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Theorem islbs3 21043
Description: An equivalent formulation of the basis predicate: a subset is a basis iff it is a minimal spanning set. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
islbs2.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
islbs2.j 𝐽 = (LBasisβ€˜π‘Š)
islbs2.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
islbs3 (π‘Š ∈ LVec β†’ (𝐡 ∈ 𝐽 ↔ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑠   𝑁,𝑠   𝑉,𝑠   π‘Š,𝑠   𝐽,𝑠
Proof of Theorem islbs3
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islbs2.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 islbs2.j . . . . 5 𝐽 = (LBasisβ€˜π‘Š)
31, 2lbsss 20962 . . . 4 (𝐡 ∈ 𝐽 β†’ 𝐡 βŠ† 𝑉)
43adantl 481 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) β†’ 𝐡 βŠ† 𝑉)
5 islbs2.n . . . . 5 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
61, 2, 5lbssp 20964 . . . 4 (𝐡 ∈ 𝐽 β†’ (π‘β€˜π΅) = 𝑉)
76adantl 481 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) β†’ (π‘β€˜π΅) = 𝑉)
8 lveclmod 20991 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
983ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐡) β†’ π‘Š ∈ LMod)
10 pssss 4093 . . . . . . . . 9 (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ 𝑠 βŠ† 𝐡)
1110, 3sylan9ssr 3994 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐡) β†’ 𝑠 βŠ† 𝑉)
12113adant1 1128 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐡) β†’ 𝑠 βŠ† 𝑉)
131, 5lspssv 20867 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑠 βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜π‘ ) βŠ† 𝑉)
149, 12, 13syl2anc 583 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘ ) βŠ† 𝑉)
15 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
1615lvecdrng 20990 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ LVec β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing)
17 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
18 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
1917, 18drngunz 20643 . . . . . . . . 9 ((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
2016, 19syl 17 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LVec β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
218, 20jca 511 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LVec β†’ (π‘Š ∈ LMod ∧ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
222, 5, 15, 18, 17, 1lbspss 20967 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘ ) β‰  𝑉)
2321, 22syl3an1 1161 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘ ) β‰  𝑉)
24 df-pss 3966 . . . . . 6 ((π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉 ↔ ((π‘β€˜π‘ ) βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π‘ ) β‰  𝑉))
2514, 23, 24sylanbrc 582 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉)
26253expia 1119 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) β†’ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))
2726alrimiv 1923 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) β†’ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))
284, 7, 273jca 1126 . 2 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) β†’ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉)))
29 simpr1 1192 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) β†’ 𝐡 βŠ† 𝑉)
30 simpr2 1193 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) β†’ (π‘β€˜π΅) = 𝑉)
31 simplr1 1213 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐡 βŠ† 𝑉)
3231ssdifssd 4141 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝑉)
331fvexi 6911 . . . . . . . 8 𝑉 ∈ V
34 ssexg 5323 . . . . . . . 8 (((𝐡 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝑉 ∧ 𝑉 ∈ V) β†’ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) ∈ V)
3532, 33, 34sylancl 585 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) ∈ V)
36 simplr3 1215 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))
37 difssd 4131 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝐡)
38 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
39 neldifsn 4796 . . . . . . . . . 10 Β¬ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– {π‘₯})
40 nelne1 3036 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– {π‘₯})) β†’ 𝐡 β‰  (𝐡 βˆ– {π‘₯}))
4138, 39, 40sylancl 585 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐡 β‰  (𝐡 βˆ– {π‘₯}))
4241necomd 2993 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) β‰  𝐡)
43 df-pss 3966 . . . . . . . 8 ((𝐡 βˆ– {π‘₯}) ⊊ 𝐡 ↔ ((𝐡 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝐡 ∧ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) β‰  𝐡))
4437, 42, 43sylanbrc 582 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) ⊊ 𝐡)
45 psseq1 4085 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝐡 βˆ– {π‘₯}) β†’ (𝑠 ⊊ 𝐡 ↔ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) ⊊ 𝐡))
46 fveq2 6897 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = (𝐡 βˆ– {π‘₯}) β†’ (π‘β€˜π‘ ) = (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
4746psseq1d 4090 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝐡 βˆ– {π‘₯}) β†’ ((π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉 ↔ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})) ⊊ 𝑉))
4845, 47imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑠 = (𝐡 βˆ– {π‘₯}) β†’ ((𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉) ↔ ((𝐡 βˆ– {π‘₯}) ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})) ⊊ 𝑉)))
4948spcgv 3583 . . . . . . 7 ((𝐡 βˆ– {π‘₯}) ∈ V β†’ (βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉) β†’ ((𝐡 βˆ– {π‘₯}) ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})) ⊊ 𝑉)))
5035, 36, 44, 49syl3c 66 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})) ⊊ 𝑉)
51 dfpss3 4084 . . . . . . 7 ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})) ⊊ 𝑉 ↔ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})) βŠ† 𝑉 ∧ Β¬ 𝑉 βŠ† (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯}))))
5251simprbi 496 . . . . . 6 ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})) ⊊ 𝑉 β†’ Β¬ 𝑉 βŠ† (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
5350, 52syl 17 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ Β¬ 𝑉 βŠ† (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
54 simplr2 1214 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))) β†’ (π‘β€˜π΅) = 𝑉)
558ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))) β†’ π‘Š ∈ LMod)
5632adantrr 716 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))) β†’ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝑉)
57 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
581, 57, 5lspcl 20860 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
5955, 56, 58syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))) β†’ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
60 ssun1 4172 . . . . . . . . . 10 𝐡 βŠ† (𝐡 βˆͺ {π‘₯})
61 undif1 4476 . . . . . . . . . 10 ((𝐡 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯}) = (𝐡 βˆͺ {π‘₯})
6260, 61sseqtrri 4017 . . . . . . . . 9 𝐡 βŠ† ((𝐡 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯})
631, 5lspssid 20869 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝑉) β†’ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) βŠ† (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
6455, 56, 63syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))) β†’ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) βŠ† (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
65 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))) β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
6665snssd 4813 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))) β†’ {π‘₯} βŠ† (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
6764, 66unssd 4186 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))) β†’ ((𝐡 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯}) βŠ† (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
6862, 67sstrid 3991 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))) β†’ 𝐡 βŠ† (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
6957, 5lspssp 20872 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ 𝐡 βŠ† (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯}))) β†’ (π‘β€˜π΅) βŠ† (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
7055, 59, 68, 69syl3anc 1369 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))) β†’ (π‘β€˜π΅) βŠ† (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
7154, 70eqsstrrd 4019 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))) β†’ 𝑉 βŠ† (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
7271expr 456 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})) β†’ 𝑉 βŠ† (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯}))))
7353, 72mtod 197 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
7473ralrimiva 3143 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
751, 2, 5islbs2 21042 . . . 4 (π‘Š ∈ LVec β†’ (𝐡 ∈ 𝐽 ↔ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))))
7675adantr 480 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) β†’ (𝐡 ∈ 𝐽 ↔ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))))
7729, 30, 74, 76mpbir3and 1340 . 2 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))) β†’ 𝐡 ∈ 𝐽)
7828, 77impbida 800 1 (π‘Š ∈ LVec β†’ (𝐡 ∈ 𝐽 ↔ (𝐡 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π΅) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘ ) ⊊ 𝑉))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085  βˆ€wal 1532   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937  βˆ€wral 3058  Vcvv 3471   βˆ– cdif 3944   βˆͺ cun 3945   βŠ† wss 3947   ⊊ wpss 3948  {csn 4629  β€˜cfv 6548  Basecbs 17180  Scalarcsca 17236  0gc0g 17421  1rcur 20121  DivRingcdr 20624  LModclmod 20743  LSubSpclss 20815  LSpanclspn 20855  LBasisclbs 20959  LVecclvec 20987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-0g 17423  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-oppr 20273  df-dvdsr 20296  df-unit 20297  df-invr 20327  df-drng 20626  df-lmod 20745  df-lss 20816  df-lsp 20856  df-lbs 20960  df-lvec 20988
This theorem is referenced by:  obslbs  21664
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