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Theorem islbs3 21004
Description: An equivalent formulation of the basis predicate: a subset is a basis iff it is a minimal spanning set. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
islbs2.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
islbs2.j 𝐽 = (LBasisβ€˜π‘Š)
islbs2.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
islbs3 (π‘Š ∈ LVec β†’ (𝐡 ∈ 𝐽 ↔ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑠   𝑁,𝑠   𝑉,𝑠   π‘Š,𝑠   𝐽,𝑠
Proof of Theorem islbs3
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islbs2.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 islbs2.j . . . . 5 𝐽 = (LBasisβ€˜π‘Š)
31, 2lbsss 20923 . . . 4 (𝐡 ∈ 𝐽 β†’ 𝐡 βŠ† 𝑉)
43adantl 481 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) β†’ 𝐡 βŠ† 𝑉)
5 islbs2.n . . . . 5 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
61, 2, 5lbssp 20925 . . . 4 (𝐡 ∈ 𝐽 β†’ (π‘β€˜π΅) = 𝑉)
76adantl 481 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) β†’ (π‘β€˜π΅) = 𝑉)
8 lveclmod 20952 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
983ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐡) β†’ π‘Š ∈ LMod)
10 pssss 4090 . . . . . . . . 9 (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ 𝑠 βŠ† 𝐡)
1110, 3sylan9ssr 3991 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐡) β†’ 𝑠 βŠ† 𝑉)
12113adant1 1127 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐡) β†’ 𝑠 βŠ† 𝑉)
131, 5lspssv 20828 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑠 βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜π‘ ) βŠ† 𝑉)
149, 12, 13syl2anc 583 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘ ) βŠ† 𝑉)
15 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
1615lvecdrng 20951 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ LVec β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing)
17 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
18 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
1917, 18drngunz 20604 . . . . . . . . 9 ((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
2016, 19syl 17 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LVec β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
218, 20jca 511 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LVec β†’ (π‘Š ∈ LMod ∧ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
222, 5, 15, 18, 17, 1lbspss 20928 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘ ) β‰  𝑉)
2321, 22syl3an1 1160 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘ ) β‰  𝑉)
24 df-pss 3962 . . . . . 6 ((π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉 ↔ ((π‘β€˜π‘ ) βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π‘ ) β‰  𝑉))
2514, 23, 24sylanbrc 582 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉)
26253expia 1118 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) β†’ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))
2726alrimiv 1922 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) β†’ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))
284, 7, 273jca 1125 . 2 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) β†’ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉)))
29 simpr1 1191 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) β†’ 𝐡 βŠ† 𝑉)
30 simpr2 1192 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) β†’ (π‘β€˜π΅) = 𝑉)
31 simplr1 1212 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐡 βŠ† 𝑉)
3231ssdifssd 4137 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝑉)
331fvexi 6898 . . . . . . . 8 𝑉 ∈ V
34 ssexg 5316 . . . . . . . 8 (((𝐡 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝑉 ∧ 𝑉 ∈ V) β†’ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) ∈ V)
3532, 33, 34sylancl 585 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) ∈ V)
36 simplr3 1214 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))
37 difssd 4127 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝐡)
38 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
39 neldifsn 4790 . . . . . . . . . 10 Β¬ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– {π‘₯})
40 nelne1 3033 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– {π‘₯})) β†’ 𝐡 β‰  (𝐡 βˆ– {π‘₯}))
4138, 39, 40sylancl 585 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐡 β‰  (𝐡 βˆ– {π‘₯}))
4241necomd 2990 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) β‰  𝐡)
43 df-pss 3962 . . . . . . . 8 ((𝐡 βˆ– {π‘₯}) ⊊ 𝐡 ↔ ((𝐡 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝐡 ∧ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) β‰  𝐡))
4437, 42, 43sylanbrc 582 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) ⊊ 𝐡)
45 psseq1 4082 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝐡 βˆ– {π‘₯}) β†’ (𝑠 ⊊ 𝐡 ↔ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) ⊊ 𝐡))
46 fveq2 6884 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = (𝐡 βˆ– {π‘₯}) β†’ (π‘β€˜π‘ ) = (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
4746psseq1d 4087 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝐡 βˆ– {π‘₯}) β†’ ((π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉 ↔ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})) ⊊ 𝑉))
4845, 47imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑠 = (𝐡 βˆ– {π‘₯}) β†’ ((𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉) ↔ ((𝐡 βˆ– {π‘₯}) ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})) ⊊ 𝑉)))
4948spcgv 3580 . . . . . . 7 ((𝐡 βˆ– {π‘₯}) ∈ V β†’ (βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉) β†’ ((𝐡 βˆ– {π‘₯}) ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})) ⊊ 𝑉)))
5035, 36, 44, 49syl3c 66 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})) ⊊ 𝑉)
51 dfpss3 4081 . . . . . . 7 ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})) ⊊ 𝑉 ↔ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})) βŠ† 𝑉 ∧ Β¬ 𝑉 βŠ† (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯}))))
5251simprbi 496 . . . . . 6 ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})) ⊊ 𝑉 β†’ Β¬ 𝑉 βŠ† (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
5350, 52syl 17 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ Β¬ 𝑉 βŠ† (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
54 simplr2 1213 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))) β†’ (π‘β€˜π΅) = 𝑉)
558ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))) β†’ π‘Š ∈ LMod)
5632adantrr 714 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))) β†’ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝑉)
57 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
581, 57, 5lspcl 20821 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
5955, 56, 58syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))) β†’ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
60 ssun1 4167 . . . . . . . . . 10 𝐡 βŠ† (𝐡 βˆͺ {π‘₯})
61 undif1 4470 . . . . . . . . . 10 ((𝐡 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯}) = (𝐡 βˆͺ {π‘₯})
6260, 61sseqtrri 4014 . . . . . . . . 9 𝐡 βŠ† ((𝐡 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯})
631, 5lspssid 20830 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝑉) β†’ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) βŠ† (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
6455, 56, 63syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))) β†’ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) βŠ† (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
65 simprr 770 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))) β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
6665snssd 4807 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))) β†’ {π‘₯} βŠ† (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
6764, 66unssd 4181 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))) β†’ ((𝐡 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯}) βŠ† (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
6862, 67sstrid 3988 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))) β†’ 𝐡 βŠ† (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
6957, 5lspssp 20833 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ 𝐡 βŠ† (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯}))) β†’ (π‘β€˜π΅) βŠ† (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
7055, 59, 68, 69syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))) β†’ (π‘β€˜π΅) βŠ† (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
7154, 70eqsstrrd 4016 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))) β†’ 𝑉 βŠ† (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
7271expr 456 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})) β†’ 𝑉 βŠ† (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯}))))
7353, 72mtod 197 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
7473ralrimiva 3140 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
751, 2, 5islbs2 21003 . . . 4 (π‘Š ∈ LVec β†’ (𝐡 ∈ 𝐽 ↔ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))))
7675adantr 480 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) β†’ (𝐡 ∈ 𝐽 ↔ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))))
7729, 30, 74, 76mpbir3and 1339 . 2 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) β†’ 𝐡 ∈ 𝐽)
7828, 77impbida 798 1 (π‘Š ∈ LVec β†’ (𝐡 ∈ 𝐽 ↔ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084  βˆ€wal 1531   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  Vcvv 3468   βˆ– cdif 3940   βˆͺ cun 3941   βŠ† wss 3943   ⊊ wpss 3944  {csn 4623  β€˜cfv 6536  Basecbs 17151  Scalarcsca 17207  0gc0g 17392  1rcur 20084  DivRingcdr 20585  LModclmod 20704  LSubSpclss 20776  LSpanclspn 20816  LBasisclbs 20920  LVecclvec 20948
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-oppr 20234  df-dvdsr 20257  df-unit 20258  df-invr 20288  df-drng 20587  df-lmod 20706  df-lss 20777  df-lsp 20817  df-lbs 20921  df-lvec 20949
This theorem is referenced by:  obslbs  21621
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