Theorem psdvsca 22119

Description: The derivative of a scaled power series is the scaled derivative. (Contributed by SN, 12-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psdvsca.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psdvsca.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psdvsca.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑆)
psdvsca.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
psdvsca.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
psdvsca.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
psdvsca.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
psdvsca.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
psdvsca	⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐶 · 𝐹)) = (𝐶 · (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹)))

Proof of Theorem psdvsca

Dummy variables 𝑑 ℎ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psdvsca.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2735	. . . 4 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
4		psdvsca.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
5		psdvsca.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
6	5	crngringd 20216	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		ringmgm 20214	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mgm)
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mgm)
9		psdvsca.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
10		psdvsca.m	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑆)
11		psdvsca.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
12		psdvsca.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
13		psdvsca.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
14	1, 10, 11, 4, 6, 12, 13	psrvscacl 21919	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐹) ∈ 𝐵)
15	1, 4, 8, 9, 14	psdcl 22116	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐶 · 𝐹)) ∈ 𝐵)
16	1, 2, 3, 4, 15	psrelbas 21903	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐶 · 𝐹)):{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
17	16	ffnd 6658	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐶 · 𝐹)) Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
18	1, 4, 8, 9, 13	psdcl 22116	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹) ∈ 𝐵)
19	1, 10, 11, 4, 6, 12, 18	psrvscacl 21919	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹)) ∈ 𝐵)
20	1, 2, 3, 4, 19	psrelbas 21903	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹)):{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
21	20	ffnd 6658	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹)) Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
22	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑅 ∈ Ring)
23	3	psrbagf 21887	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} → 𝑑:𝐼⟶ℕ0)
24	23	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑑:𝐼⟶ℕ0)
25	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑋 ∈ 𝐼)
26	24, 25	ffvelcdmd 7026	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑑‘𝑋) ∈ ℕ0)
27		peano2nn0 12466	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑑‘𝑋) ∈ ℕ0 → ((𝑑‘𝑋) + 1) ∈ ℕ0)
28	27	nn0zd 12538	. . . . . 6 ⊢ ((𝑑‘𝑋) ∈ ℕ0 → ((𝑑‘𝑋) + 1) ∈ ℤ)
29	26, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑑‘𝑋) + 1) ∈ ℤ)
30	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐶 ∈ 𝐾)
31	1, 11, 3, 4, 13	psrelbas 21903	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
32	31	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐹:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
33		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
34		reldmpsr 21883	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Rel dom mPwSer
35	1, 4, 34	strov2rcl 17176	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐼 ∈ V)
36	13, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
37	3	psrbagsn 22030	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ V → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
39	38	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
40	3	psrbagaddcl 21893	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
41	33, 39, 40	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
42	32, 41	ffvelcdmd 7026	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) ∈ 𝐾)
43		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
44		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
45	11, 43, 44	mulgass3 20322	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((𝑑‘𝑋) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) ∈ 𝐾)) → (𝐶(.r‘𝑅)(((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) = (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐶(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
46	22, 29, 30, 42, 45	syl13anc 1375	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐶(.r‘𝑅)(((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) = (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐶(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
47	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐹 ∈ 𝐵)
48	1, 4, 3, 25, 47, 33	psdcoef 22115	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹)‘𝑑) = (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
49	48	oveq2d 7372	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐶(.r‘𝑅)((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹)‘𝑑)) = (𝐶(.r‘𝑅)(((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
50	1, 10, 11, 4, 44, 3, 30, 47, 41	psrvscaval 21918	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐶 · 𝐹)‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = (𝐶(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
51	50	oveq2d 7372	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)((𝐶 · 𝐹)‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) = (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐶(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
52	46, 49, 51	3eqtr4rd 2781	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)((𝐶 · 𝐹)‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) = (𝐶(.r‘𝑅)((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹)‘𝑑)))
53	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐶 · 𝐹) ∈ 𝐵)
54	1, 4, 3, 25, 53, 33	psdcoef 22115	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐶 · 𝐹))‘𝑑) = (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)((𝐶 · 𝐹)‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
55	18	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹) ∈ 𝐵)
56	1, 10, 11, 4, 44, 3, 30, 55, 33	psrvscaval 21918	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐶 · (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹))‘𝑑) = (𝐶(.r‘𝑅)((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹)‘𝑑)))
57	52, 54, 56	3eqtr4d 2780	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐶 · 𝐹))‘𝑑) = ((𝐶 · (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹))‘𝑑))
58	17, 21, 57	eqfnfvd 6975	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐶 · 𝐹)) = (𝐶 · (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3387  Vcvv 3427  ifcif 4456   ↦ cmpt 5155  ^◡ccnv 5619   “ cima 5623  ⟶wf 6483  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356   ∘_f cof 7618   ↑_m cmap 8762  Fincfn 8882  0cc0 11027  1c1 11028   + caddc 11030  ℕcn 12163  ℕ₀cn0 12426  ℤcz 12513  Basecbs 17168  ._rcmulr 17210   ·_𝑠 cvsca 17213  Mgmcmgm 18595  ._gcmg 19032  Ringcrg 20203  CRingccrg 20204   mPwSer cmps 21873   mPSDer cpsd 22085

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8100  df-tpos 8165  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8632  df-map 8764  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-fsupp 9264  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-fz 13451  df-seq 13953  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-sca 17225  df-vsca 17226  df-tset 17228  df-0g 17393  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-mulg 19033  df-cmn 19746  df-abl 19747  df-mgp 20111  df-rng 20123  df-ur 20152  df-ring 20205  df-cring 20206  df-oppr 20306  df-psr 21878  df-psd 22111

This theorem is referenced by:  psdascl  22123