Theorem elmapex 8116

Description: Eliminate antecedent for mapping theorems: domain can be taken to be a set. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elmapex	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))

Proof of Theorem elmapex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4120	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) → ¬ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) = ∅)
2		fnmap 8102	. . . 4 ⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)
3		fndm 6201	. . . 4 ⊢ ( ↑𝑚 Fn (V × V) → dom ↑𝑚 = (V × V))
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ dom ↑𝑚 = (V × V)
5	4	ndmov 7052	. 2 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐵 ↑𝑚 𝐶) = ∅)
6	1, 5	nsyl2 145	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  Vcvv 3385  ∅c0 4115   × cxp 5310  dom cdm 5312   Fn wfn 6096  (class class class)co 6878   ↑_𝑚 cmap 8095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-fv 6109  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-map 8097

This theorem is referenced by:  elmapi  8117  elmapssres  8120  mapsspm  8129  mapss  8140  ralxpmap  8147  mapdom1  8367  wemapwe  8844  isf34lem6  9490  mndvcl  20522  mndvass  20523  mndvlid  20524  mndvrid  20525  grpvlinv  20526  grpvrinv  20527  mhmvlin  20528  tposmap  20589  mapfzcons  38065  elmapresaun  38120  ovnhoilem2  41562