MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpfaclem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pgpfaclem2 19861
Description: Lemma for pgpfac 19863. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
pgpfac.c 𝐢 = {π‘Ÿ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∣ (𝐺 β†Ύs π‘Ÿ) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )}
pgpfac.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Abel)
pgpfac.p (πœ‘ β†’ 𝑃 pGrp 𝐺)
pgpfac.f (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ Fin)
pgpfac.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
pgpfac.a (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)(𝑑 ⊊ π‘ˆ β†’ βˆƒπ‘  ∈ Word 𝐢(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑑)))
pgpfac.h 𝐻 = (𝐺 β†Ύs π‘ˆ)
pgpfac.k 𝐾 = (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜π»))
pgpfac.o 𝑂 = (odβ€˜π»)
pgpfac.e 𝐸 = (gExβ€˜π»)
pgpfac.0 0 = (0gβ€˜π»)
pgpfac.l βŠ• = (LSSumβ€˜π»)
pgpfac.1 (πœ‘ β†’ 𝐸 β‰  1)
pgpfac.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
pgpfac.oe (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜π‘‹) = 𝐸)
pgpfac.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜π»))
pgpfac.i (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜{𝑋}) ∩ π‘Š) = { 0 })
pgpfac.s (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜{𝑋}) βŠ• π‘Š) = π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
pgpfaclem2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘  ∈ Word 𝐢(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = π‘ˆ))
Distinct variable groups:   𝑑,𝑠,𝐢   𝑠,π‘Ÿ,𝑑,𝐺   𝐾,π‘Ÿ,𝑠   πœ‘,𝑑   𝐡,𝑠,𝑑   π‘ˆ,π‘Ÿ,𝑠,𝑑   π‘Š,𝑠,𝑑   𝑋,π‘Ÿ,𝑠
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑠,π‘Ÿ)   𝐡(π‘Ÿ)   𝐢(π‘Ÿ)   𝑃(𝑑,𝑠,π‘Ÿ)   βŠ• (𝑑,𝑠,π‘Ÿ)   𝐸(𝑑,𝑠,π‘Ÿ)   𝐻(𝑑,𝑠,π‘Ÿ)   𝐾(𝑑)   𝑂(𝑑,𝑠,π‘Ÿ)   π‘Š(π‘Ÿ)   𝑋(𝑑)   0 (𝑑,𝑠,π‘Ÿ)

Proof of Theorem pgpfaclem2
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfac.w . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜π»))
2 pgpfac.u . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
3 pgpfac.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (𝐺 β†Ύs π‘ˆ)
43subsubg 18951 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ (π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜π») ↔ (π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ π‘Š βŠ† π‘ˆ)))
52, 4syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜π») ↔ (π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ π‘Š βŠ† π‘ˆ)))
61, 5mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ π‘Š βŠ† π‘ˆ))
76simprd 496 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š βŠ† π‘ˆ)
8 pgpfac.f . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ Fin)
9 pgpfac.b . . . . . . . . . . . . 13 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
109subgss 18929 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐡)
112, 10syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐡)
128, 11ssfid 9211 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ Fin)
1312, 7ssfid 9211 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Fin)
14 hashcl 14256 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ Fin β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
1615nn0red 12474 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ ℝ)
17 pgpfac.0 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0gβ€˜π»)
1817fvexi 6856 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
19 hashsng 14269 . . . . . . . . . . 11 ( 0 ∈ V β†’ (β™―β€˜{ 0 }) = 1)
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (β™―β€˜{ 0 }) = 1
21 subgrcl 18933 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜π») β†’ 𝐻 ∈ Grp)
22 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Baseβ€˜π») = (Baseβ€˜π»)
2322subgacs 18963 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐻 ∈ Grp β†’ (SubGrpβ€˜π») ∈ (ACSβ€˜(Baseβ€˜π»)))
24 acsmre 17532 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((SubGrpβ€˜π») ∈ (ACSβ€˜(Baseβ€˜π»)) β†’ (SubGrpβ€˜π») ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜π»)))
251, 21, 23, 244syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (SubGrpβ€˜π») ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜π»)))
26 pgpfac.k . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐾 = (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜π»))
2725, 26mrcssvd 17503 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜{𝑋}) βŠ† (Baseβ€˜π»))
283subgbas 18932 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π»))
292, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π»))
3027, 29sseqtrrd 3985 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ)
3112, 30ssfid 9211 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜{𝑋}) ∈ Fin)
32 pgpfac.x . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
3332, 29eleqtrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π»))
3426mrcsncl 17492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((SubGrpβ€˜π») ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜π»)) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π»)) β†’ (πΎβ€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π»))
3525, 33, 34syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π»))
3617subg0cl 18936 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πΎβ€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π») β†’ 0 ∈ (πΎβ€˜{𝑋}))
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (πΎβ€˜{𝑋}))
3837snssd 4769 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ { 0 } βŠ† (πΎβ€˜{𝑋}))
3933snssd 4769 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ {𝑋} βŠ† (Baseβ€˜π»))
4025, 26, 39mrcssidd 17505 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ {𝑋} βŠ† (πΎβ€˜{𝑋}))
41 snssg 4744 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 ∈ π‘ˆ β†’ (𝑋 ∈ (πΎβ€˜{𝑋}) ↔ {𝑋} βŠ† (πΎβ€˜{𝑋})))
4232, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (πΎβ€˜{𝑋}) ↔ {𝑋} βŠ† (πΎβ€˜{𝑋})))
4340, 42mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (πΎβ€˜{𝑋}))
44 pgpfac.oe . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜π‘‹) = 𝐸)
45 pgpfac.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐸 β‰  1)
4644, 45eqnetrd 3011 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜π‘‹) β‰  1)
47 pgpfac.o . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑂 = (odβ€˜π»)
4847, 17od1 19341 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐻 ∈ Grp β†’ (π‘‚β€˜ 0 ) = 1)
491, 21, 483syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜ 0 ) = 1)
50 elsni 4603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋 ∈ { 0 } β†’ 𝑋 = 0 )
5150fveqeq2d 6850 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ { 0 } β†’ ((π‘‚β€˜π‘‹) = 1 ↔ (π‘‚β€˜ 0 ) = 1))
5249, 51syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ { 0 } β†’ (π‘‚β€˜π‘‹) = 1))
5352necon3ad 2956 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜π‘‹) β‰  1 β†’ Β¬ 𝑋 ∈ { 0 }))
5446, 53mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ { 0 })
5538, 43, 54ssnelpssd 4072 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ { 0 } ⊊ (πΎβ€˜{𝑋}))
56 php3 9156 . . . . . . . . . . . 12 (((πΎβ€˜{𝑋}) ∈ Fin ∧ { 0 } ⊊ (πΎβ€˜{𝑋})) β†’ { 0 } β‰Ί (πΎβ€˜{𝑋}))
5731, 55, 56syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ { 0 } β‰Ί (πΎβ€˜{𝑋}))
58 snfi 8988 . . . . . . . . . . . 12 { 0 } ∈ Fin
59 hashsdom 14281 . . . . . . . . . . . 12 (({ 0 } ∈ Fin ∧ (πΎβ€˜{𝑋}) ∈ Fin) β†’ ((β™―β€˜{ 0 }) < (β™―β€˜(πΎβ€˜{𝑋})) ↔ { 0 } β‰Ί (πΎβ€˜{𝑋})))
6058, 31, 59sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜{ 0 }) < (β™―β€˜(πΎβ€˜{𝑋})) ↔ { 0 } β‰Ί (πΎβ€˜{𝑋})))
6157, 60mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜{ 0 }) < (β™―β€˜(πΎβ€˜{𝑋})))
6220, 61eqbrtrrid 5141 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 1 < (β™―β€˜(πΎβ€˜{𝑋})))
63 1red 11156 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
64 hashcl 14256 . . . . . . . . . . . 12 ((πΎβ€˜{𝑋}) ∈ Fin β†’ (β™―β€˜(πΎβ€˜{𝑋})) ∈ β„•0)
6531, 64syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(πΎβ€˜{𝑋})) ∈ β„•0)
6665nn0red 12474 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(πΎβ€˜{𝑋})) ∈ ℝ)
6717subg0cl 18936 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜π») β†’ 0 ∈ π‘Š)
68 ne0i 4294 . . . . . . . . . . . . 13 ( 0 ∈ π‘Š β†’ π‘Š β‰  βˆ…)
691, 67, 683syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘Š β‰  βˆ…)
70 hashnncl 14266 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Š ∈ Fin β†’ ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„• ↔ π‘Š β‰  βˆ…))
7113, 70syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„• ↔ π‘Š β‰  βˆ…))
7269, 71mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•)
7372nngt0d 12202 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 < (β™―β€˜π‘Š))
74 ltmul1 12005 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ (β™―β€˜(πΎβ€˜{𝑋})) ∈ ℝ ∧ ((β™―β€˜π‘Š) ∈ ℝ ∧ 0 < (β™―β€˜π‘Š))) β†’ (1 < (β™―β€˜(πΎβ€˜{𝑋})) ↔ (1 Β· (β™―β€˜π‘Š)) < ((β™―β€˜(πΎβ€˜{𝑋})) Β· (β™―β€˜π‘Š))))
7563, 66, 16, 73, 74syl112anc 1374 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (1 < (β™―β€˜(πΎβ€˜{𝑋})) ↔ (1 Β· (β™―β€˜π‘Š)) < ((β™―β€˜(πΎβ€˜{𝑋})) Β· (β™―β€˜π‘Š))))
7662, 75mpbid 231 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1 Β· (β™―β€˜π‘Š)) < ((β™―β€˜(πΎβ€˜{𝑋})) Β· (β™―β€˜π‘Š)))
7716recnd 11183 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„‚)
7877mulid2d 11173 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1 Β· (β™―β€˜π‘Š)) = (β™―β€˜π‘Š))
79 pgpfac.l . . . . . . . . . 10 βŠ• = (LSSumβ€˜π»)
80 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (Cntzβ€˜π») = (Cntzβ€˜π»)
81 pgpfac.i . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜{𝑋}) ∩ π‘Š) = { 0 })
82 pgpfac.g . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Abel)
833subgabl 19614 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Abel ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ 𝐻 ∈ Abel)
8482, 2, 83syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ Abel)
8580, 84, 35, 1ablcntzd 19635 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜{𝑋}) βŠ† ((Cntzβ€˜π»)β€˜π‘Š))
8679, 17, 80, 35, 1, 81, 85, 31, 13lsmhash 19487 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜((πΎβ€˜{𝑋}) βŠ• π‘Š)) = ((β™―β€˜(πΎβ€˜{𝑋})) Β· (β™―β€˜π‘Š)))
87 pgpfac.s . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜{𝑋}) βŠ• π‘Š) = π‘ˆ)
8887fveq2d 6846 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜((πΎβ€˜{𝑋}) βŠ• π‘Š)) = (β™―β€˜π‘ˆ))
8986, 88eqtr3d 2778 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜(πΎβ€˜{𝑋})) Β· (β™―β€˜π‘Š)) = (β™―β€˜π‘ˆ))
9076, 78, 893brtr3d 5136 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) < (β™―β€˜π‘ˆ))
9116, 90ltned 11291 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) β‰  (β™―β€˜π‘ˆ))
92 fveq2 6842 . . . . . . 7 (π‘Š = π‘ˆ β†’ (β™―β€˜π‘Š) = (β™―β€˜π‘ˆ))
9392necon3i 2976 . . . . . 6 ((β™―β€˜π‘Š) β‰  (β™―β€˜π‘ˆ) β†’ π‘Š β‰  π‘ˆ)
9491, 93syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š β‰  π‘ˆ)
95 df-pss 3929 . . . . 5 (π‘Š ⊊ π‘ˆ ↔ (π‘Š βŠ† π‘ˆ ∧ π‘Š β‰  π‘ˆ))
967, 94, 95sylanbrc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ⊊ π‘ˆ)
97 psseq1 4047 . . . . . 6 (𝑑 = π‘Š β†’ (𝑑 ⊊ π‘ˆ ↔ π‘Š ⊊ π‘ˆ))
98 eqeq2 2748 . . . . . . . 8 (𝑑 = π‘Š β†’ ((𝐺 DProd 𝑠) = 𝑑 ↔ (𝐺 DProd 𝑠) = π‘Š))
9998anbi2d 629 . . . . . . 7 (𝑑 = π‘Š β†’ ((𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑑) ↔ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = π‘Š)))
10099rexbidv 3175 . . . . . 6 (𝑑 = π‘Š β†’ (βˆƒπ‘  ∈ Word 𝐢(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑑) ↔ βˆƒπ‘  ∈ Word 𝐢(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = π‘Š)))
10197, 100imbi12d 344 . . . . 5 (𝑑 = π‘Š β†’ ((𝑑 ⊊ π‘ˆ β†’ βˆƒπ‘  ∈ Word 𝐢(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑑)) ↔ (π‘Š ⊊ π‘ˆ β†’ βˆƒπ‘  ∈ Word 𝐢(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = π‘Š))))
102 pgpfac.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)(𝑑 ⊊ π‘ˆ β†’ βˆƒπ‘  ∈ Word 𝐢(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑑)))
1036simpld 495 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
104101, 102, 103rspcdva 3582 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Š ⊊ π‘ˆ β†’ βˆƒπ‘  ∈ Word 𝐢(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = π‘Š)))
10596, 104mpd 15 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘  ∈ Word 𝐢(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = π‘Š))
106 breq2 5109 . . . . 5 (𝑠 = π‘Ž β†’ (𝐺dom DProd 𝑠 ↔ 𝐺dom DProd π‘Ž))
107 oveq2 7365 . . . . . 6 (𝑠 = π‘Ž β†’ (𝐺 DProd 𝑠) = (𝐺 DProd π‘Ž))
108107eqeq1d 2738 . . . . 5 (𝑠 = π‘Ž β†’ ((𝐺 DProd 𝑠) = π‘Š ↔ (𝐺 DProd π‘Ž) = π‘Š))
109106, 108anbi12d 631 . . . 4 (𝑠 = π‘Ž β†’ ((𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = π‘Š) ↔ (𝐺dom DProd π‘Ž ∧ (𝐺 DProd π‘Ž) = π‘Š)))
110109cbvrexvw 3226 . . 3 (βˆƒπ‘  ∈ Word 𝐢(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = π‘Š) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ Word 𝐢(𝐺dom DProd π‘Ž ∧ (𝐺 DProd π‘Ž) = π‘Š))
111105, 110sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ Word 𝐢(𝐺dom DProd π‘Ž ∧ (𝐺 DProd π‘Ž) = π‘Š))
112 pgpfac.c . . 3 𝐢 = {π‘Ÿ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∣ (𝐺 β†Ύs π‘Ÿ) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )}
11382adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ Word 𝐢 ∧ (𝐺dom DProd π‘Ž ∧ (𝐺 DProd π‘Ž) = π‘Š))) β†’ 𝐺 ∈ Abel)
114 pgpfac.p . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑃 pGrp 𝐺)
115114adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ Word 𝐢 ∧ (𝐺dom DProd π‘Ž ∧ (𝐺 DProd π‘Ž) = π‘Š))) β†’ 𝑃 pGrp 𝐺)
1168adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ Word 𝐢 ∧ (𝐺dom DProd π‘Ž ∧ (𝐺 DProd π‘Ž) = π‘Š))) β†’ 𝐡 ∈ Fin)
1172adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ Word 𝐢 ∧ (𝐺dom DProd π‘Ž ∧ (𝐺 DProd π‘Ž) = π‘Š))) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
118102adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ Word 𝐢 ∧ (𝐺dom DProd π‘Ž ∧ (𝐺 DProd π‘Ž) = π‘Š))) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)(𝑑 ⊊ π‘ˆ β†’ βˆƒπ‘  ∈ Word 𝐢(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑑)))
119 pgpfac.e . . 3 𝐸 = (gExβ€˜π»)
12045adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ Word 𝐢 ∧ (𝐺dom DProd π‘Ž ∧ (𝐺 DProd π‘Ž) = π‘Š))) β†’ 𝐸 β‰  1)
12132adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ Word 𝐢 ∧ (𝐺dom DProd π‘Ž ∧ (𝐺 DProd π‘Ž) = π‘Š))) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
12244adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ Word 𝐢 ∧ (𝐺dom DProd π‘Ž ∧ (𝐺 DProd π‘Ž) = π‘Š))) β†’ (π‘‚β€˜π‘‹) = 𝐸)
1231adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ Word 𝐢 ∧ (𝐺dom DProd π‘Ž ∧ (𝐺 DProd π‘Ž) = π‘Š))) β†’ π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜π»))
12481adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ Word 𝐢 ∧ (𝐺dom DProd π‘Ž ∧ (𝐺 DProd π‘Ž) = π‘Š))) β†’ ((πΎβ€˜{𝑋}) ∩ π‘Š) = { 0 })
12587adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ Word 𝐢 ∧ (𝐺dom DProd π‘Ž ∧ (𝐺 DProd π‘Ž) = π‘Š))) β†’ ((πΎβ€˜{𝑋}) βŠ• π‘Š) = π‘ˆ)
126 simprl 769 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ Word 𝐢 ∧ (𝐺dom DProd π‘Ž ∧ (𝐺 DProd π‘Ž) = π‘Š))) β†’ π‘Ž ∈ Word 𝐢)
127 simprrl 779 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ Word 𝐢 ∧ (𝐺dom DProd π‘Ž ∧ (𝐺 DProd π‘Ž) = π‘Š))) β†’ 𝐺dom DProd π‘Ž)
128 simprrr 780 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ Word 𝐢 ∧ (𝐺dom DProd π‘Ž ∧ (𝐺 DProd π‘Ž) = π‘Š))) β†’ (𝐺 DProd π‘Ž) = π‘Š)
129 eqid 2736 . . 3 (π‘Ž ++ βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©) = (π‘Ž ++ βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©)
1309, 112, 113, 115, 116, 117, 118, 3, 26, 47, 119, 17, 79, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129pgpfaclem1 19860 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ Word 𝐢 ∧ (𝐺dom DProd π‘Ž ∧ (𝐺 DProd π‘Ž) = π‘Š))) β†’ βˆƒπ‘  ∈ Word 𝐢(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = π‘ˆ))
131111, 130rexlimddv 3158 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘  ∈ Word 𝐢(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2943  βˆ€wral 3064  βˆƒwrex 3073  {crab 3407  Vcvv 3445   ∩ cin 3909   βŠ† wss 3910   ⊊ wpss 3911  βˆ…c0 4282  {csn 4586   class class class wbr 5105  dom cdm 5633  ran crn 5634  β€˜cfv 6496  (class class class)co 7357   β‰Ί csdm 8882  Fincfn 8883  β„cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   Β· cmul 11056   < clt 11189  β„•cn 12153  β„•0cn0 12413  β™―chash 14230  Word cword 14402   ++ cconcat 14458  βŸ¨β€œcs1 14483  Basecbs 17083   β†Ύs cress 17112  0gc0g 17321  Moorecmre 17462  mrClscmrc 17463  ACScacs 17465  Grpcgrp 18748  SubGrpcsubg 18922  Cntzccntz 19095  odcod 19306  gExcgex 19307   pGrp cpgp 19308  LSSumclsm 19416  Abelcabl 19563  CycGrpccyg 19654   DProd cdprd 19772
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-oadd 8416  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-word 14403  df-concat 14459  df-s1 14484  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-gim 19049  df-cntz 19097  df-oppg 19124  df-od 19310  df-pgp 19312  df-lsm 19418  df-pj1 19419  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-cyg 19655  df-dprd 19774
This theorem is referenced by:  pgpfaclem3  19862
  Copyright terms: Public domain W3C validator