Theorem lmbr2 23453

Description: Express the binary relation "sequence 𝐹 converges to point 𝑃 " in a metric space using an arbitrary upper set of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmbr.2	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
lmbr2.4	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
lmbr2.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
lmbr2	⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑢,𝐹   𝑗,𝐽,𝑘,𝑢   𝜑,𝑗,𝑘,𝑢   𝑗,𝑍,𝑘,𝑢   𝑗,𝑀   𝑃,𝑗,𝑘,𝑢   𝑗,𝑋,𝑘,𝑢

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑢, 𝑘)

Proof of Theorem lmbr2

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmbr.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2	1	lmbr 23452	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑧):𝑧⟶𝑢))))
3		uzf 12883	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
4		ffn 6712	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ → ℤ≥ Fn ℤ)
5		reseq2 5978	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (ℤ≥‘𝑗) → (𝐹 ↾ 𝑧) = (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)))
6		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (ℤ≥‘𝑗) → 𝑧 = (ℤ≥‘𝑗))
7	5, 6	feq12d 6700	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (ℤ≥‘𝑗) → ((𝐹 ↾ 𝑧):𝑧⟶𝑢 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑢))
8	7	rexrn 7089	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥ Fn ℤ → (∃𝑧 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑧):𝑧⟶𝑢 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑢))
9	3, 4, 8	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑧 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑧):𝑧⟶𝑢 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑢)
10		pmfun 8853	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) → Fun 𝐹)
11	10	ad2antrl 741	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → Fun 𝐹)
12		ffvresb 7128	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Fun 𝐹 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑢 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
13	11, 12	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑢 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
14	13	rexbidv 3192	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → (∃𝑗 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑢 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
15		lmbr2.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
16	15	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → 𝑀 ∈ ℤ)
17		lmbr2.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
18	17	rexuz3 15426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
19	16, 18	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
20	14, 19	bitr4d 285	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → (∃𝑗 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑢 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
21	9, 20	bitrid 286	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → (∃𝑧 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑧):𝑧⟶𝑢 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
22	21	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → ((𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑧):𝑧⟶𝑢) ↔ (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))))
23	22	ralbidv 3191	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → (∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑧):𝑧⟶𝑢) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))))
24	23	pm5.32da 590	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑧):𝑧⟶𝑢)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))))
25		df-3an 1105	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑧):𝑧⟶𝑢)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑧):𝑧⟶𝑢)))
26		df-3an 1105	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))))
27	24, 25, 26	3bitr4g 317	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑧):𝑧⟶𝑢)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))))
28	2, 27	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082  ∃wrex 3092  𝒫 cpw 4567   class class class wbr 5114  dom cdm 5666  ran crn 5667   ↾ cres 5668  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   ↑_pm cpm 8834  ℂcc 11116  ℤcz 12609  ℤ_≥cuz 12880  TopOnctopon 23104  ⇝_𝑡clm 23420

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-er 8703  df-pm 8836  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-neg 11462  df-z 12610  df-uz 12881  df-top 23088  df-topon 23105  df-lm 23423

This theorem is used by:  lmbrf  23454  lmcvg  23456  lmres  23494  lmcls  23496  lmcnp  23498  lmbr3v  46500