Theorem c1lip2 26138

Description: C^1 functions are Lipschitz continuous on closed intervals. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
c1lip2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
c1lip2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
c1lip2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝓑C𝑛‘ℝ)‘1))
c1lip2.rn	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
c1lip2.dm	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ dom 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
c1lip2	⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦 − 𝑥))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦,𝑘   𝑥,𝐴,𝑦,𝑘   𝑥,𝐵,𝑦,𝑘   𝑥,𝐹,𝑦,𝑘

Proof of Theorem c1lip2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c1lip2.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		c1lip2.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		c1lip2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝓑C𝑛‘ℝ)‘1))
4		ax-resscn 11158	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
5		1nn0 12521	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		elcpn 26074	. . . . 5 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝐹 ∈ ((𝓑C𝑛‘ℝ)‘1) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘1) ∈ (dom 𝐹–cn→ℂ))))
7	4, 5, 6	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝓑C𝑛‘ℝ)‘1) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘1) ∈ (dom 𝐹–cn→ℂ)))
8	7	simplbi 501	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝓑C𝑛‘ℝ)‘1) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
9	3, 8	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
10		c1lip2.dm	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ dom 𝐹)
11		pmfun 8845	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) → Fun 𝐹)
12	9, 11	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
13	12	funfnd 6569	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn dom 𝐹)
14		c1lip2.rn	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
15		df-f 6542	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:dom 𝐹⟶ℝ ↔ (𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ))
16	13, 14, 15	sylanbrc 594	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
17		cnex 11182	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ ∈ V
18		reex 11192	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ∈ V
19	17, 18	elpm2 8873	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
20	19	simprbi 502	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
21	9, 20	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
22		dvfre 26091	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℝ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
23	16, 21, 22	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
24		0p1e1 12362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 1) = 1
25	24	fveq2i 6886	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(0 + 1)) = ((ℝ D𝑛 𝐹)‘1)
26		0nn0 12520	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℕ0
27		dvnp1 26065	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(0 + 1)) = (ℝ D ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0)))
28	4, 26, 27	mp3an13 1481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(0 + 1)) = (ℝ D ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0)))
29	9, 28	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(0 + 1)) = (ℝ D ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0)))
30	25, 29	eqtr3id 2812	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘1) = (ℝ D ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0)))
31		dvn0 26064	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ)) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
32	4, 9, 31	sylancr 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
33	32	oveq2d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0)) = (ℝ D 𝐹))
34	30, 33	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘1) = (ℝ D 𝐹))
35	7	simprbi 502	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝓑C𝑛‘ℝ)‘1) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘1) ∈ (dom 𝐹–cn→ℂ))
36	3, 35	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘1) ∈ (dom 𝐹–cn→ℂ))
37	34, 36	eqeltrrd 2864	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ (dom 𝐹–cn→ℂ))
38		cncff 25033	. . . . . . 7 ⊢ ((ℝ D 𝐹) ∈ (dom 𝐹–cn→ℂ) → (ℝ D 𝐹):dom 𝐹⟶ℂ)
39		fdm 6717	. . . . . . 7 ⊢ ((ℝ D 𝐹):dom 𝐹⟶ℂ → dom (ℝ D 𝐹) = dom 𝐹)
40	37, 38, 39	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = dom 𝐹)
41	40	feq2d 6691	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ ↔ (ℝ D 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ))
42	23, 41	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
43		cncfcdm 25038	. . . . 5 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (ℝ D 𝐹) ∈ (dom 𝐹–cn→ℂ)) → ((ℝ D 𝐹) ∈ (dom 𝐹–cn→ℝ) ↔ (ℝ D 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ))
44	4, 37, 43	sylancr 598	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ∈ (dom 𝐹–cn→ℝ) ↔ (ℝ D 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ))
45	42, 44	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ (dom 𝐹–cn→ℝ))
46		rescncf 25037	. . 3 ⊢ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ dom 𝐹 → ((ℝ D 𝐹) ∈ (dom 𝐹–cn→ℝ) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ)))
47	10, 45, 46	sylc 66	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
48	18	prid1 4729	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
49		1eluzge0 12905	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ (ℤ≥‘0)
50		cpnord 26075	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ (ℤ≥‘0)) → ((𝓑C𝑛‘ℝ)‘1) ⊆ ((𝓑C𝑛‘ℝ)‘0))
51	48, 26, 49, 50	mp3an 1490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝓑C𝑛‘ℝ)‘1) ⊆ ((𝓑C𝑛‘ℝ)‘0)
52	51, 3	sselid 3936	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝓑C𝑛‘ℝ)‘0))
53		elcpn 26074	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐹 ∈ ((𝓑C𝑛‘ℝ)‘0) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0) ∈ (dom 𝐹–cn→ℂ))))
54	4, 26, 53	mp2an 704	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝓑C𝑛‘ℝ)‘0) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0) ∈ (dom 𝐹–cn→ℂ)))
55	54	simprbi 502	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝓑C𝑛‘ℝ)‘0) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0) ∈ (dom 𝐹–cn→ℂ))
56	52, 55	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0) ∈ (dom 𝐹–cn→ℂ))
57	32, 56	eqeltrrd 2864	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (dom 𝐹–cn→ℂ))
58		cncfcdm 25038	. . . . 5 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (dom 𝐹–cn→ℂ)) → (𝐹 ∈ (dom 𝐹–cn→ℝ) ↔ 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ))
59	4, 57, 58	sylancr 598	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (dom 𝐹–cn→ℝ) ↔ 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ))
60	16, 59	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (dom 𝐹–cn→ℝ))
61		rescncf 25037	. . 3 ⊢ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ dom 𝐹 → (𝐹 ∈ (dom 𝐹–cn→ℝ) → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ)))
62	10, 60, 61	sylc 66	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
63	1, 2, 9, 47, 62	c1lip1 26137	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦 − 𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3906  {cpr 4592   class class class wbr 5110  dom cdm 5663  ran crn 5664   ↾ cres 5665  Fun wfun 6532   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   ↑_pm cpm 8826  ℂcc 11099  ℝcr 11100  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104   · cmul 11106   ≤ cle 11245   − cmin 11442  ℕ₀cn0 12505  ℤ_≥cuz 12863  [,]cicc 13376  abscabs 15287  –cn→ccncf 25016   D cdv 26003   D^𝑛 cdvn 26004  𝓑C^𝑛ccpn 26005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179  ax-addf 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-fi 9372  df-sup 9403  df-inf 9404  df-oi 9473  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-ioo 13377  df-ico 13379  df-icc 13380  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14369  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17476  df-topn 17477  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-topgen 17497  df-pt 17498  df-prds 17501  df-xrs 17557  df-qtop 17562  df-imas 17563  df-xps 17565  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-submnd 18843  df-mulg 19135  df-cntz 19388  df-cmn 19853  df-psmet 21495  df-xmet 21496  df-met 21497  df-bl 21498  df-mopn 21499  df-fbas 21500  df-fg 21501  df-cnfld 21504  df-top 23032  df-topon 23049  df-topsp 23071  df-bases 23084  df-cld 23157  df-ntr 23158  df-cls 23159  df-nei 23236  df-lp 23274  df-perf 23275  df-cn 23365  df-cnp 23366  df-haus 23453  df-cmp 23525  df-tx 23700  df-hmeo 23893  df-fil 23984  df-fm 24076  df-flim 24077  df-flf 24078  df-xms 24458  df-ms 24459  df-tms 24460  df-cncf 25018  df-limc 26006  df-dv 26007  df-dvn 26008  df-cpn 26009

This theorem is referenced by:  c1lip3  26139