MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islbs3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islbs3 21175
Description: An equivalent formulation of the basis predicate: a subset is a basis iff it is a minimal spanning set. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
islbs2.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
islbs2.j 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
islbs2.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
islbs3 (𝑊 ∈ LVec → (𝐵𝐽 ↔ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑠   𝑁,𝑠   𝑉,𝑠   𝑊,𝑠   𝐽,𝑠

Proof of Theorem islbs3
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islbs2.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 islbs2.j . . . . 5 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
31, 2lbsss 21094 . . . 4 (𝐵𝐽𝐵𝑉)
43adantl 481 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) → 𝐵𝑉)
5 islbs2.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
61, 2, 5lbssp 21096 . . . 4 (𝐵𝐽 → (𝑁𝐵) = 𝑉)
76adantl 481 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) → (𝑁𝐵) = 𝑉)
8 lveclmod 21123 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
983ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽𝑠𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
10 pssss 4108 . . . . . . . . 9 (𝑠𝐵𝑠𝐵)
1110, 3sylan9ssr 4010 . . . . . . . 8 ((𝐵𝐽𝑠𝐵) → 𝑠𝑉)
12113adant1 1129 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽𝑠𝐵) → 𝑠𝑉)
131, 5lspssv 20999 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠𝑉) → (𝑁𝑠) ⊆ 𝑉)
149, 12, 13syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽𝑠𝐵) → (𝑁𝑠) ⊆ 𝑉)
15 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
1615lvecdrng 21122 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LVec → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
17 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
18 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
1917, 18drngunz 20764 . . . . . . . . 9 ((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
2016, 19syl 17 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LVec → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
218, 20jca 511 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LVec → (𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
222, 5, 15, 18, 17, 1lbspss 21099 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝐵𝐽𝑠𝐵) → (𝑁𝑠) ≠ 𝑉)
2321, 22syl3an1 1162 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽𝑠𝐵) → (𝑁𝑠) ≠ 𝑉)
24 df-pss 3983 . . . . . 6 ((𝑁𝑠) ⊊ 𝑉 ↔ ((𝑁𝑠) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁𝑠) ≠ 𝑉))
2514, 23, 24sylanbrc 583 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽𝑠𝐵) → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉)
26253expia 1120 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) → (𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))
2726alrimiv 1925 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) → ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))
284, 7, 273jca 1127 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) → (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉)))
29 simpr1 1193 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) → 𝐵𝑉)
30 simpr2 1194 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) → (𝑁𝐵) = 𝑉)
31 simplr1 1214 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐵𝑉)
3231ssdifssd 4157 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥𝐵) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉)
331fvexi 6921 . . . . . . . 8 𝑉 ∈ V
34 ssexg 5329 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉𝑉 ∈ V) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ∈ V)
3532, 33, 34sylancl 586 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥𝐵) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ∈ V)
36 simplr3 1216 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥𝐵) → ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))
37 difssd 4147 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥𝐵) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐵)
38 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
39 neldifsn 4797 . . . . . . . . . 10 ¬ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {𝑥})
40 nelne1 3037 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {𝑥})) → 𝐵 ≠ (𝐵 ∖ {𝑥}))
4138, 39, 40sylancl 586 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐵 ≠ (𝐵 ∖ {𝑥}))
4241necomd 2994 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥𝐵) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ≠ 𝐵)
43 df-pss 3983 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∖ {𝑥}) ⊊ 𝐵 ↔ ((𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∖ {𝑥}) ≠ 𝐵))
4437, 42, 43sylanbrc 583 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥𝐵) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊊ 𝐵)
45 psseq1 4100 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝐵 ∖ {𝑥}) → (𝑠𝐵 ↔ (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊊ 𝐵))
46 fveq2 6907 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = (𝐵 ∖ {𝑥}) → (𝑁𝑠) = (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
4746psseq1d 4105 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝐵 ∖ {𝑥}) → ((𝑁𝑠) ⊊ 𝑉 ↔ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ⊊ 𝑉))
4845, 47imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑠 = (𝐵 ∖ {𝑥}) → ((𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉) ↔ ((𝐵 ∖ {𝑥}) ⊊ 𝐵 → (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ⊊ 𝑉)))
4948spcgv 3596 . . . . . . 7 ((𝐵 ∖ {𝑥}) ∈ V → (∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉) → ((𝐵 ∖ {𝑥}) ⊊ 𝐵 → (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ⊊ 𝑉)))
5035, 36, 44, 49syl3c 66 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ⊊ 𝑉)
51 dfpss3 4099 . . . . . . 7 ((𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ⊊ 𝑉 ↔ ((𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑉 ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥}))))
5251simprbi 496 . . . . . 6 ((𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ⊊ 𝑉 → ¬ 𝑉 ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
5350, 52syl 17 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥𝐵) → ¬ 𝑉 ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
54 simplr2 1215 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥𝐵𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → (𝑁𝐵) = 𝑉)
558ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥𝐵𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → 𝑊 ∈ LMod)
5632adantrr 717 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥𝐵𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉)
57 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
581, 57, 5lspcl 20992 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
5955, 56, 58syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥𝐵𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
60 ssun1 4188 . . . . . . . . . 10 𝐵 ⊆ (𝐵 ∪ {𝑥})
61 undif1 4482 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = (𝐵 ∪ {𝑥})
6260, 61sseqtrri 4033 . . . . . . . . 9 𝐵 ⊆ ((𝐵 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})
631, 5lspssid 21001 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
6455, 56, 63syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥𝐵𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
65 simprr 773 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥𝐵𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
6665snssd 4814 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥𝐵𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → {𝑥} ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
6764, 66unssd 4202 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥𝐵𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → ((𝐵 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
6862, 67sstrid 4007 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥𝐵𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → 𝐵 ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
6957, 5lspssp 21004 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝐵 ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥}))) → (𝑁𝐵) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
7055, 59, 68, 69syl3anc 1370 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥𝐵𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → (𝑁𝐵) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
7154, 70eqsstrrd 4035 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥𝐵𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → 𝑉 ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
7271expr 456 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) → 𝑉 ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥}))))
7353, 72mtod 198 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
7473ralrimiva 3144 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) → ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
751, 2, 5islbs2 21174 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → (𝐵𝐽 ↔ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))))
7675adantr 480 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) → (𝐵𝐽 ↔ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))))
7729, 30, 74, 76mpbir3and 1341 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))) → 𝐵𝐽)
7828, 77impbida 801 1 (𝑊 ∈ LVec → (𝐵𝐽 ↔ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠𝐵 → (𝑁𝑠) ⊊ 𝑉))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086  wal 1535   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  Vcvv 3478  cdif 3960  cun 3961  wss 3963  wpss 3964  {csn 4631  cfv 6563  Basecbs 17245  Scalarcsca 17301  0gc0g 17486  1rcur 20199  DivRingcdr 20746  LModclmod 20875  LSubSpclss 20947  LSpanclspn 20987  LBasisclbs 21091  LVecclvec 21119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lbs 21092  df-lvec 21120
This theorem is referenced by:  obslbs  21768
  Copyright terms: Public domain W3C validator