Theorem oppfvallem 49946

Description: Lemma for oppfval 49947. (Contributed by Zhi Wang, 13-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oppfvallem	⊢ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 → (Rel 𝐺 ∧ Rel dom 𝐺))

Proof of Theorem oppfvallem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
2		id 23	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
3	1, 2	funcfn2 17943	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 → 𝐺 Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
4		fnrel 6641	. . 3 ⊢ (𝐺 Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) → Rel 𝐺)
5	3, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 → Rel 𝐺)
6		relxp 5681	. . 3 ⊢ Rel ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
7	3	fndmd 6644	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 → dom 𝐺 = ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
8	7	releqd 5767	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 → (Rel dom 𝐺 ↔ Rel ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))))
9	6, 8	mpbiri 261	. 2 ⊢ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 → Rel dom 𝐺)
10	5, 9	jca 521	1 ⊢ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 → (Rel 𝐺 ∧ Rel dom 𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   class class class wbr 5111   × cxp 5661  dom cdm 5663  Rel wrel 5668   Fn wfn 6535  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Basecbs 17286   Func cfunc 17928

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-map 8828  df-ixp 8898  df-func 17932

This theorem is used by:  oppfval  49947