Theorem oppfvallem 50212

Description: Lemma for oppfval 50213. (Contributed by Zhi Wang, 13-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oppfvallem	⊢ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 → (Rel 𝐺 ∧ Rel dom 𝐺))

Proof of Theorem oppfvallem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
2		id 23	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
3	1, 2	funcfn2 18037	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 → 𝐺 Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
4		fnrel 6639	. . 3 ⊢ (𝐺 Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) → Rel 𝐺)
5	3, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 → Rel 𝐺)
6		relxp 5669	. . 3 ⊢ Rel ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
7	3	fndmd 6642	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 → dom 𝐺 = ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
8	7	releqd 5755	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 → (Rel dom 𝐺 ↔ Rel ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))))
9	6, 8	mpbiri 261	. 2 ⊢ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 → Rel dom 𝐺)
10	5, 9	jca 521	1 ⊢ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 → (Rel 𝐺 ∧ Rel dom 𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   class class class wbr 5103   × cxp 5649  dom cdm 5651  Rel wrel 5656   Fn wfn 6532  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Basecbs 17380   Func cfunc 18022

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-map 8842  df-ixp 8919  df-func 18026

This theorem is used by:  oppfval  50213