Theorem elpmi 8842

Description: A partial function is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elpmi	⊢ (𝐹 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹⟶𝐴 ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem elpmi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4292	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) → ¬ (𝐴 ↑pm 𝐵) = ∅)
2		fnpm 8830	. . . . . 6 ⊢ ↑pm Fn (V × V)
3	2	fndmi 6639	. . . . 5 ⊢ dom ↑pm = (V × V)
4	3	ndmov 7594	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ↑pm 𝐵) = ∅)
5	1, 4	nsyl2 142	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
6		elpm2g 8840	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶𝐴 ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝐵)))
7	5, 6	syl 18	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) → (𝐹 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶𝐴 ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝐵)))
8	7	ibi 270	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹⟶𝐴 ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285   × cxp 5659  dom cdm 5661  ⟶wf 6532  (class class class)co 7410   ↑_pm cpm 8824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-pm 8826

This theorem is referenced by:  pmfun  8843  pmresg  8867  equivcau  25438  dvn2bss  26068  mrsubff  35970  mrsubrn  35971  elpmrn  45906  elpmi2  45911  issmflem  47411