {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧})) = {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧})
3734, 36eqtrd 2774 . 2 (𝜑 → (𝐼‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝐼 {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧})))) = {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧})
3811, 31, 373eqtrd 2778 1 (𝜑 → ( ‘( 𝑋)) = {𝑧 ∈ ran 𝐼𝑋𝑧})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2935  {crab 3058  wss 3844  c0 4212   cint 4837  ccnv 5525  ran crn 5527  cfv 6340  Basecbs 16589  occoc 16679  OPcops 36832  HLchlt 37010  LHypclh 37644  DVecHcdvh 38738  DIsoHcdih 38888  ocHcoch 39007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7482  ax-cnex 10674  ax-resscn 10675  ax-1cn 10676  ax-icn 10677  ax-addcl 10678  ax-addrcl 10679  ax-mulcl 10680  ax-mulrcl 10681  ax-mulcom 10682  ax-addass 10683  ax-mulass 10684  ax-distr 10685  ax-i2m1 10686  ax-1ne0 10687  ax-1rid 10688  ax-rnegex 10689  ax-rrecex 10690  ax-cnre 10691  ax-pre-lttri 10692  ax-pre-lttrn 10693  ax-pre-ltadd 10694  ax-pre-mulgt0 10695  ax-riotaBAD 36613
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-int 4838  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7130  df-ov 7176  df-oprab 7177  df-mpo 7178  df-om 7603  df-1st 7717  df-2nd 7718  df-tpos 7924  df-undef 7971  df-wrecs 7979  df-recs 8040  df-rdg 8078  df-1o 8134  df-er 8323  df-map 8442  df-en 8559  df-dom 8560  df-sdom 8561  df-fin 8562  df-pnf 10758  df-mnf 10759  df-xr 10760  df-ltxr 10761  df-le 10762  df-sub 10953  df-neg 10954  df-nn 11720  df-2 11782  df-3 11783  df-4 11784  df-5 11785  df-6 11786  df-n0 11980  df-z 12066  df-uz 12328  df-fz 12985  df-struct 16591  df-ndx 16592  df-slot 16593  df-base 16595  df-sets 16596  df-ress 16597  df-plusg 16684  df-mulr 16685  df-sca 16687  df-vsca 16688  df-0g 16821  df-proset 17657  df-poset 17675  df-plt 17687  df-lub 17703  df-glb 17704  df-join 17705  df-meet 17706  df-p0 17768  df-p1 17769  df-lat 17775  df-clat 17837  df-mgm 17971  df-sgrp 18020  df-mnd 18031  df-submnd 18076  df-grp 18225  df-minusg 18226  df-sbg 18227  df-subg 18397  df-cntz 18568  df-lsm 18882  df-cmn 19029  df-abl 19030  df-mgp 19362  df-ur 19374  df-ring 19421  df-oppr 19498  df-dvdsr 19516  df-unit 19517  df-invr 19547  df-dvr 19558  df-drng 19626  df-lmod 19758  df-lss 19826  df-lsp 19866  df-lvec 19997  df-lsatoms 36636  df-oposet 36836  df-ol 36838  df-oml 36839  df-covers 36926  df-ats 36927  df-atl 36958  df-cvlat 36982  df-hlat 37011  df-llines 37158  df-lplanes 37159  df-lvols 37160  df-lines 37161  df-psubsp 37163  df-pmap 37164  df-padd 37456  df-lhyp 37648  df-laut 37649  df-ldil 37764  df-ltrn 37765  df-trl 37819  df-tendo 38415  df-edring 38417  df-disoa 38689  df-dvech 38739  df-dib 38799  df-dic 38833  df-dih 38889  df-doch 39008
This theorem is referenced by:  dochspss  39038
  Copyright terms: Public domain W3C validator