MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psdval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psdval 22181
Description: Evaluate the partial derivative of a power series. (Contributed by SN, 11-Apr-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
psdval.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psdval.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psdval.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
psdval.x (𝜑𝑋𝐼)
psdval.f (𝜑𝐹𝐵)
Assertion
Ref Expression
psdval (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹) = (𝑘𝐷 ↦ (((𝑘𝑋) + 1)(.g𝑅)(𝐹‘(𝑘f + (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
Distinct variable groups:   ,𝐼,𝑘,𝑦   𝑅,𝑘   𝑘,𝑋,𝑦   𝑘,𝐹   𝐷,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,,𝑘)   𝐵(𝑦,,𝑘)   𝐷(𝑦,)   𝑅(𝑦,)   𝑆(𝑦,,𝑘)   𝐹(𝑦,)   𝑋()

Proof of Theorem psdval
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq1 6906 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘(𝑘f + (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = (𝐹‘(𝑘f + (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))
21oveq2d 7447 . . 3 (𝑓 = 𝐹 → (((𝑘𝑋) + 1)(.g𝑅)(𝑓‘(𝑘f + (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) = (((𝑘𝑋) + 1)(.g𝑅)(𝐹‘(𝑘f + (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
32mpteq2dv 5250 . 2 (𝑓 = 𝐹 → (𝑘𝐷 ↦ (((𝑘𝑋) + 1)(.g𝑅)(𝑓‘(𝑘f + (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) = (𝑘𝐷 ↦ (((𝑘𝑋) + 1)(.g𝑅)(𝐹‘(𝑘f + (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
4 psdval.s . . 3 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
5 psdval.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑆)
6 psdval.d . . 3 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
7 psdval.f . . . . 5 (𝜑𝐹𝐵)
8 reldmpsr 21952 . . . . . 6 Rel dom mPwSer
98, 4, 5elbasov 17252 . . . . 5 (𝐹𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
107, 9syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
1110simpld 494 . . 3 (𝜑𝐼 ∈ V)
1210simprd 495 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ V)
13 psdval.x . . 3 (𝜑𝑋𝐼)
144, 5, 6, 11, 12, 13psdfval 22180 . 2 (𝜑 → ((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋) = (𝑓𝐵 ↦ (𝑘𝐷 ↦ (((𝑘𝑋) + 1)(.g𝑅)(𝑓‘(𝑘f + (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))))
15 ovex 7464 . . . . 5 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
166, 15rabex2 5347 . . . 4 𝐷 ∈ V
1716mptex 7243 . . 3 (𝑘𝐷 ↦ (((𝑘𝑋) + 1)(.g𝑅)(𝐹‘(𝑘f + (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) ∈ V
1817a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝑘𝐷 ↦ (((𝑘𝑋) + 1)(.g𝑅)(𝐹‘(𝑘f + (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) ∈ V)
193, 14, 7, 18fvmptd4 7040 1 (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹) = (𝑘𝐷 ↦ (((𝑘𝑋) + 1)(.g𝑅)(𝐹‘(𝑘f + (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {crab 3433  Vcvv 3478  ifcif 4531  cmpt 5231  ccnv 5688  cima 5692  cfv 6563  (class class class)co 7431  f cof 7695  m cmap 8865  Fincfn 8984  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  cn 12264  0cn0 12524  Basecbs 17245  .gcmg 19098   mPwSer cmps 21942   mPSDer cpsd 22152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-1cn 11211  ax-addcl 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-nn 12265  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-psr 21947  df-psd 22178
This theorem is referenced by:  psdcoef  22182  psdcl  22183  psdmplcl  22184  psdadd  22185  psdmul  22188
  Copyright terms: Public domain W3C validator