Theorem psdvsca 22124

Description: The derivative of a scaled power series is the scaled derivative. (Contributed by SN, 12-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psdvsca.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psdvsca.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psdvsca.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑆)
psdvsca.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
psdvsca.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
psdvsca.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
psdvsca.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
psdvsca.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
psdvsca	⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐶 · 𝐹)) = (𝐶 · (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹)))

Proof of Theorem psdvsca

Dummy variables 𝑑 ℎ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psdvsca.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
4		psdvsca.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
5		psdvsca.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
6	5	crngringd 20198	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		ringmgm 20196	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mgm)
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mgm)
9		psdvsca.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
10		psdvsca.m	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑆)
11		psdvsca.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
12		psdvsca.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
13		psdvsca.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
14	1, 10, 11, 4, 6, 12, 13	psrvscacl 21924	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐹) ∈ 𝐵)
15	1, 4, 8, 9, 14	psdcl 22121	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐶 · 𝐹)) ∈ 𝐵)
16	1, 2, 3, 4, 15	psrelbas 21907	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐶 · 𝐹)):{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
17	16	ffnd 6673	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐶 · 𝐹)) Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
18	1, 4, 8, 9, 13	psdcl 22121	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹) ∈ 𝐵)
19	1, 10, 11, 4, 6, 12, 18	psrvscacl 21924	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹)) ∈ 𝐵)
20	1, 2, 3, 4, 19	psrelbas 21907	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹)):{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
21	20	ffnd 6673	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹)) Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
22	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑅 ∈ Ring)
23	3	psrbagf 21891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} → 𝑑:𝐼⟶ℕ0)
24	23	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑑:𝐼⟶ℕ0)
25	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑋 ∈ 𝐼)
26	24, 25	ffvelcdmd 7041	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑑‘𝑋) ∈ ℕ0)
27		peano2nn0 12455	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑑‘𝑋) ∈ ℕ0 → ((𝑑‘𝑋) + 1) ∈ ℕ0)
28	27	nn0zd 12527	. . . . . 6 ⊢ ((𝑑‘𝑋) ∈ ℕ0 → ((𝑑‘𝑋) + 1) ∈ ℤ)
29	26, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑑‘𝑋) + 1) ∈ ℤ)
30	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐶 ∈ 𝐾)
31	1, 11, 3, 4, 13	psrelbas 21907	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
32	31	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐹:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
33		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
34		reldmpsr 21887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Rel dom mPwSer
35	1, 4, 34	strov2rcl 17158	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐼 ∈ V)
36	13, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
37	3	psrbagsn 22035	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ V → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
39	38	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
40	3	psrbagaddcl 21897	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
41	33, 39, 40	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
42	32, 41	ffvelcdmd 7041	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) ∈ 𝐾)
43		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
44		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
45	11, 43, 44	mulgass3 20306	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((𝑑‘𝑋) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) ∈ 𝐾)) → (𝐶(.r‘𝑅)(((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) = (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐶(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
46	22, 29, 30, 42, 45	syl13anc 1375	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐶(.r‘𝑅)(((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) = (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐶(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
47	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐹 ∈ 𝐵)
48	1, 4, 3, 25, 47, 33	psdcoef 22120	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹)‘𝑑) = (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
49	48	oveq2d 7386	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐶(.r‘𝑅)((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹)‘𝑑)) = (𝐶(.r‘𝑅)(((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
50	1, 10, 11, 4, 44, 3, 30, 47, 41	psrvscaval 21923	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐶 · 𝐹)‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = (𝐶(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
51	50	oveq2d 7386	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)((𝐶 · 𝐹)‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) = (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐶(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
52	46, 49, 51	3eqtr4rd 2783	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)((𝐶 · 𝐹)‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) = (𝐶(.r‘𝑅)((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹)‘𝑑)))
53	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐶 · 𝐹) ∈ 𝐵)
54	1, 4, 3, 25, 53, 33	psdcoef 22120	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐶 · 𝐹))‘𝑑) = (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)((𝐶 · 𝐹)‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
55	18	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹) ∈ 𝐵)
56	1, 10, 11, 4, 44, 3, 30, 55, 33	psrvscaval 21923	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐶 · (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹))‘𝑑) = (𝐶(.r‘𝑅)((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹)‘𝑑)))
57	52, 54, 56	3eqtr4d 2782	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐶 · 𝐹))‘𝑑) = ((𝐶 · (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹))‘𝑑))
58	17, 21, 57	eqfnfvd 6990	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐶 · 𝐹)) = (𝐶 · (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3401  Vcvv 3442  ifcif 4481   ↦ cmpt 5181  ^◡ccnv 5633   “ cima 5637  ⟶wf 6498  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370   ∘_f cof 7632   ↑_m cmap 8777  Fincfn 8897  0cc0 11040  1c1 11041   + caddc 11043  ℕcn 12159  ℕ₀cn0 12415  ℤcz 12502  Basecbs 17150  ._rcmulr 17192   ·_𝑠 cvsca 17195  Mgmcmgm 18577  ._gcmg 19014  Ringcrg 20185  CRingccrg 20186   mPwSer cmps 21877   mPSDer cpsd 22090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-of 7634  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-supp 8115  df-tpos 8180  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-er 8647  df-map 8779  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-fsupp 9279  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-7 12227  df-8 12228  df-9 12229  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-fz 13438  df-seq 13939  df-struct 17088  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-plusg 17204  df-mulr 17205  df-sca 17207  df-vsca 17208  df-tset 17210  df-0g 17375  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-grp 18883  df-minusg 18884  df-mulg 19015  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20093  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-cring 20188  df-oppr 20290  df-psr 21882  df-psd 22116

This theorem is referenced by:  psdascl  22128