Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2polpmapN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2polpmapN 39442
Description: Double polarity of a projective map. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2polpmap.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
2polpmap.m 𝑀 = (pmap‘𝐾)
2polpmap.p = (⊥𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
2polpmapN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ( ‘( ‘(𝑀𝑋))) = (𝑀𝑋))

Proof of Theorem 2polpmapN
StepHypRef Expression
1 2polpmap.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2725 . . . 4 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3 2polpmap.m . . . 4 𝑀 = (pmap‘𝐾)
4 2polpmap.p . . . 4 = (⊥𝑃𝐾)
51, 2, 3, 4polpmapN 39441 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ( ‘(𝑀𝑋)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋)))
65fveq2d 6896 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ( ‘( ‘(𝑀𝑋))) = ( ‘(𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋))))
7 hlop 38890 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
81, 2opoccl 38722 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
97, 8sylan 578 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
101, 2, 3, 4polpmapN 39441 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵) → ( ‘(𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋))) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋))))
119, 10syldan 589 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ( ‘(𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋))) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋))))
121, 2opococ 38723 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
137, 12sylan 578 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
1413fveq2d 6896 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋))) = (𝑀𝑋))
156, 11, 143eqtrd 2769 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ( ‘( ‘(𝑀𝑋))) = (𝑀𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  cfv 6543  Basecbs 17179  occoc 17240  OPcops 38700  HLchlt 38878  pmapcpmap 39026  𝑃cpolN 39431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-p1 18417  df-lat 18423  df-clat 18490  df-oposet 38704  df-ol 38706  df-oml 38707  df-covers 38794  df-ats 38795  df-atl 38826  df-cvlat 38850  df-hlat 38879  df-pmap 39033  df-polarityN 39432
This theorem is referenced by:  pmapsubclN  39475  ispsubcl2N  39476
  Copyright terms: Public domain W3C validator