MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmff 22675
Description: If 𝐹 converges, there is some upper integer set on which 𝐹 is a total function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lmff.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
lmff.3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
lmff.4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
lmff.5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))
Assertion
Ref Expression
lmff (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹   𝑗,𝐽   𝑗,𝑀   πœ‘,𝑗   𝑗,𝑋   𝑗,𝑍

Proof of Theorem lmff
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmff.5 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))
2 eldm2g 5859 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½) β†’ (𝐹 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½) ↔ βˆƒπ‘¦βŸ¨πΉ, π‘¦βŸ© ∈ (β‡π‘‘β€˜π½)))
32ibi 267 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½) β†’ βˆƒπ‘¦βŸ¨πΉ, π‘¦βŸ© ∈ (β‡π‘‘β€˜π½))
41, 3syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦βŸ¨πΉ, π‘¦βŸ© ∈ (β‡π‘‘β€˜π½))
5 df-br 5110 . . . . . 6 (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦 ↔ ⟨𝐹, π‘¦βŸ© ∈ (β‡π‘‘β€˜π½))
65exbii 1851 . . . . 5 (βˆƒπ‘¦ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦 ↔ βˆƒπ‘¦βŸ¨πΉ, π‘¦βŸ© ∈ (β‡π‘‘β€˜π½))
74, 6sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)
8 lmff.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
9 lmcl 22671 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
108, 9sylan 581 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
11 eleq2 2823 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑋 β†’ (𝑦 ∈ 𝑗 ↔ 𝑦 ∈ 𝑋))
12 feq3 6655 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑋 β†’ ((𝐹 β†Ύ π‘₯):π‘₯βŸΆπ‘— ↔ (𝐹 β†Ύ π‘₯):π‘₯βŸΆπ‘‹))
1312rexbidv 3172 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑋 β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ran β„€β‰₯(𝐹 β†Ύ π‘₯):π‘₯βŸΆπ‘— ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ran β„€β‰₯(𝐹 β†Ύ π‘₯):π‘₯βŸΆπ‘‹))
1411, 13imbi12d 345 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑋 β†’ ((𝑦 ∈ 𝑗 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ran β„€β‰₯(𝐹 β†Ύ π‘₯):π‘₯βŸΆπ‘—) ↔ (𝑦 ∈ 𝑋 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ran β„€β‰₯(𝐹 β†Ύ π‘₯):π‘₯βŸΆπ‘‹)))
158lmbr 22632 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝐽 (𝑦 ∈ 𝑗 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ran β„€β‰₯(𝐹 β†Ύ π‘₯):π‘₯βŸΆπ‘—))))
1615biimpa 478 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦) β†’ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝐽 (𝑦 ∈ 𝑗 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ran β„€β‰₯(𝐹 β†Ύ π‘₯):π‘₯βŸΆπ‘—)))
1716simp3d 1145 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦) β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝐽 (𝑦 ∈ 𝑗 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ran β„€β‰₯(𝐹 β†Ύ π‘₯):π‘₯βŸΆπ‘—))
18 toponmax 22298 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
198, 18syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
2019adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦) β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
2114, 17, 20rspcdva 3584 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦) β†’ (𝑦 ∈ 𝑋 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ran β„€β‰₯(𝐹 β†Ύ π‘₯):π‘₯βŸΆπ‘‹))
2210, 21mpd 15 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ran β„€β‰₯(𝐹 β†Ύ π‘₯):π‘₯βŸΆπ‘‹)
237, 22exlimddv 1939 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ran β„€β‰₯(𝐹 β†Ύ π‘₯):π‘₯βŸΆπ‘‹)
24 uzf 12774 . . . 4 β„€β‰₯:β„€βŸΆπ’« β„€
25 ffn 6672 . . . 4 (β„€β‰₯:β„€βŸΆπ’« β„€ β†’ β„€β‰₯ Fn β„€)
26 reseq2 5936 . . . . . 6 (π‘₯ = (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (𝐹 β†Ύ π‘₯) = (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)))
27 id 22 . . . . . 6 (π‘₯ = (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ π‘₯ = (β„€β‰₯β€˜π‘—))
2826, 27feq12d 6660 . . . . 5 (π‘₯ = (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ ((𝐹 β†Ύ π‘₯):π‘₯βŸΆπ‘‹ ↔ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹))
2928rexrn 7041 . . . 4 (β„€β‰₯ Fn β„€ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ran β„€β‰₯(𝐹 β†Ύ π‘₯):π‘₯βŸΆπ‘‹ ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹))
3024, 25, 29mp2b 10 . . 3 (βˆƒπ‘₯ ∈ ran β„€β‰₯(𝐹 β†Ύ π‘₯):π‘₯βŸΆπ‘‹ ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)
3123, 30sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)
32 lmff.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
33 lmff.1 . . . . 5 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
3433rexuz3 15242 . . . 4 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑋) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑋)))
3532, 34syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑋) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑋)))
3616simp1d 1143 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦) β†’ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚))
377, 36exlimddv 1939 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚))
38 pmfun 8791 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) β†’ Fun 𝐹)
3937, 38syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Fun 𝐹)
40 ffvresb 7076 . . . . 5 (Fun 𝐹 β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑋)))
4139, 40syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑋)))
4241rexbidv 3172 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹ ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑋)))
4341rexbidv 3172 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹ ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑋)))
4435, 42, 433bitr4d 311 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹ ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹))
4531, 44mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  π’« cpw 4564  βŸ¨cop 4596   class class class wbr 5109  dom cdm 5637  ran crn 5638   β†Ύ cres 5639  Fun wfun 6494   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ↑pm cpm 8772  β„‚cc 11057  β„€cz 12507  β„€β‰₯cuz 12771  TopOnctopon 22282  β‡π‘‘clm 22600
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-er 8654  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-neg 11396  df-z 12508  df-uz 12772  df-top 22266  df-topon 22283  df-lm 22603
This theorem is referenced by:  lmle  24688
  Copyright terms: Public domain W3C validator