MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpfaclem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pgpfaclem2 19994
Description: Lemma for pgpfac 19996. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
pgpfac.c 𝐢 = {π‘Ÿ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∣ (𝐺 β†Ύs π‘Ÿ) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )}
pgpfac.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Abel)
pgpfac.p (πœ‘ β†’ 𝑃 pGrp 𝐺)
pgpfac.f (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ Fin)
pgpfac.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
pgpfac.a (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)(𝑑 ⊊ π‘ˆ β†’ βˆƒπ‘  ∈ Word 𝐢(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑑)))
pgpfac.h 𝐻 = (𝐺 β†Ύs π‘ˆ)
pgpfac.k 𝐾 = (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜π»))
pgpfac.o 𝑂 = (odβ€˜π»)
pgpfac.e 𝐸 = (gExβ€˜π»)
pgpfac.0 0 = (0gβ€˜π»)
pgpfac.l βŠ• = (LSSumβ€˜π»)
pgpfac.1 (πœ‘ β†’ 𝐸 β‰  1)
pgpfac.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
pgpfac.oe (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜π‘‹) = 𝐸)
pgpfac.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜π»))
pgpfac.i (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜{𝑋}) ∩ π‘Š) = { 0 })
pgpfac.s (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜{𝑋}) βŠ• π‘Š) = π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
pgpfaclem2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘  ∈ Word 𝐢(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = π‘ˆ))
Distinct variable groups:   𝑑,𝑠,𝐢   𝑠,π‘Ÿ,𝑑,𝐺   𝐾,π‘Ÿ,𝑠   πœ‘,𝑑   𝐡,𝑠,𝑑   π‘ˆ,π‘Ÿ,𝑠,𝑑   π‘Š,𝑠,𝑑   𝑋,π‘Ÿ,𝑠
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑠,π‘Ÿ)   𝐡(π‘Ÿ)   𝐢(π‘Ÿ)   𝑃(𝑑,𝑠,π‘Ÿ)   βŠ• (𝑑,𝑠,π‘Ÿ)   𝐸(𝑑,𝑠,π‘Ÿ)   𝐻(𝑑,𝑠,π‘Ÿ)   𝐾(𝑑)   𝑂(𝑑,𝑠,π‘Ÿ)   π‘Š(π‘Ÿ)   𝑋(𝑑)   0 (𝑑,𝑠,π‘Ÿ)

Proof of Theorem pgpfaclem2
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfac.w . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜π»))
2 pgpfac.u . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
3 pgpfac.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (𝐺 β†Ύs π‘ˆ)
43subsubg 19066 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ (π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜π») ↔ (π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ π‘Š βŠ† π‘ˆ)))
52, 4syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜π») ↔ (π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ π‘Š βŠ† π‘ˆ)))
61, 5mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ π‘Š βŠ† π‘ˆ))
76simprd 495 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š βŠ† π‘ˆ)
8 pgpfac.f . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ Fin)
9 pgpfac.b . . . . . . . . . . . . 13 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
109subgss 19044 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐡)
112, 10syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐡)
128, 11ssfid 9271 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ Fin)
1312, 7ssfid 9271 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Fin)
14 hashcl 14321 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ Fin β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
1615nn0red 12538 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ ℝ)
17 pgpfac.0 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0gβ€˜π»)
1817fvexi 6905 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
19 hashsng 14334 . . . . . . . . . . 11 ( 0 ∈ V β†’ (β™―β€˜{ 0 }) = 1)
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (β™―β€˜{ 0 }) = 1
21 subgrcl 19048 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜π») β†’ 𝐻 ∈ Grp)
22 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Baseβ€˜π») = (Baseβ€˜π»)
2322subgacs 19078 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐻 ∈ Grp β†’ (SubGrpβ€˜π») ∈ (ACSβ€˜(Baseβ€˜π»)))
24 acsmre 17601 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((SubGrpβ€˜π») ∈ (ACSβ€˜(Baseβ€˜π»)) β†’ (SubGrpβ€˜π») ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜π»)))
251, 21, 23, 244syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (SubGrpβ€˜π») ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜π»)))
26 pgpfac.k . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐾 = (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜π»))
2725, 26mrcssvd 17572 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜{𝑋}) βŠ† (Baseβ€˜π»))
283subgbas 19047 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π»))
292, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π»))
3027, 29sseqtrrd 4023 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ)
3112, 30ssfid 9271 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜{𝑋}) ∈ Fin)
32 pgpfac.x . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
3332, 29eleqtrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π»))
3426mrcsncl 17561 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((SubGrpβ€˜π») ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜π»)) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π»)) β†’ (πΎβ€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π»))
3525, 33, 34syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π»))
3617subg0cl 19051 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πΎβ€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π») β†’ 0 ∈ (πΎβ€˜{𝑋}))
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (πΎβ€˜{𝑋}))
3837snssd 4812 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ { 0 } βŠ† (πΎβ€˜{𝑋}))
3933snssd 4812 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ {𝑋} βŠ† (Baseβ€˜π»))
4025, 26, 39mrcssidd 17574 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ {𝑋} βŠ† (πΎβ€˜{𝑋}))
41 snssg 4787 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 ∈ π‘ˆ β†’ (𝑋 ∈ (πΎβ€˜{𝑋}) ↔ {𝑋} βŠ† (πΎβ€˜{𝑋})))
4232, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (πΎβ€˜{𝑋}) ↔ {𝑋} βŠ† (πΎβ€˜{𝑋})))
4340, 42mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (πΎβ€˜{𝑋}))
44 pgpfac.oe . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜π‘‹) = 𝐸)
45 pgpfac.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐸 β‰  1)
4644, 45eqnetrd 3007 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜π‘‹) β‰  1)
47 pgpfac.o . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑂 = (odβ€˜π»)
4847, 17od1 19469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐻 ∈ Grp β†’ (π‘‚β€˜ 0 ) = 1)
491, 21, 483syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜ 0 ) = 1)
50 elsni 4645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋 ∈ { 0 } β†’ 𝑋 = 0 )
5150fveqeq2d 6899 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ { 0 } β†’ ((π‘‚β€˜π‘‹) = 1 ↔ (π‘‚β€˜ 0 ) = 1))
5249, 51syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ { 0 } β†’ (π‘‚β€˜π‘‹) = 1))
5352necon3ad 2952 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜π‘‹) β‰  1 β†’ Β¬ 𝑋 ∈ { 0 }))
5446, 53mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ { 0 })
5538, 43, 54ssnelpssd 4112 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ { 0 } ⊊ (πΎβ€˜{𝑋}))
56 php3 9216 . . . . . . . . . . . 12 (((πΎβ€˜{𝑋}) ∈ Fin ∧ { 0 } ⊊ (πΎβ€˜{𝑋})) β†’ { 0 } β‰Ί (πΎβ€˜{𝑋}))
5731, 55, 56syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ { 0 } β‰Ί (πΎβ€˜{𝑋}))
58 snfi 9048 . . . . . . . . . . . 12 { 0 } ∈ Fin
59 hashsdom 14346 . . . . . . . . . . . 12 (({ 0 } ∈ Fin ∧ (πΎβ€˜{𝑋}) ∈ Fin) β†’ ((β™―β€˜{ 0 }) < (β™―β€˜(πΎβ€˜{𝑋})) ↔ { 0 } β‰Ί (πΎβ€˜{𝑋})))
6058, 31, 59sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜{ 0 }) < (β™―β€˜(πΎβ€˜{𝑋})) ↔ { 0 } β‰Ί (πΎβ€˜{𝑋})))
6157, 60mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜{ 0 }) < (β™―β€˜(πΎβ€˜{𝑋})))
6220, 61eqbrtrrid 5184 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 1 < (β™―β€˜(πΎβ€˜{𝑋})))
63 1red 11220 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
64 hashcl 14321 . . . . . . . . . . . 12 ((πΎβ€˜{𝑋}) ∈ Fin β†’ (β™―β€˜(πΎβ€˜{𝑋})) ∈ β„•0)
6531, 64syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(πΎβ€˜{𝑋})) ∈ β„•0)
6665nn0red 12538 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(πΎβ€˜{𝑋})) ∈ ℝ)
6717subg0cl 19051 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜π») β†’ 0 ∈ π‘Š)
68 ne0i 4334 . . . . . . . . . . . . 13 ( 0 ∈ π‘Š β†’ π‘Š β‰  βˆ…)
691, 67, 683syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘Š β‰  βˆ…)
70 hashnncl 14331 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Š ∈ Fin β†’ ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„• ↔ π‘Š β‰  βˆ…))
7113, 70syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„• ↔ π‘Š β‰  βˆ…))
7269, 71mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•)
7372nngt0d 12266 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 < (β™―β€˜π‘Š))
74 ltmul1 12069 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ (β™―β€˜(πΎβ€˜{𝑋})) ∈ ℝ ∧ ((β™―β€˜π‘Š) ∈ ℝ ∧ 0 < (β™―β€˜π‘Š))) β†’ (1 < (β™―β€˜(πΎβ€˜{𝑋})) ↔ (1 Β· (β™―β€˜π‘Š)) < ((β™―β€˜(πΎβ€˜{𝑋})) Β· (β™―β€˜π‘Š))))
7563, 66, 16, 73, 74syl112anc 1373 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (1 < (β™―β€˜(πΎβ€˜{𝑋})) ↔ (1 Β· (β™―β€˜π‘Š)) < ((β™―β€˜(πΎβ€˜{𝑋})) Β· (β™―β€˜π‘Š))))
7662, 75mpbid 231 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1 Β· (β™―β€˜π‘Š)) < ((β™―β€˜(πΎβ€˜{𝑋})) Β· (β™―β€˜π‘Š)))
7716recnd 11247 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„‚)
7877mullidd 11237 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1 Β· (β™―β€˜π‘Š)) = (β™―β€˜π‘Š))
79 pgpfac.l . . . . . . . . . 10 βŠ• = (LSSumβ€˜π»)
80 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (Cntzβ€˜π») = (Cntzβ€˜π»)
81 pgpfac.i . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜{𝑋}) ∩ π‘Š) = { 0 })
82 pgpfac.g . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Abel)
833subgabl 19746 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Abel ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ 𝐻 ∈ Abel)
8482, 2, 83syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ Abel)
8580, 84, 35, 1ablcntzd 19767 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜{𝑋}) βŠ† ((Cntzβ€˜π»)β€˜π‘Š))
8679, 17, 80, 35, 1, 81, 85, 31, 13lsmhash 19615 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜((πΎβ€˜{𝑋}) βŠ• π‘Š)) = ((β™―β€˜(πΎβ€˜{𝑋})) Β· (β™―β€˜π‘Š)))
87 pgpfac.s . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜{𝑋}) βŠ• π‘Š) = π‘ˆ)
8887fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜((πΎβ€˜{𝑋}) βŠ• π‘Š)) = (β™―β€˜π‘ˆ))
8986, 88eqtr3d 2773 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜(πΎβ€˜{𝑋})) Β· (β™―β€˜π‘Š)) = (β™―β€˜π‘ˆ))
9076, 78, 893brtr3d 5179 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) < (β™―β€˜π‘ˆ))
9116, 90ltned 11355 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) β‰  (β™―β€˜π‘ˆ))
92 fveq2 6891 . . . . . . 7 (π‘Š = π‘ˆ β†’ (β™―β€˜π‘Š) = (β™―β€˜π‘ˆ))
9392necon3i 2972 . . . . . 6 ((β™―β€˜π‘Š) β‰  (β™―β€˜π‘ˆ) β†’ π‘Š β‰  π‘ˆ)
9491, 93syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š β‰  π‘ˆ)
95 df-pss 3967 . . . . 5 (π‘Š ⊊ π‘ˆ ↔ (π‘Š βŠ† π‘ˆ ∧ π‘Š β‰  π‘ˆ))
967, 94, 95sylanbrc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ⊊ π‘ˆ)
97 psseq1 4087 . . . . . 6 (𝑑 = π‘Š β†’ (𝑑 ⊊ π‘ˆ ↔ π‘Š ⊊ π‘ˆ))
98 eqeq2 2743 . . . . . . . 8 (𝑑 = π‘Š β†’ ((𝐺 DProd 𝑠) = 𝑑 ↔ (𝐺 DProd 𝑠) = π‘Š))
9998anbi2d 628 . . . . . . 7 (𝑑 = π‘Š β†’ ((𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑑) ↔ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = π‘Š)))
10099rexbidv 3177 . . . . . 6 (𝑑 = π‘Š β†’ (βˆƒπ‘  ∈ Word 𝐢(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑑) ↔ βˆƒπ‘  ∈ Word 𝐢(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = π‘Š)))
10197, 100imbi12d 344 . . . . 5 (𝑑 = π‘Š β†’ ((𝑑 ⊊ π‘ˆ β†’ βˆƒπ‘  ∈ Word 𝐢(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑑)) ↔ (π‘Š ⊊ π‘ˆ β†’ βˆƒπ‘  ∈ Word 𝐢(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = π‘Š))))
102 pgpfac.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)(𝑑 ⊊ π‘ˆ β†’ βˆƒπ‘  ∈ Word 𝐢(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑑)))
1036simpld 494 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
104101, 102, 103rspcdva 3613 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Š ⊊ π‘ˆ β†’ βˆƒπ‘  ∈ Word 𝐢(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = π‘Š)))
10596, 104mpd 15 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘  ∈ Word 𝐢(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = π‘Š))
106 breq2 5152 . . . . 5 (𝑠 = π‘Ž β†’ (𝐺dom DProd 𝑠 ↔ 𝐺dom DProd π‘Ž))
107 oveq2 7420 . . . . . 6 (𝑠 = π‘Ž β†’ (𝐺 DProd 𝑠) = (𝐺 DProd π‘Ž))
108107eqeq1d 2733 . . . . 5 (𝑠 = π‘Ž β†’ ((𝐺 DProd 𝑠) = π‘Š ↔ (𝐺 DProd π‘Ž) = π‘Š))
109106, 108anbi12d 630 . . . 4 (𝑠 = π‘Ž β†’ ((𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = π‘Š) ↔ (𝐺dom DProd π‘Ž ∧ (𝐺 DProd π‘Ž) = π‘Š)))
110109cbvrexvw 3234 . . 3 (βˆƒπ‘  ∈ Word 𝐢(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = π‘Š) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ Word 𝐢(𝐺dom DProd π‘Ž ∧ (𝐺 DProd π‘Ž) = π‘Š))
111105, 110sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ Word 𝐢(𝐺dom DProd π‘Ž ∧ (𝐺 DProd π‘Ž) = π‘Š))
112 pgpfac.c . . 3 𝐢 = {π‘Ÿ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∣ (𝐺 β†Ύs π‘Ÿ) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )}
11382adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ Word 𝐢 ∧ (𝐺dom DProd π‘Ž ∧ (𝐺 DProd π‘Ž) = π‘Š))) β†’ 𝐺 ∈ Abel)
114 pgpfac.p . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑃 pGrp 𝐺)
115114adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ Word 𝐢 ∧ (𝐺dom DProd π‘Ž ∧ (𝐺 DProd π‘Ž) = π‘Š))) β†’ 𝑃 pGrp 𝐺)
1168adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ Word 𝐢 ∧ (𝐺dom DProd π‘Ž ∧ (𝐺 DProd π‘Ž) = π‘Š))) β†’ 𝐡 ∈ Fin)
1172adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ Word 𝐢 ∧ (𝐺dom DProd π‘Ž ∧ (𝐺 DProd π‘Ž) = π‘Š))) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
118102adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ Word 𝐢 ∧ (𝐺dom DProd π‘Ž ∧ (𝐺 DProd π‘Ž) = π‘Š))) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)(𝑑 ⊊ π‘ˆ β†’ βˆƒπ‘  ∈ Word 𝐢(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑑)))
119 pgpfac.e . . 3 𝐸 = (gExβ€˜π»)
12045adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ Word 𝐢 ∧ (𝐺dom DProd π‘Ž ∧ (𝐺 DProd π‘Ž) = π‘Š))) β†’ 𝐸 β‰  1)
12132adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ Word 𝐢 ∧ (𝐺dom DProd π‘Ž ∧ (𝐺 DProd π‘Ž) = π‘Š))) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
12244adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ Word 𝐢 ∧ (𝐺dom DProd π‘Ž ∧ (𝐺 DProd π‘Ž) = π‘Š))) β†’ (π‘‚β€˜π‘‹) = 𝐸)
1231adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ Word 𝐢 ∧ (𝐺dom DProd π‘Ž ∧ (𝐺 DProd π‘Ž) = π‘Š))) β†’ π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜π»))
12481adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ Word 𝐢 ∧ (𝐺dom DProd π‘Ž ∧ (𝐺 DProd π‘Ž) = π‘Š))) β†’ ((πΎβ€˜{𝑋}) ∩ π‘Š) = { 0 })
12587adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ Word 𝐢 ∧ (𝐺dom DProd π‘Ž ∧ (𝐺 DProd π‘Ž) = π‘Š))) β†’ ((πΎβ€˜{𝑋}) βŠ• π‘Š) = π‘ˆ)
126 simprl 768 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ Word 𝐢 ∧ (𝐺dom DProd π‘Ž ∧ (𝐺 DProd π‘Ž) = π‘Š))) β†’ π‘Ž ∈ Word 𝐢)
127 simprrl 778 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ Word 𝐢 ∧ (𝐺dom DProd π‘Ž ∧ (𝐺 DProd π‘Ž) = π‘Š))) β†’ 𝐺dom DProd π‘Ž)
128 simprrr 779 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ Word 𝐢 ∧ (𝐺dom DProd π‘Ž ∧ (𝐺 DProd π‘Ž) = π‘Š))) β†’ (𝐺 DProd π‘Ž) = π‘Š)
129 eqid 2731 . . 3 (π‘Ž ++ βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©) = (π‘Ž ++ βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©)
1309, 112, 113, 115, 116, 117, 118, 3, 26, 47, 119, 17, 79, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129pgpfaclem1 19993 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ Word 𝐢 ∧ (𝐺dom DProd π‘Ž ∧ (𝐺 DProd π‘Ž) = π‘Š))) β†’ βˆƒπ‘  ∈ Word 𝐢(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = π‘ˆ))
131111, 130rexlimddv 3160 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘  ∈ Word 𝐢(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  {crab 3431  Vcvv 3473   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948   ⊊ wpss 3949  βˆ…c0 4322  {csn 4628   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  ran crn 5677  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   β‰Ί csdm 8942  Fincfn 8943  β„cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   Β· cmul 11119   < clt 11253  β„•cn 12217  β„•0cn0 12477  β™―chash 14295  Word cword 14469   ++ cconcat 14525  βŸ¨β€œcs1 14550  Basecbs 17149   β†Ύs cress 17178  0gc0g 17390  Moorecmre 17531  mrClscmrc 17532  ACScacs 17534  Grpcgrp 18856  SubGrpcsubg 19037  Cntzccntz 19221  odcod 19434  gExcgex 19435   pGrp cpgp 19436  LSSumclsm 19544  Abelcabl 19691  CycGrpccyg 19787   DProd cdprd 19905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-tpos 8215  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-oadd 8474  df-er 8707  df-map 8826  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-dju 9900  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-hash 14296  df-word 14470  df-concat 14526  df-s1 14551  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-mulg 18988  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-gim 19174  df-cntz 19223  df-oppg 19252  df-od 19438  df-pgp 19440  df-lsm 19546  df-pj1 19547  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-cyg 19788  df-dprd 19907
This theorem is referenced by:  pgpfaclem3  19995
  Copyright terms: Public domain W3C validator