MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpfac1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pgpfac1 18746
Description: Factorization of a finite abelian p-group. There is a direct product decomposition of any abelian group of prime-power order where one of the factors is cyclic and generated by an element of maximal order. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac1.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.s 𝑆 = (𝐾‘{𝐴})
pgpfac1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
pgpfac1.o 𝑂 = (od‘𝐺)
pgpfac1.e 𝐸 = (gEx‘𝐺)
pgpfac1.z 0 = (0g𝐺)
pgpfac1.l = (LSSum‘𝐺)
pgpfac1.p (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
pgpfac1.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
pgpfac1.n (𝜑𝐵 ∈ Fin)
pgpfac1.oe (𝜑 → (𝑂𝐴) = 𝐸)
pgpfac1.ab (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
pgpfac1 (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑡, 0   𝑡,𝐴   𝑡,   𝑡,𝑃   𝑡,𝐵   𝑡,𝐺   𝑡,𝑆   𝜑,𝑡   𝑡,𝐾
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑡)   𝑂(𝑡)

Proof of Theorem pgpfac1
Dummy variables 𝑠 𝑢 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfac1.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
2 ablgrp 18464 . . 3 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
3 pgpfac1.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
43subgid 17860 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺))
51, 2, 43syl 18 . 2 (𝜑𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6 pgpfac1.ab . 2 (𝜑𝐴𝐵)
7 pgpfac1.n . . 3 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
8 eleq1 2832 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑢 → (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ 𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺)))
9 eleq2 2833 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑢 → (𝐴𝑠𝐴𝑢))
108, 9anbi12d 624 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑢 → ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) ↔ (𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢)))
11 eqeq2 2776 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑢 → ((𝑆 𝑡) = 𝑠 ↔ (𝑆 𝑡) = 𝑢))
1211anbi2d 622 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑢 → (((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠) ↔ ((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑢)))
1312rexbidv 3199 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑢 → (∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠) ↔ ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑢)))
1410, 13imbi12d 335 . . . . 5 (𝑠 = 𝑢 → (((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)) ↔ ((𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑢))))
1514imbi2d 331 . . . 4 (𝑠 = 𝑢 → ((𝜑 → ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠))) ↔ (𝜑 → ((𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑢)))))
16 eleq1 2832 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝐵 → (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺)))
17 eleq2 2833 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝐵 → (𝐴𝑠𝐴𝐵))
1816, 17anbi12d 624 . . . . . 6 (𝑠 = 𝐵 → ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) ↔ (𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝐵)))
19 eqeq2 2776 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝐵 → ((𝑆 𝑡) = 𝑠 ↔ (𝑆 𝑡) = 𝐵))
2019anbi2d 622 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝐵 → (((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠) ↔ ((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝐵)))
2120rexbidv 3199 . . . . . 6 (𝑠 = 𝐵 → (∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠) ↔ ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝐵)))
2218, 21imbi12d 335 . . . . 5 (𝑠 = 𝐵 → (((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)) ↔ ((𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝐵) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝐵))))
2322imbi2d 331 . . . 4 (𝑠 = 𝐵 → ((𝜑 → ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠))) ↔ (𝜑 → ((𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝐵) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝐵)))))
24 bi2.04 377 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠𝑢 → (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐴𝑠 → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))) ↔ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑠𝑢 → (𝐴𝑠 → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))))
25 impexp 441 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)) ↔ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐴𝑠 → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠))))
2625imbi2i 327 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠𝑢 → ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠))) ↔ (𝑠𝑢 → (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐴𝑠 → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))))
27 impexp 441 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)) ↔ (𝑠𝑢 → (𝐴𝑠 → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠))))
2827imbi2i 327 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠))) ↔ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑠𝑢 → (𝐴𝑠 → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))))
2924, 26, 283bitr4i 294 . . . . . . . . . 10 ((𝑠𝑢 → ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠))) ↔ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠))))
3029imbi2i 327 . . . . . . . . 9 ((𝜑 → (𝑠𝑢 → ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))) ↔ (𝜑 → (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))))
31 bi2.04 377 . . . . . . . . 9 ((𝑠𝑢 → (𝜑 → ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))) ↔ (𝜑 → (𝑠𝑢 → ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))))
32 bi2.04 377 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝜑 → ((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))) ↔ (𝜑 → (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))))
3330, 31, 323bitr4i 294 . . . . . . . 8 ((𝑠𝑢 → (𝜑 → ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))) ↔ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝜑 → ((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))))
3433albii 1914 . . . . . . 7 (∀𝑠(𝑠𝑢 → (𝜑 → ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))) ↔ ∀𝑠(𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝜑 → ((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))))
35 df-ral 3060 . . . . . . 7 (∀𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)(𝜑 → ((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠))) ↔ ∀𝑠(𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝜑 → ((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))))
36 r19.21v 3107 . . . . . . 7 (∀𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)(𝜑 → ((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠))) ↔ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠))))
3734, 35, 363bitr2i 290 . . . . . 6 (∀𝑠(𝑠𝑢 → (𝜑 → ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))) ↔ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠))))
38 psseq1 3855 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑠 → (𝑥𝑢𝑠𝑢))
39 eleq2 2833 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑠 → (𝐴𝑥𝐴𝑠))
4038, 39anbi12d 624 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑠 → ((𝑥𝑢𝐴𝑥) ↔ (𝑠𝑢𝐴𝑠)))
41 ineq2 3970 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑡 → (𝑆𝑦) = (𝑆𝑡))
4241eqeq1d 2767 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑡 → ((𝑆𝑦) = { 0 } ↔ (𝑆𝑡) = { 0 }))
43 oveq2 6850 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑡 → (𝑆 𝑦) = (𝑆 𝑡))
4443eqeq1d 2767 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑡 → ((𝑆 𝑦) = 𝑥 ↔ (𝑆 𝑡) = 𝑥))
4542, 44anbi12d 624 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑡 → (((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥) ↔ ((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑥)))
4645cbvrexv 3320 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥) ↔ ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑥))
47 eqeq2 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑠 → ((𝑆 𝑡) = 𝑥 ↔ (𝑆 𝑡) = 𝑠))
4847anbi2d 622 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑠 → (((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑥) ↔ ((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))
4948rexbidv 3199 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑠 → (∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑥) ↔ ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))
5046, 49syl5bb 274 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑠 → (∃𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥) ↔ ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))
5140, 50imbi12d 335 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑠 → (((𝑥𝑢𝐴𝑥) → ∃𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥)) ↔ ((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠))))
5251cbvralv 3319 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑥𝑢𝐴𝑥) → ∃𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥)) ↔ ∀𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))
53 pgpfac1.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
54 pgpfac1.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (𝐾‘{𝐴})
55 pgpfac1.o . . . . . . . . . 10 𝑂 = (od‘𝐺)
56 pgpfac1.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = (gEx‘𝐺)
57 pgpfac1.z . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝐺)
58 pgpfac1.l . . . . . . . . . 10 = (LSSum‘𝐺)
59 pgpfac1.p . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
6059adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (∀𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑥𝑢𝐴𝑥) → ∃𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥)) ∧ (𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢))) → 𝑃 pGrp 𝐺)
611adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (∀𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑥𝑢𝐴𝑥) → ∃𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥)) ∧ (𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢))) → 𝐺 ∈ Abel)
627adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (∀𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑥𝑢𝐴𝑥) → ∃𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥)) ∧ (𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢))) → 𝐵 ∈ Fin)
63 pgpfac1.oe . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑂𝐴) = 𝐸)
6463adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (∀𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑥𝑢𝐴𝑥) → ∃𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥)) ∧ (𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢))) → (𝑂𝐴) = 𝐸)
65 simprrl 799 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (∀𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑥𝑢𝐴𝑥) → ∃𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥)) ∧ (𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢))) → 𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺))
66 simprrr 800 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (∀𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑥𝑢𝐴𝑥) → ∃𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥)) ∧ (𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢))) → 𝐴𝑢)
67 simprl 787 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (∀𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑥𝑢𝐴𝑥) → ∃𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥)) ∧ (𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢))) → ∀𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑥𝑢𝐴𝑥) → ∃𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥)))
6867, 52sylib 209 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (∀𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑥𝑢𝐴𝑥) → ∃𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥)) ∧ (𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢))) → ∀𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))
6953, 54, 3, 55, 56, 57, 58, 60, 61, 62, 64, 65, 66, 68pgpfac1lem5 18745 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (∀𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑥𝑢𝐴𝑥) → ∃𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥)) ∧ (𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢))) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑢))
7069exp32 411 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑥𝑢𝐴𝑥) → ∃𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥)) → ((𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑢))))
7152, 70syl5bir 234 . . . . . . 7 (𝜑 → (∀𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)) → ((𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑢))))
7271a2i 14 . . . . . 6 ((𝜑 → ∀𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠))) → (𝜑 → ((𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑢))))
7337, 72sylbi 208 . . . . 5 (∀𝑠(𝑠𝑢 → (𝜑 → ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))) → (𝜑 → ((𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑢))))
7473a1i 11 . . . 4 (𝑢 ∈ Fin → (∀𝑠(𝑠𝑢 → (𝜑 → ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))) → (𝜑 → ((𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑢)))))
7515, 23, 74findcard3 8410 . . 3 (𝐵 ∈ Fin → (𝜑 → ((𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝐵) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝐵))))
767, 75mpcom 38 . 2 (𝜑 → ((𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝐵) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝐵)))
775, 6, 76mp2and 690 1 (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wal 1650   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  wrex 3056  cin 3731  wpss 3733  {csn 4334   class class class wbr 4809  cfv 6068  (class class class)co 6842  Fincfn 8160  Basecbs 16130  0gc0g 16366  mrClscmrc 16509  Grpcgrp 17689  SubGrpcsubg 17852  odcod 18208  gExcgex 18209   pGrp cpgp 18210  LSSumclsm 18313  Abelcabl 18460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-disj 4778  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-rpss 7135  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-omul 7769  df-er 7947  df-ec 7949  df-qs 7953  df-map 8062  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-acn 9019  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-xnn0 11611  df-z 11625  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-clim 14504  df-sum 14702  df-dvds 15266  df-gcd 15498  df-prm 15666  df-pc 15821  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-0g 16368  df-mre 16512  df-mrc 16513  df-acs 16515  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-submnd 17602  df-grp 17692  df-minusg 17693  df-sbg 17694  df-mulg 17808  df-subg 17855  df-eqg 17857  df-ga 17986  df-cntz 18013  df-od 18212  df-gex 18213  df-pgp 18214  df-lsm 18315  df-cmn 18461  df-abl 18462
This theorem is referenced by:  pgpfaclem3  18749
  Copyright terms: Public domain W3C validator