Theorem elmapex 8846

Description: Eliminate antecedent for mapping theorems: domain can be taken to be a set. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elmapex	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))

Proof of Theorem elmapex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4285	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → ¬ (𝐵 ↑m 𝐶) = ∅)
2		fnmap 8831	. . . 4 ⊢ ↑m Fn (V × V)
3	2	fndmi 6631	. . 3 ⊢ dom ↑m = (V × V)
4	3	ndmov 7593	. 2 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐵 ↑m 𝐶) = ∅)
5	1, 4	nsyl2 142	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450  ∅c0 4278   × cxp 5645  (class class class)co 7408   ↑_m cmap 8825

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-fv 6535  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-map 8827

This theorem is used by:  elmapi  8847  elmapssres  8872  mapsspm  8882  elmapresaun  8886  mapss  8895  ralxpmap  8902  mapdom1  9139  wemapwe  9676  isf34lem6  10430  mndvcl  18954  mndvass  18955  mndvlid  18956  mndvrid  18957  mhmvlin  18958  grpvlinv  22675  grpvrinv  22676  tposmap  22734  satfv1lem  36048  mapcod  43214  mapfzcons  43665  ovnhoilem2  47534