Theorem psdvsca 22306

Description: The derivative of a scaled power series is the scaled derivative. (Contributed by SN, 12-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psdvsca.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psdvsca.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psdvsca.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑆)
psdvsca.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
psdvsca.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
psdvsca.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
psdvsca.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
psdvsca.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
psdvsca	⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐶 · 𝐹)) = (𝐶 · (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹)))

Proof of Theorem psdvsca

Dummy variables 𝑑 ℎ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psdvsca.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2761	. . . 4 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
4		psdvsca.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
5		psdvsca.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
6	5	crngringd 20327	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		ringmgm 20325	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mgm)
8	6, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mgm)
9		psdvsca.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
10		psdvsca.m	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑆)
11		psdvsca.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
12		psdvsca.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
13		psdvsca.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
14	1, 10, 11, 4, 6, 12, 13	psrvscacl 22080	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐹) ∈ 𝐵)
15	1, 4, 8, 9, 14	psdcl 22303	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐶 · 𝐹)) ∈ 𝐵)
16	1, 2, 3, 4, 15	psrelbas 22064	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐶 · 𝐹)):{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
17	16	ffnd 6706	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐶 · 𝐹)) Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
18	1, 4, 8, 9, 13	psdcl 22303	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹) ∈ 𝐵)
19	1, 10, 11, 4, 6, 12, 18	psrvscacl 22080	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹)) ∈ 𝐵)
20	1, 2, 3, 4, 19	psrelbas 22064	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹)):{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
21	20	ffnd 6706	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹)) Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
22	6	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑅 ∈ Ring)
23	3	psrbagf 22047	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} → 𝑑:𝐼⟶ℕ0)
24	23	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑑:𝐼⟶ℕ0)
25	9	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑋 ∈ 𝐼)
26	24, 25	ffvelcdmd 7080	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑑‘𝑋) ∈ ℕ0)
27		peano2nn0 12543	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑑‘𝑋) ∈ ℕ0 → ((𝑑‘𝑋) + 1) ∈ ℕ0)
28	27	nn0zd 12615	. . . . . 6 ⊢ ((𝑑‘𝑋) ∈ ℕ0 → ((𝑑‘𝑋) + 1) ∈ ℤ)
29	26, 28	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑑‘𝑋) + 1) ∈ ℤ)
30	12	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐶 ∈ 𝐾)
31	1, 11, 3, 4, 13	psrelbas 22064	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
32	31	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐹:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
33		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
34		reldmpsr 22043	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Rel dom mPwSer
35	1, 4, 34	strov2rcl 17276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐼 ∈ V)
36	13, 35	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
37	3	psrbagsn 22193	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ V → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
38	36, 37	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
39	38	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
40	3	psrbagaddcl 22053	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
41	33, 39, 40	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
42	32, 41	ffvelcdmd 7080	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) ∈ 𝐾)
43		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
44		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
45	11, 43, 44	mulgass3 20434	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((𝑑‘𝑋) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) ∈ 𝐾)) → (𝐶(.r‘𝑅)(((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) = (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐶(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
46	22, 29, 30, 42, 45	syl13anc 1397	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐶(.r‘𝑅)(((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))) = (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐶(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
47	13	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐹 ∈ 𝐵)
48	1, 4, 3, 25, 47, 33	psdcoef 22302	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹)‘𝑑) = (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
49	48	oveq2d 7426	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐶(.r‘𝑅)((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹)‘𝑑)) = (𝐶(.r‘𝑅)(((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
50	1, 10, 11, 4, 44, 3, 30, 47, 41	psrvscaval 22079	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐶 · 𝐹)‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))) = (𝐶(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
51	50	oveq2d 7426	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)((𝐶 · 𝐹)‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) = (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)(𝐶(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))))))
52	46, 49, 51	3eqtr4rd 2807	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)((𝐶 · 𝐹)‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))) = (𝐶(.r‘𝑅)((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹)‘𝑑)))
53	14	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐶 · 𝐹) ∈ 𝐵)
54	1, 4, 3, 25, 53, 33	psdcoef 22302	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐶 · 𝐹))‘𝑑) = (((𝑑‘𝑋) + 1)(.g‘𝑅)((𝐶 · 𝐹)‘(𝑑 ∘f + (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))))
55	18	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹) ∈ 𝐵)
56	1, 10, 11, 4, 44, 3, 30, 55, 33	psrvscaval 22079	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐶 · (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹))‘𝑑) = (𝐶(.r‘𝑅)((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹)‘𝑑)))
57	52, 54, 56	3eqtr4d 2806	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐶 · 𝐹))‘𝑑) = ((𝐶 · (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹))‘𝑑))
58	17, 21, 57	eqfnfvd 7028	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐶 · 𝐹)) = (𝐶 · (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  {crab 3414  Vcvv 3453  ifcif 4486   ↦ cmpt 5191  ^◡ccnv 5660   “ cima 5664  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∘_f cof 7672   ↑_m cmap 8823  Fincfn 8942  0cc0 11099  1c1 11100   + caddc 11102  ℕcn 12232  ℕ₀cn0 12503  ℤcz 12590  Basecbs 17268  ._rcmulr 17310   ·_𝑠 cvsca 17313  Mgmcmgm 18695  ._gcmg 19132  Ringcrg 20314  CRingccrg 20315   mPwSer cmps 22033   mPSDer cpsd 22276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-seq 14037  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-tset 17328  df-0g 17493  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-mulg 19133  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-cring 20317  df-oppr 20418  df-psr 22038  df-psd 22298

This theorem is referenced by:  psdascl  22310