Theorem islbs3 20332

Description: An equivalent formulation of the basis predicate: a subset is a basis iff it is a minimal spanning set. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
islbs2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
islbs2.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
islbs2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
islbs3	⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑠   𝑁,𝑠   𝑉,𝑠   𝑊,𝑠   𝐽,𝑠

Proof of Theorem islbs3

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islbs2.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		islbs2.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
3	1, 2	lbsss 20254	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐽 → 𝐵 ⊆ 𝑉)
4	3	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → 𝐵 ⊆ 𝑉)
5		islbs2.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
6	1, 2, 5	lbssp 20256	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐽 → (𝑁‘𝐵) = 𝑉)
7	6	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝑁‘𝐵) = 𝑉)
8		lveclmod 20283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
9	8	3ad2ant1 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
10		pssss 4026	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ⊊ 𝐵 → 𝑠 ⊆ 𝐵)
11	10, 3	sylan9ssr 3931	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐵) → 𝑠 ⊆ 𝑉)
12	11	3adant1 1128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐵) → 𝑠 ⊆ 𝑉)
13	1, 5	lspssv 20160	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘𝑠) ⊆ 𝑉)
14	9, 12, 13	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐵) → (𝑁‘𝑠) ⊆ 𝑉)
15		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
16	15	lvecdrng 20282	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
17		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
18		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
19	17, 18	drngunz 19921	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
20	16, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
21	8, 20	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
22	2, 5, 15, 18, 17, 1	lbspss 20259	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐵) → (𝑁‘𝑠) ≠ 𝑉)
23	21, 22	syl3an1 1161	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐵) → (𝑁‘𝑠) ≠ 𝑉)
24		df-pss 3902	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉 ↔ ((𝑁‘𝑠) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝑠) ≠ 𝑉))
25	14, 23, 24	sylanbrc 582	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐵) → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉)
26	25	3expia 1119	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))
27	26	alrimiv 1931	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))
28	4, 7, 27	3jca 1126	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉)))
29		simpr1 1192	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) → 𝐵 ⊆ 𝑉)
30		simpr2 1193	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) → (𝑁‘𝐵) = 𝑉)
31		simplr1 1213	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐵 ⊆ 𝑉)
32	31	ssdifssd 4073	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉)
33	1	fvexi 6770	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 ∈ V
34		ssexg 5242	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉 ∧ 𝑉 ∈ V) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ∈ V)
35	32, 33, 34	sylancl 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ∈ V)
36		simplr3 1215	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))
37		difssd 4063	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐵)
38		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
39		neldifsn 4722	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {𝑥})
40		nelne1 3040	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {𝑥})) → 𝐵 ≠ (𝐵 ∖ {𝑥}))
41	38, 39, 40	sylancl 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐵 ≠ (𝐵 ∖ {𝑥}))
42	41	necomd 2998	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ≠ 𝐵)
43		df-pss 3902	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∖ {𝑥}) ⊊ 𝐵 ↔ ((𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∖ {𝑥}) ≠ 𝐵))
44	37, 42, 43	sylanbrc 582	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊊ 𝐵)
45		psseq1 4018	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝐵 ∖ {𝑥}) → (𝑠 ⊊ 𝐵 ↔ (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊊ 𝐵))
46		fveq2 6756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = (𝐵 ∖ {𝑥}) → (𝑁‘𝑠) = (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
47	46	psseq1d 4023	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝐵 ∖ {𝑥}) → ((𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉 ↔ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ⊊ 𝑉))
48	45, 47	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = (𝐵 ∖ {𝑥}) → ((𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉) ↔ ((𝐵 ∖ {𝑥}) ⊊ 𝐵 → (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ⊊ 𝑉)))
49	48	spcgv 3525	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∖ {𝑥}) ∈ V → (∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉) → ((𝐵 ∖ {𝑥}) ⊊ 𝐵 → (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ⊊ 𝑉)))
50	35, 36, 44, 49	syl3c 66	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ⊊ 𝑉)
51		dfpss3 4017	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ⊊ 𝑉 ↔ ((𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑉 ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥}))))
52	51	simprbi 496	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ⊊ 𝑉 → ¬ 𝑉 ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
53	50, 52	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑉 ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
54		simplr2 1214	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → (𝑁‘𝐵) = 𝑉)
55	8	ad2antrr 722	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → 𝑊 ∈ LMod)
56	32	adantrr 713	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉)
57		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
58	1, 57, 5	lspcl 20153	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
59	55, 56, 58	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
60		ssun1 4102	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐵 ∪ {𝑥})
61		undif1 4406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = (𝐵 ∪ {𝑥})
62	60, 61	sseqtrri 3954	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ⊆ ((𝐵 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})
63	1, 5	lspssid 20162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
64	55, 56, 63	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
65		simprr 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
66	65	snssd 4739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → {𝑥} ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
67	64, 66	unssd 4116	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → ((𝐵 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
68	62, 67	sstrid 3928	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → 𝐵 ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
69	57, 5	lspssp 20165	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝐵 ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥}))) → (𝑁‘𝐵) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
70	55, 59, 68, 69	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → (𝑁‘𝐵) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
71	54, 70	eqsstrrd 3956	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → 𝑉 ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
72	71	expr 456	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) → 𝑉 ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥}))))
73	53, 72	mtod 197	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
74	73	ralrimiva 3107	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
75	1, 2, 5	islbs2 20331	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))))
76	75	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))))
77	29, 30, 74, 76	mpbir3and 1340	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) → 𝐵 ∈ 𝐽)
78	28, 77	impbida 797	1 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085  ∀wal 1537   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880   ∪ cun 3881   ⊆ wss 3883   ⊊ wpss 3884  {csn 4558  ‘cfv 6418  Basecbs 16840  Scalarcsca 16891  0_gc0g 17067  1_rcur 19652  DivRingcdr 19906  LModclmod 20038  LSubSpclss 20108  LSpanclspn 20148  LBasisclbs 20251  LVecclvec 20279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-drng 19908  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-lbs 20252  df-lvec 20280

This theorem is referenced by:  obslbs  20847