MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elmapex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elmapex 8793
Description: Eliminate antecedent for mapping theorems: domain can be taken to be a set. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
elmapex (𝐴 ∈ (𝐵m 𝐶) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))

Proof of Theorem elmapex
StepHypRef Expression
1 n0i 4298 . 2 (𝐴 ∈ (𝐵m 𝐶) → ¬ (𝐵m 𝐶) = ∅)
2 fnmap 8779 . . . 4 m Fn (V × V)
32fndmi 6611 . . 3 dom ↑m = (V × V)
43ndmov 7543 . 2 (¬ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐵m 𝐶) = ∅)
51, 4nsyl2 141 1 (𝐴 ∈ (𝐵m 𝐶) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3448  c0 4287   × cxp 5636  (class class class)co 7362  m cmap 8772
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-map 8774
This theorem is referenced by:  elmapi  8794  elmapssres  8812  mapsspm  8821  elmapresaun  8825  mapss  8834  ralxpmap  8841  mapdom1  9093  wemapwe  9640  isf34lem6  10323  mndvcl  21756  mndvass  21757  mndvlid  21758  mndvrid  21759  grpvlinv  21760  grpvrinv  21761  mhmvlin  21762  tposmap  21822  satfv1lem  33996  mapfzcons  41068  ovnhoilem2  44917
  Copyright terms: Public domain W3C validator