Theorem elmapex 8871

Description: Eliminate antecedent for mapping theorems: domain can be taken to be a set. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elmapex	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))

Proof of Theorem elmapex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4335	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → ¬ (𝐵 ↑m 𝐶) = ∅)
2		fnmap 8856	. . . 4 ⊢ ↑m Fn (V × V)
3	2	fndmi 6661	. . 3 ⊢ dom ↑m = (V × V)
4	3	ndmov 7609	. 2 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐵 ↑m 𝐶) = ∅)
5	1, 4	nsyl2 141	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3471  ∅c0 4324   × cxp 5678  (class class class)co 7424   ↑_m cmap 8849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-id 5578  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-fv 6559  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-map 8851

This theorem is referenced by:  elmapi  8872  elmapssres  8890  mapsspm  8899  elmapresaun  8903  mapss  8912  ralxpmap  8919  mapdom1  9171  wemapwe  9726  isf34lem6  10409  mndvcl  22311  mndvass  22312  mndvlid  22313  mndvrid  22314  grpvlinv  22315  grpvrinv  22316  mhmvlin  22317  tposmap  22377  satfv1lem  34977  mapcod  41736  mapfzcons  42139  ovnhoilem2  45992