Theorem islbs3 21438

Description: An equivalent formulation of the basis predicate: a subset is a basis iff it is a minimal spanning set. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
islbs2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
islbs2.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
islbs2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
islbs3	⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑠   𝑁,𝑠   𝑉,𝑠   𝑊,𝑠   𝐽,𝑠

Proof of Theorem islbs3

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islbs2.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		islbs2.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
3	1, 2	lbsss 21357	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐽 → 𝐵 ⊆ 𝑉)
4	3	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → 𝐵 ⊆ 𝑉)
5		islbs2.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
6	1, 2, 5	lbssp 21359	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐽 → (𝑁‘𝐵) = 𝑉)
7	6	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝑁‘𝐵) = 𝑉)
8		lveclmod 21386	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
9	8	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
10		pssss 4025	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ⊊ 𝐵 → 𝑠 ⊆ 𝐵)
11	10, 3	sylan9ssr 3922	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐵) → 𝑠 ⊆ 𝑉)
12	11	3adant1 1148	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐵) → 𝑠 ⊆ 𝑉)
13	1, 5	lspssv 21263	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘𝑠) ⊆ 𝑉)
14	9, 12, 13	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐵) → (𝑁‘𝑠) ⊆ 𝑉)
15		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
16	15	lvecdrng 21385	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
17		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
18		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
19	17, 18	drngunz 21006	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
20	16, 19	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
21	8, 20	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
22	2, 5, 15, 18, 17, 1	lbspss 21362	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐵) → (𝑁‘𝑠) ≠ 𝑉)
23	21, 22	syl3an1 1181	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐵) → (𝑁‘𝑠) ≠ 𝑉)
24		df-pss 4014	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉 ↔ ((𝑁‘𝑠) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝑠) ≠ 𝑉))
25	14, 23, 24	sylanbrc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐵) → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉)
26	25	3expia 1139	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))
27	26	alrimiv 1959	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))
28	4, 7, 27	3jca 1146	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉)))
29		simpr1 1213	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) → 𝐵 ⊆ 𝑉)
30		simpr2 1214	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) → (𝑁‘𝐵) = 𝑉)
31		simplr1 1234	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐵 ⊆ 𝑉)
32	31	ssdifssd 4083	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉)
33	1	fvexi 6899	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 ∈ V
34		ssexg 5280	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉 ∧ 𝑉 ∈ V) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ∈ V)
35	32, 33, 34	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ∈ V)
36		simplr3 1236	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))
37		difssd 4073	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐵)
38		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
39		neldifsn 4751	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {𝑥})
40		nelne1 3052	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {𝑥})) → 𝐵 ≠ (𝐵 ∖ {𝑥}))
41	38, 39, 40	sylancl 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐵 ≠ (𝐵 ∖ {𝑥}))
42	41	necomd 3010	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ≠ 𝐵)
43		df-pss 4014	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∖ {𝑥}) ⊊ 𝐵 ↔ ((𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∖ {𝑥}) ≠ 𝐵))
44	37, 42, 43	sylanbrc 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊊ 𝐵)
45		psseq1 4017	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝐵 ∖ {𝑥}) → (𝑠 ⊊ 𝐵 ↔ (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊊ 𝐵))
46		fveq2 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = (𝐵 ∖ {𝑥}) → (𝑁‘𝑠) = (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
47	46	psseq1d 4022	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝐵 ∖ {𝑥}) → ((𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉 ↔ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ⊊ 𝑉))
48	45, 47	imbi12d 347	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = (𝐵 ∖ {𝑥}) → ((𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉) ↔ ((𝐵 ∖ {𝑥}) ⊊ 𝐵 → (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ⊊ 𝑉)))
49	48	spcgv 3550	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∖ {𝑥}) ∈ V → (∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉) → ((𝐵 ∖ {𝑥}) ⊊ 𝐵 → (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ⊊ 𝑉)))
50	35, 36, 44, 49	syl3c 67	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ⊊ 𝑉)
51		dfpss3 4016	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ⊊ 𝑉 ↔ ((𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑉 ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥}))))
52	51	simprbi 503	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ⊊ 𝑉 → ¬ 𝑉 ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
53	50, 52	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑉 ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
54		simplr2 1235	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → (𝑁‘𝐵) = 𝑉)
55	8	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → 𝑊 ∈ LMod)
56	32	adantrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉)
57		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
58	1, 57, 5	lspcl 21256	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
59	55, 56, 58	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
60		ssun1 4176	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐵 ∪ {𝑥})
61		undif1 4429	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = (𝐵 ∪ {𝑥})
62	60, 61	sseqtrri 3957	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ⊆ ((𝐵 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})
63	1, 5	lspssid 21265	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
64	55, 56, 63	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
65		simprr 785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
66	65	snssd 4743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → {𝑥} ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
67	64, 66	unssd 4190	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → ((𝐵 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
68	62, 67	sstrid 3919	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → 𝐵 ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
69	57, 5	lspssp 21268	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝐵 ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥}))) → (𝑁‘𝐵) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
70	55, 59, 68, 69	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → (𝑁‘𝐵) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
71	54, 70	eqsstrrd 3943	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → 𝑉 ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
72	71	expr 462	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) → 𝑉 ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥}))))
73	53, 72	mtod 201	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
74	73	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
75	1, 2, 5	islbs2 21437	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))))
76	75	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))))
77	29, 30, 74, 76	mpbir3and 1361	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) → 𝐵 ∈ 𝐽)
78	28, 77	impbida 813	1 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103  ∀wal 1567   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   ⊊ wpss 4013   ∖ cdif 4045   ∪ cun 4149  {csn 4584  ‘cfv 6538  Basecbs 17392  Scalarcsca 17436  0_gc0g 17615  1_rcur 20412  DivRingcdr 20985  LModclmod 21140  LSubSpclss 21211  LSpanclspn 21251  LBasisclbs 21354  LVecclvec 21382

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8246  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-0g 17617  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-grp 19152  df-minusg 19153  df-sbg 19154  df-cmn 20001  df-abl 20002  df-mgp 20366  df-rng 20380  df-ur 20413  df-ring 20466  df-oppr 20572  df-dvdsr 20592  df-unit 20593  df-invr 20623  df-drng 20987  df-lmod 21142  df-lss 21212  df-lsp 21252  df-lbs 21355  df-lvec 21383

This theorem is used by:  obslbs  22041  exsslsb  34275