Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  c1lip2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem c1lip2 24615
 Description: C^1 functions are Lipschitz continuous on closed intervals. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
c1lip2.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
c1lip2.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
c1lip2.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝓑C𝑛‘ℝ)‘1))
c1lip2.rn (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
c1lip2.dm (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ dom 𝐹)
Assertion
Ref Expression
c1lip2 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥))))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦,𝑘   𝑥,𝐴,𝑦,𝑘   𝑥,𝐵,𝑦,𝑘   𝑥,𝐹,𝑦,𝑘

Proof of Theorem c1lip2
StepHypRef Expression
1 c1lip2.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 c1lip2.b . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 c1lip2.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ ((𝓑C𝑛‘ℝ)‘1))
4 ax-resscn 10590 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
5 1nn0 11908 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
6 elcpn 24551 . . . . 5 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝐹 ∈ ((𝓑C𝑛‘ℝ)‘1) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘1) ∈ (dom 𝐹cn→ℂ))))
74, 5, 6mp2an 691 . . . 4 (𝐹 ∈ ((𝓑C𝑛‘ℝ)‘1) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘1) ∈ (dom 𝐹cn→ℂ)))
87simplbi 501 . . 3 (𝐹 ∈ ((𝓑C𝑛‘ℝ)‘1) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
93, 8syl 17 . 2 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
10 c1lip2.dm . . 3 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ dom 𝐹)
11 pmfun 8416 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) → Fun 𝐹)
129, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → Fun 𝐹)
1312funfnd 6358 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 Fn dom 𝐹)
14 c1lip2.rn . . . . . . 7 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
15 df-f 6331 . . . . . . 7 (𝐹:dom 𝐹⟶ℝ ↔ (𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ))
1613, 14, 15sylanbrc 586 . . . . . 6 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
17 cnex 10614 . . . . . . . . 9 ℂ ∈ V
18 reex 10624 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
1917, 18elpm2 8428 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
2019simprbi 500 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
219, 20syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
22 dvfre 24568 . . . . . 6 ((𝐹:dom 𝐹⟶ℝ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
2316, 21, 22syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
24 0p1e1 11754 . . . . . . . . . . 11 (0 + 1) = 1
2524fveq2i 6653 . . . . . . . . . 10 ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(0 + 1)) = ((ℝ D𝑛 𝐹)‘1)
26 0nn0 11907 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℕ0
27 dvnp1 24542 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(0 + 1)) = (ℝ D ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0)))
284, 26, 27mp3an13 1449 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(0 + 1)) = (ℝ D ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0)))
299, 28syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(0 + 1)) = (ℝ D ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0)))
3025, 29syl5eqr 2847 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘1) = (ℝ D ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0)))
31 dvn0 24541 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ)) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
324, 9, 31sylancr 590 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
3332oveq2d 7156 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0)) = (ℝ D 𝐹))
3430, 33eqtrd 2833 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘1) = (ℝ D 𝐹))
357simprbi 500 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ ((𝓑C𝑛‘ℝ)‘1) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘1) ∈ (dom 𝐹cn→ℂ))
363, 35syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘1) ∈ (dom 𝐹cn→ℂ))
3734, 36eqeltrrd 2891 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ (dom 𝐹cn→ℂ))
38 cncff 23512 . . . . . . 7 ((ℝ D 𝐹) ∈ (dom 𝐹cn→ℂ) → (ℝ D 𝐹):dom 𝐹⟶ℂ)
39 fdm 6498 . . . . . . 7 ((ℝ D 𝐹):dom 𝐹⟶ℂ → dom (ℝ D 𝐹) = dom 𝐹)
4037, 38, 393syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = dom 𝐹)
4140feq2d 6476 . . . . 5 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ ↔ (ℝ D 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ))
4223, 41mpbid 235 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
43 cncffvrn 23517 . . . . 5 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (ℝ D 𝐹) ∈ (dom 𝐹cn→ℂ)) → ((ℝ D 𝐹) ∈ (dom 𝐹cn→ℝ) ↔ (ℝ D 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ))
444, 37, 43sylancr 590 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ∈ (dom 𝐹cn→ℝ) ↔ (ℝ D 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ))
4542, 44mpbird 260 . . 3 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ (dom 𝐹cn→ℝ))
46 rescncf 23516 . . 3 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ dom 𝐹 → ((ℝ D 𝐹) ∈ (dom 𝐹cn→ℝ) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ)))
4710, 45, 46sylc 65 . 2 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
4818prid1 4658 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
49 1eluzge0 12287 . . . . . . . . 9 1 ∈ (ℤ‘0)
50 cpnord 24552 . . . . . . . . 9 ((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ (ℤ‘0)) → ((𝓑C𝑛‘ℝ)‘1) ⊆ ((𝓑C𝑛‘ℝ)‘0))
5148, 26, 49, 50mp3an 1458 . . . . . . . 8 ((𝓑C𝑛‘ℝ)‘1) ⊆ ((𝓑C𝑛‘ℝ)‘0)
5251, 3sseldi 3913 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ ((𝓑C𝑛‘ℝ)‘0))
53 elcpn 24551 . . . . . . . . 9 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐹 ∈ ((𝓑C𝑛‘ℝ)‘0) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0) ∈ (dom 𝐹cn→ℂ))))
544, 26, 53mp2an 691 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ ((𝓑C𝑛‘ℝ)‘0) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0) ∈ (dom 𝐹cn→ℂ)))
5554simprbi 500 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ ((𝓑C𝑛‘ℝ)‘0) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0) ∈ (dom 𝐹cn→ℂ))
5652, 55syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0) ∈ (dom 𝐹cn→ℂ))
5732, 56eqeltrrd 2891 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (dom 𝐹cn→ℂ))
58 cncffvrn 23517 . . . . 5 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (dom 𝐹cn→ℂ)) → (𝐹 ∈ (dom 𝐹cn→ℝ) ↔ 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ))
594, 57, 58sylancr 590 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∈ (dom 𝐹cn→ℝ) ↔ 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ))
6016, 59mpbird 260 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (dom 𝐹cn→ℝ))
61 rescncf 23516 . . 3 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ dom 𝐹 → (𝐹 ∈ (dom 𝐹cn→ℝ) → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ)))
6210, 60, 61sylc 65 . 2 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
631, 2, 9, 47, 62c1lip1 24614 1 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107   ⊆ wss 3881  {cpr 4527   class class class wbr 5031  dom cdm 5520  ran crn 5521   ↾ cres 5522  Fun wfun 6321   Fn wfn 6322  ⟶wf 6323  ‘cfv 6327  (class class class)co 7140   ↑pm cpm 8397  ℂcc 10531  ℝcr 10532  0cc0 10533  1c1 10534   + caddc 10536   · cmul 10538   ≤ cle 10672   − cmin 10866  ℕ0cn0 11892  ℤ≥cuz 12238  [,]cicc 12736  abscabs 14592  –cn→ccncf 23495   D cdv 24480   D𝑛 cdvn 24481  𝓑C𝑛ccpn 24482 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7448  ax-inf2 9095  ax-cnex 10589  ax-resscn 10590  ax-1cn 10591  ax-icn 10592  ax-addcl 10593  ax-addrcl 10594  ax-mulcl 10595  ax-mulrcl 10596  ax-mulcom 10597  ax-addass 10598  ax-mulass 10599  ax-distr 10600  ax-i2m1 10601  ax-1ne0 10602  ax-1rid 10603  ax-rnegex 10604  ax-rrecex 10605  ax-cnre 10606  ax-pre-lttri 10607  ax-pre-lttrn 10608  ax-pre-ltadd 10609  ax-pre-mulgt0 10610  ax-pre-sup 10611  ax-addf 10612  ax-mulf 10613 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-se 5480  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-isom 6336  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7395  df-om 7568  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7821  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-2o 8093  df-oadd 8096  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-ixp 8452  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-fin 8503  df-fsupp 8825  df-fi 8866  df-sup 8897  df-inf 8898  df-oi 8965  df-card 9359  df-pnf 10673  df-mnf 10674  df-xr 10675  df-ltxr 10676  df-le 10677  df-sub 10868  df-neg 10869  df-div 11294  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-4 11697  df-5 11698  df-6 11699  df-7 11700  df-8 11701  df-9 11702  df-n0 11893  df-z 11977  df-dec 12094  df-uz 12239  df-q 12344  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-ioo 12737  df-ico 12739  df-icc 12740  df-fz 12893  df-fzo 13036  df-seq 13372  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-starv 16579  df-sca 16580  df-vsca 16581  df-ip 16582  df-tset 16583  df-ple 16584  df-ds 16586  df-unif 16587  df-hom 16588  df-cco 16589  df-rest 16695  df-topn 16696  df-0g 16714  df-gsum 16715  df-topgen 16716  df-pt 16717  df-prds 16720  df-xrs 16774  df-qtop 16779  df-imas 16780  df-xps 16782  df-mre 16856  df-mrc 16857  df-acs 16859  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-submnd 17956  df-mulg 18225  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-psmet 20091  df-xmet 20092  df-met 20093  df-bl 20094  df-mopn 20095  df-fbas 20096  df-fg 20097  df-cnfld 20100  df-top 21513  df-topon 21530  df-topsp 21552  df-bases 21565  df-cld 21638  df-ntr 21639  df-cls 21640  df-nei 21717  df-lp 21755  df-perf 21756  df-cn 21846  df-cnp 21847  df-haus 21934  df-cmp 22006  df-tx 22181  df-hmeo 22374  df-fil 22465  df-fm 22557  df-flim 22558  df-flf 22559  df-xms 22941  df-ms 22942  df-tms 22943  df-cncf 23497  df-limc 24483  df-dv 24484  df-dvn 24485  df-cpn 24486 This theorem is referenced by:  c1lip3  24616
 Copyright terms: Public domain W3C validator