wilthlem2 - Metamath Proof Explorer

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Theorem wilthlem2 27046

Description: Lemma for wilth 27048: induction step. The "hand proof" version of this theorem works by writing out the list of all numbers from 1 to 𝑃 − 1 in pairs such that a number is paired with its inverse. Every number has a unique inverse different from itself except 1 and 𝑃 − 1, and so each pair multiplies to 1, and 1 and 𝑃 − 1≡-1 multiply to -1, so the full product is equal to -1. Here we make this precise by doing the product pair by pair.

The induction hypothesis says that every subset 𝑆 of 1...(𝑃 − 1) that is closed under inverse (i.e. all pairs are matched up) and contains 𝑃 − 1 multiplies to -1 mod 𝑃. Given such a set, we take out one element 𝑧 ≠ 𝑃 − 1. If there are no such elements, then 𝑆 = {𝑃 − 1} which forms the base case. Otherwise, 𝑆 ∖ {𝑧, 𝑧↑-1} is also closed under inverse and contains 𝑃 − 1, so the induction hypothesis says that this equals -1; and the remaining two elements are either equal to each other, in which case wilthlem1 27045 gives that 𝑧 = 1 or 𝑃 − 1, and we've already excluded the second case, so the product gives 1; or 𝑧 ≠ 𝑧↑-1 and their product is 1. In either case the accumulated product is unaffected. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
wilthlem.t	⊢ 𝑇 = (mulGrp‘ℂ_fld)
wilthlem.a	⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)) ∣ ((𝑃 − 1) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥)}
wilthlem2.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
wilthlem2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐴)
wilthlem2.r	⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝐴 (𝑠 ⊊ 𝑆 → ((𝑇 Σ_g ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))

**Assertion**
Ref	Expression
wilthlem2	⊢ (𝜑 → ((𝑇 Σ_g ( I ↾ 𝑆)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))

Distinct variable groups: 𝑥,𝑠,𝑦,𝐴 𝑃,𝑠,𝑥,𝑦 𝜑,𝑥,𝑦 𝑆,𝑠,𝑥,𝑦 𝑇,𝑠,𝑥,𝑦 Allowed substitution hint: 𝜑(𝑠)

Proof of Theorem wilthlem2 Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → 𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)})
2		wilthlem2.s	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐴)
3		eleq2 2826	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → ((𝑃 − 1) ∈ 𝑥 ↔ (𝑃 − 1) ∈ 𝑆))
4		eleq2 2826	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥 ↔ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆))
5	4	raleqbi1dv 3306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → (∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆))
6	3, 5	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → (((𝑃 − 1) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥) ↔ ((𝑃 − 1) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆)))
7		wilthlem.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)) ∣ ((𝑃 − 1) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥)}
8	6, 7	elrab2 3638	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑃 − 1) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆)))
9	2, 8	sylib 218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑃 − 1) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆)))
10	9	simprd 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆))
11	10	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ 𝑆)
12	11	snssd 4753	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {(𝑃 − 1)} ⊆ 𝑆)
13	12	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → {(𝑃 − 1)} ⊆ 𝑆)
14	1, 13	eqssd 3940	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → 𝑆 = {(𝑃 − 1)})
15	14	reseq2d 5938	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → ( I ↾ 𝑆) = ( I ↾ {(𝑃 − 1)}))
16		mptresid 6010	. . . . . . 7 ⊢ ( I ↾ {(𝑃 − 1)}) = (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧)
17	15, 16	eqtrdi 2788	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → ( I ↾ 𝑆) = (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧))
18	17	oveq2d 7376	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → (𝑇 Σ_g ( I ↾ 𝑆)) = (𝑇 Σ_g (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧)))
19	18	oveq1d 7375	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → ((𝑇 Σ_g ( I ↾ 𝑆)) mod 𝑃) = ((𝑇 Σ_g (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧)) mod 𝑃))
20		wilthlem2.p	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
21		prmnn 16634	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
23	22	nncnd 12181	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
24		ax-1cn 11087	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
25		negsub 11433	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑃 + -1) = (𝑃 − 1))
26	23, 24, 25	sylancl 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 + -1) = (𝑃 − 1))
27		neg1cn 12135	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℂ
28		addcom 11323	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (𝑃 + -1) = (-1 + 𝑃))
29	23, 27, 28	sylancl 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 + -1) = (-1 + 𝑃))
30	26, 29	eqtr3d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) = (-1 + 𝑃))
31		cnring 21380	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ_fld ∈ Ring
32		wilthlem.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 = (mulGrp‘ℂ_fld)
33	32	ringmgp 20211	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂ_fld ∈ Ring → 𝑇 ∈ Mnd)
34	31, 33	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Mnd)
35		nnm1nn0 12469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ₀)
36	22, 35	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ₀)
37	36	nn0cnd 12491	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
38		cnfldbas 21348	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ = (Base‘ℂ_fld)
39	32, 38	mgpbas 20117	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ = (Base‘𝑇)
40		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝑃 − 1) → 𝑧 = (𝑃 − 1))
41	39, 40	gsumsn 19920	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ Mnd ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℂ) → (𝑇 Σ_g (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧)) = (𝑃 − 1))
42	34, 37, 37, 41	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑇 Σ_g (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧)) = (𝑃 − 1))
43	23	mullidd 11154	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝑃) = 𝑃)
44	43	oveq2d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (-1 + (1 · 𝑃)) = (-1 + 𝑃))
45	30, 42, 44	3eqtr4d 2782	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑇 Σ_g (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧)) = (-1 + (1 · 𝑃)))
46	45	oveq1d 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 Σ_g (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧)) mod 𝑃) = ((-1 + (1 · 𝑃)) mod 𝑃))
47		neg1rr 12136	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℝ
48	47	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
49	22	nnrpd 12975	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ⁺)
50		1zzd 12549	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
51		modcyc 13856	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ⁺ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-1 + (1 · 𝑃)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
52	48, 49, 50, 51	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((-1 + (1 · 𝑃)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
53	46, 52	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 Σ_g (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
54	53	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → ((𝑇 Σ_g (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
55	19, 54	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → ((𝑇 Σ_g ( I ↾ 𝑆)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
56	55	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)} → ((𝑇 Σ_g ( I ↾ 𝑆)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
57		nss 3987	. . 3 ⊢ (¬ 𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)} ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)}))
58		cnfld1 21383	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (1_r‘ℂ_fld)
59	32, 58	ringidval 20155	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (0_g‘𝑇)
60		cnfldmul 21352	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = (._r‘ℂ_fld)
61	32, 60	mgpplusg 20116	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (+_g‘𝑇)
62		cncrng 21378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ_fld ∈ CRing
63	32	crngmgp 20213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂ_fld ∈ CRing → 𝑇 ∈ CMnd)
64	62, 63	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 ∈ CMnd
65	64	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑇 ∈ CMnd)
66	2	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑆 ∈ 𝐴)
67		f1oi 6812	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( I ↾ 𝑆):𝑆–1-1-onto→𝑆
68		f1of 6774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( I ↾ 𝑆):𝑆–1-1-onto→𝑆 → ( I ↾ 𝑆):𝑆⟶𝑆)
69	67, 68	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( I ↾ 𝑆):𝑆⟶𝑆
70	9	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)))
71	70	elpwid 4551	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (1...(𝑃 − 1)))
72		fzssz 13471	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1...(𝑃 − 1)) ⊆ ℤ
73	71, 72	sstrdi 3935	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℤ)
74		zsscn 12523	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
75	73, 74	sstrdi 3935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
76		fss 6678	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((( I ↾ 𝑆):𝑆⟶𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → ( I ↾ 𝑆):𝑆⟶ℂ)
77	69, 75, 76	sylancr 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝑆):𝑆⟶ℂ)
78	77	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ( I ↾ 𝑆):𝑆⟶ℂ)
79		fzfi 13925	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1...(𝑃 − 1)) ∈ Fin
80		ssfi 9100	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1...(𝑃 − 1)) ∈ Fin ∧ 𝑆 ⊆ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑆 ∈ Fin)
81	79, 71, 80	sylancr 588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
82		1ex 11131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ V
83	82	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ V)
84	77, 81, 83	fdmfifsupp 9281	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝑆) finSupp 1)
85	84	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ( I ↾ 𝑆) finSupp 1)
86		disjdif 4413	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∩ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = ∅
87	86	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∩ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = ∅)
88		undif2 4418	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∪ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∪ 𝑆)
89		simprl 771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑧 ∈ 𝑆)
90		oveq1 7367	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦↑(𝑃 − 2)) = (𝑧↑(𝑃 − 2)))
91	90	oveq1d 7375	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
92	91	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆))
93	10	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆)
94	93	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆)
95	92, 94, 89	rspcdva 3566	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆)
96	89, 95	prssd 4766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ⊆ 𝑆)
97		ssequn1 4127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ⊆ 𝑆 ↔ ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∪ 𝑆) = 𝑆)
98	96, 97	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∪ 𝑆) = 𝑆)
99	88, 98	eqtr2id 2785	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑆 = ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∪ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))
100	39, 59, 61, 65, 66, 78, 85, 87, 99	gsumsplit 19894	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σ_g ( I ↾ 𝑆)) = ((𝑇 Σ_g (( I ↾ 𝑆) ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) · (𝑇 Σ_g (( I ↾ 𝑆) ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))))
101	96	resabs1d 5967	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (( I ↾ 𝑆) ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) = ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
102	101	oveq2d 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σ_g (( I ↾ 𝑆) ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = (𝑇 Σ_g ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))
103		difss 4077	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊆ 𝑆
104		resabs1 5965	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊆ 𝑆 → (( I ↾ 𝑆) ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))
105	103, 104	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( I ↾ 𝑆) ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
106	105	oveq2i 7371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 Σ_g (( I ↾ 𝑆) ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) = (𝑇 Σ_g ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))
107	106	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σ_g (( I ↾ 𝑆) ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) = (𝑇 Σ_g ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))))
108	102, 107	oveq12d 7378	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑇 Σ_g (( I ↾ 𝑆) ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) · (𝑇 Σ_g (( I ↾ 𝑆) ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) = ((𝑇 Σ_g ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) · (𝑇 Σ_g ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))))
109	100, 108	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σ_g ( I ↾ 𝑆)) = ((𝑇 Σ_g ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) · (𝑇 Σ_g ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))))
110	109	oveq1d 7375	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑇 Σ_g ( I ↾ 𝑆)) mod 𝑃) = (((𝑇 Σ_g ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) · (𝑇 Σ_g ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) mod 𝑃))
111		prfi 9227	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∈ Fin
112	111	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∈ Fin)
113		zsubrg 21410	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘ℂ_fld)
114	32	subrgsubm 20553	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ ∈ (SubRing‘ℂ_fld) → ℤ ∈ (SubMnd‘𝑇))
115	113, 114	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ℤ ∈ (SubMnd‘𝑇))
116		f1oi 6812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}):{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}–1-1-onto→{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}
117		f1of 6774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}):{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}–1-1-onto→{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} → ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}):{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}⟶{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
118	116, 117	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}):{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}⟶{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}
119	73	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑆 ⊆ ℤ)
120	96, 119	sstrd 3933	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ⊆ ℤ)
121		fss 6678	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}):{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}⟶{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∧ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ⊆ ℤ) → ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}):{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}⟶ℤ)
122	118, 120, 121	sylancr 588	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}):{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}⟶ℤ)
123	82	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 1 ∈ V)
124	122, 112, 123	fdmfifsupp 9281	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) finSupp 1)
125	59, 65, 112, 115, 122, 124	gsumsubmcl 19885	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σ_g ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) ∈ ℤ)
126	125	zred 12624	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σ_g ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) ∈ ℝ)
127		1red 11136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 1 ∈ ℝ)
128	71	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑆 ⊆ (1...(𝑃 − 1)))
129	128	ssdifssd 4088	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊆ (1...(𝑃 − 1)))
130		ssfi 9100	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1...(𝑃 − 1)) ∈ Fin ∧ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊆ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∈ Fin)
131	79, 129, 130	sylancr 588	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∈ Fin)
132		f1oi 6812	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})):(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})–1-1-onto→(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
133		f1of 6774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})):(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})–1-1-onto→(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})):(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})⟶(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
134	132, 133	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})):(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})⟶(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
135	119	ssdifssd 4088	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊆ ℤ)
136		fss 6678	. . . . . . . . 9 ⊢ ((( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})):(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})⟶(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∧ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊆ ℤ) → ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})):(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})⟶ℤ)
137	134, 135, 136	sylancr 588	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})):(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})⟶ℤ)
138	137, 131, 123	fdmfifsupp 9281	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) finSupp 1)
139	59, 65, 131, 115, 137, 138	gsumsubmcl 19885	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σ_g ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) ∈ ℤ)
140	49	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑃 ∈ ℝ⁺)
141	34	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑇 ∈ Mnd)
142	75	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑆 ⊆ ℂ)
143	142, 89	sseldd 3923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑧 ∈ ℂ)
144		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → 𝑤 = 𝑧)
145	39, 144	gsumsn 19920	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑇 Σ_g (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤)) = 𝑧)
146	141, 143, 143, 145	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σ_g (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤)) = 𝑧)
147	146	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → (𝑇 Σ_g (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤)) = 𝑧)
148		mptresid 6010	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( I ↾ {𝑧}) = (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤)
149		dfsn2 4581	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑧} = {𝑧, 𝑧}
150		animorrl 983	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = (𝑃 − 1)))
151	20	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑃 ∈ ℙ)
152	128, 89	sseldd 3923	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑧 ∈ (1...(𝑃 − 1)))
153		wilthlem1 27045	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑧 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ↔ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = (𝑃 − 1))))
154	151, 152, 153	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑧 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ↔ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = (𝑃 − 1))))
155	154	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = (𝑃 − 1))) → 𝑧 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
156	150, 155	syldan 592	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → 𝑧 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
157	156	preq2d 4685	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → {𝑧, 𝑧} = {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
158	149, 157	eqtrid 2784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → {𝑧} = {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
159	158	reseq2d 5938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → ( I ↾ {𝑧}) = ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
160	148, 159	eqtr3id 2786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤) = ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
161	160	oveq2d 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → (𝑇 Σ_g (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤)) = (𝑇 Σ_g ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))
162		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → 𝑧 = 1)
163	147, 161, 162	3eqtr3d 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → (𝑇 Σ_g ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = 1)
164	163	oveq1d 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → ((𝑇 Σ_g ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
165		df-pr 4571	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} = ({𝑧} ∪ {((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
166	165	reseq2i 5935	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) = ( I ↾ ({𝑧} ∪ {((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
167		mptresid 6010	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ( I ↾ ({𝑧} ∪ {((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = (𝑤 ∈ ({𝑧} ∪ {((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ↦ 𝑤)
168	166, 167	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) = (𝑤 ∈ ({𝑧} ∪ {((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ↦ 𝑤)
169	168	oveq2i 7371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 Σ_g ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = (𝑇 Σ_g (𝑤 ∈ ({𝑧} ∪ {((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ↦ 𝑤))
170	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → 𝑇 ∈ CMnd)
171		snfi 8983	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑧} ∈ Fin
172	171	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → {𝑧} ∈ Fin)
173		elsni 4585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑧} → 𝑤 = 𝑧)
174	173	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧}) → 𝑤 = 𝑧)
175	143	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧}) → 𝑧 ∈ ℂ)
176	174, 175	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧}) → 𝑤 ∈ ℂ)
177	176	adantlr 716	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧}) → 𝑤 ∈ ℂ)
178	142, 95	sseldd 3923	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ ℂ)
179	178	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ ℂ)
180		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})
181		velsn 4584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↔ 𝑧 = (𝑃 − 1))
182	180, 181	sylnib 328	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ¬ 𝑧 = (𝑃 − 1))
183		biorf 937	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑧 = (𝑃 − 1) → (𝑧 = 1 ↔ (𝑧 = (𝑃 − 1) ∨ 𝑧 = 1)))
184	182, 183	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑧 = 1 ↔ (𝑧 = (𝑃 − 1) ∨ 𝑧 = 1)))
185		ovex 7393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ V
186	185	elsn 4583	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧} ↔ ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑧)
187		eqcom 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑧 ↔ 𝑧 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
188	186, 187	bitri 275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧} ↔ 𝑧 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
189		orcom 871	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 = (𝑃 − 1) ∨ 𝑧 = 1) ↔ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = (𝑃 − 1)))
190	154, 188, 189	3bitr4g 314	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧} ↔ (𝑧 = (𝑃 − 1) ∨ 𝑧 = 1)))
191	184, 190	bitr4d 282	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑧 = 1 ↔ ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧}))
192	191	necon3abid 2969	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑧 ≠ 1 ↔ ¬ ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧}))
193	192	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → ¬ ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧})
194		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → 𝑤 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
195	39, 61, 170, 172, 177, 179, 193, 179, 194	gsumunsn 19926	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → (𝑇 Σ_g (𝑤 ∈ ({𝑧} ∪ {((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ↦ 𝑤)) = ((𝑇 Σ_g (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤)) · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
196	169, 195	eqtrid 2784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → (𝑇 Σ_g ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = ((𝑇 Σ_g (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤)) · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
197	146	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → (𝑇 Σ_g (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤)) = 𝑧)
198	197	oveq1d 7375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → ((𝑇 Σ_g (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤)) · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) = (𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
199	196, 198	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → (𝑇 Σ_g ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = (𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
200	199	oveq1d 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → ((𝑇 Σ_g ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) mod 𝑃) = ((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
201	152	elfzelzd 13470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑧 ∈ ℤ)
202	22	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑃 ∈ ℕ)
203		fzm1ndvds 16282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑧)
204	202, 152, 203	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑧)
205		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)
206	205	prmdiv 16746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑧) → (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) − 1)))
207	151, 201, 204, 206	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) − 1)))
208	207	simprd 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑃 ∥ ((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) − 1))
209		elfznn 13498	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑧 ∈ ℕ)
210	152, 209	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑧 ∈ ℕ)
211	128, 95	sseldd 3923	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)))
212		elfznn 13498	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) → ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ ℕ)
213	211, 212	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ ℕ)
214	210, 213	nnmulcld 12221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) ∈ ℕ)
215	214	nnzd 12541	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) ∈ ℤ)
216		1zzd 12549	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 1 ∈ ℤ)
217		moddvds 16223	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) − 1)))
218	202, 215, 216, 217	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) − 1)))
219	208, 218	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
220	219	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → ((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
221	200, 220	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → ((𝑇 Σ_g ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
222	164, 221	pm2.61dane 3020	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑇 Σ_g ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
223		modmul1 13877	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑇 Σ_g ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ ((𝑇 Σ_g ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑇 Σ_g ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → (((𝑇 Σ_g ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) · (𝑇 Σ_g ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) mod 𝑃) = ((1 · (𝑇 Σ_g ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) mod 𝑃))
224	126, 127, 139, 140, 222, 223	syl221anc 1384	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (((𝑇 Σ_g ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) · (𝑇 Σ_g ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) mod 𝑃) = ((1 · (𝑇 Σ_g ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) mod 𝑃))
225	139	zcnd 12625	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σ_g ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) ∈ ℂ)
226	225	mullidd 11154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (1 · (𝑇 Σ_g ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) = (𝑇 Σ_g ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))))
227	226	oveq1d 7375	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((1 · (𝑇 Σ_g ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) mod 𝑃) = ((𝑇 Σ_g ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) mod 𝑃))
228		sseqin2 4164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ⊆ 𝑆 ↔ (𝑆 ∩ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) = {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
229	96, 228	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑆 ∩ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) = {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
230		vex 3434	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑧 ∈ V
231	230	prnz 4722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ≠ ∅
232	231	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ≠ ∅)
233	229, 232	eqnetrd 3000	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑆 ∩ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ≠ ∅)
234		disj4 4400	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∩ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) = ∅ ↔ ¬ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊊ 𝑆)
235	234	necon2abii 2983	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊊ 𝑆 ↔ (𝑆 ∩ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ≠ ∅)
236	233, 235	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊊ 𝑆)
237		psseq1 4031	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → (𝑠 ⊊ 𝑆 ↔ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊊ 𝑆))
238		reseq2 5933	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → ( I ↾ 𝑠) = ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))
239	238	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → (𝑇 Σ_g ( I ↾ 𝑠)) = (𝑇 Σ_g ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))))
240	239	oveq1d 7375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → ((𝑇 Σ_g ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = ((𝑇 Σ_g ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) mod 𝑃))
241	240	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → (((𝑇 Σ_g ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ↔ ((𝑇 Σ_g ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
242	237, 241	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → ((𝑠 ⊊ 𝑆 → ((𝑇 Σ_g ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) ↔ ((𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊊ 𝑆 → ((𝑇 Σ_g ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))))
243		wilthlem2.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝐴 (𝑠 ⊊ 𝑆 → ((𝑇 Σ_g ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
244	243	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ∀𝑠 ∈ 𝐴 (𝑠 ⊊ 𝑆 → ((𝑇 Σ_g ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
245		ovex 7393	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1...(𝑃 − 1)) ∈ V
246	245	elpw2 5271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊆ (1...(𝑃 − 1)))
247	129, 246	sylibr 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)))
248	11	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) ∈ 𝑆)
249		eqcom 2744	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = (𝑃 − 1) ↔ (𝑃 − 1) = 𝑧)
250	181, 249	bitri 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↔ (𝑃 − 1) = 𝑧)
251	180, 250	sylnib 328	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ¬ (𝑃 − 1) = 𝑧)
252		oveq1 7367	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 − 1) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → ((𝑃 − 1)↑(𝑃 − 2)) = (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)))
253	252	oveq1d 7375	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 − 1) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → (((𝑃 − 1)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
254	202, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ₀)
255		nn0uz 12817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
256	254, 255	eleqtrdi 2847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) ∈ (ℤ_≥‘0))
257		eluzfz2 13477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 − 1) ∈ (ℤ_≥‘0) → (𝑃 − 1) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
258	256, 257	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
259		prmz 16635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
260	151, 259	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑃 ∈ ℤ)
261	119, 248	sseldd 3923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
262		1z 12548	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 1 ∈ ℤ
263		zsubcl 12560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑃 − 1) − 1) ∈ ℤ)
264	261, 262, 263	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 − 1) − 1) ∈ ℤ)
265		dvdsmul1 16237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) − 1) ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ (𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)))
266	260, 264, 265	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑃 ∥ (𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)))
267	202	nncnd 12181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑃 ∈ ℂ)
268	264	zcnd 12625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 − 1) − 1) ∈ ℂ)
269	267, 268	mulcld 11156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)) ∈ ℂ)
270		1cnd 11130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 1 ∈ ℂ)
271	254	nn0cnd 12491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
272	267, 270, 271	subdird 11598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 − 1) · (𝑃 − 1)) = ((𝑃 · (𝑃 − 1)) − (1 · (𝑃 − 1))))
273	267, 271	mulcld 11156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 · (𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
274	273, 267, 270	subsubd 11524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 · (𝑃 − 1)) − (𝑃 − 1)) = (((𝑃 · (𝑃 − 1)) − 𝑃) + 1))
275	271	mullidd 11154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (1 · (𝑃 − 1)) = (𝑃 − 1))
276	275	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 · (𝑃 − 1)) − (1 · (𝑃 − 1))) = ((𝑃 · (𝑃 − 1)) − (𝑃 − 1)))
277	267, 271	muls1d 11601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)) = ((𝑃 · (𝑃 − 1)) − 𝑃))
278	277	oveq1d 7375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)) + 1) = (((𝑃 · (𝑃 − 1)) − 𝑃) + 1))
279	274, 276, 278	3eqtr4d 2782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 · (𝑃 − 1)) − (1 · (𝑃 − 1))) = ((𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)) + 1))
280	272, 279	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 − 1) · (𝑃 − 1)) = ((𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)) + 1))
281	269, 270, 280	mvrraddd 11553	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (((𝑃 − 1) · (𝑃 − 1)) − 1) = (𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)))
282	266, 281	breqtrrd 5114	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑃 ∥ (((𝑃 − 1) · (𝑃 − 1)) − 1))
283	128, 248	sseldd 3923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) ∈ (1...(𝑃 − 1)))
284		fzm1ndvds 16282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 − 1) ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑃 − 1))
285	202, 283, 284	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑃 − 1))
286		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃 − 1)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = (((𝑃 − 1)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)
287	286	prmdiveq 16747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ (𝑃 − 1)) → (((𝑃 − 1) ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ (((𝑃 − 1) · (𝑃 − 1)) − 1)) ↔ (𝑃 − 1) = (((𝑃 − 1)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
288	151, 261, 285, 287	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (((𝑃 − 1) ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ (((𝑃 − 1) · (𝑃 − 1)) − 1)) ↔ (𝑃 − 1) = (((𝑃 − 1)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
289	258, 282, 288	mpbi2and 713	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) = (((𝑃 − 1)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
290	205	prmdivdiv 16748	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑧 = ((((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
291	151, 152, 290	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑧 = ((((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
292	289, 291	eqeq12d 2753	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 − 1) = 𝑧 ↔ (((𝑃 − 1)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
293	253, 292	imbitrrid 246	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 − 1) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → (𝑃 − 1) = 𝑧))
294	251, 293	mtod 198	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ¬ (𝑃 − 1) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
295		ioran 986	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ ((𝑃 − 1) = 𝑧 ∨ (𝑃 − 1) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) ↔ (¬ (𝑃 − 1) = 𝑧 ∧ ¬ (𝑃 − 1) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
296	251, 294, 295	sylanbrc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ¬ ((𝑃 − 1) = 𝑧 ∨ (𝑃 − 1) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
297		ovex 7393	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 − 1) ∈ V
298	297	elpr 4593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 − 1) ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ↔ ((𝑃 − 1) = 𝑧 ∨ (𝑃 − 1) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
299	296, 298	sylnibr 329	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ¬ (𝑃 − 1) ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
300	248, 299	eldifd 3901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
301		eldifi 4072	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → 𝑦 ∈ 𝑆)
302	94	r19.21bi 3230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆)
303	301, 302	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) → ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆)
304		eldif 3900	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ↔ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑦 ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
305	151	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑃 ∈ ℙ)
306	128	sselda 3922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ (1...(𝑃 − 1)))
307		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)
308	307	prmdivdiv 16748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑦 = ((((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
309	305, 306, 308	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 = ((((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
310		oveq1 7367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑧 → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) = (𝑧↑(𝑃 − 2)))
311	310	oveq1d 7375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑧 → ((((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
312	311	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑧 → (𝑦 = ((((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ↔ 𝑦 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
313	309, 312	syl5ibcom 245	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑧 → 𝑦 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
314		oveq1 7367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) = (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)))
315	314	oveq1d 7375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → ((((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
316	291	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑧 = ((((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
317	309, 316	eqeq12d 2753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑦 = 𝑧 ↔ ((((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
318	315, 317	imbitrrid 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → 𝑦 = 𝑧))
319	313, 318	orim12d 967	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑧 ∨ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) → (𝑦 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∨ 𝑦 = 𝑧)))
320		ovex 7393	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ V
321	320	elpr 4593	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ↔ (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑧 ∨ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
322		vex 3434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑦 ∈ V
323	322	elpr 4593	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ↔ (𝑦 = 𝑧 ∨ 𝑦 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
324		orcom 871	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 = 𝑧 ∨ 𝑦 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) ↔ (𝑦 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∨ 𝑦 = 𝑧))
325	323, 324	bitri 275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ↔ (𝑦 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∨ 𝑦 = 𝑧))
326	319, 321, 325	3imtr4g 296	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} → 𝑦 ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
327	326	con3d 152	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (¬ 𝑦 ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} → ¬ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
328	327	impr 454	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑦 ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) → ¬ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
329	304, 328	sylan2b 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) → ¬ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
330	303, 329	eldifd 3901	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) → ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
331	330	ralrimiva 3130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ∀𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
332	300, 331	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 − 1) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))
333		eleq2 2826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → ((𝑃 − 1) ∈ 𝑥 ↔ (𝑃 − 1) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))
334		eleq2 2826	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥 ↔ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))
335	334	raleqbi1dv 3306	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → (∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))
336	333, 335	anbi12d 633	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → (((𝑃 − 1) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥) ↔ ((𝑃 − 1) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))))
337	336, 7	elrab2 3638	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑃 − 1) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))))
338	247, 332, 337	sylanbrc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∈ 𝐴)
339	242, 244, 338	rspcdva 3566	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊊ 𝑆 → ((𝑇 Σ_g ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
340	236, 339	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑇 Σ_g ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
341	227, 340	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((1 · (𝑇 Σ_g ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
342	110, 224, 341	3eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑇 Σ_g ( I ↾ 𝑆)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
343	342	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)}) → ((𝑇 Σ_g ( I ↾ 𝑆)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
344	343	exlimdv 1935	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧(𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)}) → ((𝑇 Σ_g ( I ↾ 𝑆)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
345	57, 344	biimtrid 242	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)} → ((𝑇 Σ_g ( I ↾ 𝑆)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
346	56, 345	pm2.61d 179	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 Σ_g ( I ↾ 𝑆)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∨ wo 848 = wceq 1542 ∃wex 1781 ∈ wcel 2114 ≠ wne 2933 ∀wral 3052 {crab 3390 Vcvv 3430 ∖ cdif 3887 ∪ cun 3888 ∩ cin 3889 ⊆ wss 3890 ⊊ wpss 3891 ∅c0 4274 𝒫 cpw 4542 {csn 4568 {cpr 4570 class class class wbr 5086 ↦ cmpt 5167 I cid 5518 ↾ cres 5626 ⟶wf 6488 –1-1-onto→wf1o 6491 ‘cfv 6492 (class class class)co 7360 Fincfn 8886 finSupp cfsupp 9267 ℂcc 11027 ℝcr 11028 0cc0 11029 1c1 11030 + caddc 11032 · cmul 11034 − cmin 11368 -cneg 11369 ℕcn 12165 2c2 12227 ℕ₀cn0 12428 ℤcz 12515 ℤ_≥cuz 12779 ℝ⁺crp 12933 ...cfz 13452 mod cmo 13819 ↑cexp 14014 ∥ cdvds 16212 ℙcprime 16631 Σ_g cgsu 17394 Mndcmnd 18693 SubMndcsubmnd 18741 CMndccmn 19746 mulGrpcmgp 20112 Ringcrg 20205 CRingccrg 20206 SubRingcsubrg 20537 ℂ_fldccnfld 21344

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2709 ax-rep 5212 ax-sep 5231 ax-nul 5241 ax-pow 5302 ax-pr 5370 ax-un 7682 ax-cnex 11085 ax-resscn 11086 ax-1cn 11087 ax-icn 11088 ax-addcl 11089 ax-addrcl 11090 ax-mulcl 11091 ax-mulrcl 11092 ax-mulcom 11093 ax-addass 11094 ax-mulass 11095 ax-distr 11096 ax-i2m1 11097 ax-1ne0 11098 ax-1rid 11099 ax-rnegex 11100 ax-rrecex 11101 ax-cnre 11102 ax-pre-lttri 11103 ax-pre-lttrn 11104 ax-pre-ltadd 11105 ax-pre-mulgt0 11106 ax-pre-sup 11107 ax-addf 11108 ax-mulf 11109

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2570 df-clab 2716 df-cleq 2729 df-clel 2812 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3063 df-rmo 3343 df-reu 3344 df-rab 3391 df-v 3432 df-sbc 3730 df-csb 3839 df-dif 3893 df-un 3895 df-in 3897 df-ss 3907 df-pss 3910 df-nul 4275 df-if 4468 df-pw 4544 df-sn 4569 df-pr 4571 df-tp 4573 df-op 4575 df-uni 4852 df-int 4891 df-iun 4936 df-iin 4937 df-br 5087 df-opab 5149 df-mpt 5168 df-tr 5194 df-id 5519 df-eprel 5524 df-po 5532 df-so 5533 df-fr 5577 df-se 5578 df-we 5579 df-xp 5630 df-rel 5631 df-cnv 5632 df-co 5633 df-dm 5634 df-rn 5635 df-res 5636 df-ima 5637 df-pred 6259 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6494 df-fn 6495 df-f 6496 df-f1 6497 df-fo 6498 df-f1o 6499 df-fv 6500 df-isom 6501 df-riota 7317 df-ov 7363 df-oprab 7364 df-mpo 7365 df-of 7624 df-om 7811 df-1st 7935 df-2nd 7936 df-supp 8104 df-frecs 8224 df-wrecs 8255 df-recs 8304 df-rdg 8342 df-1o 8398 df-2o 8399 df-oadd 8402 df-er 8636 df-en 8887 df-dom 8888 df-sdom 8889 df-fin 8890 df-fsupp 9268 df-sup 9348 df-inf 9349 df-oi 9418 df-dju 9816 df-card 9854 df-pnf 11172 df-mnf 11173 df-xr 11174 df-ltxr 11175 df-le 11176 df-sub 11370 df-neg 11371 df-div 11799 df-nn 12166 df-2 12235 df-3 12236 df-4 12237 df-5 12238 df-6 12239 df-7 12240 df-8 12241 df-9 12242 df-n0 12429 df-xnn0 12502 df-z 12516 df-dec 12636 df-uz 12780 df-rp 12934 df-fz 13453 df-fzo 13600 df-fl 13742 df-mod 13820 df-seq 13955 df-exp 14015 df-hash 14284 df-cj 15052 df-re 15053 df-im 15054 df-sqrt 15188 df-abs 15189 df-dvds 16213 df-gcd 16455 df-prm 16632 df-phi 16727 df-struct 17108 df-sets 17125 df-slot 17143 df-ndx 17155 df-base 17171 df-ress 17192 df-plusg 17224 df-mulr 17225 df-starv 17226 df-tset 17230 df-ple 17231 df-ds 17233 df-unif 17234 df-0g 17395 df-gsum 17396 df-mre 17539 df-mrc 17540 df-acs 17542 df-mgm 18599 df-sgrp 18678 df-mnd 18694 df-submnd 18743 df-grp 18903 df-minusg 18904 df-mulg 19035 df-subg 19090 df-cntz 19283 df-cmn 19748 df-abl 19749 df-mgp 20113 df-rng 20125 df-ur 20154 df-ring 20207 df-cring 20208 df-subrng 20514 df-subrg 20538 df-cnfld 21345

This theorem is referenced by: wilthlem3 27047

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