MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmff 22804
Description: If 𝐹 converges, there is some upper integer set on which 𝐹 is a total function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lmff.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
lmff.3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
lmff.4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
lmff.5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))
Assertion
Ref Expression
lmff (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹   𝑗,𝐽   𝑗,𝑀   πœ‘,𝑗   𝑗,𝑋   𝑗,𝑍

Proof of Theorem lmff
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmff.5 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))
2 eldm2g 5899 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½) β†’ (𝐹 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½) ↔ βˆƒπ‘¦βŸ¨πΉ, π‘¦βŸ© ∈ (β‡π‘‘β€˜π½)))
32ibi 266 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½) β†’ βˆƒπ‘¦βŸ¨πΉ, π‘¦βŸ© ∈ (β‡π‘‘β€˜π½))
41, 3syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦βŸ¨πΉ, π‘¦βŸ© ∈ (β‡π‘‘β€˜π½))
5 df-br 5149 . . . . . 6 (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦 ↔ ⟨𝐹, π‘¦βŸ© ∈ (β‡π‘‘β€˜π½))
65exbii 1850 . . . . 5 (βˆƒπ‘¦ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦 ↔ βˆƒπ‘¦βŸ¨πΉ, π‘¦βŸ© ∈ (β‡π‘‘β€˜π½))
74, 6sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)
8 lmff.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
9 lmcl 22800 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
108, 9sylan 580 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
11 eleq2 2822 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑋 β†’ (𝑦 ∈ 𝑗 ↔ 𝑦 ∈ 𝑋))
12 feq3 6700 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑋 β†’ ((𝐹 β†Ύ π‘₯):π‘₯βŸΆπ‘— ↔ (𝐹 β†Ύ π‘₯):π‘₯βŸΆπ‘‹))
1312rexbidv 3178 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑋 β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ran β„€β‰₯(𝐹 β†Ύ π‘₯):π‘₯βŸΆπ‘— ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ran β„€β‰₯(𝐹 β†Ύ π‘₯):π‘₯βŸΆπ‘‹))
1411, 13imbi12d 344 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑋 β†’ ((𝑦 ∈ 𝑗 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ran β„€β‰₯(𝐹 β†Ύ π‘₯):π‘₯βŸΆπ‘—) ↔ (𝑦 ∈ 𝑋 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ran β„€β‰₯(𝐹 β†Ύ π‘₯):π‘₯βŸΆπ‘‹)))
158lmbr 22761 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝐽 (𝑦 ∈ 𝑗 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ran β„€β‰₯(𝐹 β†Ύ π‘₯):π‘₯βŸΆπ‘—))))
1615biimpa 477 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦) β†’ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝐽 (𝑦 ∈ 𝑗 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ran β„€β‰₯(𝐹 β†Ύ π‘₯):π‘₯βŸΆπ‘—)))
1716simp3d 1144 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦) β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝐽 (𝑦 ∈ 𝑗 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ran β„€β‰₯(𝐹 β†Ύ π‘₯):π‘₯βŸΆπ‘—))
18 toponmax 22427 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
198, 18syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
2019adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦) β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
2114, 17, 20rspcdva 3613 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦) β†’ (𝑦 ∈ 𝑋 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ran β„€β‰₯(𝐹 β†Ύ π‘₯):π‘₯βŸΆπ‘‹))
2210, 21mpd 15 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ran β„€β‰₯(𝐹 β†Ύ π‘₯):π‘₯βŸΆπ‘‹)
237, 22exlimddv 1938 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ran β„€β‰₯(𝐹 β†Ύ π‘₯):π‘₯βŸΆπ‘‹)
24 uzf 12824 . . . 4 β„€β‰₯:β„€βŸΆπ’« β„€
25 ffn 6717 . . . 4 (β„€β‰₯:β„€βŸΆπ’« β„€ β†’ β„€β‰₯ Fn β„€)
26 reseq2 5976 . . . . . 6 (π‘₯ = (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (𝐹 β†Ύ π‘₯) = (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)))
27 id 22 . . . . . 6 (π‘₯ = (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ π‘₯ = (β„€β‰₯β€˜π‘—))
2826, 27feq12d 6705 . . . . 5 (π‘₯ = (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ ((𝐹 β†Ύ π‘₯):π‘₯βŸΆπ‘‹ ↔ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹))
2928rexrn 7088 . . . 4 (β„€β‰₯ Fn β„€ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ran β„€β‰₯(𝐹 β†Ύ π‘₯):π‘₯βŸΆπ‘‹ ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹))
3024, 25, 29mp2b 10 . . 3 (βˆƒπ‘₯ ∈ ran β„€β‰₯(𝐹 β†Ύ π‘₯):π‘₯βŸΆπ‘‹ ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)
3123, 30sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)
32 lmff.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
33 lmff.1 . . . . 5 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
3433rexuz3 15294 . . . 4 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑋) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑋)))
3532, 34syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑋) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑋)))
3616simp1d 1142 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦) β†’ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚))
377, 36exlimddv 1938 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚))
38 pmfun 8840 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) β†’ Fun 𝐹)
3937, 38syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Fun 𝐹)
40 ffvresb 7123 . . . . 5 (Fun 𝐹 β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑋)))
4139, 40syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑋)))
4241rexbidv 3178 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹ ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑋)))
4341rexbidv 3178 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹ ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑋)))
4435, 42, 433bitr4d 310 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹ ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹))
4531, 44mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  π’« cpw 4602  βŸ¨cop 4634   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ↑pm cpm 8820  β„‚cc 11107  β„€cz 12557  β„€β‰₯cuz 12821  TopOnctopon 22411  β‡π‘‘clm 22729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-er 8702  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-neg 11446  df-z 12558  df-uz 12822  df-top 22395  df-topon 22412  df-lm 22732
This theorem is referenced by:  lmle  24817
  Copyright terms: Public domain W3C validator