Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | islbs2.v |
. . . . 5
β’ π = (Baseβπ) |
2 | | islbs2.j |
. . . . 5
β’ π½ = (LBasisβπ) |
3 | 1, 2 | lbsss 20553 |
. . . 4
β’ (π΅ β π½ β π΅ β π) |
4 | 3 | adantl 483 |
. . 3
β’ ((π β LVec β§ π΅ β π½) β π΅ β π) |
5 | | islbs2.n |
. . . . 5
β’ π = (LSpanβπ) |
6 | 1, 2, 5 | lbssp 20555 |
. . . 4
β’ (π΅ β π½ β (πβπ΅) = π) |
7 | 6 | adantl 483 |
. . 3
β’ ((π β LVec β§ π΅ β π½) β (πβπ΅) = π) |
8 | | lveclmod 20582 |
. . . . . . . 8
β’ (π β LVec β π β LMod) |
9 | 8 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . 7
β’ ((π β LVec β§ π΅ β π½ β§ π β π΅) β π β LMod) |
10 | | pssss 4056 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β π΅ β π β π΅) |
11 | 10, 3 | sylan9ssr 3959 |
. . . . . . . 8
β’ ((π΅ β π½ β§ π β π΅) β π β π) |
12 | 11 | 3adant1 1131 |
. . . . . . 7
β’ ((π β LVec β§ π΅ β π½ β§ π β π΅) β π β π) |
13 | 1, 5 | lspssv 20459 |
. . . . . . 7
β’ ((π β LMod β§ π β π) β (πβπ ) β π) |
14 | 9, 12, 13 | syl2anc 585 |
. . . . . 6
β’ ((π β LVec β§ π΅ β π½ β§ π β π΅) β (πβπ ) β π) |
15 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . 10
β’
(Scalarβπ) =
(Scalarβπ) |
16 | 15 | lvecdrng 20581 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β LVec β
(Scalarβπ) β
DivRing) |
17 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . 10
β’
(0gβ(Scalarβπ)) =
(0gβ(Scalarβπ)) |
18 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . 10
β’
(1rβ(Scalarβπ)) =
(1rβ(Scalarβπ)) |
19 | 17, 18 | drngunz 20215 |
. . . . . . . . 9
β’
((Scalarβπ)
β DivRing β (1rβ(Scalarβπ)) β
(0gβ(Scalarβπ))) |
20 | 16, 19 | syl 17 |
. . . . . . . 8
β’ (π β LVec β
(1rβ(Scalarβπ)) β
(0gβ(Scalarβπ))) |
21 | 8, 20 | jca 513 |
. . . . . . 7
β’ (π β LVec β (π β LMod β§
(1rβ(Scalarβπ)) β
(0gβ(Scalarβπ)))) |
22 | 2, 5, 15, 18, 17, 1 | lbspss 20558 |
. . . . . . 7
β’ (((π β LMod β§
(1rβ(Scalarβπ)) β
(0gβ(Scalarβπ))) β§ π΅ β π½ β§ π β π΅) β (πβπ ) β π) |
23 | 21, 22 | syl3an1 1164 |
. . . . . 6
β’ ((π β LVec β§ π΅ β π½ β§ π β π΅) β (πβπ ) β π) |
24 | | df-pss 3930 |
. . . . . 6
β’ ((πβπ ) β π β ((πβπ ) β π β§ (πβπ ) β π)) |
25 | 14, 23, 24 | sylanbrc 584 |
. . . . 5
β’ ((π β LVec β§ π΅ β π½ β§ π β π΅) β (πβπ ) β π) |
26 | 25 | 3expia 1122 |
. . . 4
β’ ((π β LVec β§ π΅ β π½) β (π β π΅ β (πβπ ) β π)) |
27 | 26 | alrimiv 1931 |
. . 3
β’ ((π β LVec β§ π΅ β π½) β βπ (π β π΅ β (πβπ ) β π)) |
28 | 4, 7, 27 | 3jca 1129 |
. 2
β’ ((π β LVec β§ π΅ β π½) β (π΅ β π β§ (πβπ΅) = π β§ βπ (π β π΅ β (πβπ ) β π))) |
29 | | simpr1 1195 |
. . 3
β’ ((π β LVec β§ (π΅ β π β§ (πβπ΅) = π β§ βπ (π β π΅ β (πβπ ) β π))) β π΅ β π) |
30 | | simpr2 1196 |
. . 3
β’ ((π β LVec β§ (π΅ β π β§ (πβπ΅) = π β§ βπ (π β π΅ β (πβπ ) β π))) β (πβπ΅) = π) |
31 | | simplr1 1216 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β LVec β§ (π΅ β π β§ (πβπ΅) = π β§ βπ (π β π΅ β (πβπ ) β π))) β§ π₯ β π΅) β π΅ β π) |
32 | 31 | ssdifssd 4103 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β LVec β§ (π΅ β π β§ (πβπ΅) = π β§ βπ (π β π΅ β (πβπ ) β π))) β§ π₯ β π΅) β (π΅ β {π₯}) β π) |
33 | 1 | fvexi 6857 |
. . . . . . . 8
β’ π β V |
34 | | ssexg 5281 |
. . . . . . . 8
β’ (((π΅ β {π₯}) β π β§ π β V) β (π΅ β {π₯}) β V) |
35 | 32, 33, 34 | sylancl 587 |
. . . . . . 7
β’ (((π β LVec β§ (π΅ β π β§ (πβπ΅) = π β§ βπ (π β π΅ β (πβπ ) β π))) β§ π₯ β π΅) β (π΅ β {π₯}) β V) |
36 | | simplr3 1218 |
. . . . . . 7
β’ (((π β LVec β§ (π΅ β π β§ (πβπ΅) = π β§ βπ (π β π΅ β (πβπ ) β π))) β§ π₯ β π΅) β βπ (π β π΅ β (πβπ ) β π)) |
37 | | difssd 4093 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β LVec β§ (π΅ β π β§ (πβπ΅) = π β§ βπ (π β π΅ β (πβπ ) β π))) β§ π₯ β π΅) β (π΅ β {π₯}) β π΅) |
38 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β LVec β§ (π΅ β π β§ (πβπ΅) = π β§ βπ (π β π΅ β (πβπ ) β π))) β§ π₯ β π΅) β π₯ β π΅) |
39 | | neldifsn 4753 |
. . . . . . . . . 10
β’ Β¬
π₯ β (π΅ β {π₯}) |
40 | | nelne1 3038 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π₯ β π΅ β§ Β¬ π₯ β (π΅ β {π₯})) β π΅ β (π΅ β {π₯})) |
41 | 38, 39, 40 | sylancl 587 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β LVec β§ (π΅ β π β§ (πβπ΅) = π β§ βπ (π β π΅ β (πβπ ) β π))) β§ π₯ β π΅) β π΅ β (π΅ β {π₯})) |
42 | 41 | necomd 2996 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β LVec β§ (π΅ β π β§ (πβπ΅) = π β§ βπ (π β π΅ β (πβπ ) β π))) β§ π₯ β π΅) β (π΅ β {π₯}) β π΅) |
43 | | df-pss 3930 |
. . . . . . . 8
β’ ((π΅ β {π₯}) β π΅ β ((π΅ β {π₯}) β π΅ β§ (π΅ β {π₯}) β π΅)) |
44 | 37, 42, 43 | sylanbrc 584 |
. . . . . . 7
β’ (((π β LVec β§ (π΅ β π β§ (πβπ΅) = π β§ βπ (π β π΅ β (πβπ ) β π))) β§ π₯ β π΅) β (π΅ β {π₯}) β π΅) |
45 | | psseq1 4048 |
. . . . . . . . 9
β’ (π = (π΅ β {π₯}) β (π β π΅ β (π΅ β {π₯}) β π΅)) |
46 | | fveq2 6843 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π = (π΅ β {π₯}) β (πβπ ) = (πβ(π΅ β {π₯}))) |
47 | 46 | psseq1d 4053 |
. . . . . . . . 9
β’ (π = (π΅ β {π₯}) β ((πβπ ) β π β (πβ(π΅ β {π₯})) β π)) |
48 | 45, 47 | imbi12d 345 |
. . . . . . . 8
β’ (π = (π΅ β {π₯}) β ((π β π΅ β (πβπ ) β π) β ((π΅ β {π₯}) β π΅ β (πβ(π΅ β {π₯})) β π))) |
49 | 48 | spcgv 3554 |
. . . . . . 7
β’ ((π΅ β {π₯}) β V β (βπ (π β π΅ β (πβπ ) β π) β ((π΅ β {π₯}) β π΅ β (πβ(π΅ β {π₯})) β π))) |
50 | 35, 36, 44, 49 | syl3c 66 |
. . . . . 6
β’ (((π β LVec β§ (π΅ β π β§ (πβπ΅) = π β§ βπ (π β π΅ β (πβπ ) β π))) β§ π₯ β π΅) β (πβ(π΅ β {π₯})) β π) |
51 | | dfpss3 4047 |
. . . . . . 7
β’ ((πβ(π΅ β {π₯})) β π β ((πβ(π΅ β {π₯})) β π β§ Β¬ π β (πβ(π΅ β {π₯})))) |
52 | 51 | simprbi 498 |
. . . . . 6
β’ ((πβ(π΅ β {π₯})) β π β Β¬ π β (πβ(π΅ β {π₯}))) |
53 | 50, 52 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((π β LVec β§ (π΅ β π β§ (πβπ΅) = π β§ βπ (π β π΅ β (πβπ ) β π))) β§ π₯ β π΅) β Β¬ π β (πβ(π΅ β {π₯}))) |
54 | | simplr2 1217 |
. . . . . . 7
β’ (((π β LVec β§ (π΅ β π β§ (πβπ΅) = π β§ βπ (π β π΅ β (πβπ ) β π))) β§ (π₯ β π΅ β§ π₯ β (πβ(π΅ β {π₯})))) β (πβπ΅) = π) |
55 | 8 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β LVec β§ (π΅ β π β§ (πβπ΅) = π β§ βπ (π β π΅ β (πβπ ) β π))) β§ (π₯ β π΅ β§ π₯ β (πβ(π΅ β {π₯})))) β π β LMod) |
56 | 32 | adantrr 716 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β LVec β§ (π΅ β π β§ (πβπ΅) = π β§ βπ (π β π΅ β (πβπ ) β π))) β§ (π₯ β π΅ β§ π₯ β (πβ(π΅ β {π₯})))) β (π΅ β {π₯}) β π) |
57 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . 10
β’
(LSubSpβπ) =
(LSubSpβπ) |
58 | 1, 57, 5 | lspcl 20452 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β LMod β§ (π΅ β {π₯}) β π) β (πβ(π΅ β {π₯})) β (LSubSpβπ)) |
59 | 55, 56, 58 | syl2anc 585 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β LVec β§ (π΅ β π β§ (πβπ΅) = π β§ βπ (π β π΅ β (πβπ ) β π))) β§ (π₯ β π΅ β§ π₯ β (πβ(π΅ β {π₯})))) β (πβ(π΅ β {π₯})) β (LSubSpβπ)) |
60 | | ssun1 4133 |
. . . . . . . . . 10
β’ π΅ β (π΅ βͺ {π₯}) |
61 | | undif1 4436 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π΅ β {π₯}) βͺ {π₯}) = (π΅ βͺ {π₯}) |
62 | 60, 61 | sseqtrri 3982 |
. . . . . . . . 9
β’ π΅ β ((π΅ β {π₯}) βͺ {π₯}) |
63 | 1, 5 | lspssid 20461 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β LMod β§ (π΅ β {π₯}) β π) β (π΅ β {π₯}) β (πβ(π΅ β {π₯}))) |
64 | 55, 56, 63 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β LVec β§ (π΅ β π β§ (πβπ΅) = π β§ βπ (π β π΅ β (πβπ ) β π))) β§ (π₯ β π΅ β§ π₯ β (πβ(π΅ β {π₯})))) β (π΅ β {π₯}) β (πβ(π΅ β {π₯}))) |
65 | | simprr 772 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β LVec β§ (π΅ β π β§ (πβπ΅) = π β§ βπ (π β π΅ β (πβπ ) β π))) β§ (π₯ β π΅ β§ π₯ β (πβ(π΅ β {π₯})))) β π₯ β (πβ(π΅ β {π₯}))) |
66 | 65 | snssd 4770 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β LVec β§ (π΅ β π β§ (πβπ΅) = π β§ βπ (π β π΅ β (πβπ ) β π))) β§ (π₯ β π΅ β§ π₯ β (πβ(π΅ β {π₯})))) β {π₯} β (πβ(π΅ β {π₯}))) |
67 | 64, 66 | unssd 4147 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β LVec β§ (π΅ β π β§ (πβπ΅) = π β§ βπ (π β π΅ β (πβπ ) β π))) β§ (π₯ β π΅ β§ π₯ β (πβ(π΅ β {π₯})))) β ((π΅ β {π₯}) βͺ {π₯}) β (πβ(π΅ β {π₯}))) |
68 | 62, 67 | sstrid 3956 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β LVec β§ (π΅ β π β§ (πβπ΅) = π β§ βπ (π β π΅ β (πβπ ) β π))) β§ (π₯ β π΅ β§ π₯ β (πβ(π΅ β {π₯})))) β π΅ β (πβ(π΅ β {π₯}))) |
69 | 57, 5 | lspssp 20464 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β LMod β§ (πβ(π΅ β {π₯})) β (LSubSpβπ) β§ π΅ β (πβ(π΅ β {π₯}))) β (πβπ΅) β (πβ(π΅ β {π₯}))) |
70 | 55, 59, 68, 69 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
β’ (((π β LVec β§ (π΅ β π β§ (πβπ΅) = π β§ βπ (π β π΅ β (πβπ ) β π))) β§ (π₯ β π΅ β§ π₯ β (πβ(π΅ β {π₯})))) β (πβπ΅) β (πβ(π΅ β {π₯}))) |
71 | 54, 70 | eqsstrrd 3984 |
. . . . . 6
β’ (((π β LVec β§ (π΅ β π β§ (πβπ΅) = π β§ βπ (π β π΅ β (πβπ ) β π))) β§ (π₯ β π΅ β§ π₯ β (πβ(π΅ β {π₯})))) β π β (πβ(π΅ β {π₯}))) |
72 | 71 | expr 458 |
. . . . 5
β’ (((π β LVec β§ (π΅ β π β§ (πβπ΅) = π β§ βπ (π β π΅ β (πβπ ) β π))) β§ π₯ β π΅) β (π₯ β (πβ(π΅ β {π₯})) β π β (πβ(π΅ β {π₯})))) |
73 | 53, 72 | mtod 197 |
. . . 4
β’ (((π β LVec β§ (π΅ β π β§ (πβπ΅) = π β§ βπ (π β π΅ β (πβπ ) β π))) β§ π₯ β π΅) β Β¬ π₯ β (πβ(π΅ β {π₯}))) |
74 | 73 | ralrimiva 3140 |
. . 3
β’ ((π β LVec β§ (π΅ β π β§ (πβπ΅) = π β§ βπ (π β π΅ β (πβπ ) β π))) β βπ₯ β π΅ Β¬ π₯ β (πβ(π΅ β {π₯}))) |
75 | 1, 2, 5 | islbs2 20631 |
. . . 4
β’ (π β LVec β (π΅ β π½ β (π΅ β π β§ (πβπ΅) = π β§ βπ₯ β π΅ Β¬ π₯ β (πβ(π΅ β {π₯}))))) |
76 | 75 | adantr 482 |
. . 3
β’ ((π β LVec β§ (π΅ β π β§ (πβπ΅) = π β§ βπ (π β π΅ β (πβπ ) β π))) β (π΅ β π½ β (π΅ β π β§ (πβπ΅) = π β§ βπ₯ β π΅ Β¬ π₯ β (πβ(π΅ β {π₯}))))) |
77 | 29, 30, 74, 76 | mpbir3and 1343 |
. 2
β’ ((π β LVec β§ (π΅ β π β§ (πβπ΅) = π β§ βπ (π β π΅ β (πβπ ) β π))) β π΅ β π½) |
78 | 28, 77 | impbida 800 |
1
β’ (π β LVec β (π΅ β π½ β (π΅ β π β§ (πβπ΅) = π β§ βπ (π β π΅ β (πβπ ) β π)))) |