Theorem psdcoef 22045

Description: Coefficient of a term of the derivative of a power series. (Contributed by SN, 12-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psdval.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psdval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psdval.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
psdval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
psdval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
psdcoef.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psdcoef	⊢ (𝜑 → ((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹)‘𝐾) = (((𝐾‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝐾 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐼,𝑦   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,ℎ)   𝐵(𝑦,ℎ)   𝐷(𝑦,ℎ)   𝑅(𝑦,ℎ)   𝑆(𝑦,ℎ)   𝐹(𝑦,ℎ)   𝐾(𝑦,ℎ)   𝑋(ℎ)

Proof of Theorem psdcoef

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6821	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝑘‘𝑋) = (𝐾‘𝑋))
2	1	oveq1d 7364	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → ((𝑘‘𝑋) + 1) = ((𝐾‘𝑋) + 1))
3		fvoveq1 7372	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝐹‘(𝑘 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = (𝐹‘(𝐾 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))
4	2, 3	oveq12d 7367	. 2 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (((𝑘‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑘 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) = (((𝐾‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝐾 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
5		psdval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
6		psdval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
7		psdval.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
8		psdval.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
9		psdval.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
10	5, 6, 7, 8, 9	psdval 22044	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (((𝑘‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑘 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
11		psdcoef.k	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)
12		ovexd 7384	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐾‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝐾 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) ∈ V)
13	4, 10, 11, 12	fvmptd4 6954	1 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹)‘𝐾) = (((𝐾‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝐾 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3394  Vcvv 3436  ifcif 4476   ↦ cmpt 5173  ^◡ccnv 5618   “ cima 5622  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ∘_f cof 7611   ↑_m cmap 8753  Fincfn 8872  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012  ℕcn 12128  ℕ₀cn0 12384  Basecbs 17120  ._gcmg 18946   mPwSer cmps 21811   mPSDer cpsd 22015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-1cn 11067  ax-addcl 11069

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-nn 12129  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-psr 21816  df-psd 22041

This theorem is referenced by:  psdvsca  22049  psdmul  22051