Theorem islbs3 21258

Description: An equivalent formulation of the basis predicate: a subset is a basis iff it is a minimal spanning set. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
islbs2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
islbs2.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
islbs2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
islbs3	⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑠   𝑁,𝑠   𝑉,𝑠   𝑊,𝑠   𝐽,𝑠

Proof of Theorem islbs3

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islbs2.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		islbs2.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
3	1, 2	lbsss 21177	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐽 → 𝐵 ⊆ 𝑉)
4	3	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → 𝐵 ⊆ 𝑉)
5		islbs2.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
6	1, 2, 5	lbssp 21179	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐽 → (𝑁‘𝐵) = 𝑉)
7	6	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝑁‘𝐵) = 𝑉)
8		lveclmod 21206	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
9	8	3ad2ant1 1149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
10		pssss 4051	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ⊊ 𝐵 → 𝑠 ⊆ 𝐵)
11	10, 3	sylan9ssr 3950	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐵) → 𝑠 ⊆ 𝑉)
12	11	3adant1 1146	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐵) → 𝑠 ⊆ 𝑉)
13	1, 5	lspssv 21083	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘𝑠) ⊆ 𝑉)
14	9, 12, 13	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐵) → (𝑁‘𝑠) ⊆ 𝑉)
15		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
16	15	lvecdrng 21205	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
17		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
18		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
19	17, 18	drngunz 20832	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
20	16, 19	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
21	8, 20	jca 520	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
22	2, 5, 15, 18, 17, 1	lbspss 21182	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐵) → (𝑁‘𝑠) ≠ 𝑉)
23	21, 22	syl3an1 1179	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐵) → (𝑁‘𝑠) ≠ 𝑉)
24		df-pss 3924	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉 ↔ ((𝑁‘𝑠) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝑠) ≠ 𝑉))
25	14, 23, 24	sylanbrc 594	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐵) → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉)
26	25	3expia 1137	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))
27	26	alrimiv 1955	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))
28	4, 7, 27	3jca 1144	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉)))
29		simpr1 1211	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) → 𝐵 ⊆ 𝑉)
30		simpr2 1212	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) → (𝑁‘𝐵) = 𝑉)
31		simplr1 1232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐵 ⊆ 𝑉)
32	31	ssdifssd 4100	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉)
33	1	fvexi 6895	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 ∈ V
34		ssexg 5289	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉 ∧ 𝑉 ∈ V) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ∈ V)
35	32, 33, 34	sylancl 597	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ∈ V)
36		simplr3 1234	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))
37		difssd 4090	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐵)
38		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
39		neldifsn 4759	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {𝑥})
40		nelne1 3053	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {𝑥})) → 𝐵 ≠ (𝐵 ∖ {𝑥}))
41	38, 39, 40	sylancl 597	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐵 ≠ (𝐵 ∖ {𝑥}))
42	41	necomd 3011	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ≠ 𝐵)
43		df-pss 3924	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∖ {𝑥}) ⊊ 𝐵 ↔ ((𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∖ {𝑥}) ≠ 𝐵))
44	37, 42, 43	sylanbrc 594	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊊ 𝐵)
45		psseq1 4043	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝐵 ∖ {𝑥}) → (𝑠 ⊊ 𝐵 ↔ (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊊ 𝐵))
46		fveq2 6881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = (𝐵 ∖ {𝑥}) → (𝑁‘𝑠) = (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
47	46	psseq1d 4048	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝐵 ∖ {𝑥}) → ((𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉 ↔ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ⊊ 𝑉))
48	45, 47	imbi12d 347	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = (𝐵 ∖ {𝑥}) → ((𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉) ↔ ((𝐵 ∖ {𝑥}) ⊊ 𝐵 → (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ⊊ 𝑉)))
49	48	spcgv 3554	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∖ {𝑥}) ∈ V → (∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉) → ((𝐵 ∖ {𝑥}) ⊊ 𝐵 → (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ⊊ 𝑉)))
50	35, 36, 44, 49	syl3c 67	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ⊊ 𝑉)
51		dfpss3 4042	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ⊊ 𝑉 ↔ ((𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑉 ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥}))))
52	51	simprbi 502	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ⊊ 𝑉 → ¬ 𝑉 ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
53	50, 52	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑉 ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
54		simplr2 1233	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → (𝑁‘𝐵) = 𝑉)
55	8	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → 𝑊 ∈ LMod)
56	32	adantrr 729	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉)
57		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
58	1, 57, 5	lspcl 21076	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
59	55, 56, 58	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
60		ssun1 4130	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐵 ∪ {𝑥})
61		undif1 4436	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = (𝐵 ∪ {𝑥})
62	60, 61	sseqtrri 3985	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ⊆ ((𝐵 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})
63	1, 5	lspssid 21085	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
64	55, 56, 63	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
65		simprr 784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
66	65	snssd 4751	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → {𝑥} ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
67	64, 66	unssd 4144	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → ((𝐵 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
68	62, 67	sstrid 3947	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → 𝐵 ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
69	57, 5	lspssp 21088	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝐵 ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥}))) → (𝑁‘𝐵) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
70	55, 59, 68, 69	syl3anc 1396	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → (𝑁‘𝐵) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
71	54, 70	eqsstrrd 3971	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → 𝑉 ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
72	71	expr 461	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) → 𝑉 ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥}))))
73	53, 72	mtod 201	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
74	73	ralrimiva 3155	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
75	1, 2, 5	islbs2 21257	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))))
76	75	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))))
77	29, 30, 74, 76	mpbir3and 1359	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) → 𝐵 ∈ 𝐽)
78	28, 77	impbida 812	1 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101  ∀wal 1566   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  Vcvv 3453   ∖ cdif 3901   ∪ cun 3902   ⊆ wss 3904   ⊊ wpss 3905  {csn 4588  ‘cfv 6536  Basecbs 17268  Scalarcsca 17312  0_gc0g 17491  1_rcur 20262  DivRingcdr 20812  LModclmod 20960  LSubSpclss 21031  LSpanclspn 21071  LBasisclbs 21174  LVecclvec 21202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-0g 17493  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-oppr 20418  df-dvdsr 20438  df-unit 20439  df-invr 20469  df-drng 20814  df-lmod 20962  df-lss 21032  df-lsp 21072  df-lbs 21175  df-lvec 21203

This theorem is referenced by:  obslbs  21859  exsslsb  33953