MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpfaclem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pgpfaclem2 18689
Description: Lemma for pgpfac 18691. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
pgpfac.c 𝐶 = {𝑟 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ (𝐺s 𝑟) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )}
pgpfac.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
pgpfac.p (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
pgpfac.f (𝜑𝐵 ∈ Fin)
pgpfac.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pgpfac.a (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)(𝑡𝑈 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑡)))
pgpfac.h 𝐻 = (𝐺s 𝑈)
pgpfac.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐻))
pgpfac.o 𝑂 = (od‘𝐻)
pgpfac.e 𝐸 = (gEx‘𝐻)
pgpfac.0 0 = (0g𝐻)
pgpfac.l = (LSSum‘𝐻)
pgpfac.1 (𝜑𝐸 ≠ 1)
pgpfac.x (𝜑𝑋𝑈)
pgpfac.oe (𝜑 → (𝑂𝑋) = 𝐸)
pgpfac.w (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐻))
pgpfac.i (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋}) ∩ 𝑊) = { 0 })
pgpfac.s (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋}) 𝑊) = 𝑈)
Assertion
Ref Expression
pgpfaclem2 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑈))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐶   𝑠,𝑟,𝑡,𝐺   𝐾,𝑟,𝑠   𝜑,𝑡   𝐵,𝑠,𝑡   𝑈,𝑟,𝑠,𝑡   𝑊,𝑠,𝑡   𝑋,𝑟,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠,𝑟)   𝐵(𝑟)   𝐶(𝑟)   𝑃(𝑡,𝑠,𝑟)   (𝑡,𝑠,𝑟)   𝐸(𝑡,𝑠,𝑟)   𝐻(𝑡,𝑠,𝑟)   𝐾(𝑡)   𝑂(𝑡,𝑠,𝑟)   𝑊(𝑟)   𝑋(𝑡)   0 (𝑡,𝑠,𝑟)

Proof of Theorem pgpfaclem2
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfac.w . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐻))
2 pgpfac.u . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3 pgpfac.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (𝐺s 𝑈)
43subsubg 17825 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐻) ↔ (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊𝑈)))
52, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐻) ↔ (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊𝑈)))
61, 5mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊𝑈))
76simprd 483 . . . . 5 (𝜑𝑊𝑈)
8 pgpfac.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
9 pgpfac.b . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = (Base‘𝐺)
109subgss 17803 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈𝐵)
112, 10syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈𝐵)
12 ssfi 8336 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑈𝐵) → 𝑈 ∈ Fin)
138, 11, 12syl2anc 573 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
14 ssfi 8336 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ Fin ∧ 𝑊𝑈) → 𝑊 ∈ Fin)
1513, 7, 14syl2anc 573 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ Fin)
16 hashcl 13349 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Fin → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
1715, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
1817nn0red 11554 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
19 pgpfac.0 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g𝐻)
20 fvex 6342 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝐻) ∈ V
2119, 20eqeltri 2846 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
22 hashsng 13361 . . . . . . . . . . 11 ( 0 ∈ V → (♯‘{ 0 }) = 1)
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (♯‘{ 0 }) = 1
24 subgrcl 17807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐻) → 𝐻 ∈ Grp)
25 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
2625subgacs 17837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐻 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐻) ∈ (ACS‘(Base‘𝐻)))
27 acsmre 16520 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((SubGrp‘𝐻) ∈ (ACS‘(Base‘𝐻)) → (SubGrp‘𝐻) ∈ (Moore‘(Base‘𝐻)))
281, 24, 26, 274syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (SubGrp‘𝐻) ∈ (Moore‘(Base‘𝐻)))
29 pgpfac.k . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐻))
3028, 29mrcssvd 16491 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ⊆ (Base‘𝐻))
313subgbas 17806 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 = (Base‘𝐻))
322, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑈 = (Base‘𝐻))
3330, 32sseqtr4d 3791 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
34 ssfi 8336 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ Fin ∧ (𝐾‘{𝑋}) ⊆ 𝑈) → (𝐾‘{𝑋}) ∈ Fin)
3513, 33, 34syl2anc 573 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ∈ Fin)
36 pgpfac.x . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑋𝑈)
3736, 32eleqtrd 2852 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
3829mrcsncl 16480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((SubGrp‘𝐻) ∈ (Moore‘(Base‘𝐻)) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐻))
3928, 37, 38syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐻))
4019subg0cl 17810 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐻) → 0 ∈ (𝐾‘{𝑋}))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑0 ∈ (𝐾‘{𝑋}))
4241snssd 4475 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝐾‘{𝑋}))
4337snssd 4475 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → {𝑋} ⊆ (Base‘𝐻))
4428, 29, 43mrcssidd 16493 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → {𝑋} ⊆ (𝐾‘{𝑋}))
45 snssg 4450 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋𝑈 → (𝑋 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ {𝑋} ⊆ (𝐾‘{𝑋})))
4636, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ {𝑋} ⊆ (𝐾‘{𝑋})))
4744, 46mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 ∈ (𝐾‘{𝑋}))
48 pgpfac.oe . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑂𝑋) = 𝐸)
49 pgpfac.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐸 ≠ 1)
5048, 49eqnetrd 3010 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑂𝑋) ≠ 1)
51 pgpfac.o . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑂 = (od‘𝐻)
5251, 19od1 18183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐻 ∈ Grp → (𝑂0 ) = 1)
531, 24, 523syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑂0 ) = 1)
54 elsni 4333 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑋 ∈ { 0 } → 𝑋 = 0 )
5554fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋 ∈ { 0 } → (𝑂𝑋) = (𝑂0 ))
5655eqeq1d 2773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ { 0 } → ((𝑂𝑋) = 1 ↔ (𝑂0 ) = 1))
5753, 56syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑋 ∈ { 0 } → (𝑂𝑋) = 1))
5857necon3ad 2956 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑂𝑋) ≠ 1 → ¬ 𝑋 ∈ { 0 }))
5950, 58mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ { 0 })
6042, 47, 59ssnelpssd 3869 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → { 0 } ⊊ (𝐾‘{𝑋}))
61 php3 8302 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾‘{𝑋}) ∈ Fin ∧ { 0 } ⊊ (𝐾‘{𝑋})) → { 0 } ≺ (𝐾‘{𝑋}))
6235, 60, 61syl2anc 573 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → { 0 } ≺ (𝐾‘{𝑋}))
63 snfi 8194 . . . . . . . . . . . 12 { 0 } ∈ Fin
64 hashsdom 13372 . . . . . . . . . . . 12 (({ 0 } ∈ Fin ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ Fin) → ((♯‘{ 0 }) < (♯‘(𝐾‘{𝑋})) ↔ { 0 } ≺ (𝐾‘{𝑋})))
6563, 35, 64sylancr 575 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((♯‘{ 0 }) < (♯‘(𝐾‘{𝑋})) ↔ { 0 } ≺ (𝐾‘{𝑋})))
6662, 65mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘{ 0 }) < (♯‘(𝐾‘{𝑋})))
6723, 66syl5eqbrr 4822 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 < (♯‘(𝐾‘{𝑋})))
68 1red 10257 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
69 hashcl 13349 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾‘{𝑋}) ∈ Fin → (♯‘(𝐾‘{𝑋})) ∈ ℕ0)
7035, 69syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘(𝐾‘{𝑋})) ∈ ℕ0)
7170nn0red 11554 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘(𝐾‘{𝑋})) ∈ ℝ)
7219subg0cl 17810 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐻) → 0𝑊)
73 ne0i 4069 . . . . . . . . . . . . 13 ( 0𝑊𝑊 ≠ ∅)
741, 72, 733syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊 ≠ ∅)
75 hashnncl 13359 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ Fin → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑊 ≠ ∅))
7615, 75syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑊 ≠ ∅))
7774, 76mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
7877nngt0d 11266 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < (♯‘𝑊))
79 ltmul1 11075 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ (♯‘(𝐾‘{𝑋})) ∈ ℝ ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℝ ∧ 0 < (♯‘𝑊))) → (1 < (♯‘(𝐾‘{𝑋})) ↔ (1 · (♯‘𝑊)) < ((♯‘(𝐾‘{𝑋})) · (♯‘𝑊))))
8068, 71, 18, 78, 79syl112anc 1480 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 < (♯‘(𝐾‘{𝑋})) ↔ (1 · (♯‘𝑊)) < ((♯‘(𝐾‘{𝑋})) · (♯‘𝑊))))
8167, 80mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 · (♯‘𝑊)) < ((♯‘(𝐾‘{𝑋})) · (♯‘𝑊)))
8218recnd 10270 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
8382mulid2d 10260 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 · (♯‘𝑊)) = (♯‘𝑊))
84 pgpfac.l . . . . . . . . . 10 = (LSSum‘𝐻)
85 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 (Cntz‘𝐻) = (Cntz‘𝐻)
86 pgpfac.i . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋}) ∩ 𝑊) = { 0 })
87 pgpfac.g . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
883subgabl 18448 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ Abel)
8987, 2, 88syl2anc 573 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐻 ∈ Abel)
9085, 89, 39, 1ablcntzd 18467 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ⊆ ((Cntz‘𝐻)‘𝑊))
9184, 19, 85, 39, 1, 86, 90, 35, 15lsmhash 18325 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘((𝐾‘{𝑋}) 𝑊)) = ((♯‘(𝐾‘{𝑋})) · (♯‘𝑊)))
92 pgpfac.s . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋}) 𝑊) = 𝑈)
9392fveq2d 6336 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘((𝐾‘{𝑋}) 𝑊)) = (♯‘𝑈))
9491, 93eqtr3d 2807 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((♯‘(𝐾‘{𝑋})) · (♯‘𝑊)) = (♯‘𝑈))
9581, 83, 943brtr3d 4817 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝑊) < (♯‘𝑈))
9618, 95ltned 10375 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝑊) ≠ (♯‘𝑈))
97 fveq2 6332 . . . . . . 7 (𝑊 = 𝑈 → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈))
9897necon3i 2975 . . . . . 6 ((♯‘𝑊) ≠ (♯‘𝑈) → 𝑊𝑈)
9996, 98syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊𝑈)
100 df-pss 3739 . . . . 5 (𝑊𝑈 ↔ (𝑊𝑈𝑊𝑈))
1017, 99, 100sylanbrc 572 . . . 4 (𝜑𝑊𝑈)
102 psseq1 3844 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑊 → (𝑡𝑈𝑊𝑈))
103 eqeq2 2782 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑊 → ((𝐺 DProd 𝑠) = 𝑡 ↔ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑊))
104103anbi2d 614 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑊 → ((𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑡) ↔ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑊)))
105104rexbidv 3200 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑊 → (∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑡) ↔ ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑊)))
106102, 105imbi12d 333 . . . . 5 (𝑡 = 𝑊 → ((𝑡𝑈 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑡)) ↔ (𝑊𝑈 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑊))))
107 pgpfac.a . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)(𝑡𝑈 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑡)))
1086simpld 482 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
109106, 107, 108rspcdva 3466 . . . 4 (𝜑 → (𝑊𝑈 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑊)))
110101, 109mpd 15 . . 3 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑊))
111 breq2 4790 . . . . 5 (𝑠 = 𝑎 → (𝐺dom DProd 𝑠𝐺dom DProd 𝑎))
112 oveq2 6801 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑎 → (𝐺 DProd 𝑠) = (𝐺 DProd 𝑎))
113112eqeq1d 2773 . . . . 5 (𝑠 = 𝑎 → ((𝐺 DProd 𝑠) = 𝑊 ↔ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))
114111, 113anbi12d 616 . . . 4 (𝑠 = 𝑎 → ((𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑊) ↔ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊)))
115114cbvrexv 3321 . . 3 (∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑊) ↔ ∃𝑎 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))
116110, 115sylib 208 . 2 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))
117 pgpfac.c . . 3 𝐶 = {𝑟 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ (𝐺s 𝑟) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )}
11887adantr 466 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → 𝐺 ∈ Abel)
119 pgpfac.p . . . 4 (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
120119adantr 466 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → 𝑃 pGrp 𝐺)
1218adantr 466 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → 𝐵 ∈ Fin)
1222adantr 466 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
123107adantr 466 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → ∀𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)(𝑡𝑈 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑡)))
124 pgpfac.e . . 3 𝐸 = (gEx‘𝐻)
12549adantr 466 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → 𝐸 ≠ 1)
12636adantr 466 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → 𝑋𝑈)
12748adantr 466 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → (𝑂𝑋) = 𝐸)
1281adantr 466 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐻))
12986adantr 466 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → ((𝐾‘{𝑋}) ∩ 𝑊) = { 0 })
13092adantr 466 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → ((𝐾‘{𝑋}) 𝑊) = 𝑈)
131 simprl 754 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → 𝑎 ∈ Word 𝐶)
132 simprrl 766 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → 𝐺dom DProd 𝑎)
133 simprrr 767 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊)
134 eqid 2771 . . 3 (𝑎 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩) = (𝑎 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)
1359, 117, 118, 120, 121, 122, 123, 3, 29, 51, 124, 19, 84, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134pgpfaclem1 18688 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑈))
136116, 135rexlimddv 3183 1 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  wrex 3062  {crab 3065  Vcvv 3351  cin 3722  wss 3723  wpss 3724  c0 4063  {csn 4316   class class class wbr 4786  dom cdm 5249  ran crn 5250  cfv 6031  (class class class)co 6793  csdm 8108  Fincfn 8109  cr 10137  0cc0 10138  1c1 10139   · cmul 10143   < clt 10276  cn 11222  0cn0 11494  chash 13321  Word cword 13487   ++ cconcat 13489  ⟨“cs1 13490  Basecbs 16064  s cress 16065  0gc0g 16308  Moorecmre 16450  mrClscmrc 16451  ACScacs 16453  Grpcgrp 17630  SubGrpcsubg 17796  Cntzccntz 17955  odcod 18151  gExcgex 18152   pGrp cpgp 18153  LSSumclsm 18256  Abelcabl 18401  CycGrpccyg 18486   DProd cdprd 18600
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-tpos 7504  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-n0 11495  df-xnn0 11566  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-word 13495  df-concat 13497  df-s1 13498  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-mulg 17749  df-subg 17799  df-ghm 17866  df-gim 17909  df-cntz 17957  df-oppg 17983  df-od 18155  df-pgp 18157  df-lsm 18258  df-pj1 18259  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-cyg 18487  df-dprd 18602
This theorem is referenced by:  pgpfaclem3  18690
  Copyright terms: Public domain W3C validator