MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psdvsca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psdvsca 22168
Description: The derivative of a scaled power series is the scaled derivative. (Contributed by SN, 12-Apr-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
psdvsca.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psdvsca.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psdvsca.m · = ( ·𝑠𝑆)
psdvsca.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
psdvsca.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
psdvsca.x (𝜑𝑋𝐼)
psdvsca.f (𝜑𝐹𝐵)
psdvsca.c (𝜑𝐶𝐾)
Assertion
Ref Expression
psdvsca (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐶 · 𝐹)) = (𝐶 · (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹)))

Proof of Theorem psdvsca
Dummy variables 𝑑 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psdvsca.s . . . 4 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 eqid 2737 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 eqid 2737 . . . 4 { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
4 psdvsca.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑆)
5 psdvsca.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
65crngringd 20243 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
7 ringmgm 20241 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mgm)
86, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Mgm)
9 psdvsca.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐼)
10 psdvsca.m . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑆)
11 psdvsca.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝑅)
12 psdvsca.c . . . . . 6 (𝜑𝐶𝐾)
13 psdvsca.f . . . . . 6 (𝜑𝐹𝐵)
141, 10, 11, 4, 6, 12, 13psrvscacl 21971 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 · 𝐹) ∈ 𝐵)
151, 4, 8, 9, 14psdcl 22165 . . . 4 (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐶 · 𝐹)) ∈ 𝐵)
161, 2, 3, 4, 15psrelbas 21954 . . 3 (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐶 · 𝐹)):{ ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
1716ffnd 6737 . 2 (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐶 · 𝐹)) Fn { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin})
181, 4, 8, 9, 13psdcl 22165 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹) ∈ 𝐵)
191, 10, 11, 4, 6, 12, 18psrvscacl 21971 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 · (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹)) ∈ 𝐵)
201, 2, 3, 4, 19psrelbas 21954 . . 3 (𝜑 → (𝐶 · (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹)):{ ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
2120ffnd 6737 . 2 (𝜑 → (𝐶 · (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹)) Fn { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin})
226adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑅 ∈ Ring)
233psrbagf 21938 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} → 𝑑:𝐼⟶ℕ0)
2423adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑑:𝐼⟶ℕ0)
259adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑋𝐼)
2624, 25ffvelcdmd 7105 . . . . . 6 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑑𝑋) ∈ ℕ0)
27 peano2nn0 12566 . . . . . . 7 ((𝑑𝑋) ∈ ℕ0 → ((𝑑𝑋) + 1) ∈ ℕ0)
2827nn0zd 12639 . . . . . 6 ((𝑑𝑋) ∈ ℕ0 → ((𝑑𝑋) + 1) ∈ ℤ)
2926, 28syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑑𝑋) + 1) ∈ ℤ)
3012adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐶𝐾)
311, 11, 3, 4, 13psrelbas 21954 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:{ ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
3231adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐹:{ ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
33 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin})
34 reldmpsr 21934 . . . . . . . . . . 11 Rel dom mPwSer
351, 4, 34strov2rcl 17255 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝐵𝐼 ∈ V)
3613, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ V)
373psrbagsn 22087 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ V → (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin})
3836, 37syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin})
3938adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin})
403psrbagaddcl 21944 . . . . . . 7 ((𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∧ (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑑f + (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin})
4133, 39, 40syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑑f + (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin})
4232, 41ffvelcdmd 7105 . . . . 5 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐹‘(𝑑f + (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) ∈ 𝐾)
43 eqid 2737 . . . . . 6 (.g𝑅) = (.g𝑅)
44 eqid 2737 . . . . . 6 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4511, 43, 44mulgass3 20353 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((𝑑𝑋) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐶𝐾 ∧ (𝐹‘(𝑑f + (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) ∈ 𝐾)) → (𝐶(.r𝑅)(((𝑑𝑋) + 1)(.g𝑅)(𝐹‘(𝑑f + (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) = (((𝑑𝑋) + 1)(.g𝑅)(𝐶(.r𝑅)(𝐹‘(𝑑f + (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
4622, 29, 30, 42, 45syl13anc 1374 . . . 4 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐶(.r𝑅)(((𝑑𝑋) + 1)(.g𝑅)(𝐹‘(𝑑f + (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) = (((𝑑𝑋) + 1)(.g𝑅)(𝐶(.r𝑅)(𝐹‘(𝑑f + (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
4713adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐹𝐵)
481, 4, 3, 25, 47, 33psdcoef 22164 . . . . 5 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → ((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹)‘𝑑) = (((𝑑𝑋) + 1)(.g𝑅)(𝐹‘(𝑑f + (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
4948oveq2d 7447 . . . 4 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐶(.r𝑅)((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹)‘𝑑)) = (𝐶(.r𝑅)(((𝑑𝑋) + 1)(.g𝑅)(𝐹‘(𝑑f + (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
501, 10, 11, 4, 44, 3, 30, 47, 41psrvscaval 21970 . . . . 5 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐶 · 𝐹)‘(𝑑f + (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = (𝐶(.r𝑅)(𝐹‘(𝑑f + (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
5150oveq2d 7447 . . . 4 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝑑𝑋) + 1)(.g𝑅)((𝐶 · 𝐹)‘(𝑑f + (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) = (((𝑑𝑋) + 1)(.g𝑅)(𝐶(.r𝑅)(𝐹‘(𝑑f + (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
5246, 49, 513eqtr4rd 2788 . . 3 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝑑𝑋) + 1)(.g𝑅)((𝐶 · 𝐹)‘(𝑑f + (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) = (𝐶(.r𝑅)((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹)‘𝑑)))
5314adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐶 · 𝐹) ∈ 𝐵)
541, 4, 3, 25, 53, 33psdcoef 22164 . . 3 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → ((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐶 · 𝐹))‘𝑑) = (((𝑑𝑋) + 1)(.g𝑅)((𝐶 · 𝐹)‘(𝑑f + (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
5518adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹) ∈ 𝐵)
561, 10, 11, 4, 44, 3, 30, 55, 33psrvscaval 21970 . . 3 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐶 · (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹))‘𝑑) = (𝐶(.r𝑅)((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹)‘𝑑)))
5752, 54, 563eqtr4d 2787 . 2 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → ((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐶 · 𝐹))‘𝑑) = ((𝐶 · (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹))‘𝑑))
5817, 21, 57eqfnfvd 7054 1 (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐶 · 𝐹)) = (𝐶 · (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  {crab 3436  Vcvv 3480  ifcif 4525  cmpt 5225  ccnv 5684  cima 5688  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  f cof 7695  m cmap 8866  Fincfn 8985  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613  Basecbs 17247  .rcmulr 17298   ·𝑠 cvsca 17301  Mgmcmgm 18651  .gcmg 19085  Ringcrg 20230  CRingccrg 20231   mPwSer cmps 21924   mPSDer cpsd 22134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-seq 14043  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-tset 17316  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-mulg 19086  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-psr 21929  df-psd 22160
This theorem is referenced by:  psdascl  22172
  Copyright terms: Public domain W3C validator