MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islbs3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islbs3 21180
Description: An equivalent formulation of the basis predicate: a subset is a basis iff it is a minimal spanning set. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
islbs2.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
islbs2.j 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
islbs2.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
islbs3 (𝑊 ∈ LVec → (𝐵𝐽 ↔ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑠   𝑁,𝑠   𝑉,𝑠   𝑊,𝑠   𝐽,𝑠

Proof of Theorem islbs3
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islbs2.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 islbs2.j . . . . 5 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
31, 2lbsss 21099 . . . 4 (𝐵𝐽𝐵𝑉)
43adantl 481 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) → 𝐵𝑉)
5 islbs2.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
61, 2, 5lbssp 21101 . . . 4 (𝐵𝐽 → (𝑁𝐵) = 𝑉)
76adantl 481 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) → (𝑁𝐵) = 𝑉)
8 lveclmod 21128 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
983ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽𝑠𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
10 pssss 4121 . . . . . . . . 9 (𝑠𝐵𝑠𝐵)
1110, 3sylan9ssr 4023 . . . . . . . 8 ((𝐵𝐽𝑠𝐵) → 𝑠𝑉)
12113adant1 1130 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽𝑠𝐵) → 𝑠𝑉)
131, 5lspssv 21004 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠𝑉) → (𝑁𝑠) ⊆ 𝑉)
149, 12, 13syl2anc 583 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽𝑠𝐵) → (𝑁𝑠) ⊆ 𝑉)
15 eqid 2740 . . . . . . . . . 10 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
1615lvecdrng 21127 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LVec → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
17 eqid 2740 . . . . . . . . . 10 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
18 eqid 2740 . . . . . . . . . 10 (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
1917, 18drngunz 20769 . . . . . . . . 9 ((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
2016, 19syl 17 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LVec → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
218, 20jca 511 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LVec → (𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
222, 5, 15, 18, 17, 1lbspss 21104 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝐵𝐽𝑠𝐵) → (𝑁𝑠) ≠ 𝑉)
2321, 22syl3an1 1163 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽𝑠𝐵) → (𝑁𝑠) ≠ 𝑉)
24 df-pss 3996 . . . . . 6 ((𝑁𝑠) ⊊ 𝑉 ↔ ((𝑁𝑠) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁𝑠) ≠ 𝑉))
2514, 23, 24sylanbrc 582 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽𝑠𝐵) → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉)
26253expia 1121 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) → (𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))
2726alrimiv 1926 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) → ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))
284, 7, 273jca 1128 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) → (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉)))
29 simpr1 1194 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) → 𝐵𝑉)
30 simpr2 1195 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) → (𝑁𝐵) = 𝑉)
31 simplr1 1215 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐵𝑉)
3231ssdifssd 4170 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥𝐵) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉)
331fvexi 6934 . . . . . . . 8 𝑉 ∈ V
34 ssexg 5341 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉𝑉 ∈ V) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ∈ V)
3532, 33, 34sylancl 585 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥𝐵) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ∈ V)
36 simplr3 1217 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥𝐵) → ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))
37 difssd 4160 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥𝐵) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐵)
38 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
39 neldifsn 4817 . . . . . . . . . 10 ¬ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {𝑥})
40 nelne1 3045 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {𝑥})) → 𝐵 ≠ (𝐵 ∖ {𝑥}))
4138, 39, 40sylancl 585 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐵 ≠ (𝐵 ∖ {𝑥}))
4241necomd 3002 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥𝐵) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ≠ 𝐵)
43 df-pss 3996 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∖ {𝑥}) ⊊ 𝐵 ↔ ((𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∖ {𝑥}) ≠ 𝐵))
4437, 42, 43sylanbrc 582 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥𝐵) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊊ 𝐵)
45 psseq1 4113 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝐵 ∖ {𝑥}) → (𝑠𝐵 ↔ (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊊ 𝐵))
46 fveq2 6920 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = (𝐵 ∖ {𝑥}) → (𝑁𝑠) = (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
4746psseq1d 4118 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝐵 ∖ {𝑥}) → ((𝑁𝑠) ⊊ 𝑉 ↔ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ⊊ 𝑉))
4845, 47imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑠 = (𝐵 ∖ {𝑥}) → ((𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉) ↔ ((𝐵 ∖ {𝑥}) ⊊ 𝐵 → (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ⊊ 𝑉)))
4948spcgv 3609 . . . . . . 7 ((𝐵 ∖ {𝑥}) ∈ V → (∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉) → ((𝐵 ∖ {𝑥}) ⊊ 𝐵 → (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ⊊ 𝑉)))
5035, 36, 44, 49syl3c 66 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ⊊ 𝑉)
51 dfpss3 4112 . . . . . . 7 ((𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ⊊ 𝑉 ↔ ((𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑉 ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥}))))
5251simprbi 496 . . . . . 6 ((𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ⊊ 𝑉 → ¬ 𝑉 ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
5350, 52syl 17 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥𝐵) → ¬ 𝑉 ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
54 simplr2 1216 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥𝐵𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → (𝑁𝐵) = 𝑉)
558ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥𝐵𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → 𝑊 ∈ LMod)
5632adantrr 716 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥𝐵𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉)
57 eqid 2740 . . . . . . . . . 10 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
581, 57, 5lspcl 20997 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
5955, 56, 58syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥𝐵𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
60 ssun1 4201 . . . . . . . . . 10 𝐵 ⊆ (𝐵 ∪ {𝑥})
61 undif1 4499 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = (𝐵 ∪ {𝑥})
6260, 61sseqtrri 4046 . . . . . . . . 9 𝐵 ⊆ ((𝐵 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})
631, 5lspssid 21006 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
6455, 56, 63syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥𝐵𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
65 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥𝐵𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
6665snssd 4834 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥𝐵𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → {𝑥} ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
6764, 66unssd 4215 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥𝐵𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → ((𝐵 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
6862, 67sstrid 4020 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥𝐵𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → 𝐵 ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
6957, 5lspssp 21009 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝐵 ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥}))) → (𝑁𝐵) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
7055, 59, 68, 69syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥𝐵𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → (𝑁𝐵) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
7154, 70eqsstrrd 4048 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥𝐵𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → 𝑉 ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
7271expr 456 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) → 𝑉 ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥}))))
7353, 72mtod 198 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
7473ralrimiva 3152 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) → ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
751, 2, 5islbs2 21179 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → (𝐵𝐽 ↔ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))))
7675adantr 480 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) → (𝐵𝐽 ↔ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))))
7729, 30, 74, 76mpbir3and 1342 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) → 𝐵𝐽)
7828, 77impbida 800 1 (𝑊 ∈ LVec → (𝐵𝐽 ↔ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087  wal 1535   = wceq 1537  wcel 2108  wne 2946  wral 3067  Vcvv 3488  cdif 3973  cun 3974  wss 3976  wpss 3977  {csn 4648  cfv 6573  Basecbs 17258  Scalarcsca 17314  0gc0g 17499  1rcur 20208  DivRingcdr 20751  LModclmod 20880  LSubSpclss 20952  LSpanclspn 20992  LBasisclbs 21096  LVecclvec 21124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-drng 20753  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lsp 20993  df-lbs 21097  df-lvec 21125
This theorem is referenced by:  obslbs  21773
  Copyright terms: Public domain W3C validator