Theorem 2polpmapN 41162

Description: Double polarity of a projective map. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
2polpmap.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2polpmap.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
2polpmap.p	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2polpmapN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑀‘𝑋))) = (𝑀‘𝑋))

Proof of Theorem 2polpmapN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2polpmap.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3		2polpmap.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
4		2polpmap.p	. . . 4 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	polpmapN 41161	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑀‘𝑋)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋)))
6	5	fveq2d 6912	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑀‘𝑋))) = ( ⊥ ‘(𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋))))
7		hlop 40611	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
8	1, 2	opoccl 40443	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
9	7, 8	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
10	1, 2, 3, 4	polpmapN 41161	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋))) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋))))
11	9, 10	syldan 603	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋))) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋))))
12	1, 2	opococ 40444	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
13	7, 12	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
14	13	fveq2d 6912	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋))) = (𝑀‘𝑋))
15	6, 11, 14	3eqtrd 2802	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑀‘𝑋))) = (𝑀‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6558  Basecbs 17416  occoc 17465  OPcops 40421  HLchlt 40599  pmapcpmap 40746  ⊥_𝑃cpolN 41151

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-proset 18497  df-poset 18516  df-plt 18531  df-lub 18547  df-glb 18548  df-join 18549  df-meet 18550  df-p0 18626  df-p1 18627  df-lat 18635  df-clat 18702  df-oposet 40425  df-ol 40427  df-oml 40428  df-covers 40515  df-ats 40516  df-atl 40547  df-cvlat 40571  df-hlat 40600  df-pmap 40753  df-polarityN 41152

This theorem is used by:  pmapsubclN  41195  ispsubcl2N  41196