Theorem oppfval 50243

Description: Value of the opposite functor. (Contributed by Zhi Wang, 4-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oppfval	⊢ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 → (𝐹 oppFunc 𝐺) = ⟨𝐹, tpos 𝐺⟩)

Proof of Theorem oppfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfunc 18037	. . . 4 ⊢ Rel (𝐶 Func 𝐷)
2	1	brrelex12i 5706	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 → (𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V))
3		oppfvalg 50233	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝐹 oppFunc 𝐺) = if((Rel 𝐺 ∧ Rel dom 𝐺), ⟨𝐹, tpos 𝐺⟩, ∅))
4	2, 3	syl 18	. 2 ⊢ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 → (𝐹 oppFunc 𝐺) = if((Rel 𝐺 ∧ Rel dom 𝐺), ⟨𝐹, tpos 𝐺⟩, ∅))
5		oppfvallem 50242	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 → (Rel 𝐺 ∧ Rel dom 𝐺))
6	5	iftrued 4490	. 2 ⊢ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 → if((Rel 𝐺 ∧ Rel dom 𝐺), ⟨𝐹, tpos 𝐺⟩, ∅) = ⟨𝐹, tpos 𝐺⟩)
7	4, 6	eqtrd 2796	1 ⊢ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 → (𝐹 oppFunc 𝐺) = ⟨𝐹, tpos 𝐺⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  ∅c0 4279  ifcif 4482  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103  dom cdm 5651  Rel wrel 5656  (class class class)co 7420  tpos ctpos 8242   Func cfunc 18029   oppFunc coppf 50229

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8243  df-map 8849  df-ixp 8926  df-func 18033  df-oppf 50230

This theorem is used by:  oppfval2  50244  oppfval3  50245  oppfoppc  50248  ranval  50727  termolmd  50777