MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wilthlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wilthlem2 25247
Description: Lemma for wilth 25249: induction step. The "hand proof" version of this theorem works by writing out the list of all numbers from 1 to 𝑃 − 1 in pairs such that a number is paired with its inverse. Every number has a unique inverse different from itself except 1 and 𝑃 − 1, and so each pair multiplies to 1, and 1 and 𝑃 − 1≡-1 multiply to -1, so the full product is equal to -1. Here we make this precise by doing the product pair by pair.

The induction hypothesis says that every subset 𝑆 of 1...(𝑃 − 1) that is closed under inverse (i.e. all pairs are matched up) and contains 𝑃 − 1 multiplies to -1 mod 𝑃. Given such a set, we take out one element 𝑧𝑃 − 1. If there are no such elements, then 𝑆 = {𝑃 − 1} which forms the base case. Otherwise, 𝑆 ∖ {𝑧, 𝑧↑-1} is also closed under inverse and contains 𝑃 − 1, so the induction hypothesis says that this equals -1; and the remaining two elements are either equal to each other, in which case wilthlem1 25246 gives that 𝑧 = 1 or 𝑃 − 1, and we've already excluded the second case, so the product gives 1; or 𝑧𝑧↑-1 and their product is 1. In either case the accumulated product is unaffected. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)

Hypotheses
Ref Expression
wilthlem.t 𝑇 = (mulGrp‘ℂfld)
wilthlem.a 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)) ∣ ((𝑃 − 1) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥)}
wilthlem2.p (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
wilthlem2.s (𝜑𝑆𝐴)
wilthlem2.r (𝜑 → ∀𝑠𝐴 (𝑠𝑆 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
Assertion
Ref Expression
wilthlem2 (𝜑 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑆)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑠,𝑦,𝐴   𝑃,𝑠,𝑥,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑆,𝑠,𝑥,𝑦   𝑇,𝑠,𝑥,𝑦
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑠)

Proof of Theorem wilthlem2
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → 𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)})
2 wilthlem2.s . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑆𝐴)
3 eleq2 2848 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑆 → ((𝑃 − 1) ∈ 𝑥 ↔ (𝑃 − 1) ∈ 𝑆))
4 eleq2 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑆 → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥 ↔ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆))
54raleqbi1dv 3328 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑆 → (∀𝑦𝑥 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦𝑆 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆))
63, 5anbi12d 624 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑆 → (((𝑃 − 1) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥) ↔ ((𝑃 − 1) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆)))
7 wilthlem.a . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)) ∣ ((𝑃 − 1) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥)}
86, 7elrab2 3576 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆𝐴 ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑃 − 1) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆)))
92, 8sylib 210 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑃 − 1) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆)))
109simprd 491 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑃 − 1) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆))
1110simpld 490 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ 𝑆)
1211snssd 4571 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {(𝑃 − 1)} ⊆ 𝑆)
1312adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → {(𝑃 − 1)} ⊆ 𝑆)
141, 13eqssd 3838 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → 𝑆 = {(𝑃 − 1)})
1514reseq2d 5642 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → ( I ↾ 𝑆) = ( I ↾ {(𝑃 − 1)}))
16 mptresid 5712 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧) = ( I ↾ {(𝑃 − 1)})
1715, 16syl6eqr 2832 . . . . . 6 ((𝜑𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → ( I ↾ 𝑆) = (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧))
1817oveq2d 6938 . . . . 5 ((𝜑𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → (𝑇 Σg ( I ↾ 𝑆)) = (𝑇 Σg (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧)))
1918oveq1d 6937 . . . 4 ((𝜑𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑆)) mod 𝑃) = ((𝑇 Σg (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧)) mod 𝑃))
20 wilthlem2.p . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
21 prmnn 15793 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
2322nncnd 11392 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
24 ax-1cn 10330 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
25 negsub 10671 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑃 + -1) = (𝑃 − 1))
2623, 24, 25sylancl 580 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 + -1) = (𝑃 − 1))
27 neg1cn 11496 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℂ
28 addcom 10562 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (𝑃 + -1) = (-1 + 𝑃))
2923, 27, 28sylancl 580 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 + -1) = (-1 + 𝑃))
3026, 29eqtr3d 2816 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 − 1) = (-1 + 𝑃))
31 cnring 20164 . . . . . . . . . 10 fld ∈ Ring
32 wilthlem.t . . . . . . . . . . 11 𝑇 = (mulGrp‘ℂfld)
3332ringmgp 18940 . . . . . . . . . 10 (ℂfld ∈ Ring → 𝑇 ∈ Mnd)
3431, 33mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ Mnd)
35 nnm1nn0 11685 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
3622, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
3736nn0cnd 11704 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
38 cnfldbas 20146 . . . . . . . . . . 11 ℂ = (Base‘ℂfld)
3932, 38mgpbas 18882 . . . . . . . . . 10 ℂ = (Base‘𝑇)
40 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝑃 − 1) → 𝑧 = (𝑃 − 1))
4139, 40gsumsn 18740 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ Mnd ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℂ) → (𝑇 Σg (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧)) = (𝑃 − 1))
4234, 37, 37, 41syl3anc 1439 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇 Σg (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧)) = (𝑃 − 1))
4323mulid2d 10395 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 · 𝑃) = 𝑃)
4443oveq2d 6938 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-1 + (1 · 𝑃)) = (-1 + 𝑃))
4530, 42, 443eqtr4d 2824 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑇 Σg (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧)) = (-1 + (1 · 𝑃)))
4645oveq1d 6937 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑇 Σg (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧)) mod 𝑃) = ((-1 + (1 · 𝑃)) mod 𝑃))
47 neg1rr 11497 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℝ
4847a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
4922nnrpd 12179 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℝ+)
50 1zzd 11760 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
51 modcyc 13024 . . . . . . 7 ((-1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-1 + (1 · 𝑃)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
5248, 49, 50, 51syl3anc 1439 . . . . . 6 (𝜑 → ((-1 + (1 · 𝑃)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
5346, 52eqtrd 2814 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑇 Σg (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
5453adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → ((𝑇 Σg (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
5519, 54eqtrd 2814 . . 3 ((𝜑𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑆)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
5655ex 403 . 2 (𝜑 → (𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)} → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑆)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
57 nss 3882 . . 3 𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)} ↔ ∃𝑧(𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)}))
58 cnfld1 20167 . . . . . . . . . 10 1 = (1r‘ℂfld)
5932, 58ringidval 18890 . . . . . . . . 9 1 = (0g𝑇)
60 cnfldmul 20148 . . . . . . . . . 10 · = (.r‘ℂfld)
6132, 60mgpplusg 18880 . . . . . . . . 9 · = (+g𝑇)
62 cncrng 20163 . . . . . . . . . . 11 fld ∈ CRing
6332crngmgp 18942 . . . . . . . . . . 11 (ℂfld ∈ CRing → 𝑇 ∈ CMnd)
6462, 63ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 𝑇 ∈ CMnd
6564a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑇 ∈ CMnd)
662adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑆𝐴)
67 f1oi 6428 . . . . . . . . . . . 12 ( I ↾ 𝑆):𝑆1-1-onto𝑆
68 f1of 6391 . . . . . . . . . . . 12 (( I ↾ 𝑆):𝑆1-1-onto𝑆 → ( I ↾ 𝑆):𝑆𝑆)
6967, 68ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ( I ↾ 𝑆):𝑆𝑆
709simpld 490 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑆 ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)))
7170elpwid 4391 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ⊆ (1...(𝑃 − 1)))
72 elfzelz 12659 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑧 ∈ ℤ)
7372ssriv 3825 . . . . . . . . . . . . 13 (1...(𝑃 − 1)) ⊆ ℤ
7471, 73syl6ss 3833 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ⊆ ℤ)
75 zsscn 11736 . . . . . . . . . . . 12 ℤ ⊆ ℂ
7674, 75syl6ss 3833 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
77 fss 6304 . . . . . . . . . . 11 ((( I ↾ 𝑆):𝑆𝑆𝑆 ⊆ ℂ) → ( I ↾ 𝑆):𝑆⟶ℂ)
7869, 76, 77sylancr 581 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ( I ↾ 𝑆):𝑆⟶ℂ)
7978adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ( I ↾ 𝑆):𝑆⟶ℂ)
80 fzfi 13090 . . . . . . . . . . . 12 (1...(𝑃 − 1)) ∈ Fin
81 ssfi 8468 . . . . . . . . . . . 12 (((1...(𝑃 − 1)) ∈ Fin ∧ 𝑆 ⊆ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑆 ∈ Fin)
8280, 71, 81sylancr 581 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ Fin)
83 1ex 10372 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ V
8483a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ V)
8578, 82, 84fdmfifsupp 8573 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ( I ↾ 𝑆) finSupp 1)
8685adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ( I ↾ 𝑆) finSupp 1)
87 disjdif 4264 . . . . . . . . . 10 ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∩ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = ∅
8887a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∩ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = ∅)
89 undif2 4268 . . . . . . . . . 10 ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∪ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∪ 𝑆)
90 simprl 761 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑧𝑆)
91 oveq1 6929 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦↑(𝑃 − 2)) = (𝑧↑(𝑃 − 2)))
9291oveq1d 6937 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
9392eleq1d 2844 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑧 → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆))
9410simprd 491 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑦𝑆 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆)
9594adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ∀𝑦𝑆 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆)
9693, 95, 90rspcdva 3517 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆)
97 prssi 4583 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧𝑆 ∧ ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆) → {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ⊆ 𝑆)
9890, 96, 97syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ⊆ 𝑆)
99 ssequn1 4006 . . . . . . . . . . 11 ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ⊆ 𝑆 ↔ ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∪ 𝑆) = 𝑆)
10098, 99sylib 210 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∪ 𝑆) = 𝑆)
10189, 100syl5req 2827 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑆 = ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∪ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))
10239, 59, 61, 65, 66, 79, 86, 88, 101gsumsplit 18714 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σg ( I ↾ 𝑆)) = ((𝑇 Σg (( I ↾ 𝑆) ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) · (𝑇 Σg (( I ↾ 𝑆) ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))))
10398resabs1d 5677 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (( I ↾ 𝑆) ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) = ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
104103oveq2d 6938 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σg (( I ↾ 𝑆) ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = (𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))
105 difss 3960 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊆ 𝑆
106 resabs1 5676 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊆ 𝑆 → (( I ↾ 𝑆) ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))
107105, 106ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (( I ↾ 𝑆) ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
108107oveq2i 6933 . . . . . . . . . 10 (𝑇 Σg (( I ↾ 𝑆) ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) = (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))
109108a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σg (( I ↾ 𝑆) ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) = (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))))
110104, 109oveq12d 6940 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑇 Σg (( I ↾ 𝑆) ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) · (𝑇 Σg (( I ↾ 𝑆) ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) = ((𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) · (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))))
111102, 110eqtrd 2814 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σg ( I ↾ 𝑆)) = ((𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) · (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))))
112111oveq1d 6937 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑆)) mod 𝑃) = (((𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) · (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) mod 𝑃))
113 prfi 8523 . . . . . . . . . 10 {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∈ Fin
114113a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∈ Fin)
115 zsubrg 20195 . . . . . . . . . 10 ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
11632subrgsubm 19185 . . . . . . . . . 10 (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubMnd‘𝑇))
117115, 116mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ℤ ∈ (SubMnd‘𝑇))
118 f1oi 6428 . . . . . . . . . . 11 ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}):{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}–1-1-onto→{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}
119 f1of 6391 . . . . . . . . . . 11 (( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}):{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}–1-1-onto→{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} → ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}):{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}⟶{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
120118, 119ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}):{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}⟶{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}
12174adantr 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑆 ⊆ ℤ)
12298, 121sstrd 3831 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ⊆ ℤ)
123 fss 6304 . . . . . . . . . 10 ((( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}):{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}⟶{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∧ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ⊆ ℤ) → ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}):{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}⟶ℤ)
124120, 122, 123sylancr 581 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}):{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}⟶ℤ)
12583a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 1 ∈ V)
126124, 114, 125fdmfifsupp 8573 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) finSupp 1)
12759, 65, 114, 117, 124, 126gsumsubmcl 18705 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) ∈ ℤ)
128127zred 11834 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) ∈ ℝ)
129 1red 10377 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 1 ∈ ℝ)
13071adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑆 ⊆ (1...(𝑃 − 1)))
131130ssdifssd 3971 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊆ (1...(𝑃 − 1)))
132 ssfi 8468 . . . . . . . . 9 (((1...(𝑃 − 1)) ∈ Fin ∧ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊆ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∈ Fin)
13380, 131, 132sylancr 581 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∈ Fin)
134 f1oi 6428 . . . . . . . . . 10 ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})):(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})–1-1-onto→(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
135 f1of 6391 . . . . . . . . . 10 (( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})):(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})–1-1-onto→(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})):(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})⟶(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
136134, 135ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})):(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})⟶(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
137121ssdifssd 3971 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊆ ℤ)
138 fss 6304 . . . . . . . . 9 ((( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})):(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})⟶(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∧ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊆ ℤ) → ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})):(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})⟶ℤ)
139136, 137, 138sylancr 581 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})):(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})⟶ℤ)
140139, 133, 125fdmfifsupp 8573 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) finSupp 1)
14159, 65, 133, 117, 139, 140gsumsubmcl 18705 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) ∈ ℤ)
14249adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑃 ∈ ℝ+)
14334adantr 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑇 ∈ Mnd)
14476adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑆 ⊆ ℂ)
145144, 90sseldd 3822 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑧 ∈ ℂ)
146 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = 𝑧𝑤 = 𝑧)
14739, 146gsumsn 18740 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑇 Σg (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤)) = 𝑧)
148143, 145, 145, 147syl3anc 1439 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σg (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤)) = 𝑧)
149148adantr 474 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → (𝑇 Σg (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤)) = 𝑧)
150 mptresid 5712 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤) = ( I ↾ {𝑧})
151 dfsn2 4411 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑧} = {𝑧, 𝑧}
152 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → 𝑧 = 1)
153152orcd 862 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = (𝑃 − 1)))
15420adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑃 ∈ ℙ)
155130, 90sseldd 3822 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑧 ∈ (1...(𝑃 − 1)))
156 wilthlem1 25246 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑧 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ↔ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = (𝑃 − 1))))
157154, 155, 156syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑧 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ↔ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = (𝑃 − 1))))
158157biimpar 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = (𝑃 − 1))) → 𝑧 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
159153, 158syldan 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → 𝑧 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
160159preq2d 4507 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → {𝑧, 𝑧} = {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
161151, 160syl5eq 2826 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → {𝑧} = {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
162161reseq2d 5642 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → ( I ↾ {𝑧}) = ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
163150, 162syl5eq 2826 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤) = ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
164163oveq2d 6938 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → (𝑇 Σg (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤)) = (𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))
165149, 164, 1523eqtr3d 2822 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → (𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = 1)
166165oveq1d 6937 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → ((𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
167 df-pr 4401 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} = ({𝑧} ∪ {((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
168167reseq2i 5639 . . . . . . . . . . . . . 14 ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) = ( I ↾ ({𝑧} ∪ {((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
169 mptresid 5712 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ ({𝑧} ∪ {((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ↦ 𝑤) = ( I ↾ ({𝑧} ∪ {((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
170168, 169eqtr4i 2805 . . . . . . . . . . . . 13 ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) = (𝑤 ∈ ({𝑧} ∪ {((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ↦ 𝑤)
171170oveq2i 6933 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = (𝑇 Σg (𝑤 ∈ ({𝑧} ∪ {((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ↦ 𝑤))
17264a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → 𝑇 ∈ CMnd)
173 snfi 8326 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑧} ∈ Fin
174173a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → {𝑧} ∈ Fin)
175 elsni 4415 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ {𝑧} → 𝑤 = 𝑧)
176175adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧}) → 𝑤 = 𝑧)
177145adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧}) → 𝑧 ∈ ℂ)
178176, 177eqeltrd 2859 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧}) → 𝑤 ∈ ℂ)
179178adantlr 705 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧}) → 𝑤 ∈ ℂ)
180144, 96sseldd 3822 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ ℂ)
181180adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ ℂ)
182 simprr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})
183 velsn 4414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↔ 𝑧 = (𝑃 − 1))
184182, 183sylnib 320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ¬ 𝑧 = (𝑃 − 1))
185 biorf 923 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑧 = (𝑃 − 1) → (𝑧 = 1 ↔ (𝑧 = (𝑃 − 1) ∨ 𝑧 = 1)))
186184, 185syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑧 = 1 ↔ (𝑧 = (𝑃 − 1) ∨ 𝑧 = 1)))
187 ovex 6954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ V
188187elsn 4413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧} ↔ ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑧)
189 eqcom 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑧𝑧 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
190188, 189bitri 267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧} ↔ 𝑧 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
191 orcom 859 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 = (𝑃 − 1) ∨ 𝑧 = 1) ↔ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = (𝑃 − 1)))
192157, 190, 1913bitr4g 306 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧} ↔ (𝑧 = (𝑃 − 1) ∨ 𝑧 = 1)))
193186, 192bitr4d 274 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑧 = 1 ↔ ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧}))
194193necon3abid 3005 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑧 ≠ 1 ↔ ¬ ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧}))
195194biimpa 470 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → ¬ ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧})
196 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → 𝑤 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
19739, 61, 172, 174, 179, 181, 195, 181, 196gsumunsn 18745 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → (𝑇 Σg (𝑤 ∈ ({𝑧} ∪ {((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ↦ 𝑤)) = ((𝑇 Σg (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤)) · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
198171, 197syl5eq 2826 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → (𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = ((𝑇 Σg (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤)) · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
199148adantr 474 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → (𝑇 Σg (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤)) = 𝑧)
200199oveq1d 6937 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → ((𝑇 Σg (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤)) · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) = (𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
201198, 200eqtrd 2814 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → (𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = (𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
202201oveq1d 6937 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → ((𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) mod 𝑃) = ((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
203155, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑧 ∈ ℤ)
20422adantr 474 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑃 ∈ ℕ)
205 fzm1ndvds 15451 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃𝑧)
206204, 155, 205syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ¬ 𝑃𝑧)
207 eqid 2778 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)
208207prmdiv 15894 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝑧) → (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) − 1)))
209154, 203, 206, 208syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) − 1)))
210209simprd 491 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑃 ∥ ((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) − 1))
211 elfznn 12687 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑧 ∈ ℕ)
212155, 211syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑧 ∈ ℕ)
213130, 96sseldd 3822 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)))
214 elfznn 12687 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) → ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ ℕ)
215213, 214syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ ℕ)
216212, 215nnmulcld 11428 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) ∈ ℕ)
217216nnzd 11833 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) ∈ ℤ)
218 1zzd 11760 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 1 ∈ ℤ)
219 moddvds 15398 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) − 1)))
220204, 217, 218, 219syl3anc 1439 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) − 1)))
221210, 220mpbird 249 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
222221adantr 474 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → ((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
223202, 222eqtrd 2814 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → ((𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
224166, 223pm2.61dane 3057 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
225 modmul1 13042 . . . . . . 7 ((((𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ ((𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → (((𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) · (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) mod 𝑃) = ((1 · (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) mod 𝑃))
226128, 129, 141, 142, 224, 225syl221anc 1449 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (((𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) · (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) mod 𝑃) = ((1 · (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) mod 𝑃))
227141zcnd 11835 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) ∈ ℂ)
228227mulid2d 10395 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (1 · (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) = (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))))
229228oveq1d 6937 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((1 · (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) mod 𝑃) = ((𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) mod 𝑃))
230 sseqin2 4040 . . . . . . . . . . 11 ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ⊆ 𝑆 ↔ (𝑆 ∩ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) = {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
23198, 230sylib 210 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑆 ∩ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) = {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
232 vex 3401 . . . . . . . . . . . 12 𝑧 ∈ V
233232prnz 4543 . . . . . . . . . . 11 {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ≠ ∅
234233a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ≠ ∅)
235231, 234eqnetrd 3036 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑆 ∩ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ≠ ∅)
236 disj4 4251 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∩ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) = ∅ ↔ ¬ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊊ 𝑆)
237236necon2abii 3019 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊊ 𝑆 ↔ (𝑆 ∩ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ≠ ∅)
238235, 237sylibr 226 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊊ 𝑆)
239 psseq1 3916 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → (𝑠𝑆 ↔ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊊ 𝑆))
240 reseq2 5637 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → ( I ↾ 𝑠) = ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))
241240oveq2d 6938 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → (𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) = (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))))
242241oveq1d 6937 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = ((𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) mod 𝑃))
243242eqeq1d 2780 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → (((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ↔ ((𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
244239, 243imbi12d 336 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → ((𝑠𝑆 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) ↔ ((𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊊ 𝑆 → ((𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))))
245 wilthlem2.r . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑠𝐴 (𝑠𝑆 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
246245adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ∀𝑠𝐴 (𝑠𝑆 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
247 ovex 6954 . . . . . . . . . . . 12 (1...(𝑃 − 1)) ∈ V
248247elpw2 5062 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊆ (1...(𝑃 − 1)))
249131, 248sylibr 226 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)))
25011adantr 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) ∈ 𝑆)
251 eqcom 2785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (𝑃 − 1) ↔ (𝑃 − 1) = 𝑧)
252183, 251bitri 267 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↔ (𝑃 − 1) = 𝑧)
253182, 252sylnib 320 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ¬ (𝑃 − 1) = 𝑧)
254 oveq1 6929 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 − 1) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → ((𝑃 − 1)↑(𝑃 − 2)) = (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)))
255254oveq1d 6937 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 − 1) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → (((𝑃 − 1)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
256204, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
257 nn0uz 12028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 = (ℤ‘0)
258256, 257syl6eleq 2869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) ∈ (ℤ‘0))
259 eluzfz2 12666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃 − 1) ∈ (ℤ‘0) → (𝑃 − 1) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
260258, 259syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
261 prmz 15794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
262154, 261syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑃 ∈ ℤ)
263121, 250sseldd 3822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
264 1z 11759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ ℤ
265 zsubcl 11771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑃 − 1) − 1) ∈ ℤ)
266263, 264, 265sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 − 1) − 1) ∈ ℤ)
267 dvdsmul1 15410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) − 1) ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ (𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)))
268262, 266, 267syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑃 ∥ (𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)))
269204nncnd 11392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑃 ∈ ℂ)
27024a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 1 ∈ ℂ)
271256nn0cnd 11704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
272269, 270, 271subdird 10832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 − 1) · (𝑃 − 1)) = ((𝑃 · (𝑃 − 1)) − (1 · (𝑃 − 1))))
273269, 271mulcld 10397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 · (𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
274273, 269, 270subsubd 10762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 · (𝑃 − 1)) − (𝑃 − 1)) = (((𝑃 · (𝑃 − 1)) − 𝑃) + 1))
275271mulid2d 10395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (1 · (𝑃 − 1)) = (𝑃 − 1))
276275oveq2d 6938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 · (𝑃 − 1)) − (1 · (𝑃 − 1))) = ((𝑃 · (𝑃 − 1)) − (𝑃 − 1)))
277269, 271, 270subdid 10831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)) = ((𝑃 · (𝑃 − 1)) − (𝑃 · 1)))
278269mulid1d 10394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 · 1) = 𝑃)
279278oveq2d 6938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 · (𝑃 − 1)) − (𝑃 · 1)) = ((𝑃 · (𝑃 − 1)) − 𝑃))
280277, 279eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)) = ((𝑃 · (𝑃 − 1)) − 𝑃))
281280oveq1d 6937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)) + 1) = (((𝑃 · (𝑃 − 1)) − 𝑃) + 1))
282274, 276, 2813eqtr4d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 · (𝑃 − 1)) − (1 · (𝑃 − 1))) = ((𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)) + 1))
283272, 282eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 − 1) · (𝑃 − 1)) = ((𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)) + 1))
284283oveq1d 6937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (((𝑃 − 1) · (𝑃 − 1)) − 1) = (((𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)) + 1) − 1))
285266zcnd 11835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 − 1) − 1) ∈ ℂ)
286269, 285mulcld 10397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)) ∈ ℂ)
287 pncan 10628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)) + 1) − 1) = (𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)))
288286, 24, 287sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (((𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)) + 1) − 1) = (𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)))
289284, 288eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (((𝑃 − 1) · (𝑃 − 1)) − 1) = (𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)))
290268, 289breqtrrd 4914 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑃 ∥ (((𝑃 − 1) · (𝑃 − 1)) − 1))
291130, 250sseldd 3822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) ∈ (1...(𝑃 − 1)))
292 fzm1ndvds 15451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 − 1) ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑃 − 1))
293204, 291, 292syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑃 − 1))
294 eqid 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃 − 1)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = (((𝑃 − 1)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)
295294prmdiveq 15895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ (𝑃 − 1)) → (((𝑃 − 1) ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ (((𝑃 − 1) · (𝑃 − 1)) − 1)) ↔ (𝑃 − 1) = (((𝑃 − 1)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
296154, 263, 293, 295syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (((𝑃 − 1) ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ (((𝑃 − 1) · (𝑃 − 1)) − 1)) ↔ (𝑃 − 1) = (((𝑃 − 1)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
297260, 290, 296mpbi2and 702 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) = (((𝑃 − 1)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
298207prmdivdiv 15896 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑧 = ((((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
299154, 155, 298syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑧 = ((((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
300297, 299eqeq12d 2793 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 − 1) = 𝑧 ↔ (((𝑃 − 1)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
301255, 300syl5ibr 238 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 − 1) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → (𝑃 − 1) = 𝑧))
302253, 301mtod 190 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ¬ (𝑃 − 1) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
303 ioran 969 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ ((𝑃 − 1) = 𝑧 ∨ (𝑃 − 1) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) ↔ (¬ (𝑃 − 1) = 𝑧 ∧ ¬ (𝑃 − 1) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
304253, 302, 303sylanbrc 578 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ¬ ((𝑃 − 1) = 𝑧 ∨ (𝑃 − 1) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
305 ovex 6954 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 − 1) ∈ V
306305elpr 4421 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 − 1) ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ↔ ((𝑃 − 1) = 𝑧 ∨ (𝑃 − 1) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
307304, 306sylnibr 321 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ¬ (𝑃 − 1) ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
308250, 307eldifd 3803 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
309 eldifi 3955 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → 𝑦𝑆)
31095r19.21bi 3114 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦𝑆) → ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆)
311309, 310sylan2 586 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) → ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆)
312 eldif 3802 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ↔ (𝑦𝑆 ∧ ¬ 𝑦 ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
313154adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑃 ∈ ℙ)
314130sselda 3821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦 ∈ (1...(𝑃 − 1)))
315 eqid 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)
316315prmdivdiv 15896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑦 = ((((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
317313, 314, 316syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦 = ((((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
318 oveq1 6929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑧 → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) = (𝑧↑(𝑃 − 2)))
319318oveq1d 6937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑧 → ((((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
320319eqeq2d 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑧 → (𝑦 = ((((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ↔ 𝑦 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
321317, 320syl5ibcom 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦𝑆) → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑧𝑦 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
322 oveq1 6929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) = (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)))
323322oveq1d 6937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → ((((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
324299adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑧 = ((((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
325317, 324eqeq12d 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑦 = 𝑧 ↔ ((((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
326323, 325syl5ibr 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦𝑆) → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → 𝑦 = 𝑧))
327321, 326orim12d 950 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦𝑆) → ((((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑧 ∨ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) → (𝑦 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∨ 𝑦 = 𝑧)))
328 ovex 6954 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ V
329328elpr 4421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ↔ (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑧 ∨ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
330 vex 3401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑦 ∈ V
331330elpr 4421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ↔ (𝑦 = 𝑧𝑦 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
332 orcom 859 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 = 𝑧𝑦 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) ↔ (𝑦 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∨ 𝑦 = 𝑧))
333331, 332bitri 267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ↔ (𝑦 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∨ 𝑦 = 𝑧))
334327, 329, 3333imtr4g 288 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦𝑆) → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} → 𝑦 ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
335334con3d 150 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦𝑆) → (¬ 𝑦 ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} → ¬ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
336335impr 448 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ (𝑦𝑆 ∧ ¬ 𝑦 ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) → ¬ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
337312, 336sylan2b 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) → ¬ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
338311, 337eldifd 3803 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) → ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
339338ralrimiva 3148 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ∀𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
340308, 339jca 507 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 − 1) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))
341 eleq2 2848 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → ((𝑃 − 1) ∈ 𝑥 ↔ (𝑃 − 1) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))
342 eleq2 2848 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥 ↔ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))
343342raleqbi1dv 3328 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → (∀𝑦𝑥 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))
344341, 343anbi12d 624 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → (((𝑃 − 1) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥) ↔ ((𝑃 − 1) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))))
345344, 7elrab2 3576 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑃 − 1) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))))
346249, 340, 345sylanbrc 578 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∈ 𝐴)
347244, 246, 346rspcdva 3517 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊊ 𝑆 → ((𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
348238, 347mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
349229, 348eqtrd 2814 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((1 · (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
350112, 226, 3493eqtrd 2818 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑆)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
351350ex 403 . . . 4 (𝜑 → ((𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)}) → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑆)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
352351exlimdv 1976 . . 3 (𝜑 → (∃𝑧(𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)}) → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑆)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
35357, 352syl5bi 234 . 2 (𝜑 → (¬ 𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)} → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑆)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
35456, 353pm2.61d 172 1 (𝜑 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑆)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386  wo 836   = wceq 1601  wex 1823  wcel 2107  wne 2969  wral 3090  {crab 3094  Vcvv 3398  cdif 3789  cun 3790  cin 3791  wss 3792  wpss 3793  c0 4141  𝒫 cpw 4379  {csn 4398  {cpr 4400   class class class wbr 4886  cmpt 4965   I cid 5260  cres 5357  wf 6131  1-1-ontowf1o 6134  cfv 6135  (class class class)co 6922  Fincfn 8241   finSupp cfsupp 8563  cc 10270  cr 10271  0cc0 10272  1c1 10273   + caddc 10275   · cmul 10277  cmin 10606  -cneg 10607  cn 11374  2c2 11430  0cn0 11642  cz 11728  cuz 11992  +crp 12137  ...cfz 12643   mod cmo 12987  cexp 13178  cdvds 15387  cprime 15790   Σg cgsu 16487  Mndcmnd 17680  SubMndcsubmnd 17720  CMndccmn 18579  mulGrpcmgp 18876  Ringcrg 18934  CRingccrg 18935  SubRingcsubrg 19168  fldccnfld 20142
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-xnn0 11715  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-rp 12138  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-mod 12988  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-dvds 15388  df-gcd 15623  df-prm 15791  df-phi 15875  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-mulg 17928  df-subg 17975  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-cring 18937  df-subrg 19170  df-cnfld 20143
This theorem is referenced by:  wilthlem3  25248
  Copyright terms: Public domain W3C validator