MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  c1lip2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem c1lip2 25378
Description: C^1 functions are Lipschitz continuous on closed intervals. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
c1lip2.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
c1lip2.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
c1lip2.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„)β€˜1))
c1lip2.rn (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† ℝ)
c1lip2.dm (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† dom 𝐹)
Assertion
Ref Expression
c1lip2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) ≀ (π‘˜ Β· (absβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘₯))))
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘₯,𝑦,π‘˜   π‘₯,𝐴,𝑦,π‘˜   π‘₯,𝐡,𝑦,π‘˜   π‘₯,𝐹,𝑦,π‘˜

Proof of Theorem c1lip2
StepHypRef Expression
1 c1lip2.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2 c1lip2.b . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
3 c1lip2.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„)β€˜1))
4 ax-resscn 11113 . . . . 5 ℝ βŠ† β„‚
5 1nn0 12434 . . . . 5 1 ∈ β„•0
6 elcpn 25314 . . . . 5 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ 1 ∈ β„•0) β†’ (𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„)β€˜1) ↔ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) ∧ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜1) ∈ (dom 𝐹–cnβ†’β„‚))))
74, 5, 6mp2an 691 . . . 4 (𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„)β€˜1) ↔ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) ∧ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜1) ∈ (dom 𝐹–cnβ†’β„‚)))
87simplbi 499 . . 3 (𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„)β€˜1) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
93, 8syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
10 c1lip2.dm . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† dom 𝐹)
11 pmfun 8788 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) β†’ Fun 𝐹)
129, 11syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Fun 𝐹)
1312funfnd 6533 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn dom 𝐹)
14 c1lip2.rn . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† ℝ)
15 df-f 6501 . . . . . . 7 (𝐹:dom πΉβŸΆβ„ ↔ (𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ ran 𝐹 βŠ† ℝ))
1613, 14, 15sylanbrc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„)
17 cnex 11137 . . . . . . . . 9 β„‚ ∈ V
18 reex 11147 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
1917, 18elpm2 8815 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† ℝ))
2019simprbi 498 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) β†’ dom 𝐹 βŠ† ℝ)
219, 20syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 βŠ† ℝ)
22 dvfre 25331 . . . . . 6 ((𝐹:dom πΉβŸΆβ„ ∧ dom 𝐹 βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„)
2316, 21, 22syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„)
24 0p1e1 12280 . . . . . . . . . . 11 (0 + 1) = 1
2524fveq2i 6846 . . . . . . . . . 10 ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(0 + 1)) = ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜1)
26 0nn0 12433 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ β„•0
27 dvnp1 25305 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(0 + 1)) = (ℝ D ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜0)))
284, 26, 27mp3an13 1453 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) β†’ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(0 + 1)) = (ℝ D ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜0)))
299, 28syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(0 + 1)) = (ℝ D ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜0)))
3025, 29eqtr3id 2787 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜1) = (ℝ D ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜0)))
31 dvn0 25304 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ)) β†’ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜0) = 𝐹)
324, 9, 31sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜0) = 𝐹)
3332oveq2d 7374 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ D ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜0)) = (ℝ D 𝐹))
3430, 33eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜1) = (ℝ D 𝐹))
357simprbi 498 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„)β€˜1) β†’ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜1) ∈ (dom 𝐹–cnβ†’β„‚))
363, 35syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜1) ∈ (dom 𝐹–cnβ†’β„‚))
3734, 36eqeltrrd 2835 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) ∈ (dom 𝐹–cnβ†’β„‚))
38 cncff 24272 . . . . . . 7 ((ℝ D 𝐹) ∈ (dom 𝐹–cnβ†’β„‚) β†’ (ℝ D 𝐹):dom πΉβŸΆβ„‚)
39 fdm 6678 . . . . . . 7 ((ℝ D 𝐹):dom πΉβŸΆβ„‚ β†’ dom (ℝ D 𝐹) = dom 𝐹)
4037, 38, 393syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐹) = dom 𝐹)
4140feq2d 6655 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„ ↔ (ℝ D 𝐹):dom πΉβŸΆβ„))
4223, 41mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹):dom πΉβŸΆβ„)
43 cncfcdm 24277 . . . . 5 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ (ℝ D 𝐹) ∈ (dom 𝐹–cnβ†’β„‚)) β†’ ((ℝ D 𝐹) ∈ (dom 𝐹–cn→ℝ) ↔ (ℝ D 𝐹):dom πΉβŸΆβ„))
444, 37, 43sylancr 588 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐹) ∈ (dom 𝐹–cn→ℝ) ↔ (ℝ D 𝐹):dom πΉβŸΆβ„))
4542, 44mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) ∈ (dom 𝐹–cn→ℝ))
46 rescncf 24276 . . 3 ((𝐴[,]𝐡) βŠ† dom 𝐹 β†’ ((ℝ D 𝐹) ∈ (dom 𝐹–cn→ℝ) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ)))
4710, 45, 46sylc 65 . 2 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
4818prid1 4724 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
49 1eluzge0 12822 . . . . . . . . 9 1 ∈ (β„€β‰₯β€˜0)
50 cpnord 25315 . . . . . . . . 9 ((ℝ ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 0 ∈ β„•0 ∧ 1 ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) β†’ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„)β€˜1) βŠ† ((𝓑Cπ‘›β€˜β„)β€˜0))
5148, 26, 49, 50mp3an 1462 . . . . . . . 8 ((𝓑Cπ‘›β€˜β„)β€˜1) βŠ† ((𝓑Cπ‘›β€˜β„)β€˜0)
5251, 3sselid 3943 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„)β€˜0))
53 elcpn 25314 . . . . . . . . 9 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ (𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„)β€˜0) ↔ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) ∧ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜0) ∈ (dom 𝐹–cnβ†’β„‚))))
544, 26, 53mp2an 691 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„)β€˜0) ↔ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) ∧ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜0) ∈ (dom 𝐹–cnβ†’β„‚)))
5554simprbi 498 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„)β€˜0) β†’ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜0) ∈ (dom 𝐹–cnβ†’β„‚))
5652, 55syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜0) ∈ (dom 𝐹–cnβ†’β„‚))
5732, 56eqeltrrd 2835 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (dom 𝐹–cnβ†’β„‚))
58 cncfcdm 24277 . . . . 5 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (dom 𝐹–cnβ†’β„‚)) β†’ (𝐹 ∈ (dom 𝐹–cn→ℝ) ↔ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„))
594, 57, 58sylancr 588 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (dom 𝐹–cn→ℝ) ↔ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„))
6016, 59mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (dom 𝐹–cn→ℝ))
61 rescncf 24276 . . 3 ((𝐴[,]𝐡) βŠ† dom 𝐹 β†’ (𝐹 ∈ (dom 𝐹–cn→ℝ) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ)))
6210, 60, 61sylc 65 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
631, 2, 9, 47, 62c1lip1 25377 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) ≀ (π‘˜ Β· (absβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘₯))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3911  {cpr 4589   class class class wbr 5106  dom cdm 5634  ran crn 5635   β†Ύ cres 5636  Fun wfun 6491   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ↑pm cpm 8769  β„‚cc 11054  β„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   Β· cmul 11061   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390  β„•0cn0 12418  β„€β‰₯cuz 12768  [,]cicc 13273  abscabs 15125  β€“cnβ†’ccncf 24255   D cdv 25243   D𝑛 cdvn 25244  π“‘C𝑛ccpn 25245
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-dvn 25248  df-cpn 25249
This theorem is referenced by:  c1lip3  25379
  Copyright terms: Public domain W3C validator