Theorem psdval 22125

Description: Evaluate the partial derivative of a power series 𝐹 with respect to 𝑋. (Contributed by SN, 11-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psdval.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psdval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psdval.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
psdval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
psdval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psdval	⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (((𝑘‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑘 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐼,𝑘,𝑦   𝑅,𝑘   𝑘,𝑋,𝑦   𝑘,𝐹   𝐷,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,ℎ,𝑘)   𝐵(𝑦,ℎ,𝑘)   𝐷(𝑦,ℎ)   𝑅(𝑦,ℎ)   𝑆(𝑦,ℎ,𝑘)   𝐹(𝑦,ℎ)   𝑋(ℎ)

Proof of Theorem psdval

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6839	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘(𝑘 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = (𝐹‘(𝑘 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))
2	1	oveq2d 7383	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝑘‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝑓‘(𝑘 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) = (((𝑘‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑘 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
3	2	mpteq2dv 5179	. 2 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (((𝑘‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝑓‘(𝑘 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (((𝑘‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑘 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
4		psdval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
5		psdval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
6		psdval.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
7		psdval.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
8		reldmpsr 21894	. . . . . 6 ⊢ Rel dom mPwSer
9	8, 4, 5	elbasov 17186	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
10	7, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
11	10	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
12	10	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
13		psdval.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
14	4, 5, 6, 11, 12, 13	psdfval 22124	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋) = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (((𝑘‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝑓‘(𝑘 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))))
15		ovex 7400	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
16	6, 15	rabex2 5282	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ V
17	16	mptex 7178	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (((𝑘‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑘 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) ∈ V
18	17	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (((𝑘‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑘 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) ∈ V)
19	3, 14, 7, 18	fvmptd4 6972	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (((𝑘‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑘 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3389  Vcvv 3429  ifcif 4466   ↦ cmpt 5166  ^◡ccnv 5630   “ cima 5634  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ∘_f cof 7629   ↑_m cmap 8773  Fincfn 8893  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437  Basecbs 17179  ._gcmg 19043   mPwSer cmps 21884   mPSDer cpsd 22096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-1cn 11096  ax-addcl 11098

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-nn 12175  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-psr 21889  df-psd 22122

This theorem is referenced by:  psdcoef  22126  psdcl  22127  psdmplcl  22128  psdadd  22129  psdmul  22132  psdmvr  22135