Theorem 2polpmapN 39914

Description: Double polarity of a projective map. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
2polpmap.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2polpmap.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
2polpmap.p	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2polpmapN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑀‘𝑋))) = (𝑀‘𝑋))

Proof of Theorem 2polpmapN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2polpmap.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3		2polpmap.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
4		2polpmap.p	. . . 4 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	polpmapN 39913	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑀‘𝑋)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋)))
6	5	fveq2d 6865	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑀‘𝑋))) = ( ⊥ ‘(𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋))))
7		hlop 39362	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
8	1, 2	opoccl 39194	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
9	7, 8	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
10	1, 2, 3, 4	polpmapN 39913	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋))) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋))))
11	9, 10	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋))) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋))))
12	1, 2	opococ 39195	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
13	7, 12	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
14	13	fveq2d 6865	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋))) = (𝑀‘𝑋))
15	6, 11, 14	3eqtrd 2769	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑀‘𝑋))) = (𝑀‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6514  Basecbs 17186  occoc 17235  OPcops 39172  HLchlt 39350  pmapcpmap 39498  ⊥_𝑃cpolN 39903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-proset 18262  df-poset 18281  df-plt 18296  df-lub 18312  df-glb 18313  df-join 18314  df-meet 18315  df-p0 18391  df-p1 18392  df-lat 18398  df-clat 18465  df-oposet 39176  df-ol 39178  df-oml 39179  df-covers 39266  df-ats 39267  df-atl 39298  df-cvlat 39322  df-hlat 39351  df-pmap 39505  df-polarityN 39904

This theorem is referenced by:  pmapsubclN  39947  ispsubcl2N  39948