Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2polpmapN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2polpmapN 35720
Description: Double polarity of a projective map. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2polpmap.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
2polpmap.m 𝑀 = (pmap‘𝐾)
2polpmap.p = (⊥𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
2polpmapN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ( ‘( ‘(𝑀𝑋))) = (𝑀𝑋))

Proof of Theorem 2polpmapN
StepHypRef Expression
1 2polpmap.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2771 . . . 4 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3 2polpmap.m . . . 4 𝑀 = (pmap‘𝐾)
4 2polpmap.p . . . 4 = (⊥𝑃𝐾)
51, 2, 3, 4polpmapN 35719 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ( ‘(𝑀𝑋)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋)))
65fveq2d 6337 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ( ‘( ‘(𝑀𝑋))) = ( ‘(𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋))))
7 hlop 35169 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
81, 2opoccl 35001 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
97, 8sylan 569 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
101, 2, 3, 4polpmapN 35719 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵) → ( ‘(𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋))) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋))))
119, 10syldan 579 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ( ‘(𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋))) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋))))
121, 2opococ 35002 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
137, 12sylan 569 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
1413fveq2d 6337 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋))) = (𝑀𝑋))
156, 11, 143eqtrd 2809 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ( ‘( ‘(𝑀𝑋))) = (𝑀𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  cfv 6030  Basecbs 16064  occoc 16157  OPcops 34979  HLchlt 35157  pmapcpmap 35304  𝑃cpolN 35709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-riotaBAD 34759
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-undef 7555  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-p1 17248  df-lat 17254  df-clat 17316  df-oposet 34983  df-ol 34985  df-oml 34986  df-covers 35073  df-ats 35074  df-atl 35105  df-cvlat 35129  df-hlat 35158  df-pmap 35311  df-polarityN 35710
This theorem is referenced by:  pmapsubclN  35753  ispsubcl2N  35754
  Copyright terms: Public domain W3C validator