Theorem psdcoef 22148

Description: Coefficient of a term of the derivative of a power series. (Contributed by SN, 12-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psdval.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psdval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psdval.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
psdval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
psdval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
psdcoef.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psdcoef	⊢ (𝜑 → ((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹)‘𝐾) = (((𝐾‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝐾 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐼,𝑦   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,ℎ)   𝐵(𝑦,ℎ)   𝐷(𝑦,ℎ)   𝑅(𝑦,ℎ)   𝑆(𝑦,ℎ)   𝐹(𝑦,ℎ)   𝐾(𝑦,ℎ)   𝑋(ℎ)

Proof of Theorem psdcoef

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6826	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝑘‘𝑋) = (𝐾‘𝑋))
2	1	oveq1d 7371	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → ((𝑘‘𝑋) + 1) = ((𝐾‘𝑋) + 1))
3		fvoveq1 7379	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝐹‘(𝑘 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = (𝐹‘(𝐾 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))
4	2, 3	oveq12d 7374	. 2 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (((𝑘‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑘 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) = (((𝐾‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝐾 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
5		psdval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
6		psdval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
7		psdval.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
8		psdval.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
9		psdval.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
10	5, 6, 7, 8, 9	psdval 22147	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (((𝑘‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑘 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
11		psdcoef.k	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)
12		ovexd 7391	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐾‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝐾 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) ∈ V)
13	4, 10, 11, 12	fvmptd4 6960	1 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹)‘𝐾) = (((𝐾‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝐾 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {crab 3391  Vcvv 3431  ifcif 4454   ↦ cmpt 5153  ^◡ccnv 5617   “ cima 5621  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ∘_f cof 7618   ↑_m cmap 8763  Fincfn 8883  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428  Basecbs 17170  ._gcmg 19034   mPwSer cmps 21879   mPSDer cpsd 22122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-1cn 11087  ax-addcl 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-nn 12166  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-psr 21884  df-psd 22144

This theorem is referenced by:  psdvsca  22152  psdmul  22154