Theorem 2polpmapN 40475

Description: Double polarity of a projective map. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
2polpmap.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2polpmap.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
2polpmap.p	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2polpmapN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑀‘𝑋))) = (𝑀‘𝑋))

Proof of Theorem 2polpmapN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2polpmap.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2752	. . . 4 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3		2polpmap.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
4		2polpmap.p	. . . 4 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	polpmapN 40474	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑀‘𝑋)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋)))
6	5	fveq2d 6856	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑀‘𝑋))) = ( ⊥ ‘(𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋))))
7		hlop 39924	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
8	1, 2	opoccl 39756	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
9	7, 8	sylan 588	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
10	1, 2, 3, 4	polpmapN 40474	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋))) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋))))
11	9, 10	syldan 599	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋))) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋))))
12	1, 2	opococ 39757	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
13	7, 12	sylan 588	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
14	13	fveq2d 6856	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋))) = (𝑀‘𝑋))
15	6, 11, 14	3eqtrd 2791	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑀‘𝑋))) = (𝑀‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  ‘cfv 6506  Basecbs 17217  occoc 17266  OPcops 39734  HLchlt 39912  pmapcpmap 40059  ⊥_𝑃cpolN 40464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-id 5531  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-proset 18298  df-poset 18317  df-plt 18332  df-lub 18348  df-glb 18349  df-join 18350  df-meet 18351  df-p0 18427  df-p1 18428  df-lat 18436  df-clat 18503  df-oposet 39738  df-ol 39740  df-oml 39741  df-covers 39828  df-ats 39829  df-atl 39860  df-cvlat 39884  df-hlat 39913  df-pmap 40066  df-polarityN 40465

This theorem is referenced by:  pmapsubclN  40508  ispsubcl2N  40509