MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmff 23129
Description: If 𝐹 converges, there is some upper integer set on which 𝐹 is a total function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lmff.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
lmff.3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
lmff.4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
lmff.5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))
Assertion
Ref Expression
lmff (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹   𝑗,𝐽   𝑗,𝑀   πœ‘,𝑗   𝑗,𝑋   𝑗,𝑍

Proof of Theorem lmff
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmff.5 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))
2 eldm2g 5890 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½) β†’ (𝐹 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½) ↔ βˆƒπ‘¦βŸ¨πΉ, π‘¦βŸ© ∈ (β‡π‘‘β€˜π½)))
32ibi 267 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½) β†’ βˆƒπ‘¦βŸ¨πΉ, π‘¦βŸ© ∈ (β‡π‘‘β€˜π½))
41, 3syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦βŸ¨πΉ, π‘¦βŸ© ∈ (β‡π‘‘β€˜π½))
5 df-br 5140 . . . . . 6 (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦 ↔ ⟨𝐹, π‘¦βŸ© ∈ (β‡π‘‘β€˜π½))
65exbii 1842 . . . . 5 (βˆƒπ‘¦ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦 ↔ βˆƒπ‘¦βŸ¨πΉ, π‘¦βŸ© ∈ (β‡π‘‘β€˜π½))
74, 6sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)
8 lmff.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
9 lmcl 23125 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
108, 9sylan 579 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
11 eleq2 2814 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑋 β†’ (𝑦 ∈ 𝑗 ↔ 𝑦 ∈ 𝑋))
12 feq3 6691 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑋 β†’ ((𝐹 β†Ύ π‘₯):π‘₯βŸΆπ‘— ↔ (𝐹 β†Ύ π‘₯):π‘₯βŸΆπ‘‹))
1312rexbidv 3170 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑋 β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ran β„€β‰₯(𝐹 β†Ύ π‘₯):π‘₯βŸΆπ‘— ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ran β„€β‰₯(𝐹 β†Ύ π‘₯):π‘₯βŸΆπ‘‹))
1411, 13imbi12d 344 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑋 β†’ ((𝑦 ∈ 𝑗 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ran β„€β‰₯(𝐹 β†Ύ π‘₯):π‘₯βŸΆπ‘—) ↔ (𝑦 ∈ 𝑋 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ran β„€β‰₯(𝐹 β†Ύ π‘₯):π‘₯βŸΆπ‘‹)))
158lmbr 23086 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝐽 (𝑦 ∈ 𝑗 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ran β„€β‰₯(𝐹 β†Ύ π‘₯):π‘₯βŸΆπ‘—))))
1615biimpa 476 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦) β†’ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝐽 (𝑦 ∈ 𝑗 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ran β„€β‰₯(𝐹 β†Ύ π‘₯):π‘₯βŸΆπ‘—)))
1716simp3d 1141 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦) β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝐽 (𝑦 ∈ 𝑗 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ran β„€β‰₯(𝐹 β†Ύ π‘₯):π‘₯βŸΆπ‘—))
18 toponmax 22752 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
198, 18syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
2019adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦) β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
2114, 17, 20rspcdva 3605 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦) β†’ (𝑦 ∈ 𝑋 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ran β„€β‰₯(𝐹 β†Ύ π‘₯):π‘₯βŸΆπ‘‹))
2210, 21mpd 15 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ran β„€β‰₯(𝐹 β†Ύ π‘₯):π‘₯βŸΆπ‘‹)
237, 22exlimddv 1930 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ran β„€β‰₯(𝐹 β†Ύ π‘₯):π‘₯βŸΆπ‘‹)
24 uzf 12823 . . . 4 β„€β‰₯:β„€βŸΆπ’« β„€
25 ffn 6708 . . . 4 (β„€β‰₯:β„€βŸΆπ’« β„€ β†’ β„€β‰₯ Fn β„€)
26 reseq2 5967 . . . . . 6 (π‘₯ = (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (𝐹 β†Ύ π‘₯) = (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)))
27 id 22 . . . . . 6 (π‘₯ = (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ π‘₯ = (β„€β‰₯β€˜π‘—))
2826, 27feq12d 6696 . . . . 5 (π‘₯ = (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ ((𝐹 β†Ύ π‘₯):π‘₯βŸΆπ‘‹ ↔ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹))
2928rexrn 7079 . . . 4 (β„€β‰₯ Fn β„€ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ran β„€β‰₯(𝐹 β†Ύ π‘₯):π‘₯βŸΆπ‘‹ ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹))
3024, 25, 29mp2b 10 . . 3 (βˆƒπ‘₯ ∈ ran β„€β‰₯(𝐹 β†Ύ π‘₯):π‘₯βŸΆπ‘‹ ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)
3123, 30sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)
32 lmff.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
33 lmff.1 . . . . 5 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
3433rexuz3 15293 . . . 4 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑋) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑋)))
3532, 34syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑋) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑋)))
3616simp1d 1139 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦) β†’ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚))
377, 36exlimddv 1930 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚))
38 pmfun 8838 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) β†’ Fun 𝐹)
3937, 38syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Fun 𝐹)
40 ffvresb 7117 . . . . 5 (Fun 𝐹 β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑋)))
4139, 40syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑋)))
4241rexbidv 3170 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹ ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑋)))
4341rexbidv 3170 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹ ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑋)))
4435, 42, 433bitr4d 311 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹ ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹))
4531, 44mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053  βˆƒwrex 3062  π’« cpw 4595  βŸ¨cop 4627   class class class wbr 5139  dom cdm 5667  ran crn 5668   β†Ύ cres 5669  Fun wfun 6528   Fn wfn 6529  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402   ↑pm cpm 8818  β„‚cc 11105  β„€cz 12556  β„€β‰₯cuz 12820  TopOnctopon 22736  β‡π‘‘clm 23054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-er 8700  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-neg 11445  df-z 12557  df-uz 12821  df-top 22720  df-topon 22737  df-lm 23057
This theorem is referenced by:  lmle  25153
  Copyright terms: Public domain W3C validator