Theorem pmfun 8429

Description: A partial function is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pmfun	⊢ (𝐹 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) → Fun 𝐹)

Proof of Theorem pmfun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpmi 8428	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹⟶𝐴 ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝐵))
2		ffun 6520	. . 3 ⊢ (𝐹:dom 𝐹⟶𝐴 → Fun 𝐹)
3	2	adantr 483	. 2 ⊢ ((𝐹:dom 𝐹⟶𝐴 ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝐵) → Fun 𝐹)
4	1, 3	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) → Fun 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3939  dom cdm 5558  Fun wfun 6352  ⟶wf 6354  (class class class)co 7159   ↑_pm cpm 8410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-ral 3146  df-rex 3147  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-fv 6366  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-pm 8412

This theorem is referenced by:  lmbr2  21870  lmff  21912  c1lip2  24598