Theorem psdcoef 22323

Description: Coefficient of a term of the derivative of a power series. (Contributed by SN, 12-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psdval.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psdval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psdval.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
psdval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
psdval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
psdcoef.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psdcoef	⊢ (𝜑 → ((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹)‘𝐾) = (((𝐾‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝐾 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐼,𝑦   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,ℎ)   𝐵(𝑦,ℎ)   𝐷(𝑦,ℎ)   𝑅(𝑦,ℎ)   𝑆(𝑦,ℎ)   𝐹(𝑦,ℎ)   𝐾(𝑦,ℎ)   𝑋(ℎ)

Proof of Theorem psdcoef

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6880	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝑘‘𝑋) = (𝐾‘𝑋))
2	1	oveq1d 7425	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → ((𝑘‘𝑋) + 1) = ((𝐾‘𝑋) + 1))
3		fvoveq1 7433	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝐹‘(𝑘 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = (𝐹‘(𝐾 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))
4	2, 3	oveq12d 7428	. 2 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (((𝑘‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑘 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) = (((𝐾‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝐾 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
5		psdval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
6		psdval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
7		psdval.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
8		psdval.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
9		psdval.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
10	5, 6, 7, 8, 9	psdval 22322	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (((𝑘‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑘 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
11		psdcoef.k	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)
12		ovexd 7445	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐾‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝐾 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) ∈ V)
13	4, 10, 11, 12	fvmptd4 7014	1 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹)‘𝐾) = (((𝐾‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝐾 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {crab 3416  Vcvv 3455  ifcif 4487   ↦ cmpt 5192  ^◡ccnv 5660   “ cima 5664  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∘_f cof 7672   ↑_m cmap 8820  Fincfn 8939  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098  ℕcn 12228  ℕ₀cn0 12499  Basecbs 17264  ._gcmg 19128   mPwSer cmps 22054   mPSDer cpsd 22297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-1cn 11153  ax-addcl 11155

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-nn 12229  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-psr 22059  df-psd 22319

This theorem is referenced by:  psdvsca  22327  psdmul  22329