MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpfaclem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pgpfaclem2 19820
Description: Lemma for pgpfac 19822. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
pgpfac.c 𝐶 = {𝑟 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ (𝐺s 𝑟) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )}
pgpfac.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
pgpfac.p (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
pgpfac.f (𝜑𝐵 ∈ Fin)
pgpfac.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pgpfac.a (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)(𝑡𝑈 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑡)))
pgpfac.h 𝐻 = (𝐺s 𝑈)
pgpfac.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐻))
pgpfac.o 𝑂 = (od‘𝐻)
pgpfac.e 𝐸 = (gEx‘𝐻)
pgpfac.0 0 = (0g𝐻)
pgpfac.l = (LSSum‘𝐻)
pgpfac.1 (𝜑𝐸 ≠ 1)
pgpfac.x (𝜑𝑋𝑈)
pgpfac.oe (𝜑 → (𝑂𝑋) = 𝐸)
pgpfac.w (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐻))
pgpfac.i (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋}) ∩ 𝑊) = { 0 })
pgpfac.s (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋}) 𝑊) = 𝑈)
Assertion
Ref Expression
pgpfaclem2 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑈))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐶   𝑠,𝑟,𝑡,𝐺   𝐾,𝑟,𝑠   𝜑,𝑡   𝐵,𝑠,𝑡   𝑈,𝑟,𝑠,𝑡   𝑊,𝑠,𝑡   𝑋,𝑟,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠,𝑟)   𝐵(𝑟)   𝐶(𝑟)   𝑃(𝑡,𝑠,𝑟)   (𝑡,𝑠,𝑟)   𝐸(𝑡,𝑠,𝑟)   𝐻(𝑡,𝑠,𝑟)   𝐾(𝑡)   𝑂(𝑡,𝑠,𝑟)   𝑊(𝑟)   𝑋(𝑡)   0 (𝑡,𝑠,𝑟)

Proof of Theorem pgpfaclem2
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfac.w . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐻))
2 pgpfac.u . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3 pgpfac.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (𝐺s 𝑈)
43subsubg 18910 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐻) ↔ (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊𝑈)))
52, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐻) ↔ (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊𝑈)))
61, 5mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊𝑈))
76simprd 497 . . . . 5 (𝜑𝑊𝑈)
8 pgpfac.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
9 pgpfac.b . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = (Base‘𝐺)
109subgss 18888 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈𝐵)
112, 10syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈𝐵)
128, 11ssfid 9170 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
1312, 7ssfid 9170 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ Fin)
14 hashcl 14210 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Fin → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
1615nn0red 12433 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
17 pgpfac.0 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g𝐻)
1817fvexi 6854 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
19 hashsng 14223 . . . . . . . . . . 11 ( 0 ∈ V → (♯‘{ 0 }) = 1)
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (♯‘{ 0 }) = 1
21 subgrcl 18892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐻) → 𝐻 ∈ Grp)
22 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
2322subgacs 18922 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐻 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐻) ∈ (ACS‘(Base‘𝐻)))
24 acsmre 17492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((SubGrp‘𝐻) ∈ (ACS‘(Base‘𝐻)) → (SubGrp‘𝐻) ∈ (Moore‘(Base‘𝐻)))
251, 21, 23, 244syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (SubGrp‘𝐻) ∈ (Moore‘(Base‘𝐻)))
26 pgpfac.k . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐻))
2725, 26mrcssvd 17463 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ⊆ (Base‘𝐻))
283subgbas 18891 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 = (Base‘𝐻))
292, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑈 = (Base‘𝐻))
3027, 29sseqtrrd 3984 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
3112, 30ssfid 9170 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ∈ Fin)
32 pgpfac.x . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑋𝑈)
3332, 29eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
3426mrcsncl 17452 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((SubGrp‘𝐻) ∈ (Moore‘(Base‘𝐻)) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐻))
3525, 33, 34syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐻))
3617subg0cl 18895 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐻) → 0 ∈ (𝐾‘{𝑋}))
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑0 ∈ (𝐾‘{𝑋}))
3837snssd 4768 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝐾‘{𝑋}))
3933snssd 4768 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → {𝑋} ⊆ (Base‘𝐻))
4025, 26, 39mrcssidd 17465 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → {𝑋} ⊆ (𝐾‘{𝑋}))
41 snssg 4743 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋𝑈 → (𝑋 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ {𝑋} ⊆ (𝐾‘{𝑋})))
4232, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ {𝑋} ⊆ (𝐾‘{𝑋})))
4340, 42mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 ∈ (𝐾‘{𝑋}))
44 pgpfac.oe . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑂𝑋) = 𝐸)
45 pgpfac.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐸 ≠ 1)
4644, 45eqnetrd 3010 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑂𝑋) ≠ 1)
47 pgpfac.o . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑂 = (od‘𝐻)
4847, 17od1 19300 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐻 ∈ Grp → (𝑂0 ) = 1)
491, 21, 483syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑂0 ) = 1)
50 elsni 4602 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋 ∈ { 0 } → 𝑋 = 0 )
5150fveqeq2d 6848 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ { 0 } → ((𝑂𝑋) = 1 ↔ (𝑂0 ) = 1))
5249, 51syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑋 ∈ { 0 } → (𝑂𝑋) = 1))
5352necon3ad 2955 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑂𝑋) ≠ 1 → ¬ 𝑋 ∈ { 0 }))
5446, 53mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ { 0 })
5538, 43, 54ssnelpssd 4071 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → { 0 } ⊊ (𝐾‘{𝑋}))
56 php3 9115 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾‘{𝑋}) ∈ Fin ∧ { 0 } ⊊ (𝐾‘{𝑋})) → { 0 } ≺ (𝐾‘{𝑋}))
5731, 55, 56syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → { 0 } ≺ (𝐾‘{𝑋}))
58 snfi 8947 . . . . . . . . . . . 12 { 0 } ∈ Fin
59 hashsdom 14235 . . . . . . . . . . . 12 (({ 0 } ∈ Fin ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ Fin) → ((♯‘{ 0 }) < (♯‘(𝐾‘{𝑋})) ↔ { 0 } ≺ (𝐾‘{𝑋})))
6058, 31, 59sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((♯‘{ 0 }) < (♯‘(𝐾‘{𝑋})) ↔ { 0 } ≺ (𝐾‘{𝑋})))
6157, 60mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘{ 0 }) < (♯‘(𝐾‘{𝑋})))
6220, 61eqbrtrrid 5140 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 < (♯‘(𝐾‘{𝑋})))
63 1red 11115 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
64 hashcl 14210 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾‘{𝑋}) ∈ Fin → (♯‘(𝐾‘{𝑋})) ∈ ℕ0)
6531, 64syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘(𝐾‘{𝑋})) ∈ ℕ0)
6665nn0red 12433 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘(𝐾‘{𝑋})) ∈ ℝ)
6717subg0cl 18895 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐻) → 0𝑊)
68 ne0i 4293 . . . . . . . . . . . . 13 ( 0𝑊𝑊 ≠ ∅)
691, 67, 683syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊 ≠ ∅)
70 hashnncl 14220 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ Fin → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑊 ≠ ∅))
7113, 70syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑊 ≠ ∅))
7269, 71mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
7372nngt0d 12161 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < (♯‘𝑊))
74 ltmul1 11964 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ (♯‘(𝐾‘{𝑋})) ∈ ℝ ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℝ ∧ 0 < (♯‘𝑊))) → (1 < (♯‘(𝐾‘{𝑋})) ↔ (1 · (♯‘𝑊)) < ((♯‘(𝐾‘{𝑋})) · (♯‘𝑊))))
7563, 66, 16, 73, 74syl112anc 1375 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 < (♯‘(𝐾‘{𝑋})) ↔ (1 · (♯‘𝑊)) < ((♯‘(𝐾‘{𝑋})) · (♯‘𝑊))))
7662, 75mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 · (♯‘𝑊)) < ((♯‘(𝐾‘{𝑋})) · (♯‘𝑊)))
7716recnd 11142 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
7877mulid2d 11132 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 · (♯‘𝑊)) = (♯‘𝑊))
79 pgpfac.l . . . . . . . . . 10 = (LSSum‘𝐻)
80 eqid 2738 . . . . . . . . . 10 (Cntz‘𝐻) = (Cntz‘𝐻)
81 pgpfac.i . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋}) ∩ 𝑊) = { 0 })
82 pgpfac.g . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
833subgabl 19573 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ Abel)
8482, 2, 83syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐻 ∈ Abel)
8580, 84, 35, 1ablcntzd 19594 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ⊆ ((Cntz‘𝐻)‘𝑊))
8679, 17, 80, 35, 1, 81, 85, 31, 13lsmhash 19446 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘((𝐾‘{𝑋}) 𝑊)) = ((♯‘(𝐾‘{𝑋})) · (♯‘𝑊)))
87 pgpfac.s . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋}) 𝑊) = 𝑈)
8887fveq2d 6844 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘((𝐾‘{𝑋}) 𝑊)) = (♯‘𝑈))
8986, 88eqtr3d 2780 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((♯‘(𝐾‘{𝑋})) · (♯‘𝑊)) = (♯‘𝑈))
9076, 78, 893brtr3d 5135 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝑊) < (♯‘𝑈))
9116, 90ltned 11250 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝑊) ≠ (♯‘𝑈))
92 fveq2 6840 . . . . . . 7 (𝑊 = 𝑈 → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈))
9392necon3i 2975 . . . . . 6 ((♯‘𝑊) ≠ (♯‘𝑈) → 𝑊𝑈)
9491, 93syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊𝑈)
95 df-pss 3928 . . . . 5 (𝑊𝑈 ↔ (𝑊𝑈𝑊𝑈))
967, 94, 95sylanbrc 584 . . . 4 (𝜑𝑊𝑈)
97 psseq1 4046 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑊 → (𝑡𝑈𝑊𝑈))
98 eqeq2 2750 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑊 → ((𝐺 DProd 𝑠) = 𝑡 ↔ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑊))
9998anbi2d 630 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑊 → ((𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑡) ↔ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑊)))
10099rexbidv 3174 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑊 → (∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑡) ↔ ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑊)))
10197, 100imbi12d 345 . . . . 5 (𝑡 = 𝑊 → ((𝑡𝑈 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑡)) ↔ (𝑊𝑈 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑊))))
102 pgpfac.a . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)(𝑡𝑈 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑡)))
1036simpld 496 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
104101, 102, 103rspcdva 3581 . . . 4 (𝜑 → (𝑊𝑈 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑊)))
10596, 104mpd 15 . . 3 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑊))
106 breq2 5108 . . . . 5 (𝑠 = 𝑎 → (𝐺dom DProd 𝑠𝐺dom DProd 𝑎))
107 oveq2 7360 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑎 → (𝐺 DProd 𝑠) = (𝐺 DProd 𝑎))
108107eqeq1d 2740 . . . . 5 (𝑠 = 𝑎 → ((𝐺 DProd 𝑠) = 𝑊 ↔ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))
109106, 108anbi12d 632 . . . 4 (𝑠 = 𝑎 → ((𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑊) ↔ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊)))
110109cbvrexvw 3225 . . 3 (∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑊) ↔ ∃𝑎 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))
111105, 110sylib 217 . 2 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))
112 pgpfac.c . . 3 𝐶 = {𝑟 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ (𝐺s 𝑟) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )}
11382adantr 482 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → 𝐺 ∈ Abel)
114 pgpfac.p . . . 4 (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
115114adantr 482 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → 𝑃 pGrp 𝐺)
1168adantr 482 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → 𝐵 ∈ Fin)
1172adantr 482 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
118102adantr 482 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → ∀𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)(𝑡𝑈 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑡)))
119 pgpfac.e . . 3 𝐸 = (gEx‘𝐻)
12045adantr 482 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → 𝐸 ≠ 1)
12132adantr 482 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → 𝑋𝑈)
12244adantr 482 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → (𝑂𝑋) = 𝐸)
1231adantr 482 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐻))
12481adantr 482 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → ((𝐾‘{𝑋}) ∩ 𝑊) = { 0 })
12587adantr 482 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → ((𝐾‘{𝑋}) 𝑊) = 𝑈)
126 simprl 770 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → 𝑎 ∈ Word 𝐶)
127 simprrl 780 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → 𝐺dom DProd 𝑎)
128 simprrr 781 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊)
129 eqid 2738 . . 3 (𝑎 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩) = (𝑎 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)
1309, 112, 113, 115, 116, 117, 118, 3, 26, 47, 119, 17, 79, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129pgpfaclem1 19819 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑈))
131111, 130rexlimddv 3157 1 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2942  wral 3063  wrex 3072  {crab 3406  Vcvv 3444  cin 3908  wss 3909  wpss 3910  c0 4281  {csn 4585   class class class wbr 5104  dom cdm 5632  ran crn 5633  cfv 6494  (class class class)co 7352  csdm 8841  Fincfn 8842  cr 11009  0cc0 11010  1c1 11011   · cmul 11015   < clt 11148  cn 12112  0cn0 12372  chash 14184  Word cword 14356   ++ cconcat 14412  ⟨“cs1 14437  Basecbs 17043  s cress 17072  0gc0g 17281  Moorecmre 17422  mrClscmrc 17423  ACScacs 17425  Grpcgrp 18708  SubGrpcsubg 18881  Cntzccntz 19054  odcod 19265  gExcgex 19266   pGrp cpgp 19267  LSSumclsm 19375  Abelcabl 19522  CycGrpccyg 19613   DProd cdprd 19731
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665  ax-cnex 11066  ax-resscn 11067  ax-1cn 11068  ax-icn 11069  ax-addcl 11070  ax-addrcl 11071  ax-mulcl 11072  ax-mulrcl 11073  ax-mulcom 11074  ax-addass 11075  ax-mulass 11076  ax-distr 11077  ax-i2m1 11078  ax-1ne0 11079  ax-1rid 11080  ax-rnegex 11081  ax-rrecex 11082  ax-cnre 11083  ax-pre-lttri 11084  ax-pre-lttrn 11085  ax-pre-ltadd 11086  ax-pre-mulgt0 11087
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7308  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7610  df-om 7796  df-1st 7914  df-2nd 7915  df-supp 8086  df-tpos 8150  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8310  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-oadd 8409  df-er 8607  df-map 8726  df-ixp 8795  df-en 8843  df-dom 8844  df-sdom 8845  df-fin 8846  df-fsupp 9265  df-sup 9337  df-inf 9338  df-oi 9405  df-dju 9796  df-card 9834  df-pnf 11150  df-mnf 11151  df-xr 11152  df-ltxr 11153  df-le 11154  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12113  df-2 12175  df-n0 12373  df-xnn0 12445  df-z 12459  df-uz 12723  df-fz 13380  df-fzo 13523  df-seq 13862  df-hash 14185  df-word 14357  df-concat 14413  df-s1 14438  df-sets 16996  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-ress 17073  df-plusg 17106  df-0g 17283  df-gsum 17284  df-mre 17426  df-mrc 17427  df-acs 17429  df-mgm 18457  df-sgrp 18506  df-mnd 18517  df-mhm 18561  df-submnd 18562  df-grp 18711  df-minusg 18712  df-sbg 18713  df-mulg 18832  df-subg 18884  df-ghm 18965  df-gim 19008  df-cntz 19056  df-oppg 19083  df-od 19269  df-pgp 19271  df-lsm 19377  df-pj1 19378  df-cmn 19523  df-abl 19524  df-cyg 19614  df-dprd 19733
This theorem is referenced by:  pgpfaclem3  19821
  Copyright terms: Public domain W3C validator