Theorem psdcoef 22126

Description: Coefficient of a term of the derivative of a power series. (Contributed by SN, 12-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psdval.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psdval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psdval.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
psdval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
psdval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
psdcoef.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psdcoef	⊢ (𝜑 → ((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹)‘𝐾) = (((𝐾‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝐾 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐼,𝑦   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,ℎ)   𝐵(𝑦,ℎ)   𝐷(𝑦,ℎ)   𝑅(𝑦,ℎ)   𝑆(𝑦,ℎ)   𝐹(𝑦,ℎ)   𝐾(𝑦,ℎ)   𝑋(ℎ)

Proof of Theorem psdcoef

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6839	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝑘‘𝑋) = (𝐾‘𝑋))
2	1	oveq1d 7382	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → ((𝑘‘𝑋) + 1) = ((𝐾‘𝑋) + 1))
3		fvoveq1 7390	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝐹‘(𝑘 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = (𝐹‘(𝐾 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))
4	2, 3	oveq12d 7385	. 2 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (((𝑘‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑘 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) = (((𝐾‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝐾 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
5		psdval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
6		psdval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
7		psdval.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
8		psdval.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
9		psdval.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
10	5, 6, 7, 8, 9	psdval 22125	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (((𝑘‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑘 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
11		psdcoef.k	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)
12		ovexd 7402	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐾‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝐾 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) ∈ V)
13	4, 10, 11, 12	fvmptd4 6972	1 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹)‘𝐾) = (((𝐾‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝐾 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3389  Vcvv 3429  ifcif 4466   ↦ cmpt 5166  ^◡ccnv 5630   “ cima 5634  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ∘_f cof 7629   ↑_m cmap 8773  Fincfn 8893  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437  Basecbs 17179  ._gcmg 19043   mPwSer cmps 21884   mPSDer cpsd 22096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-1cn 11096  ax-addcl 11098

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-nn 12175  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-psr 21889  df-psd 22122

This theorem is referenced by:  psdvsca  22130  psdmul  22132