Theorem psdcoef 22225

Description: Coefficient of a term of the derivative of a power series. (Contributed by SN, 12-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psdval.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psdval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psdval.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
psdval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
psdval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
psdcoef.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psdcoef	⊢ (𝜑 → ((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹)‘𝐾) = (((𝐾‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝐾 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐼,𝑦   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,ℎ)   𝐵(𝑦,ℎ)   𝐷(𝑦,ℎ)   𝑅(𝑦,ℎ)   𝑆(𝑦,ℎ)   𝐹(𝑦,ℎ)   𝐾(𝑦,ℎ)   𝑋(ℎ)

Proof of Theorem psdcoef

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6866	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝑘‘𝑋) = (𝐾‘𝑋))
2	1	oveq1d 7411	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → ((𝑘‘𝑋) + 1) = ((𝐾‘𝑋) + 1))
3		fvoveq1 7419	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝐹‘(𝑘 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = (𝐹‘(𝐾 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))
4	2, 3	oveq12d 7414	. 2 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (((𝑘‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑘 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) = (((𝐾‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝐾 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
5		psdval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
6		psdval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
7		psdval.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
8		psdval.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
9		psdval.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
10	5, 6, 7, 8, 9	psdval 22224	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (((𝑘‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑘 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
11		psdcoef.k	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)
12		ovexd 7431	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐾‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝐾 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) ∈ V)
13	4, 10, 11, 12	fvmptd4 7000	1 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹)‘𝐾) = (((𝐾‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝐾 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  {crab 3414  Vcvv 3454  ifcif 4480   ↦ cmpt 5181  ^◡ccnv 5646   “ cima 5650  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   ∘_f cof 7658   ↑_m cmap 8808  Fincfn 8927  0cc0 11073  1c1 11074   + caddc 11076  ℕcn 12210  ℕ₀cn0 12481  Basecbs 17245  ._gcmg 19109   mPwSer cmps 21956   mPSDer cpsd 22199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-1cn 11131  ax-addcl 11133

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-nn 12211  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-psr 21961  df-psd 22221

This theorem is referenced by:  psdvsca  22229  psdmul  22231