Theorem oppfvallem 49114

Description: Lemma for oppfval 49115. (Contributed by Zhi Wang, 13-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oppfvallem	⊢ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 → (Rel 𝐺 ∧ Rel dom 𝐺))

Proof of Theorem oppfvallem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
2		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
3	1, 2	funcfn2 17837	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 → 𝐺 Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
4		fnrel 6622	. . 3 ⊢ (𝐺 Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) → Rel 𝐺)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 → Rel 𝐺)
6		relxp 5658	. . 3 ⊢ Rel ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
7	3	fndmd 6625	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 → dom 𝐺 = ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
8	7	releqd 5743	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 → (Rel dom 𝐺 ↔ Rel ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))))
9	6, 8	mpbiri 258	. 2 ⊢ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 → Rel dom 𝐺)
10	5, 9	jca 511	1 ⊢ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 → (Rel 𝐺 ∧ Rel dom 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   class class class wbr 5109   × cxp 5638  dom cdm 5640  Rel wrel 5645   Fn wfn 6508  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  Basecbs 17185   Func cfunc 17822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5535  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-fv 6521  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-map 8803  df-ixp 8873  df-func 17826

This theorem is referenced by:  oppfval  49115