Theorem elmapex 8795

Description: Eliminate antecedent for mapping theorems: domain can be taken to be a set. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elmapex	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))

Proof of Theorem elmapex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4281	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → ¬ (𝐵 ↑m 𝐶) = ∅)
2		fnmap 8780	. . . 4 ⊢ ↑m Fn (V × V)
3	2	fndmi 6603	. . 3 ⊢ dom ↑m = (V × V)
4	3	ndmov 7551	. 2 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐵 ↑m 𝐶) = ∅)
5	1, 4	nsyl2 141	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  ∅c0 4274   × cxp 5629  (class class class)co 7367   ↑_m cmap 8773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-fv 6507  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-map 8775

This theorem is referenced by:  elmapi  8796  elmapssres  8814  mapsspm  8824  elmapresaun  8828  mapss  8837  ralxpmap  8844  mapdom1  9080  wemapwe  9618  isf34lem6  10302  mndvcl  18765  mndvass  18766  mndvlid  18767  mndvrid  18768  mhmvlin  18769  grpvlinv  22363  grpvrinv  22364  tposmap  22422  satfv1lem  35544  mapcod  42682  mapfzcons  43148  ovnhoilem2  47030