MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpfaclem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pgpfaclem2 20084
Description: Lemma for pgpfac 20086. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
pgpfac.c 𝐶 = {𝑟 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ (𝐺s 𝑟) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )}
pgpfac.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
pgpfac.p (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
pgpfac.f (𝜑𝐵 ∈ Fin)
pgpfac.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pgpfac.a (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)(𝑡𝑈 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑡)))
pgpfac.h 𝐻 = (𝐺s 𝑈)
pgpfac.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐻))
pgpfac.o 𝑂 = (od‘𝐻)
pgpfac.e 𝐸 = (gEx‘𝐻)
pgpfac.0 0 = (0g𝐻)
pgpfac.l = (LSSum‘𝐻)
pgpfac.1 (𝜑𝐸 ≠ 1)
pgpfac.x (𝜑𝑋𝑈)
pgpfac.oe (𝜑 → (𝑂𝑋) = 𝐸)
pgpfac.w (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐻))
pgpfac.i (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋}) ∩ 𝑊) = { 0 })
pgpfac.s (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋}) 𝑊) = 𝑈)
Assertion
Ref Expression
pgpfaclem2 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑈))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐶   𝑠,𝑟,𝑡,𝐺   𝐾,𝑟,𝑠   𝜑,𝑡   𝐵,𝑠,𝑡   𝑈,𝑟,𝑠,𝑡   𝑊,𝑠,𝑡   𝑋,𝑟,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠,𝑟)   𝐵(𝑟)   𝐶(𝑟)   𝑃(𝑡,𝑠,𝑟)   (𝑡,𝑠,𝑟)   𝐸(𝑡,𝑠,𝑟)   𝐻(𝑡,𝑠,𝑟)   𝐾(𝑡)   𝑂(𝑡,𝑠,𝑟)   𝑊(𝑟)   𝑋(𝑡)   0 (𝑡,𝑠,𝑟)

Proof of Theorem pgpfaclem2
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfac.w . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐻))
2 pgpfac.u . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3 pgpfac.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (𝐺s 𝑈)
43subsubg 19145 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐻) ↔ (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊𝑈)))
52, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐻) ↔ (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊𝑈)))
61, 5mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊𝑈))
76simprd 494 . . . . 5 (𝜑𝑊𝑈)
8 pgpfac.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
9 pgpfac.b . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = (Base‘𝐺)
109subgss 19123 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈𝐵)
112, 10syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈𝐵)
128, 11ssfid 9303 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
1312, 7ssfid 9303 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ Fin)
14 hashcl 14375 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Fin → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
1615nn0red 12587 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
17 pgpfac.0 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g𝐻)
1817fvexi 6917 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
19 hashsng 14388 . . . . . . . . . . 11 ( 0 ∈ V → (♯‘{ 0 }) = 1)
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (♯‘{ 0 }) = 1
21 subgrcl 19127 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐻) → 𝐻 ∈ Grp)
22 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
2322subgacs 19157 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐻 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐻) ∈ (ACS‘(Base‘𝐻)))
24 acsmre 17667 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((SubGrp‘𝐻) ∈ (ACS‘(Base‘𝐻)) → (SubGrp‘𝐻) ∈ (Moore‘(Base‘𝐻)))
251, 21, 23, 244syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (SubGrp‘𝐻) ∈ (Moore‘(Base‘𝐻)))
26 pgpfac.k . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐻))
2725, 26mrcssvd 17638 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ⊆ (Base‘𝐻))
283subgbas 19126 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 = (Base‘𝐻))
292, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑈 = (Base‘𝐻))
3027, 29sseqtrrd 4021 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
3112, 30ssfid 9303 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ∈ Fin)
32 pgpfac.x . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑋𝑈)
3332, 29eleqtrd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
3426mrcsncl 17627 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((SubGrp‘𝐻) ∈ (Moore‘(Base‘𝐻)) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐻))
3525, 33, 34syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐻))
3617subg0cl 19130 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐻) → 0 ∈ (𝐾‘{𝑋}))
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑0 ∈ (𝐾‘{𝑋}))
3837snssd 4818 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝐾‘{𝑋}))
3933snssd 4818 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → {𝑋} ⊆ (Base‘𝐻))
4025, 26, 39mrcssidd 17640 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → {𝑋} ⊆ (𝐾‘{𝑋}))
41 snssg 4792 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋𝑈 → (𝑋 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ {𝑋} ⊆ (𝐾‘{𝑋})))
4232, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ {𝑋} ⊆ (𝐾‘{𝑋})))
4340, 42mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 ∈ (𝐾‘{𝑋}))
44 pgpfac.oe . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑂𝑋) = 𝐸)
45 pgpfac.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐸 ≠ 1)
4644, 45eqnetrd 2998 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑂𝑋) ≠ 1)
47 pgpfac.o . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑂 = (od‘𝐻)
4847, 17od1 19559 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐻 ∈ Grp → (𝑂0 ) = 1)
491, 21, 483syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑂0 ) = 1)
50 elsni 4650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋 ∈ { 0 } → 𝑋 = 0 )
5150fveqeq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ { 0 } → ((𝑂𝑋) = 1 ↔ (𝑂0 ) = 1))
5249, 51syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑋 ∈ { 0 } → (𝑂𝑋) = 1))
5352necon3ad 2943 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑂𝑋) ≠ 1 → ¬ 𝑋 ∈ { 0 }))
5446, 53mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ { 0 })
5538, 43, 54ssnelpssd 4111 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → { 0 } ⊊ (𝐾‘{𝑋}))
56 php3 9248 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾‘{𝑋}) ∈ Fin ∧ { 0 } ⊊ (𝐾‘{𝑋})) → { 0 } ≺ (𝐾‘{𝑋}))
5731, 55, 56syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → { 0 } ≺ (𝐾‘{𝑋}))
58 snfi 9083 . . . . . . . . . . . 12 { 0 } ∈ Fin
59 hashsdom 14400 . . . . . . . . . . . 12 (({ 0 } ∈ Fin ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ Fin) → ((♯‘{ 0 }) < (♯‘(𝐾‘{𝑋})) ↔ { 0 } ≺ (𝐾‘{𝑋})))
6058, 31, 59sylancr 585 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((♯‘{ 0 }) < (♯‘(𝐾‘{𝑋})) ↔ { 0 } ≺ (𝐾‘{𝑋})))
6157, 60mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘{ 0 }) < (♯‘(𝐾‘{𝑋})))
6220, 61eqbrtrrid 5191 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 < (♯‘(𝐾‘{𝑋})))
63 1red 11267 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
64 hashcl 14375 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾‘{𝑋}) ∈ Fin → (♯‘(𝐾‘{𝑋})) ∈ ℕ0)
6531, 64syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘(𝐾‘{𝑋})) ∈ ℕ0)
6665nn0red 12587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘(𝐾‘{𝑋})) ∈ ℝ)
6717subg0cl 19130 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐻) → 0𝑊)
68 ne0i 4337 . . . . . . . . . . . . 13 ( 0𝑊𝑊 ≠ ∅)
691, 67, 683syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊 ≠ ∅)
70 hashnncl 14385 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ Fin → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑊 ≠ ∅))
7113, 70syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑊 ≠ ∅))
7269, 71mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
7372nngt0d 12315 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < (♯‘𝑊))
74 ltmul1 12117 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ (♯‘(𝐾‘{𝑋})) ∈ ℝ ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℝ ∧ 0 < (♯‘𝑊))) → (1 < (♯‘(𝐾‘{𝑋})) ↔ (1 · (♯‘𝑊)) < ((♯‘(𝐾‘{𝑋})) · (♯‘𝑊))))
7563, 66, 16, 73, 74syl112anc 1371 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 < (♯‘(𝐾‘{𝑋})) ↔ (1 · (♯‘𝑊)) < ((♯‘(𝐾‘{𝑋})) · (♯‘𝑊))))
7662, 75mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 · (♯‘𝑊)) < ((♯‘(𝐾‘{𝑋})) · (♯‘𝑊)))
7716recnd 11294 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
7877mullidd 11284 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 · (♯‘𝑊)) = (♯‘𝑊))
79 pgpfac.l . . . . . . . . . 10 = (LSSum‘𝐻)
80 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (Cntz‘𝐻) = (Cntz‘𝐻)
81 pgpfac.i . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋}) ∩ 𝑊) = { 0 })
82 pgpfac.g . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
833subgabl 19836 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ Abel)
8482, 2, 83syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐻 ∈ Abel)
8580, 84, 35, 1ablcntzd 19857 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ⊆ ((Cntz‘𝐻)‘𝑊))
8679, 17, 80, 35, 1, 81, 85, 31, 13lsmhash 19705 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘((𝐾‘{𝑋}) 𝑊)) = ((♯‘(𝐾‘{𝑋})) · (♯‘𝑊)))
87 pgpfac.s . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋}) 𝑊) = 𝑈)
8887fveq2d 6907 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘((𝐾‘{𝑋}) 𝑊)) = (♯‘𝑈))
8986, 88eqtr3d 2768 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((♯‘(𝐾‘{𝑋})) · (♯‘𝑊)) = (♯‘𝑈))
9076, 78, 893brtr3d 5186 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝑊) < (♯‘𝑈))
9116, 90ltned 11402 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝑊) ≠ (♯‘𝑈))
92 fveq2 6903 . . . . . . 7 (𝑊 = 𝑈 → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈))
9392necon3i 2963 . . . . . 6 ((♯‘𝑊) ≠ (♯‘𝑈) → 𝑊𝑈)
9491, 93syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊𝑈)
95 df-pss 3967 . . . . 5 (𝑊𝑈 ↔ (𝑊𝑈𝑊𝑈))
967, 94, 95sylanbrc 581 . . . 4 (𝜑𝑊𝑈)
97 psseq1 4086 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑊 → (𝑡𝑈𝑊𝑈))
98 eqeq2 2738 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑊 → ((𝐺 DProd 𝑠) = 𝑡 ↔ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑊))
9998anbi2d 628 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑊 → ((𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑡) ↔ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑊)))
10099rexbidv 3169 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑊 → (∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑡) ↔ ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑊)))
10197, 100imbi12d 343 . . . . 5 (𝑡 = 𝑊 → ((𝑡𝑈 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑡)) ↔ (𝑊𝑈 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑊))))
102 pgpfac.a . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)(𝑡𝑈 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑡)))
1036simpld 493 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
104101, 102, 103rspcdva 3609 . . . 4 (𝜑 → (𝑊𝑈 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑊)))
10596, 104mpd 15 . . 3 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑊))
106 breq2 5159 . . . . 5 (𝑠 = 𝑎 → (𝐺dom DProd 𝑠𝐺dom DProd 𝑎))
107 oveq2 7434 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑎 → (𝐺 DProd 𝑠) = (𝐺 DProd 𝑎))
108107eqeq1d 2728 . . . . 5 (𝑠 = 𝑎 → ((𝐺 DProd 𝑠) = 𝑊 ↔ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))
109106, 108anbi12d 630 . . . 4 (𝑠 = 𝑎 → ((𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑊) ↔ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊)))
110109cbvrexvw 3226 . . 3 (∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑊) ↔ ∃𝑎 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))
111105, 110sylib 217 . 2 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))
112 pgpfac.c . . 3 𝐶 = {𝑟 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ (𝐺s 𝑟) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )}
11382adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → 𝐺 ∈ Abel)
114 pgpfac.p . . . 4 (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
115114adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → 𝑃 pGrp 𝐺)
1168adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → 𝐵 ∈ Fin)
1172adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
118102adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → ∀𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)(𝑡𝑈 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑡)))
119 pgpfac.e . . 3 𝐸 = (gEx‘𝐻)
12045adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → 𝐸 ≠ 1)
12132adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → 𝑋𝑈)
12244adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → (𝑂𝑋) = 𝐸)
1231adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐻))
12481adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → ((𝐾‘{𝑋}) ∩ 𝑊) = { 0 })
12587adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → ((𝐾‘{𝑋}) 𝑊) = 𝑈)
126 simprl 769 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → 𝑎 ∈ Word 𝐶)
127 simprrl 779 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → 𝐺dom DProd 𝑎)
128 simprrr 780 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊)
129 eqid 2726 . . 3 (𝑎 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩) = (𝑎 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)
1309, 112, 113, 115, 116, 117, 118, 3, 26, 47, 119, 17, 79, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129pgpfaclem1 20083 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑈))
131111, 130rexlimddv 3151 1 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  wral 3051  wrex 3060  {crab 3419  Vcvv 3462  cin 3946  wss 3947  wpss 3948  c0 4325  {csn 4633   class class class wbr 5155  dom cdm 5684  ran crn 5685  cfv 6556  (class class class)co 7426  csdm 8975  Fincfn 8976  cr 11159  0cc0 11160  1c1 11161   · cmul 11165   < clt 11300  cn 12266  0cn0 12526  chash 14349  Word cword 14524   ++ cconcat 14580  ⟨“cs1 14605  Basecbs 17215  s cress 17244  0gc0g 17456  Moorecmre 17597  mrClscmrc 17598  ACScacs 17600  Grpcgrp 18930  SubGrpcsubg 19116  Cntzccntz 19311  odcod 19524  gExcgex 19525   pGrp cpgp 19526  LSSumclsm 19634  Abelcabl 19781  CycGrpccyg 19877   DProd cdprd 19995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5292  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-cnex 11216  ax-resscn 11217  ax-1cn 11218  ax-icn 11219  ax-addcl 11220  ax-addrcl 11221  ax-mulcl 11222  ax-mulrcl 11223  ax-mulcom 11224  ax-addass 11225  ax-mulass 11226  ax-distr 11227  ax-i2m1 11228  ax-1ne0 11229  ax-1rid 11230  ax-rnegex 11231  ax-rrecex 11232  ax-cnre 11233  ax-pre-lttri 11234  ax-pre-lttrn 11235  ax-pre-ltadd 11236  ax-pre-mulgt0 11237
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4916  df-int 4957  df-iun 5005  df-iin 5006  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-tr 5273  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-se 5640  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6314  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-isom 6565  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8177  df-tpos 8243  df-frecs 8298  df-wrecs 8329  df-recs 8403  df-rdg 8442  df-1o 8498  df-2o 8499  df-oadd 8502  df-er 8736  df-map 8859  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9408  df-sup 9487  df-inf 9488  df-oi 9555  df-dju 9946  df-card 9984  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11498  df-neg 11499  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-xnn0 12599  df-z 12613  df-uz 12877  df-fz 13541  df-fzo 13684  df-seq 14024  df-hash 14350  df-word 14525  df-concat 14581  df-s1 14606  df-sets 17168  df-slot 17186  df-ndx 17198  df-base 17216  df-ress 17245  df-plusg 17281  df-0g 17458  df-gsum 17459  df-mre 17601  df-mrc 17602  df-acs 17604  df-mgm 18635  df-sgrp 18714  df-mnd 18730  df-mhm 18775  df-submnd 18776  df-grp 18933  df-minusg 18934  df-sbg 18935  df-mulg 19064  df-subg 19119  df-ghm 19209  df-gim 19255  df-cntz 19313  df-oppg 19342  df-od 19528  df-pgp 19530  df-lsm 19636  df-pj1 19637  df-cmn 19782  df-abl 19783  df-cyg 19878  df-dprd 19997
This theorem is referenced by:  pgpfaclem3  20085
  Copyright terms: Public domain W3C validator