Theorem elmapex 8594

Description: Eliminate antecedent for mapping theorems: domain can be taken to be a set. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elmapex	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))

Proof of Theorem elmapex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4264	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → ¬ (𝐵 ↑m 𝐶) = ∅)
2		fnmap 8580	. . . 4 ⊢ ↑m Fn (V × V)
3	2	fndmi 6521	. . 3 ⊢ dom ↑m = (V × V)
4	3	ndmov 7434	. 2 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐵 ↑m 𝐶) = ∅)
5	1, 4	nsyl2 141	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422  ∅c0 4253   × cxp 5578  (class class class)co 7255   ↑_m cmap 8573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-map 8575

This theorem is referenced by:  elmapi  8595  elmapssres  8613  mapsspm  8622  elmapresaun  8626  mapss  8635  ralxpmap  8642  mapdom1  8878  wemapwe  9385  isf34lem6  10067  mndvcl  21450  mndvass  21451  mndvlid  21452  mndvrid  21453  grpvlinv  21454  grpvrinv  21455  mhmvlin  21456  tposmap  21514  satfv1lem  33224  mapfzcons  40454  ovnhoilem2  44030