Theorem psdval 22069

Description: Evaluate the partial derivative of a power series 𝐹 with respect to 𝑋. (Contributed by SN, 11-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psdval.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psdval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psdval.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
psdval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
psdval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psdval	⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (((𝑘‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑘 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐼,𝑘,𝑦   𝑅,𝑘   𝑘,𝑋,𝑦   𝑘,𝐹   𝐷,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,ℎ,𝑘)   𝐵(𝑦,ℎ,𝑘)   𝐷(𝑦,ℎ)   𝑅(𝑦,ℎ)   𝑆(𝑦,ℎ,𝑘)   𝐹(𝑦,ℎ)   𝑋(ℎ)

Proof of Theorem psdval

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6816	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘(𝑘 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = (𝐹‘(𝑘 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))
2	1	oveq2d 7357	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝑘‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝑓‘(𝑘 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) = (((𝑘‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑘 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
3	2	mpteq2dv 5180	. 2 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (((𝑘‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝑓‘(𝑘 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (((𝑘‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑘 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
4		psdval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
5		psdval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
6		psdval.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
7		psdval.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
8		reldmpsr 21846	. . . . . 6 ⊢ Rel dom mPwSer
9	8, 4, 5	elbasov 17122	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
10	7, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
11	10	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
12	10	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
13		psdval.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
14	4, 5, 6, 11, 12, 13	psdfval 22068	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋) = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (((𝑘‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝑓‘(𝑘 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))))
15		ovex 7374	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
16	6, 15	rabex2 5274	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ V
17	16	mptex 7152	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (((𝑘‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑘 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) ∈ V
18	17	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (((𝑘‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑘 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) ∈ V)
19	3, 14, 7, 18	fvmptd4 6948	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (((𝑘‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑘 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {crab 3395  Vcvv 3436  ifcif 4470   ↦ cmpt 5167  ^◡ccnv 5610   “ cima 5614  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341   ∘_f cof 7603   ↑_m cmap 8745  Fincfn 8864  0cc0 11001  1c1 11002   + caddc 11004  ℕcn 12120  ℕ₀cn0 12376  Basecbs 17115  ._gcmg 18975   mPwSer cmps 21836   mPSDer cpsd 22040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-1cn 11059  ax-addcl 11061

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-nn 12121  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-psr 21841  df-psd 22066

This theorem is referenced by:  psdcoef  22070  psdcl  22071  psdmplcl  22072  psdadd  22073  psdmul  22076  psdmvr  22079