MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psdvsca Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem psdvsca 22017
Description: The derivative of a scaled power series is the scaled derivative. (Contributed by SN, 12-Apr-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
psdvsca.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psdvsca.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
psdvsca.m Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘†)
psdvsca.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
psdvsca.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
psdvsca.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
psdvsca.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐼)
psdvsca.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
psdvsca.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝐾)
Assertion
Ref Expression
psdvsca (πœ‘ β†’ (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜(𝐢 Β· 𝐹)) = (𝐢 Β· (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ)))
Proof of Theorem psdvsca
Dummy variables 𝑑 β„Ž 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psdvsca.s . . . 4 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 eqid 2724 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
3 eqid 2724 . . . 4 {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
4 psdvsca.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
5 psdvsca.i . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
6 psdvsca.r . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
76crngringd 20143 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
8 ringmgm 20141 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Mgm)
97, 8syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Mgm)
10 psdvsca.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐼)
11 psdvsca.m . . . . . 6 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘†)
12 psdvsca.k . . . . . 6 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
13 psdvsca.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝐾)
14 psdvsca.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
151, 11, 12, 4, 7, 13, 14psrvscacl 21824 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐢 Β· 𝐹) ∈ 𝐡)
161, 4, 5, 9, 10, 15psdcl 22014 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜(𝐢 Β· 𝐹)) ∈ 𝐡)
171, 2, 3, 4, 16psrelbas 21809 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜(𝐢 Β· 𝐹)):{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘…))
1817ffnd 6709 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜(𝐢 Β· 𝐹)) Fn {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
191, 4, 5, 9, 10, 14psdcl 22014 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ) ∈ 𝐡)
201, 11, 12, 4, 7, 13, 19psrvscacl 21824 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐢 Β· (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ)) ∈ 𝐡)
211, 2, 3, 4, 20psrelbas 21809 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢 Β· (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ)):{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘…))
2221ffnd 6709 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢 Β· (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ)) Fn {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
237adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
243psrbagf 21782 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ 𝑑:πΌβŸΆβ„•0)
2524adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑑:πΌβŸΆβ„•0)
2610adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑋 ∈ 𝐼)
2725, 26ffvelcdmd 7078 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π‘‘β€˜π‘‹) ∈ β„•0)
28 peano2nn0 12510 . . . . . . 7 ((π‘‘β€˜π‘‹) ∈ β„•0 β†’ ((π‘‘β€˜π‘‹) + 1) ∈ β„•0)
2928nn0zd 12582 . . . . . 6 ((π‘‘β€˜π‘‹) ∈ β„•0 β†’ ((π‘‘β€˜π‘‹) + 1) ∈ β„€)
3027, 29syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((π‘‘β€˜π‘‹) + 1) ∈ β„€)
3113adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐢 ∈ 𝐾)
321, 12, 3, 4, 14psrelbas 21809 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢𝐾)
3332adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐹:{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢𝐾)
34 simpr 484 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
353psrbagsn 21936 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
365, 35syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
3736adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
383psrbagaddcl 21792 . . . . . . 7 ((𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
3934, 37, 38syl2anc 583 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
4033, 39ffvelcdmd 7078 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (πΉβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) ∈ 𝐾)
41 eqid 2724 . . . . . 6 (.gβ€˜π‘…) = (.gβ€˜π‘…)
42 eqid 2724 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
4312, 41, 42mulgass3 20247 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((π‘‘β€˜π‘‹) + 1) ∈ β„€ ∧ 𝐢 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) ∈ 𝐾)) β†’ (𝐢(.rβ€˜π‘…)(((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) = (((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(𝐢(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
4423, 30, 31, 40, 43syl13anc 1369 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝐢(.rβ€˜π‘…)(((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) = (((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(𝐢(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
455adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
466adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
4714adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
481, 4, 3, 45, 46, 26, 47, 34psdcoef 22013 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ)β€˜π‘‘) = (((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
4948oveq2d 7418 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝐢(.rβ€˜π‘…)((((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ)β€˜π‘‘)) = (𝐢(.rβ€˜π‘…)(((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
501, 11, 12, 4, 42, 3, 31, 47, 39psrvscaval 21823 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝐢 Β· 𝐹)β€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = (𝐢(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
5150oveq2d 7418 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)((𝐢 Β· 𝐹)β€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) = (((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)(𝐢(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
5244, 49, 513eqtr4rd 2775 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)((𝐢 Β· 𝐹)β€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) = (𝐢(.rβ€˜π‘…)((((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ)β€˜π‘‘)))
5315adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝐢 Β· 𝐹) ∈ 𝐡)
541, 4, 3, 45, 46, 26, 53, 34psdcoef 22013 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜(𝐢 Β· 𝐹))β€˜π‘‘) = (((π‘‘β€˜π‘‹) + 1)(.gβ€˜π‘…)((𝐢 Β· 𝐹)β€˜(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
5519adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ) ∈ 𝐡)
561, 11, 12, 4, 42, 3, 31, 55, 34psrvscaval 21823 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝐢 Β· (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ))β€˜π‘‘) = (𝐢(.rβ€˜π‘…)((((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ)β€˜π‘‘)))
5752, 54, 563eqtr4d 2774 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜(𝐢 Β· 𝐹))β€˜π‘‘) = ((𝐢 Β· (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ))β€˜π‘‘))
5818, 22, 57eqfnfvd 7026 1 (πœ‘ β†’ (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜(𝐢 Β· 𝐹)) = (𝐢 Β· (((𝐼 mPSDer 𝑅)β€˜π‘‹)β€˜πΉ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3424  ifcif 4521   ↦ cmpt 5222  β—‘ccnv 5666   β€œ cima 5670  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402   ∘f cof 7662   ↑m cmap 8817  Fincfn 8936  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110  β„•cn 12210  β„•0cn0 12470  β„€cz 12556  Basecbs 17145  .rcmulr 17199   ·𝑠 cvsca 17202  Mgmcmgm 18563  .gcmg 18987  Ringcrg 20130  CRingccrg 20131   mPwSer cmps 21768   mPSDer cpsd 21985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-fz 13483  df-seq 13965  df-struct 17081  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-sca 17214  df-vsca 17215  df-tset 17217  df-0g 17388  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-mulg 18988  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20032  df-rng 20050  df-ur 20079  df-ring 20132  df-cring 20133  df-oppr 20228  df-psr 21773  df-psd 22009
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator