MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islbs3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem islbs3 20768
Description: An equivalent formulation of the basis predicate: a subset is a basis iff it is a minimal spanning set. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
islbs2.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
islbs2.j 𝐽 = (LBasisβ€˜π‘Š)
islbs2.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
islbs3 (π‘Š ∈ LVec β†’ (𝐡 ∈ 𝐽 ↔ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑠   𝑁,𝑠   𝑉,𝑠   π‘Š,𝑠   𝐽,𝑠
Proof of Theorem islbs3
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islbs2.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 islbs2.j . . . . 5 𝐽 = (LBasisβ€˜π‘Š)
31, 2lbsss 20688 . . . 4 (𝐡 ∈ 𝐽 β†’ 𝐡 βŠ† 𝑉)
43adantl 483 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) β†’ 𝐡 βŠ† 𝑉)
5 islbs2.n . . . . 5 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
61, 2, 5lbssp 20690 . . . 4 (𝐡 ∈ 𝐽 β†’ (π‘β€˜π΅) = 𝑉)
76adantl 483 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) β†’ (π‘β€˜π΅) = 𝑉)
8 lveclmod 20717 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
983ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐡) β†’ π‘Š ∈ LMod)
10 pssss 4096 . . . . . . . . 9 (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ 𝑠 βŠ† 𝐡)
1110, 3sylan9ssr 3997 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐡) β†’ 𝑠 βŠ† 𝑉)
12113adant1 1131 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐡) β†’ 𝑠 βŠ† 𝑉)
131, 5lspssv 20594 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑠 βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜π‘ ) βŠ† 𝑉)
149, 12, 13syl2anc 585 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘ ) βŠ† 𝑉)
15 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
1615lvecdrng 20716 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ LVec β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing)
17 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
18 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
1917, 18drngunz 20376 . . . . . . . . 9 ((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
2016, 19syl 17 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LVec β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
218, 20jca 513 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LVec β†’ (π‘Š ∈ LMod ∧ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
222, 5, 15, 18, 17, 1lbspss 20693 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘ ) β‰  𝑉)
2321, 22syl3an1 1164 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘ ) β‰  𝑉)
24 df-pss 3968 . . . . . 6 ((π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉 ↔ ((π‘β€˜π‘ ) βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π‘ ) β‰  𝑉))
2514, 23, 24sylanbrc 584 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉)
26253expia 1122 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) β†’ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))
2726alrimiv 1931 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) β†’ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))
284, 7, 273jca 1129 . 2 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) β†’ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉)))
29 simpr1 1195 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) β†’ 𝐡 βŠ† 𝑉)
30 simpr2 1196 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) β†’ (π‘β€˜π΅) = 𝑉)
31 simplr1 1216 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐡 βŠ† 𝑉)
3231ssdifssd 4143 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝑉)
331fvexi 6906 . . . . . . . 8 𝑉 ∈ V
34 ssexg 5324 . . . . . . . 8 (((𝐡 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝑉 ∧ 𝑉 ∈ V) β†’ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) ∈ V)
3532, 33, 34sylancl 587 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) ∈ V)
36 simplr3 1218 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))
37 difssd 4133 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝐡)
38 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
39 neldifsn 4796 . . . . . . . . . 10 Β¬ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– {π‘₯})
40 nelne1 3040 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– {π‘₯})) β†’ 𝐡 β‰  (𝐡 βˆ– {π‘₯}))
4138, 39, 40sylancl 587 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐡 β‰  (𝐡 βˆ– {π‘₯}))
4241necomd 2997 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) β‰  𝐡)
43 df-pss 3968 . . . . . . . 8 ((𝐡 βˆ– {π‘₯}) ⊊ 𝐡 ↔ ((𝐡 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝐡 ∧ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) β‰  𝐡))
4437, 42, 43sylanbrc 584 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) ⊊ 𝐡)
45 psseq1 4088 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝐡 βˆ– {π‘₯}) β†’ (𝑠 ⊊ 𝐡 ↔ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) ⊊ 𝐡))
46 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = (𝐡 βˆ– {π‘₯}) β†’ (π‘β€˜π‘ ) = (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
4746psseq1d 4093 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝐡 βˆ– {π‘₯}) β†’ ((π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉 ↔ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})) ⊊ 𝑉))
4845, 47imbi12d 345 . . . . . . . 8 (𝑠 = (𝐡 βˆ– {π‘₯}) β†’ ((𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉) ↔ ((𝐡 βˆ– {π‘₯}) ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})) ⊊ 𝑉)))
4948spcgv 3587 . . . . . . 7 ((𝐡 βˆ– {π‘₯}) ∈ V β†’ (βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉) β†’ ((𝐡 βˆ– {π‘₯}) ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})) ⊊ 𝑉)))
5035, 36, 44, 49syl3c 66 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})) ⊊ 𝑉)
51 dfpss3 4087 . . . . . . 7 ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})) ⊊ 𝑉 ↔ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})) βŠ† 𝑉 ∧ Β¬ 𝑉 βŠ† (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯}))))
5251simprbi 498 . . . . . 6 ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})) ⊊ 𝑉 β†’ Β¬ 𝑉 βŠ† (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
5350, 52syl 17 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ Β¬ 𝑉 βŠ† (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
54 simplr2 1217 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))) β†’ (π‘β€˜π΅) = 𝑉)
558ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))) β†’ π‘Š ∈ LMod)
5632adantrr 716 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))) β†’ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝑉)
57 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
581, 57, 5lspcl 20587 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
5955, 56, 58syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))) β†’ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
60 ssun1 4173 . . . . . . . . . 10 𝐡 βŠ† (𝐡 βˆͺ {π‘₯})
61 undif1 4476 . . . . . . . . . 10 ((𝐡 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯}) = (𝐡 βˆͺ {π‘₯})
6260, 61sseqtrri 4020 . . . . . . . . 9 𝐡 βŠ† ((𝐡 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯})
631, 5lspssid 20596 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝑉) β†’ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) βŠ† (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
6455, 56, 63syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))) β†’ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) βŠ† (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
65 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))) β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
6665snssd 4813 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))) β†’ {π‘₯} βŠ† (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
6764, 66unssd 4187 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))) β†’ ((𝐡 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯}) βŠ† (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
6862, 67sstrid 3994 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))) β†’ 𝐡 βŠ† (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
6957, 5lspssp 20599 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ 𝐡 βŠ† (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯}))) β†’ (π‘β€˜π΅) βŠ† (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
7055, 59, 68, 69syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))) β†’ (π‘β€˜π΅) βŠ† (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
7154, 70eqsstrrd 4022 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))) β†’ 𝑉 βŠ† (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
7271expr 458 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})) β†’ 𝑉 βŠ† (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯}))))
7353, 72mtod 197 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
7473ralrimiva 3147 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
751, 2, 5islbs2 20767 . . . 4 (π‘Š ∈ LVec β†’ (𝐡 ∈ 𝐽 ↔ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))))
7675adantr 482 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) β†’ (𝐡 ∈ 𝐽 ↔ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))))
7729, 30, 74, 76mpbir3and 1343 . 2 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) β†’ 𝐡 ∈ 𝐽)
7828, 77impbida 800 1 (π‘Š ∈ LVec β†’ (𝐡 ∈ 𝐽 ↔ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088  βˆ€wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949   ⊊ wpss 3950  {csn 4629  β€˜cfv 6544  Basecbs 17144  Scalarcsca 17200  0gc0g 17385  1rcur 20004  DivRingcdr 20357  LModclmod 20471  LSubSpclss 20542  LSpanclspn 20582  LBasisclbs 20685  LVecclvec 20713
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-drng 20359  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-lbs 20686  df-lvec 20714
This theorem is referenced by:  obslbs  21285
  Copyright terms: Public domain W3C validator