MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islbs3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islbs3 20616
Description: An equivalent formulation of the basis predicate: a subset is a basis iff it is a minimal spanning set. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
islbs2.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
islbs2.j 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
islbs2.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
islbs3 (𝑊 ∈ LVec → (𝐵𝐽 ↔ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑠   𝑁,𝑠   𝑉,𝑠   𝑊,𝑠   𝐽,𝑠

Proof of Theorem islbs3
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islbs2.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 islbs2.j . . . . 5 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
31, 2lbsss 20538 . . . 4 (𝐵𝐽𝐵𝑉)
43adantl 482 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) → 𝐵𝑉)
5 islbs2.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
61, 2, 5lbssp 20540 . . . 4 (𝐵𝐽 → (𝑁𝐵) = 𝑉)
76adantl 482 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) → (𝑁𝐵) = 𝑉)
8 lveclmod 20567 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
983ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽𝑠𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
10 pssss 4055 . . . . . . . . 9 (𝑠𝐵𝑠𝐵)
1110, 3sylan9ssr 3958 . . . . . . . 8 ((𝐵𝐽𝑠𝐵) → 𝑠𝑉)
12113adant1 1130 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽𝑠𝐵) → 𝑠𝑉)
131, 5lspssv 20444 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠𝑉) → (𝑁𝑠) ⊆ 𝑉)
149, 12, 13syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽𝑠𝐵) → (𝑁𝑠) ⊆ 𝑉)
15 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
1615lvecdrng 20566 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LVec → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
17 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
18 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
1917, 18drngunz 20203 . . . . . . . . 9 ((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
2016, 19syl 17 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LVec → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
218, 20jca 512 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LVec → (𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
222, 5, 15, 18, 17, 1lbspss 20543 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝐵𝐽𝑠𝐵) → (𝑁𝑠) ≠ 𝑉)
2321, 22syl3an1 1163 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽𝑠𝐵) → (𝑁𝑠) ≠ 𝑉)
24 df-pss 3929 . . . . . 6 ((𝑁𝑠) ⊊ 𝑉 ↔ ((𝑁𝑠) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁𝑠) ≠ 𝑉))
2514, 23, 24sylanbrc 583 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽𝑠𝐵) → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉)
26253expia 1121 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) → (𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))
2726alrimiv 1930 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) → ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))
284, 7, 273jca 1128 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) → (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉)))
29 simpr1 1194 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) → 𝐵𝑉)
30 simpr2 1195 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) → (𝑁𝐵) = 𝑉)
31 simplr1 1215 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐵𝑉)
3231ssdifssd 4102 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥𝐵) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉)
331fvexi 6856 . . . . . . . 8 𝑉 ∈ V
34 ssexg 5280 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉𝑉 ∈ V) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ∈ V)
3532, 33, 34sylancl 586 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥𝐵) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ∈ V)
36 simplr3 1217 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥𝐵) → ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))
37 difssd 4092 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥𝐵) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐵)
38 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
39 neldifsn 4752 . . . . . . . . . 10 ¬ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {𝑥})
40 nelne1 3041 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {𝑥})) → 𝐵 ≠ (𝐵 ∖ {𝑥}))
4138, 39, 40sylancl 586 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐵 ≠ (𝐵 ∖ {𝑥}))
4241necomd 2999 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥𝐵) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ≠ 𝐵)
43 df-pss 3929 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∖ {𝑥}) ⊊ 𝐵 ↔ ((𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∖ {𝑥}) ≠ 𝐵))
4437, 42, 43sylanbrc 583 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥𝐵) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊊ 𝐵)
45 psseq1 4047 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝐵 ∖ {𝑥}) → (𝑠𝐵 ↔ (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊊ 𝐵))
46 fveq2 6842 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = (𝐵 ∖ {𝑥}) → (𝑁𝑠) = (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
4746psseq1d 4052 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝐵 ∖ {𝑥}) → ((𝑁𝑠) ⊊ 𝑉 ↔ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ⊊ 𝑉))
4845, 47imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑠 = (𝐵 ∖ {𝑥}) → ((𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉) ↔ ((𝐵 ∖ {𝑥}) ⊊ 𝐵 → (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ⊊ 𝑉)))
4948spcgv 3555 . . . . . . 7 ((𝐵 ∖ {𝑥}) ∈ V → (∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉) → ((𝐵 ∖ {𝑥}) ⊊ 𝐵 → (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ⊊ 𝑉)))
5035, 36, 44, 49syl3c 66 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ⊊ 𝑉)
51 dfpss3 4046 . . . . . . 7 ((𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ⊊ 𝑉 ↔ ((𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑉 ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥}))))
5251simprbi 497 . . . . . 6 ((𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ⊊ 𝑉 → ¬ 𝑉 ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
5350, 52syl 17 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥𝐵) → ¬ 𝑉 ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
54 simplr2 1216 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥𝐵𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → (𝑁𝐵) = 𝑉)
558ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥𝐵𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → 𝑊 ∈ LMod)
5632adantrr 715 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥𝐵𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉)
57 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
581, 57, 5lspcl 20437 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
5955, 56, 58syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥𝐵𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
60 ssun1 4132 . . . . . . . . . 10 𝐵 ⊆ (𝐵 ∪ {𝑥})
61 undif1 4435 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = (𝐵 ∪ {𝑥})
6260, 61sseqtrri 3981 . . . . . . . . 9 𝐵 ⊆ ((𝐵 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})
631, 5lspssid 20446 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
6455, 56, 63syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥𝐵𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
65 simprr 771 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥𝐵𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
6665snssd 4769 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥𝐵𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → {𝑥} ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
6764, 66unssd 4146 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥𝐵𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → ((𝐵 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
6862, 67sstrid 3955 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥𝐵𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → 𝐵 ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
6957, 5lspssp 20449 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝐵 ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥}))) → (𝑁𝐵) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
7055, 59, 68, 69syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥𝐵𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → (𝑁𝐵) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
7154, 70eqsstrrd 3983 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥𝐵𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → 𝑉 ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
7271expr 457 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) → 𝑉 ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥}))))
7353, 72mtod 197 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
7473ralrimiva 3143 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) → ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
751, 2, 5islbs2 20615 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → (𝐵𝐽 ↔ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))))
7675adantr 481 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) → (𝐵𝐽 ↔ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))))
7729, 30, 74, 76mpbir3and 1342 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) → 𝐵𝐽)
7828, 77impbida 799 1 (𝑊 ∈ LVec → (𝐵𝐽 ↔ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087  wal 1539   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  Vcvv 3445  cdif 3907  cun 3908  wss 3910  wpss 3911  {csn 4586  cfv 6496  Basecbs 17083  Scalarcsca 17136  0gc0g 17321  1rcur 19913  DivRingcdr 20185  LModclmod 20322  LSubSpclss 20392  LSpanclspn 20432  LBasisclbs 20535  LVecclvec 20563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-drng 20187  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-lbs 20536  df-lvec 20564
This theorem is referenced by:  obslbs  21136
  Copyright terms: Public domain W3C validator