Theorem 2polpmapN 40011

Description: Double polarity of a projective map. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
2polpmap.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2polpmap.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
2polpmap.p	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2polpmapN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑀‘𝑋))) = (𝑀‘𝑋))

Proof of Theorem 2polpmapN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2polpmap.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3		2polpmap.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
4		2polpmap.p	. . . 4 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	polpmapN 40010	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑀‘𝑋)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋)))
6	5	fveq2d 6826	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑀‘𝑋))) = ( ⊥ ‘(𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋))))
7		hlop 39460	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
8	1, 2	opoccl 39292	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
9	7, 8	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
10	1, 2, 3, 4	polpmapN 40010	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋))) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋))))
11	9, 10	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋))) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋))))
12	1, 2	opococ 39293	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
13	7, 12	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
14	13	fveq2d 6826	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋))) = (𝑀‘𝑋))
15	6, 11, 14	3eqtrd 2770	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑀‘𝑋))) = (𝑀‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  Basecbs 17120  occoc 17169  OPcops 39270  HLchlt 39448  pmapcpmap 39595  ⊥_𝑃cpolN 40000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-proset 18200  df-poset 18219  df-plt 18234  df-lub 18250  df-glb 18251  df-join 18252  df-meet 18253  df-p0 18329  df-p1 18330  df-lat 18338  df-clat 18405  df-oposet 39274  df-ol 39276  df-oml 39277  df-covers 39364  df-ats 39365  df-atl 39396  df-cvlat 39420  df-hlat 39449  df-pmap 39602  df-polarityN 40001

This theorem is referenced by:  pmapsubclN  40044  ispsubcl2N  40045