MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elpmi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elpmi 8791
Description: A partial function is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
elpmi (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ dom 𝐹𝐵))

Proof of Theorem elpmi
StepHypRef Expression
1 n0i 4298 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐵) → ¬ (𝐴pm 𝐵) = ∅)
2 fnpm 8780 . . . . . 6 pm Fn (V × V)
32fndmi 6611 . . . . 5 dom ↑pm = (V × V)
43ndmov 7543 . . . 4 (¬ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴pm 𝐵) = ∅)
51, 4nsyl2 141 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐵) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
6 elpm2g 8789 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐵) ↔ (𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ dom 𝐹𝐵)))
75, 6syl 17 . 2 (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐵) → (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐵) ↔ (𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ dom 𝐹𝐵)))
87ibi 267 1 (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ dom 𝐹𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3448  wss 3915  c0 4287   × cxp 5636  dom cdm 5638  wf 6497  (class class class)co 7362  pm cpm 8773
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-pm 8775
This theorem is referenced by:  pmfun  8792  pmresg  8815  equivcau  24680  dvn2bss  25310  mrsubff  34146  mrsubrn  34147  elpmrn  43515  elpmi2  43520  issmflem  45042
  Copyright terms: Public domain W3C validator