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Theorem ttukeylem7 10510
Description: Lemma for ttukey 10513. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ttukeylem.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))–1-1-ontoβ†’(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))
ttukeylem.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐴)
ttukeylem.3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) βŠ† 𝐴))
ttukeylem.4 𝐺 = recs((𝑧 ∈ V ↦ if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, if(dom 𝑧 = βˆ…, 𝐡, βˆͺ ran 𝑧), ((π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧) βˆͺ if(((π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ dom 𝑧)}, βˆ…)))))
Assertion
Ref Expression
ttukeylem7 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝐡 βŠ† π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ π‘₯ ⊊ 𝑦))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑧,𝐺   πœ‘,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐴,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐡,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐹,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝐹(𝑦)
Proof of Theorem ttukeylem7
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 6905 . . . 4 (cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡)) ∈ V
21sucid 6447 . . 3 (cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡)) ∈ suc (cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))
3 ttukeylem.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))–1-1-ontoβ†’(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))
4 ttukeylem.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐴)
5 ttukeylem.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) βŠ† 𝐴))
6 ttukeylem.4 . . . 4 𝐺 = recs((𝑧 ∈ V ↦ if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, if(dom 𝑧 = βˆ…, 𝐡, βˆͺ ran 𝑧), ((π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧) βˆͺ if(((π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ dom 𝑧)}, βˆ…)))))
73, 4, 5, 6ttukeylem6 10509 . . 3 ((πœ‘ ∧ (cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡)) ∈ suc (cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) β†’ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) ∈ 𝐴)
82, 7mpan2 690 . 2 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) ∈ 𝐴)
93, 4, 5, 6ttukeylem4 10507 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜βˆ…) = 𝐡)
10 0elon 6419 . . . . 5 βˆ… ∈ On
11 cardon 9939 . . . . 5 (cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡)) ∈ On
12 0ss 4397 . . . . 5 βˆ… βŠ† (cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))
1310, 11, 123pm3.2i 1340 . . . 4 (βˆ… ∈ On ∧ (cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡)) ∈ On ∧ βˆ… βŠ† (cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡)))
143, 4, 5, 6ttukeylem5 10508 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (βˆ… ∈ On ∧ (cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡)) ∈ On ∧ βˆ… βŠ† (cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡)))) β†’ (πΊβ€˜βˆ…) βŠ† (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))))
1513, 14mpan2 690 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜βˆ…) βŠ† (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))))
169, 15eqsstrrd 4022 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))))
17 simprr 772 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) βŠ† 𝑦)) β†’ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) βŠ† 𝑦)
18 ssun1 4173 . . . . . . . 8 𝑦 βŠ† (𝑦 βˆͺ 𝐡)
19 undif1 4476 . . . . . . . 8 ((𝑦 βˆ– 𝐡) βˆͺ 𝐡) = (𝑦 βˆͺ 𝐡)
2018, 19sseqtrri 4020 . . . . . . 7 𝑦 βŠ† ((𝑦 βˆ– 𝐡) βˆͺ 𝐡)
21 simpl 484 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) βŠ† 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑦 βˆ– 𝐡))) β†’ πœ‘)
22 f1ocnv 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹:(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))–1-1-ontoβ†’(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡) β†’ ◑𝐹:(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡)–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡)))
23 f1of 6834 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (◑𝐹:(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡)–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡)) β†’ ◑𝐹:(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡)⟢(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡)))
243, 22, 233syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ◑𝐹:(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡)⟢(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡)))
2524adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) βŠ† 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑦 βˆ– 𝐡))) β†’ ◑𝐹:(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡)⟢(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡)))
26 eldifi 4127 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Ž ∈ (𝑦 βˆ– 𝐡) β†’ π‘Ž ∈ 𝑦)
2726ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) βŠ† 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑦 βˆ– 𝐡))) β†’ π‘Ž ∈ 𝑦)
28 simprll 778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) βŠ† 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑦 βˆ– 𝐡))) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
29 elunii 4914 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Ž ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴)
3027, 28, 29syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) βŠ† 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑦 βˆ– 𝐡))) β†’ π‘Ž ∈ βˆͺ 𝐴)
31 eldifn 4128 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ž ∈ (𝑦 βˆ– 𝐡) β†’ Β¬ π‘Ž ∈ 𝐡)
3231ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) βŠ† 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑦 βˆ– 𝐡))) β†’ Β¬ π‘Ž ∈ 𝐡)
3330, 32eldifd 3960 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) βŠ† 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑦 βˆ– 𝐡))) β†’ π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))
3425, 33ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) βŠ† 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑦 βˆ– 𝐡))) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘Ž) ∈ (cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡)))
35 onelon 6390 . . . . . . . . . . . . . 14 (((cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡)) ∈ On ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘Ž) ∈ (cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘Ž) ∈ On)
3611, 34, 35sylancr 588 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) βŠ† 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑦 βˆ– 𝐡))) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘Ž) ∈ On)
37 onsuc 7799 . . . . . . . . . . . . 13 ((β—‘πΉβ€˜π‘Ž) ∈ On β†’ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž) ∈ On)
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) βŠ† 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑦 βˆ– 𝐡))) β†’ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž) ∈ On)
3911a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) βŠ† 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑦 βˆ– 𝐡))) β†’ (cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡)) ∈ On)
4011onordi 6476 . . . . . . . . . . . . 13 Ord (cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))
41 ordsucss 7806 . . . . . . . . . . . . 13 (Ord (cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘Ž) ∈ (cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡)) β†’ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž) βŠ† (cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))))
4240, 34, 41mpsyl 68 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) βŠ† 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑦 βˆ– 𝐡))) β†’ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž) βŠ† (cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡)))
433, 4, 5, 6ttukeylem5 10508 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž) ∈ On ∧ (cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡)) ∈ On ∧ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž) βŠ† (cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡)))) β†’ (πΊβ€˜suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž)) βŠ† (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))))
4421, 38, 39, 42, 43syl13anc 1373 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) βŠ† 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑦 βˆ– 𝐡))) β†’ (πΊβ€˜suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž)) βŠ† (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))))
45 ssun2 4174 . . . . . . . . . . . . 13 if(((πΊβ€˜βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž)) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž))}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž))}, βˆ…) βŠ† ((πΊβ€˜βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž)) βˆͺ if(((πΊβ€˜βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž)) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž))}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž))}, βˆ…))
46 eloni 6375 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((β—‘πΉβ€˜π‘Ž) ∈ On β†’ Ord (β—‘πΉβ€˜π‘Ž))
47 ordunisuc 7820 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Ord (β—‘πΉβ€˜π‘Ž) β†’ βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž) = (β—‘πΉβ€˜π‘Ž))
4836, 46, 473syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) βŠ† 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑦 βˆ– 𝐡))) β†’ βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž) = (β—‘πΉβ€˜π‘Ž))
4948fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) βŠ† 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑦 βˆ– 𝐡))) β†’ (πΉβ€˜βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž)) = (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘Ž)))
503adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) βŠ† 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑦 βˆ– 𝐡))) β†’ 𝐹:(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))–1-1-ontoβ†’(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))
51 f1ocnvfv2 7275 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹:(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))–1-1-ontoβ†’(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ (βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘Ž)) = π‘Ž)
5250, 33, 51syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) βŠ† 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑦 βˆ– 𝐡))) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘Ž)) = π‘Ž)
5349, 52eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) βŠ† 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑦 βˆ– 𝐡))) β†’ π‘Ž = (πΉβ€˜βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž)))
54 velsn 4645 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ž ∈ {(πΉβ€˜βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž))} ↔ π‘Ž = (πΉβ€˜βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž)))
5553, 54sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) βŠ† 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑦 βˆ– 𝐡))) β†’ π‘Ž ∈ {(πΉβ€˜βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž))})
5648fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) βŠ† 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑦 βˆ– 𝐡))) β†’ (πΊβ€˜βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž)) = (πΊβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘Ž)))
57 ordelss 6381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((Ord (cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡)) ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘Ž) ∈ (cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘Ž) βŠ† (cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡)))
5840, 34, 57sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) βŠ† 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑦 βˆ– 𝐡))) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘Ž) βŠ† (cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡)))
593, 4, 5, 6ttukeylem5 10508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ ((β—‘πΉβ€˜π‘Ž) ∈ On ∧ (cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡)) ∈ On ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘Ž) βŠ† (cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡)))) β†’ (πΊβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘Ž)) βŠ† (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))))
6021, 36, 39, 58, 59syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) βŠ† 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑦 βˆ– 𝐡))) β†’ (πΊβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘Ž)) βŠ† (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))))
6156, 60eqsstrd 4021 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) βŠ† 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑦 βˆ– 𝐡))) β†’ (πΊβ€˜βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž)) βŠ† (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))))
62 simprlr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) βŠ† 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑦 βˆ– 𝐡))) β†’ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) βŠ† 𝑦)
6361, 62sstrd 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) βŠ† 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑦 βˆ– 𝐡))) β†’ (πΊβ€˜βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž)) βŠ† 𝑦)
6453, 27eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) βŠ† 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑦 βˆ– 𝐡))) β†’ (πΉβ€˜βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž)) ∈ 𝑦)
6564snssd 4813 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) βŠ† 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑦 βˆ– 𝐡))) β†’ {(πΉβ€˜βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž))} βŠ† 𝑦)
6663, 65unssd 4187 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) βŠ† 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑦 βˆ– 𝐡))) β†’ ((πΊβ€˜βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž)) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž))}) βŠ† 𝑦)
673, 4, 5ttukeylem2 10505 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ((πΊβ€˜βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž)) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž))}) βŠ† 𝑦)) β†’ ((πΊβ€˜βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž)) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž))}) ∈ 𝐴)
6821, 28, 66, 67syl12anc 836 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) βŠ† 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑦 βˆ– 𝐡))) β†’ ((πΊβ€˜βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž)) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž))}) ∈ 𝐴)
6968iftrued 4537 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) βŠ† 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑦 βˆ– 𝐡))) β†’ if(((πΊβ€˜βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž)) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž))}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž))}, βˆ…) = {(πΉβ€˜βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž))})
7055, 69eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) βŠ† 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑦 βˆ– 𝐡))) β†’ π‘Ž ∈ if(((πΊβ€˜βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž)) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž))}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž))}, βˆ…))
7145, 70sselid 3981 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) βŠ† 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑦 βˆ– 𝐡))) β†’ π‘Ž ∈ ((πΊβ€˜βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž)) βˆͺ if(((πΊβ€˜βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž)) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž))}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž))}, βˆ…)))
723, 4, 5, 6ttukeylem3 10506 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž) ∈ On) β†’ (πΊβ€˜suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž)) = if(suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž) = βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž), if(suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž) = βˆ…, 𝐡, βˆͺ (𝐺 β€œ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž))), ((πΊβ€˜βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž)) βˆͺ if(((πΊβ€˜βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž)) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž))}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž))}, βˆ…))))
7338, 72syldan 592 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) βŠ† 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑦 βˆ– 𝐡))) β†’ (πΊβ€˜suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž)) = if(suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž) = βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž), if(suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž) = βˆ…, 𝐡, βˆͺ (𝐺 β€œ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž))), ((πΊβ€˜βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž)) βˆͺ if(((πΊβ€˜βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž)) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž))}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž))}, βˆ…))))
74 sucidg 6446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((β—‘πΉβ€˜π‘Ž) ∈ (cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡)) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘Ž) ∈ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž))
7534, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) βŠ† 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑦 βˆ– 𝐡))) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘Ž) ∈ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž))
76 ordirr 6383 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Ord (β—‘πΉβ€˜π‘Ž) β†’ Β¬ (β—‘πΉβ€˜π‘Ž) ∈ (β—‘πΉβ€˜π‘Ž))
7736, 46, 763syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) βŠ† 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑦 βˆ– 𝐡))) β†’ Β¬ (β—‘πΉβ€˜π‘Ž) ∈ (β—‘πΉβ€˜π‘Ž))
78 nelne1 3040 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((β—‘πΉβ€˜π‘Ž) ∈ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž) ∧ Β¬ (β—‘πΉβ€˜π‘Ž) ∈ (β—‘πΉβ€˜π‘Ž)) β†’ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž) β‰  (β—‘πΉβ€˜π‘Ž))
7975, 77, 78syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) βŠ† 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑦 βˆ– 𝐡))) β†’ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž) β‰  (β—‘πΉβ€˜π‘Ž))
8079, 48neeqtrrd 3016 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) βŠ† 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑦 βˆ– 𝐡))) β†’ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž) β‰  βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž))
8180neneqd 2946 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) βŠ† 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑦 βˆ– 𝐡))) β†’ Β¬ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž) = βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž))
8281iffalsed 4540 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) βŠ† 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑦 βˆ– 𝐡))) β†’ if(suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž) = βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž), if(suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž) = βˆ…, 𝐡, βˆͺ (𝐺 β€œ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž))), ((πΊβ€˜βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž)) βˆͺ if(((πΊβ€˜βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž)) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž))}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž))}, βˆ…))) = ((πΊβ€˜βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž)) βˆͺ if(((πΊβ€˜βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž)) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž))}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž))}, βˆ…)))
8373, 82eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) βŠ† 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑦 βˆ– 𝐡))) β†’ (πΊβ€˜suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž)) = ((πΊβ€˜βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž)) βˆͺ if(((πΊβ€˜βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž)) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž))}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž))}, βˆ…)))
8471, 83eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) βŠ† 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑦 βˆ– 𝐡))) β†’ π‘Ž ∈ (πΊβ€˜suc (β—‘πΉβ€˜π‘Ž)))
8544, 84sseldd 3984 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) βŠ† 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑦 βˆ– 𝐡))) β†’ π‘Ž ∈ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))))
8685expr 458 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) βŠ† 𝑦)) β†’ (π‘Ž ∈ (𝑦 βˆ– 𝐡) β†’ π‘Ž ∈ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡)))))
8786ssrdv 3989 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) βŠ† 𝑦)) β†’ (𝑦 βˆ– 𝐡) βŠ† (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))))
8816adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) βŠ† 𝑦)) β†’ 𝐡 βŠ† (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))))
8987, 88unssd 4187 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) βŠ† 𝑦)) β†’ ((𝑦 βˆ– 𝐡) βˆͺ 𝐡) βŠ† (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))))
9020, 89sstrid 3994 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) βŠ† 𝑦)) β†’ 𝑦 βŠ† (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))))
9117, 90eqssd 4000 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) βŠ† 𝑦)) β†’ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) = 𝑦)
9291expr 458 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) βŠ† 𝑦 β†’ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) = 𝑦))
93 npss 4111 . . . 4 (Β¬ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) ⊊ 𝑦 ↔ ((πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) βŠ† 𝑦 β†’ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) = 𝑦))
9492, 93sylibr 233 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ Β¬ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) ⊊ 𝑦)
9594ralrimiva 3147 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) ⊊ 𝑦)
96 sseq2 4009 . . . 4 (π‘₯ = (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) β†’ (𝐡 βŠ† π‘₯ ↔ 𝐡 βŠ† (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡)))))
97 psseq1 4088 . . . . . 6 (π‘₯ = (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) β†’ (π‘₯ ⊊ 𝑦 ↔ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) ⊊ 𝑦))
9897notbid 318 . . . . 5 (π‘₯ = (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) β†’ (Β¬ π‘₯ ⊊ 𝑦 ↔ Β¬ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) ⊊ 𝑦))
9998ralbidv 3178 . . . 4 (π‘₯ = (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ π‘₯ ⊊ 𝑦 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) ⊊ 𝑦))
10096, 99anbi12d 632 . . 3 (π‘₯ = (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) β†’ ((𝐡 βŠ† π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ π‘₯ ⊊ 𝑦) ↔ (𝐡 βŠ† (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) ⊊ 𝑦)))
101100rspcev 3613 . 2 (((πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) ∈ 𝐴 ∧ (𝐡 βŠ† (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ (πΊβ€˜(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))) ⊊ 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝐡 βŠ† π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ π‘₯ ⊊ 𝑦))
1028, 16, 95, 101syl12anc 836 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝐡 βŠ† π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ π‘₯ ⊊ 𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088  βˆ€wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949   ⊊ wpss 3950  βˆ…c0 4323  ifcif 4529  π’« cpw 4603  {csn 4629  βˆͺ cuni 4909   ↦ cmpt 5232  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678   β€œ cima 5680  Ord word 6364  Oncon0 6365  suc csuc 6367  βŸΆwf 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  recscrecs 8370  Fincfn 8939  cardccrd 9930
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-fin 8943  df-card 9934
This theorem is referenced by:  ttukey2g  10511
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