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Theorem islbs3 20632
Description: An equivalent formulation of the basis predicate: a subset is a basis iff it is a minimal spanning set. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
islbs2.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
islbs2.j 𝐽 = (LBasisβ€˜π‘Š)
islbs2.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
islbs3 (π‘Š ∈ LVec β†’ (𝐡 ∈ 𝐽 ↔ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑠   𝑁,𝑠   𝑉,𝑠   π‘Š,𝑠   𝐽,𝑠

Proof of Theorem islbs3
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islbs2.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 islbs2.j . . . . 5 𝐽 = (LBasisβ€˜π‘Š)
31, 2lbsss 20553 . . . 4 (𝐡 ∈ 𝐽 β†’ 𝐡 βŠ† 𝑉)
43adantl 483 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) β†’ 𝐡 βŠ† 𝑉)
5 islbs2.n . . . . 5 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
61, 2, 5lbssp 20555 . . . 4 (𝐡 ∈ 𝐽 β†’ (π‘β€˜π΅) = 𝑉)
76adantl 483 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) β†’ (π‘β€˜π΅) = 𝑉)
8 lveclmod 20582 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
983ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐡) β†’ π‘Š ∈ LMod)
10 pssss 4056 . . . . . . . . 9 (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ 𝑠 βŠ† 𝐡)
1110, 3sylan9ssr 3959 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐡) β†’ 𝑠 βŠ† 𝑉)
12113adant1 1131 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐡) β†’ 𝑠 βŠ† 𝑉)
131, 5lspssv 20459 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑠 βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜π‘ ) βŠ† 𝑉)
149, 12, 13syl2anc 585 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘ ) βŠ† 𝑉)
15 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
1615lvecdrng 20581 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ LVec β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing)
17 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
18 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
1917, 18drngunz 20215 . . . . . . . . 9 ((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
2016, 19syl 17 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LVec β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
218, 20jca 513 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LVec β†’ (π‘Š ∈ LMod ∧ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
222, 5, 15, 18, 17, 1lbspss 20558 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘ ) β‰  𝑉)
2321, 22syl3an1 1164 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘ ) β‰  𝑉)
24 df-pss 3930 . . . . . 6 ((π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉 ↔ ((π‘β€˜π‘ ) βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π‘ ) β‰  𝑉))
2514, 23, 24sylanbrc 584 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉)
26253expia 1122 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) β†’ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))
2726alrimiv 1931 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) β†’ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))
284, 7, 273jca 1129 . 2 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) β†’ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉)))
29 simpr1 1195 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) β†’ 𝐡 βŠ† 𝑉)
30 simpr2 1196 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) β†’ (π‘β€˜π΅) = 𝑉)
31 simplr1 1216 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐡 βŠ† 𝑉)
3231ssdifssd 4103 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝑉)
331fvexi 6857 . . . . . . . 8 𝑉 ∈ V
34 ssexg 5281 . . . . . . . 8 (((𝐡 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝑉 ∧ 𝑉 ∈ V) β†’ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) ∈ V)
3532, 33, 34sylancl 587 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) ∈ V)
36 simplr3 1218 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))
37 difssd 4093 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝐡)
38 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
39 neldifsn 4753 . . . . . . . . . 10 Β¬ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– {π‘₯})
40 nelne1 3038 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– {π‘₯})) β†’ 𝐡 β‰  (𝐡 βˆ– {π‘₯}))
4138, 39, 40sylancl 587 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐡 β‰  (𝐡 βˆ– {π‘₯}))
4241necomd 2996 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) β‰  𝐡)
43 df-pss 3930 . . . . . . . 8 ((𝐡 βˆ– {π‘₯}) ⊊ 𝐡 ↔ ((𝐡 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝐡 ∧ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) β‰  𝐡))
4437, 42, 43sylanbrc 584 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) ⊊ 𝐡)
45 psseq1 4048 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝐡 βˆ– {π‘₯}) β†’ (𝑠 ⊊ 𝐡 ↔ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) ⊊ 𝐡))
46 fveq2 6843 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = (𝐡 βˆ– {π‘₯}) β†’ (π‘β€˜π‘ ) = (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
4746psseq1d 4053 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝐡 βˆ– {π‘₯}) β†’ ((π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉 ↔ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})) ⊊ 𝑉))
4845, 47imbi12d 345 . . . . . . . 8 (𝑠 = (𝐡 βˆ– {π‘₯}) β†’ ((𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉) ↔ ((𝐡 βˆ– {π‘₯}) ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})) ⊊ 𝑉)))
4948spcgv 3554 . . . . . . 7 ((𝐡 βˆ– {π‘₯}) ∈ V β†’ (βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉) β†’ ((𝐡 βˆ– {π‘₯}) ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})) ⊊ 𝑉)))
5035, 36, 44, 49syl3c 66 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})) ⊊ 𝑉)
51 dfpss3 4047 . . . . . . 7 ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})) ⊊ 𝑉 ↔ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})) βŠ† 𝑉 ∧ Β¬ 𝑉 βŠ† (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯}))))
5251simprbi 498 . . . . . 6 ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})) ⊊ 𝑉 β†’ Β¬ 𝑉 βŠ† (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
5350, 52syl 17 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ Β¬ 𝑉 βŠ† (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
54 simplr2 1217 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))) β†’ (π‘β€˜π΅) = 𝑉)
558ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))) β†’ π‘Š ∈ LMod)
5632adantrr 716 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))) β†’ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝑉)
57 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
581, 57, 5lspcl 20452 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
5955, 56, 58syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))) β†’ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
60 ssun1 4133 . . . . . . . . . 10 𝐡 βŠ† (𝐡 βˆͺ {π‘₯})
61 undif1 4436 . . . . . . . . . 10 ((𝐡 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯}) = (𝐡 βˆͺ {π‘₯})
6260, 61sseqtrri 3982 . . . . . . . . 9 𝐡 βŠ† ((𝐡 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯})
631, 5lspssid 20461 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝑉) β†’ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) βŠ† (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
6455, 56, 63syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))) β†’ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) βŠ† (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
65 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))) β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
6665snssd 4770 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))) β†’ {π‘₯} βŠ† (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
6764, 66unssd 4147 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))) β†’ ((𝐡 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯}) βŠ† (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
6862, 67sstrid 3956 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))) β†’ 𝐡 βŠ† (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
6957, 5lspssp 20464 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ 𝐡 βŠ† (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯}))) β†’ (π‘β€˜π΅) βŠ† (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
7055, 59, 68, 69syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))) β†’ (π‘β€˜π΅) βŠ† (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
7154, 70eqsstrrd 3984 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))) β†’ 𝑉 βŠ† (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
7271expr 458 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})) β†’ 𝑉 βŠ† (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯}))))
7353, 72mtod 197 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
7473ralrimiva 3140 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
751, 2, 5islbs2 20631 . . . 4 (π‘Š ∈ LVec β†’ (𝐡 ∈ 𝐽 ↔ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))))
7675adantr 482 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) β†’ (𝐡 ∈ 𝐽 ↔ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))))
7729, 30, 74, 76mpbir3and 1343 . 2 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) β†’ 𝐡 ∈ 𝐽)
7828, 77impbida 800 1 (π‘Š ∈ LVec β†’ (𝐡 ∈ 𝐽 ↔ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088  βˆ€wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  Vcvv 3444   βˆ– cdif 3908   βˆͺ cun 3909   βŠ† wss 3911   ⊊ wpss 3912  {csn 4587  β€˜cfv 6497  Basecbs 17088  Scalarcsca 17141  0gc0g 17326  1rcur 19918  DivRingcdr 20197  LModclmod 20336  LSubSpclss 20407  LSpanclspn 20447  LBasisclbs 20550  LVecclvec 20578
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-oppr 20054  df-dvdsr 20075  df-unit 20076  df-invr 20106  df-drng 20199  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-lsp 20448  df-lbs 20551  df-lvec 20579
This theorem is referenced by:  obslbs  21152
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