Theorem wilthlem2 25247

Description: Lemma for wilth 25249: induction step. The "hand proof" version of this theorem works by writing out the list of all numbers from 1 to 𝑃 − 1 in pairs such that a number is paired with its inverse. Every number has a unique inverse different from itself except 1 and 𝑃 − 1, and so each pair multiplies to 1, and 1 and 𝑃 − 1≡-1 multiply to -1, so the full product is equal to -1. Here we make this precise by doing the product pair by pair.

The induction hypothesis says that every subset 𝑆 of 1...(𝑃 − 1) that is closed under inverse (i.e. all pairs are matched up) and contains 𝑃 − 1 multiplies to -1 mod 𝑃. Given such a set, we take out one element 𝑧 ≠ 𝑃 − 1. If there are no such elements, then 𝑆 = {𝑃 − 1} which forms the base case. Otherwise, 𝑆 ∖ {𝑧, 𝑧↑-1} is also closed under inverse and contains 𝑃 − 1, so the induction hypothesis says that this equals -1; and the remaining two elements are either equal to each other, in which case wilthlem1 25246 gives that 𝑧 = 1 or 𝑃 − 1, and we've already excluded the second case, so the product gives 1; or 𝑧 ≠ 𝑧↑-1 and their product is 1. In either case the accumulated product is unaffected. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
wilthlem.t	⊢ 𝑇 = (mulGrp‘ℂfld)
wilthlem.a	⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)) ∣ ((𝑃 − 1) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥)}
wilthlem2.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
wilthlem2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐴)
wilthlem2.r	⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝐴 (𝑠 ⊊ 𝑆 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))

Assertion

Ref	Expression
wilthlem2	⊢ (𝜑 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑆)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑠,𝑦,𝐴   𝑃,𝑠,𝑥,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑆,𝑠,𝑥,𝑦   𝑇,𝑠,𝑥,𝑦

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑠)

Proof of Theorem wilthlem2

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → 𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)})
2		wilthlem2.s	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐴)
3		eleq2 2848	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → ((𝑃 − 1) ∈ 𝑥 ↔ (𝑃 − 1) ∈ 𝑆))
4		eleq2 2848	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥 ↔ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆))
5	4	raleqbi1dv 3328	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → (∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆))
6	3, 5	anbi12d 624	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → (((𝑃 − 1) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥) ↔ ((𝑃 − 1) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆)))
7		wilthlem.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)) ∣ ((𝑃 − 1) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥)}
8	6, 7	elrab2 3576	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑃 − 1) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆)))
9	2, 8	sylib 210	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑃 − 1) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆)))
10	9	simprd 491	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆))
11	10	simpld 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ 𝑆)
12	11	snssd 4571	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {(𝑃 − 1)} ⊆ 𝑆)
13	12	adantr 474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → {(𝑃 − 1)} ⊆ 𝑆)
14	1, 13	eqssd 3838	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → 𝑆 = {(𝑃 − 1)})
15	14	reseq2d 5642	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → ( I ↾ 𝑆) = ( I ↾ {(𝑃 − 1)}))
16		mptresid 5712	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧) = ( I ↾ {(𝑃 − 1)})
17	15, 16	syl6eqr 2832	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → ( I ↾ 𝑆) = (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧))
18	17	oveq2d 6938	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → (𝑇 Σg ( I ↾ 𝑆)) = (𝑇 Σg (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧)))
19	18	oveq1d 6937	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑆)) mod 𝑃) = ((𝑇 Σg (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧)) mod 𝑃))
20		wilthlem2.p	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
21		prmnn 15793	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
23	22	nncnd 11392	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
24		ax-1cn 10330	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
25		negsub 10671	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑃 + -1) = (𝑃 − 1))
26	23, 24, 25	sylancl 580	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 + -1) = (𝑃 − 1))
27		neg1cn 11496	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℂ
28		addcom 10562	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (𝑃 + -1) = (-1 + 𝑃))
29	23, 27, 28	sylancl 580	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 + -1) = (-1 + 𝑃))
30	26, 29	eqtr3d 2816	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) = (-1 + 𝑃))
31		cnring 20164	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂfld ∈ Ring
32		wilthlem.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 = (mulGrp‘ℂfld)
33	32	ringmgp 18940	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → 𝑇 ∈ Mnd)
34	31, 33	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Mnd)
35		nnm1nn0 11685	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
36	22, 35	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
37	36	nn0cnd 11704	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
38		cnfldbas 20146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
39	32, 38	mgpbas 18882	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ = (Base‘𝑇)
40		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝑃 − 1) → 𝑧 = (𝑃 − 1))
41	39, 40	gsumsn 18740	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ Mnd ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℂ) → (𝑇 Σg (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧)) = (𝑃 − 1))
42	34, 37, 37, 41	syl3anc 1439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑇 Σg (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧)) = (𝑃 − 1))
43	23	mulid2d 10395	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝑃) = 𝑃)
44	43	oveq2d 6938	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (-1 + (1 · 𝑃)) = (-1 + 𝑃))
45	30, 42, 44	3eqtr4d 2824	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑇 Σg (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧)) = (-1 + (1 · 𝑃)))
46	45	oveq1d 6937	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 Σg (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧)) mod 𝑃) = ((-1 + (1 · 𝑃)) mod 𝑃))
47		neg1rr 11497	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℝ
48	47	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
49	22	nnrpd 12179	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ+)
50		1zzd 11760	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
51		modcyc 13024	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-1 + (1 · 𝑃)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
52	48, 49, 50, 51	syl3anc 1439	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((-1 + (1 · 𝑃)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
53	46, 52	eqtrd 2814	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 Σg (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
54	53	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → ((𝑇 Σg (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↦ 𝑧)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
55	19, 54	eqtrd 2814	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)}) → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑆)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
56	55	ex 403	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)} → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑆)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
57		nss 3882	. . 3 ⊢ (¬ 𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)} ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)}))
58		cnfld1 20167	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
59	32, 58	ringidval 18890	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (0g‘𝑇)
60		cnfldmul 20148	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
61	32, 60	mgpplusg 18880	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (+g‘𝑇)
62		cncrng 20163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂfld ∈ CRing
63	32	crngmgp 18942	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂfld ∈ CRing → 𝑇 ∈ CMnd)
64	62, 63	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 ∈ CMnd
65	64	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑇 ∈ CMnd)
66	2	adantr 474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑆 ∈ 𝐴)
67		f1oi 6428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( I ↾ 𝑆):𝑆–1-1-onto→𝑆
68		f1of 6391	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( I ↾ 𝑆):𝑆–1-1-onto→𝑆 → ( I ↾ 𝑆):𝑆⟶𝑆)
69	67, 68	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( I ↾ 𝑆):𝑆⟶𝑆
70	9	simpld 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)))
71	70	elpwid 4391	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (1...(𝑃 − 1)))
72		elfzelz 12659	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑧 ∈ ℤ)
73	72	ssriv 3825	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1...(𝑃 − 1)) ⊆ ℤ
74	71, 73	syl6ss 3833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℤ)
75		zsscn 11736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
76	74, 75	syl6ss 3833	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
77		fss 6304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((( I ↾ 𝑆):𝑆⟶𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → ( I ↾ 𝑆):𝑆⟶ℂ)
78	69, 76, 77	sylancr 581	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝑆):𝑆⟶ℂ)
79	78	adantr 474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ( I ↾ 𝑆):𝑆⟶ℂ)
80		fzfi 13090	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1...(𝑃 − 1)) ∈ Fin
81		ssfi 8468	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1...(𝑃 − 1)) ∈ Fin ∧ 𝑆 ⊆ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑆 ∈ Fin)
82	80, 71, 81	sylancr 581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
83		1ex 10372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ V
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ V)
85	78, 82, 84	fdmfifsupp 8573	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝑆) finSupp 1)
86	85	adantr 474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ( I ↾ 𝑆) finSupp 1)
87		disjdif 4264	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∩ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = ∅
88	87	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∩ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = ∅)
89		undif2 4268	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∪ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∪ 𝑆)
90		simprl 761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑧 ∈ 𝑆)
91		oveq1 6929	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦↑(𝑃 − 2)) = (𝑧↑(𝑃 − 2)))
92	91	oveq1d 6937	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
93	92	eleq1d 2844	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆))
94	10	simprd 491	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆)
95	94	adantr 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆)
96	93, 95, 90	rspcdva 3517	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆)
97		prssi 4583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆) → {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ⊆ 𝑆)
98	90, 96, 97	syl2anc 579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ⊆ 𝑆)
99		ssequn1 4006	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ⊆ 𝑆 ↔ ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∪ 𝑆) = 𝑆)
100	98, 99	sylib 210	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∪ 𝑆) = 𝑆)
101	89, 100	syl5req 2827	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑆 = ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∪ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))
102	39, 59, 61, 65, 66, 79, 86, 88, 101	gsumsplit 18714	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σg ( I ↾ 𝑆)) = ((𝑇 Σg (( I ↾ 𝑆) ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) · (𝑇 Σg (( I ↾ 𝑆) ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))))
103	98	resabs1d 5677	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (( I ↾ 𝑆) ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) = ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
104	103	oveq2d 6938	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σg (( I ↾ 𝑆) ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = (𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))
105		difss 3960	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊆ 𝑆
106		resabs1 5676	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊆ 𝑆 → (( I ↾ 𝑆) ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))
107	105, 106	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( I ↾ 𝑆) ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
108	107	oveq2i 6933	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 Σg (( I ↾ 𝑆) ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) = (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))
109	108	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σg (( I ↾ 𝑆) ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) = (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))))
110	104, 109	oveq12d 6940	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑇 Σg (( I ↾ 𝑆) ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) · (𝑇 Σg (( I ↾ 𝑆) ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) = ((𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) · (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))))
111	102, 110	eqtrd 2814	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σg ( I ↾ 𝑆)) = ((𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) · (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))))
112	111	oveq1d 6937	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑆)) mod 𝑃) = (((𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) · (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) mod 𝑃))
113		prfi 8523	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∈ Fin
114	113	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∈ Fin)
115		zsubrg 20195	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
116	32	subrgsubm 19185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubMnd‘𝑇))
117	115, 116	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ℤ ∈ (SubMnd‘𝑇))
118		f1oi 6428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}):{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}–1-1-onto→{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}
119		f1of 6391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}):{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}–1-1-onto→{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} → ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}):{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}⟶{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
120	118, 119	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}):{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}⟶{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}
121	74	adantr 474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑆 ⊆ ℤ)
122	98, 121	sstrd 3831	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ⊆ ℤ)
123		fss 6304	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}):{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}⟶{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ∧ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ⊆ ℤ) → ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}):{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}⟶ℤ)
124	120, 122, 123	sylancr 581	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}):{𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}⟶ℤ)
125	83	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 1 ∈ V)
126	124, 114, 125	fdmfifsupp 8573	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) finSupp 1)
127	59, 65, 114, 117, 124, 126	gsumsubmcl 18705	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) ∈ ℤ)
128	127	zred 11834	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) ∈ ℝ)
129		1red 10377	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 1 ∈ ℝ)
130	71	adantr 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑆 ⊆ (1...(𝑃 − 1)))
131	130	ssdifssd 3971	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊆ (1...(𝑃 − 1)))
132		ssfi 8468	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1...(𝑃 − 1)) ∈ Fin ∧ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊆ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∈ Fin)
133	80, 131, 132	sylancr 581	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∈ Fin)
134		f1oi 6428	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})):(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})–1-1-onto→(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
135		f1of 6391	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})):(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})–1-1-onto→(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})):(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})⟶(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
136	134, 135	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})):(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})⟶(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
137	121	ssdifssd 3971	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊆ ℤ)
138		fss 6304	. . . . . . . . 9 ⊢ ((( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})):(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})⟶(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∧ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊆ ℤ) → ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})):(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})⟶ℤ)
139	136, 137, 138	sylancr 581	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})):(𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})⟶ℤ)
140	139, 133, 125	fdmfifsupp 8573	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) finSupp 1)
141	59, 65, 133, 117, 139, 140	gsumsubmcl 18705	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) ∈ ℤ)
142	49	adantr 474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑃 ∈ ℝ+)
143	34	adantr 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑇 ∈ Mnd)
144	76	adantr 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑆 ⊆ ℂ)
145	144, 90	sseldd 3822	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑧 ∈ ℂ)
146		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → 𝑤 = 𝑧)
147	39, 146	gsumsn 18740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑇 Σg (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤)) = 𝑧)
148	143, 145, 145, 147	syl3anc 1439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σg (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤)) = 𝑧)
149	148	adantr 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → (𝑇 Σg (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤)) = 𝑧)
150		mptresid 5712	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤) = ( I ↾ {𝑧})
151		dfsn2 4411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑧} = {𝑧, 𝑧}
152		simpr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → 𝑧 = 1)
153	152	orcd 862	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = (𝑃 − 1)))
154	20	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑃 ∈ ℙ)
155	130, 90	sseldd 3822	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑧 ∈ (1...(𝑃 − 1)))
156		wilthlem1 25246	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑧 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ↔ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = (𝑃 − 1))))
157	154, 155, 156	syl2anc 579	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑧 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ↔ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = (𝑃 − 1))))
158	157	biimpar 471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = (𝑃 − 1))) → 𝑧 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
159	153, 158	syldan 585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → 𝑧 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
160	159	preq2d 4507	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → {𝑧, 𝑧} = {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
161	151, 160	syl5eq 2826	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → {𝑧} = {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
162	161	reseq2d 5642	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → ( I ↾ {𝑧}) = ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
163	150, 162	syl5eq 2826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤) = ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
164	163	oveq2d 6938	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → (𝑇 Σg (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤)) = (𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))
165	149, 164, 152	3eqtr3d 2822	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → (𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = 1)
166	165	oveq1d 6937	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 = 1) → ((𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
167		df-pr 4401	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} = ({𝑧} ∪ {((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
168	167	reseq2i 5639	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) = ( I ↾ ({𝑧} ∪ {((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
169		mptresid 5712	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ ({𝑧} ∪ {((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ↦ 𝑤) = ( I ↾ ({𝑧} ∪ {((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
170	168, 169	eqtr4i 2805	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) = (𝑤 ∈ ({𝑧} ∪ {((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ↦ 𝑤)
171	170	oveq2i 6933	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = (𝑇 Σg (𝑤 ∈ ({𝑧} ∪ {((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ↦ 𝑤))
172	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → 𝑇 ∈ CMnd)
173		snfi 8326	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑧} ∈ Fin
174	173	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → {𝑧} ∈ Fin)
175		elsni 4415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑧} → 𝑤 = 𝑧)
176	175	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧}) → 𝑤 = 𝑧)
177	145	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧}) → 𝑧 ∈ ℂ)
178	176, 177	eqeltrd 2859	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧}) → 𝑤 ∈ ℂ)
179	178	adantlr 705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧}) → 𝑤 ∈ ℂ)
180	144, 96	sseldd 3822	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ ℂ)
181	180	adantr 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ ℂ)
182		simprr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})
183		velsn 4414	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↔ 𝑧 = (𝑃 − 1))
184	182, 183	sylnib 320	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ¬ 𝑧 = (𝑃 − 1))
185		biorf 923	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑧 = (𝑃 − 1) → (𝑧 = 1 ↔ (𝑧 = (𝑃 − 1) ∨ 𝑧 = 1)))
186	184, 185	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑧 = 1 ↔ (𝑧 = (𝑃 − 1) ∨ 𝑧 = 1)))
187		ovex 6954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ V
188	187	elsn 4413	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧} ↔ ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑧)
189		eqcom 2785	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑧 ↔ 𝑧 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
190	188, 189	bitri 267	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧} ↔ 𝑧 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
191		orcom 859	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 = (𝑃 − 1) ∨ 𝑧 = 1) ↔ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = (𝑃 − 1)))
192	157, 190, 191	3bitr4g 306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧} ↔ (𝑧 = (𝑃 − 1) ∨ 𝑧 = 1)))
193	186, 192	bitr4d 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑧 = 1 ↔ ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧}))
194	193	necon3abid 3005	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑧 ≠ 1 ↔ ¬ ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧}))
195	194	biimpa 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → ¬ ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧})
196		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → 𝑤 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
197	39, 61, 172, 174, 179, 181, 195, 181, 196	gsumunsn 18745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → (𝑇 Σg (𝑤 ∈ ({𝑧} ∪ {((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ↦ 𝑤)) = ((𝑇 Σg (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤)) · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
198	171, 197	syl5eq 2826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → (𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = ((𝑇 Σg (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤)) · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
199	148	adantr 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → (𝑇 Σg (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤)) = 𝑧)
200	199	oveq1d 6937	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → ((𝑇 Σg (𝑤 ∈ {𝑧} ↦ 𝑤)) · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) = (𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
201	198, 200	eqtrd 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → (𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) = (𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
202	201	oveq1d 6937	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → ((𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) mod 𝑃) = ((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
203	155, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑧 ∈ ℤ)
204	22	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑃 ∈ ℕ)
205		fzm1ndvds 15451	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑧)
206	204, 155, 205	syl2anc 579	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑧)
207		eqid 2778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)
208	207	prmdiv 15894	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑧) → (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) − 1)))
209	154, 203, 206, 208	syl3anc 1439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) − 1)))
210	209	simprd 491	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑃 ∥ ((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) − 1))
211		elfznn 12687	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑧 ∈ ℕ)
212	155, 211	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑧 ∈ ℕ)
213	130, 96	sseldd 3822	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)))
214		elfznn 12687	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) → ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ ℕ)
215	213, 214	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ ℕ)
216	212, 215	nnmulcld 11428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) ∈ ℕ)
217	216	nnzd 11833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) ∈ ℤ)
218		1zzd 11760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 1 ∈ ℤ)
219		moddvds 15398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) − 1)))
220	204, 217, 218, 219	syl3anc 1439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) − 1)))
221	210, 220	mpbird 249	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
222	221	adantr 474	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → ((𝑧 · ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
223	202, 222	eqtrd 2814	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑧 ≠ 1) → ((𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
224	166, 223	pm2.61dane 3057	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
225		modmul1 13042	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ ((𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → (((𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) · (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) mod 𝑃) = ((1 · (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) mod 𝑃))
226	128, 129, 141, 142, 224, 225	syl221anc 1449	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (((𝑇 Σg ( I ↾ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) · (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) mod 𝑃) = ((1 · (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) mod 𝑃))
227	141	zcnd 11835	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) ∈ ℂ)
228	227	mulid2d 10395	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (1 · (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) = (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))))
229	228	oveq1d 6937	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((1 · (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) mod 𝑃) = ((𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) mod 𝑃))
230		sseqin2 4040	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ⊆ 𝑆 ↔ (𝑆 ∩ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) = {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
231	98, 230	sylib 210	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑆 ∩ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) = {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
232		vex 3401	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑧 ∈ V
233	232	prnz 4543	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ≠ ∅
234	233	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ≠ ∅)
235	231, 234	eqnetrd 3036	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑆 ∩ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ≠ ∅)
236		disj4 4251	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∩ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) = ∅ ↔ ¬ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊊ 𝑆)
237	236	necon2abii 3019	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊊ 𝑆 ↔ (𝑆 ∩ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ≠ ∅)
238	235, 237	sylibr 226	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊊ 𝑆)
239		psseq1 3916	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → (𝑠 ⊊ 𝑆 ↔ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊊ 𝑆))
240		reseq2 5637	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → ( I ↾ 𝑠) = ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))
241	240	oveq2d 6938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → (𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) = (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))))
242	241	oveq1d 6937	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = ((𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) mod 𝑃))
243	242	eqeq1d 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → (((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ↔ ((𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
244	239, 243	imbi12d 336	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → ((𝑠 ⊊ 𝑆 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) ↔ ((𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊊ 𝑆 → ((𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))))
245		wilthlem2.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝐴 (𝑠 ⊊ 𝑆 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
246	245	adantr 474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ∀𝑠 ∈ 𝐴 (𝑠 ⊊ 𝑆 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
247		ovex 6954	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1...(𝑃 − 1)) ∈ V
248	247	elpw2 5062	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊆ (1...(𝑃 − 1)))
249	131, 248	sylibr 226	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)))
250	11	adantr 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) ∈ 𝑆)
251		eqcom 2785	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = (𝑃 − 1) ↔ (𝑃 − 1) = 𝑧)
252	183, 251	bitri 267	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)} ↔ (𝑃 − 1) = 𝑧)
253	182, 252	sylnib 320	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ¬ (𝑃 − 1) = 𝑧)
254		oveq1 6929	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 − 1) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → ((𝑃 − 1)↑(𝑃 − 2)) = (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)))
255	254	oveq1d 6937	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 − 1) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → (((𝑃 − 1)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
256	204, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
257		nn0uz 12028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
258	256, 257	syl6eleq 2869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
259		eluzfz2 12666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 − 1) ∈ (ℤ≥‘0) → (𝑃 − 1) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
260	258, 259	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
261		prmz 15794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
262	154, 261	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑃 ∈ ℤ)
263	121, 250	sseldd 3822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
264		1z 11759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 1 ∈ ℤ
265		zsubcl 11771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑃 − 1) − 1) ∈ ℤ)
266	263, 264, 265	sylancl 580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 − 1) − 1) ∈ ℤ)
267		dvdsmul1 15410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) − 1) ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ (𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)))
268	262, 266, 267	syl2anc 579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑃 ∥ (𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)))
269	204	nncnd 11392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑃 ∈ ℂ)
270	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 1 ∈ ℂ)
271	256	nn0cnd 11704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
272	269, 270, 271	subdird 10832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 − 1) · (𝑃 − 1)) = ((𝑃 · (𝑃 − 1)) − (1 · (𝑃 − 1))))
273	269, 271	mulcld 10397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 · (𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
274	273, 269, 270	subsubd 10762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 · (𝑃 − 1)) − (𝑃 − 1)) = (((𝑃 · (𝑃 − 1)) − 𝑃) + 1))
275	271	mulid2d 10395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (1 · (𝑃 − 1)) = (𝑃 − 1))
276	275	oveq2d 6938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 · (𝑃 − 1)) − (1 · (𝑃 − 1))) = ((𝑃 · (𝑃 − 1)) − (𝑃 − 1)))
277	269, 271, 270	subdid 10831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)) = ((𝑃 · (𝑃 − 1)) − (𝑃 · 1)))
278	269	mulid1d 10394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 · 1) = 𝑃)
279	278	oveq2d 6938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 · (𝑃 − 1)) − (𝑃 · 1)) = ((𝑃 · (𝑃 − 1)) − 𝑃))
280	277, 279	eqtrd 2814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)) = ((𝑃 · (𝑃 − 1)) − 𝑃))
281	280	oveq1d 6937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)) + 1) = (((𝑃 · (𝑃 − 1)) − 𝑃) + 1))
282	274, 276, 281	3eqtr4d 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 · (𝑃 − 1)) − (1 · (𝑃 − 1))) = ((𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)) + 1))
283	272, 282	eqtrd 2814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 − 1) · (𝑃 − 1)) = ((𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)) + 1))
284	283	oveq1d 6937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (((𝑃 − 1) · (𝑃 − 1)) − 1) = (((𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)) + 1) − 1))
285	266	zcnd 11835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 − 1) − 1) ∈ ℂ)
286	269, 285	mulcld 10397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)) ∈ ℂ)
287		pncan 10628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)) + 1) − 1) = (𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)))
288	286, 24, 287	sylancl 580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (((𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)) + 1) − 1) = (𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)))
289	284, 288	eqtrd 2814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (((𝑃 − 1) · (𝑃 − 1)) − 1) = (𝑃 · ((𝑃 − 1) − 1)))
290	268, 289	breqtrrd 4914	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑃 ∥ (((𝑃 − 1) · (𝑃 − 1)) − 1))
291	130, 250	sseldd 3822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) ∈ (1...(𝑃 − 1)))
292		fzm1ndvds 15451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 − 1) ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑃 − 1))
293	204, 291, 292	syl2anc 579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑃 − 1))
294		eqid 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃 − 1)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = (((𝑃 − 1)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)
295	294	prmdiveq 15895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ (𝑃 − 1)) → (((𝑃 − 1) ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ (((𝑃 − 1) · (𝑃 − 1)) − 1)) ↔ (𝑃 − 1) = (((𝑃 − 1)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
296	154, 263, 293, 295	syl3anc 1439	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (((𝑃 − 1) ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ (((𝑃 − 1) · (𝑃 − 1)) − 1)) ↔ (𝑃 − 1) = (((𝑃 − 1)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
297	260, 290, 296	mpbi2and 702	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) = (((𝑃 − 1)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
298	207	prmdivdiv 15896	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑧 = ((((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
299	154, 155, 298	syl2anc 579	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → 𝑧 = ((((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
300	297, 299	eqeq12d 2793	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 − 1) = 𝑧 ↔ (((𝑃 − 1)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
301	255, 300	syl5ibr 238	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 − 1) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → (𝑃 − 1) = 𝑧))
302	253, 301	mtod 190	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ¬ (𝑃 − 1) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
303		ioran 969	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ ((𝑃 − 1) = 𝑧 ∨ (𝑃 − 1) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) ↔ (¬ (𝑃 − 1) = 𝑧 ∧ ¬ (𝑃 − 1) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
304	253, 302, 303	sylanbrc 578	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ¬ ((𝑃 − 1) = 𝑧 ∨ (𝑃 − 1) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
305		ovex 6954	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 − 1) ∈ V
306	305	elpr 4421	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 − 1) ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ↔ ((𝑃 − 1) = 𝑧 ∨ (𝑃 − 1) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
307	304, 306	sylnibr 321	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ¬ (𝑃 − 1) ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
308	250, 307	eldifd 3803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑃 − 1) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
309		eldifi 3955	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → 𝑦 ∈ 𝑆)
310	95	r19.21bi 3114	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆)
311	309, 310	sylan2 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) → ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑆)
312		eldif 3802	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ↔ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑦 ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
313	154	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑃 ∈ ℙ)
314	130	sselda 3821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ (1...(𝑃 − 1)))
315		eqid 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)
316	315	prmdivdiv 15896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑦 = ((((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
317	313, 314, 316	syl2anc 579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 = ((((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
318		oveq1 6929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑧 → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) = (𝑧↑(𝑃 − 2)))
319	318	oveq1d 6937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑧 → ((((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
320	319	eqeq2d 2788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑧 → (𝑦 = ((((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ↔ 𝑦 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
321	317, 320	syl5ibcom 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑧 → 𝑦 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
322		oveq1 6929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) = (((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)))
323	322	oveq1d 6937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → ((((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
324	299	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑧 = ((((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
325	317, 324	eqeq12d 2793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑦 = 𝑧 ↔ ((((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
326	323, 325	syl5ibr 238	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → 𝑦 = 𝑧))
327	321, 326	orim12d 950	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑧 ∨ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) → (𝑦 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∨ 𝑦 = 𝑧)))
328		ovex 6954	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ V
329	328	elpr 4421	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ↔ (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑧 ∨ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
330		vex 3401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑦 ∈ V
331	330	elpr 4421	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ↔ (𝑦 = 𝑧 ∨ 𝑦 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
332		orcom 859	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 = 𝑧 ∨ 𝑦 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) ↔ (𝑦 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∨ 𝑦 = 𝑧))
333	331, 332	bitri 267	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} ↔ (𝑦 = ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∨ 𝑦 = 𝑧))
334	327, 329, 333	3imtr4g 288	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} → 𝑦 ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
335	334	con3d 150	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (¬ 𝑦 ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)} → ¬ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
336	335	impr 448	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑦 ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) → ¬ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
337	312, 336	sylan2b 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) → ¬ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})
338	311, 337	eldifd 3803	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})) → ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
339	338	ralrimiva 3148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ∀𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))
340	308, 339	jca 507	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑃 − 1) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))
341		eleq2 2848	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → ((𝑃 − 1) ∈ 𝑥 ↔ (𝑃 − 1) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))
342		eleq2 2848	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥 ↔ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))
343	342	raleqbi1dv 3328	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → (∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))
344	341, 343	anbi12d 624	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) → (((𝑃 − 1) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥) ↔ ((𝑃 − 1) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))))
345	344, 7	elrab2 3576	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑃 − 1) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))))
346	249, 340, 345	sylanbrc 578	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ∈ 𝐴)
347	244, 246, 346	rspcdva 3517	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}) ⊊ 𝑆 → ((𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
348	238, 347	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)}))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
349	229, 348	eqtrd 2814	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((1 · (𝑇 Σg ( I ↾ (𝑆 ∖ {𝑧, ((𝑧↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)})))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
350	112, 226, 349	3eqtrd 2818	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)})) → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑆)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
351	350	ex 403	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)}) → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑆)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
352	351	exlimdv 1976	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧(𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {(𝑃 − 1)}) → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑆)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
353	57, 352	syl5bi 234	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑆 ⊆ {(𝑃 − 1)} → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑆)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
354	56, 353	pm2.61d 172	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑆)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∨ wo 836   = wceq 1601  ∃wex 1823   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969  ∀wral 3090  {crab 3094  Vcvv 3398   ∖ cdif 3789   ∪ cun 3790   ∩ cin 3791   ⊆ wss 3792   ⊊ wpss 3793  ∅c0 4141  𝒫 cpw 4379  {csn 4398  {cpr 4400   class class class wbr 4886   ↦ cmpt 4965   I cid 5260   ↾ cres 5357  ⟶wf 6131  –1-1-onto→wf1o 6134  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  Fincfn 8241   finSupp cfsupp 8563  ℂcc 10270  ℝcr 10271  0cc0 10272  1c1 10273   + caddc 10275   · cmul 10277   − cmin 10606  -cneg 10607  ℕcn 11374  2c2 11430  ℕ₀cn0 11642  ℤcz 11728  ℤ_≥cuz 11992  ℝ⁺crp 12137  ...cfz 12643   mod cmo 12987  ↑cexp 13178   ∥ cdvds 15387  ℙcprime 15790   Σ_g cgsu 16487  Mndcmnd 17680  SubMndcsubmnd 17720  CMndccmn 18579  mulGrpcmgp 18876  Ringcrg 18934  CRingccrg 18935  SubRingcsubrg 19168  ℂ_fldccnfld 20142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-xnn0 11715  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-rp 12138  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-mod 12988  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-dvds 15388  df-gcd 15623  df-prm 15791  df-phi 15875  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-mulg 17928  df-subg 17975  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-cring 18937  df-subrg 19170  df-cnfld 20143

This theorem is referenced by:  wilthlem3  25248