MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psdvsca Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem psdvsca 22082
Description: The derivative of a scaled power series is the scaled derivative. (Contributed by SN, 12-Apr-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
psdvsca.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psdvsca.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
psdvsca.m Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘†)
psdvsca.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
psdvsca.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
psdvsca.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
psdvsca.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐼)
psdvsca.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
psdvsca.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝐾)
Assertion
Ref Expression
psdvsca (πœ‘ β†’ (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜(𝐢 Β· 𝐹)) = (𝐢 Β· (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ)))
Proof of Theorem psdvsca
Dummy variables 𝑑 β„Ž 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psdvsca.s . . . 4 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 eqid 2728 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
3 eqid 2728 . . . 4 {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
4 psdvsca.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
5 psdvsca.i . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
6 psdvsca.r . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
76crngringd 20180 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
8 ringmgm 20178 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Mgm)
97, 8syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Mgm)
10 psdvsca.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐼)
11 psdvsca.m . . . . . 6 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘†)
12 psdvsca.k . . . . . 6 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
13 psdvsca.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝐾)
14 psdvsca.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
151, 11, 12, 4, 7, 13, 14psrvscacl 21888 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐢 Β· 𝐹) ∈ 𝐡)
161, 4, 5, 9, 10, 15psdcl 22079 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜(𝐢 Β· 𝐹)) ∈ 𝐡)
171, 2, 3, 4, 16psrelbas 21873 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜(𝐢 Β· 𝐹)):{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘…))
1817ffnd 6718 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜(𝐢 Β· 𝐹)) Fn {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
191, 4, 5, 9, 10, 14psdcl 22079 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ) ∈ 𝐡)
201, 11, 12, 4, 7, 13, 19psrvscacl 21888 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐢 Β· (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ)) ∈ 𝐡)
211, 2, 3, 4, 20psrelbas 21873 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢 Β· (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ)):{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘…))
2221ffnd 6718 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢 Β· (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ)) Fn {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
237adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
243psrbagf 21845 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ 𝑑:πΌβŸΆβ„•0)
2524adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑑:πΌβŸΆβ„•0)
2610adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑋 ∈ 𝐼)
2725, 26ffvelcdmd 7090 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π‘‘β€˜π‘‹) ∈ β„•0)
28 peano2nn0 12537 . . . . . . 7 ((π‘‘β€˜π‘‹) ∈ β„•0 β†’ ((π‘‘β€˜π‘‹) + 1) ∈ β„•0)
2928nn0zd 12609 . . . . . 6 ((π‘‘β€˜π‘‹) ∈ β„•0 β†’ ((π‘‘β€˜π‘‹) + 1) ∈ β„€)
3027, 29syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((π‘‘β€˜π‘‹) + 1) ∈ β„€)
3113adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐢 ∈ 𝐾)
321, 12, 3, 4, 14psrelbas 21873 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢𝐾)
3332adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐹:{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢𝐾)
34 simpr 484 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
353psrbagsn 22001 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
365, 35syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
3736adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
383psrbagaddcl 21855 . . . . . . 7 ((𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
3934, 37, 38syl2anc 583 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
4033, 39ffvelcdmd 7090 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (πΉβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) ∈ 𝐾)
41 eqid 2728 . . . . . 6 (.gβ€˜π‘…) = (.gβ€˜π‘…)
42 eqid 2728 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
4312, 41, 42mulgass3 20286 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((π‘‘β€˜π‘‹) + 1) ∈ β„€ ∧ 𝐢 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) ∈ 𝐾)) β†’ (𝐢(.rβ€˜π‘…)(((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) = (((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(𝐢(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
4423, 30, 31, 40, 43syl13anc 1370 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝐢(.rβ€˜π‘…)(((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) = (((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(𝐢(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
455adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
466adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
4714adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
481, 4, 3, 45, 46, 26, 47, 34psdcoef 22078 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ)β€˜π‘‘) = (((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
4948oveq2d 7431 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝐢(.rβ€˜π‘…)((((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ)β€˜π‘‘)) = (𝐢(.rβ€˜π‘…)(((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
501, 11, 12, 4, 42, 3, 31, 47, 39psrvscaval 21887 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝐢 Β· 𝐹)β€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = (𝐢(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
5150oveq2d 7431 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)((𝐢 Β· 𝐹)β€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) = (((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(𝐢(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
5244, 49, 513eqtr4rd 2779 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)((𝐢 Β· 𝐹)β€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) = (𝐢(.rβ€˜π‘…)((((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ)β€˜π‘‘)))
5315adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝐢 Β· 𝐹) ∈ 𝐡)
541, 4, 3, 45, 46, 26, 53, 34psdcoef 22078 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜(𝐢 Β· 𝐹))β€˜π‘‘) = (((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)((𝐢 Β· 𝐹)β€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
5519adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ) ∈ 𝐡)
561, 11, 12, 4, 42, 3, 31, 55, 34psrvscaval 21887 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝐢 Β· (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ))β€˜π‘‘) = (𝐢(.rβ€˜π‘…)((((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ)β€˜π‘‘)))
5752, 54, 563eqtr4d 2778 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜(𝐢 Β· 𝐹))β€˜π‘‘) = ((𝐢 Β· (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ))β€˜π‘‘))
5818, 22, 57eqfnfvd 7038 1 (πœ‘ β†’ (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜(𝐢 Β· 𝐹)) = (𝐢 Β· (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3428  ifcif 4525   ↦ cmpt 5226  β—‘ccnv 5672   β€œ cima 5676  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7415   ∘f cof 7678   ↑m cmap 8839  Fincfn 8958  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136  β„•cn 12237  β„•0cn0 12497  β„€cz 12583  Basecbs 17174  .rcmulr 17228   ·𝑠 cvsca 17231  Mgmcmgm 18592  .gcmg 19017  Ringcrg 20167  CRingccrg 20168   mPwSer cmps 21831   mPSDer cpsd 22050
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7680  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8161  df-tpos 8226  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8481  df-er 8719  df-map 8841  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-fin 8962  df-fsupp 9381  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-seq 13994  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-tset 17246  df-0g 17417  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-grp 18887  df-minusg 18888  df-mulg 19018  df-cmn 19731  df-abl 19732  df-mgp 20069  df-rng 20087  df-ur 20116  df-ring 20169  df-cring 20170  df-oppr 20267  df-psr 21836  df-psd 22074
This theorem is referenced by:  psdascl  22086
  Copyright terms: Public domain W3C validator