Theorem psdval 22164

Description: Evaluate the partial derivative of a power series 𝐹 with respect to 𝑋. (Contributed by SN, 11-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psdval.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psdval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psdval.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
psdval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
psdval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psdval	⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (((𝑘‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑘 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐼,𝑘,𝑦   𝑅,𝑘   𝑘,𝑋,𝑦   𝑘,𝐹   𝐷,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,ℎ,𝑘)   𝐵(𝑦,ℎ,𝑘)   𝐷(𝑦,ℎ)   𝑅(𝑦,ℎ)   𝑆(𝑦,ℎ,𝑘)   𝐹(𝑦,ℎ)   𝑋(ℎ)

Proof of Theorem psdval

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6904	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘(𝑘 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = (𝐹‘(𝑘 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))
2	1	oveq2d 7448	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝑘‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝑓‘(𝑘 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) = (((𝑘‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑘 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
3	2	mpteq2dv 5243	. 2 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (((𝑘‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝑓‘(𝑘 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (((𝑘‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑘 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
4		psdval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
5		psdval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
6		psdval.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
7		psdval.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
8		reldmpsr 21935	. . . . . 6 ⊢ Rel dom mPwSer
9	8, 4, 5	elbasov 17255	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
10	7, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
11	10	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
12	10	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
13		psdval.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
14	4, 5, 6, 11, 12, 13	psdfval 22163	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋) = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (((𝑘‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝑓‘(𝑘 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))))
15		ovex 7465	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
16	6, 15	rabex2 5340	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ V
17	16	mptex 7244	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (((𝑘‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑘 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) ∈ V
18	17	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (((𝑘‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑘 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) ∈ V)
19	3, 14, 7, 18	fvmptd4 7039	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (((𝑘‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑘 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  {crab 3435  Vcvv 3479  ifcif 4524   ↦ cmpt 5224  ^◡ccnv 5683   “ cima 5687  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432   ∘_f cof 7696   ↑_m cmap 8867  Fincfn 8986  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159  ℕcn 12267  ℕ₀cn0 12528  Basecbs 17248  ._gcmg 19086   mPwSer cmps 21925   mPSDer cpsd 22135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-1cn 11214  ax-addcl 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-nn 12268  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-psr 21930  df-psd 22161

This theorem is referenced by:  psdcoef  22165  psdcl  22166  psdmplcl  22167  psdadd  22168  psdmul  22171  psdmvr  22174