Theorem oppfval 49323

Description: Value of the opposite functor. (Contributed by Zhi Wang, 4-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oppfval	⊢ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 → (𝐹 oppFunc 𝐺) = ⟨𝐹, tpos 𝐺⟩)

Proof of Theorem oppfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfunc 17784	. . . 4 ⊢ Rel (𝐶 Func 𝐷)
2	1	brrelex12i 5677	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 → (𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V))
3		oppfvalg 49313	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝐹 oppFunc 𝐺) = if((Rel 𝐺 ∧ Rel dom 𝐺), ⟨𝐹, tpos 𝐺⟩, ∅))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 → (𝐹 oppFunc 𝐺) = if((Rel 𝐺 ∧ Rel dom 𝐺), ⟨𝐹, tpos 𝐺⟩, ∅))
5		oppfvallem 49322	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 → (Rel 𝐺 ∧ Rel dom 𝐺))
6	5	iftrued 4485	. 2 ⊢ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 → if((Rel 𝐺 ∧ Rel dom 𝐺), ⟨𝐹, tpos 𝐺⟩, ∅) = ⟨𝐹, tpos 𝐺⟩)
7	4, 6	eqtrd 2769	1 ⊢ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 → (𝐹 oppFunc 𝐺) = ⟨𝐹, tpos 𝐺⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438  ∅c0 4283  ifcif 4477  ⟨cop 4584   class class class wbr 5096  dom cdm 5622  Rel wrel 5627  (class class class)co 7356  tpos ctpos 8165   Func cfunc 17776   oppFunc coppf 49309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-fv 6498  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-map 8763  df-ixp 8834  df-func 17780  df-oppf 49310

This theorem is referenced by:  oppfval2  49324  oppfval3  49325  oppfoppc  49328  ranval  49807  termolmd  49857