MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpfaclem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pgpfaclem2 18748
Description: Lemma for pgpfac 18750. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
pgpfac.c 𝐶 = {𝑟 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ (𝐺s 𝑟) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )}
pgpfac.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
pgpfac.p (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
pgpfac.f (𝜑𝐵 ∈ Fin)
pgpfac.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pgpfac.a (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)(𝑡𝑈 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑡)))
pgpfac.h 𝐻 = (𝐺s 𝑈)
pgpfac.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐻))
pgpfac.o 𝑂 = (od‘𝐻)
pgpfac.e 𝐸 = (gEx‘𝐻)
pgpfac.0 0 = (0g𝐻)
pgpfac.l = (LSSum‘𝐻)
pgpfac.1 (𝜑𝐸 ≠ 1)
pgpfac.x (𝜑𝑋𝑈)
pgpfac.oe (𝜑 → (𝑂𝑋) = 𝐸)
pgpfac.w (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐻))
pgpfac.i (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋}) ∩ 𝑊) = { 0 })
pgpfac.s (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋}) 𝑊) = 𝑈)
Assertion
Ref Expression
pgpfaclem2 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑈))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐶   𝑠,𝑟,𝑡,𝐺   𝐾,𝑟,𝑠   𝜑,𝑡   𝐵,𝑠,𝑡   𝑈,𝑟,𝑠,𝑡   𝑊,𝑠,𝑡   𝑋,𝑟,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠,𝑟)   𝐵(𝑟)   𝐶(𝑟)   𝑃(𝑡,𝑠,𝑟)   (𝑡,𝑠,𝑟)   𝐸(𝑡,𝑠,𝑟)   𝐻(𝑡,𝑠,𝑟)   𝐾(𝑡)   𝑂(𝑡,𝑠,𝑟)   𝑊(𝑟)   𝑋(𝑡)   0 (𝑡,𝑠,𝑟)

Proof of Theorem pgpfaclem2
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfac.w . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐻))
2 pgpfac.u . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3 pgpfac.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (𝐺s 𝑈)
43subsubg 17881 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐻) ↔ (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊𝑈)))
52, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐻) ↔ (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊𝑈)))
61, 5mpbid 223 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊𝑈))
76simprd 489 . . . . 5 (𝜑𝑊𝑈)
8 pgpfac.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
9 pgpfac.b . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = (Base‘𝐺)
109subgss 17859 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈𝐵)
112, 10syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈𝐵)
12 ssfi 8387 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑈𝐵) → 𝑈 ∈ Fin)
138, 11, 12syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
14 ssfi 8387 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ Fin ∧ 𝑊𝑈) → 𝑊 ∈ Fin)
1513, 7, 14syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ Fin)
16 hashcl 13349 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Fin → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
1715, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
1817nn0red 11599 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
19 pgpfac.0 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g𝐻)
2019fvexi 6389 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
21 hashsng 13361 . . . . . . . . . . 11 ( 0 ∈ V → (♯‘{ 0 }) = 1)
2220, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (♯‘{ 0 }) = 1
23 subgrcl 17863 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐻) → 𝐻 ∈ Grp)
24 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
2524subgacs 17893 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐻 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐻) ∈ (ACS‘(Base‘𝐻)))
26 acsmre 16578 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((SubGrp‘𝐻) ∈ (ACS‘(Base‘𝐻)) → (SubGrp‘𝐻) ∈ (Moore‘(Base‘𝐻)))
271, 23, 25, 264syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (SubGrp‘𝐻) ∈ (Moore‘(Base‘𝐻)))
28 pgpfac.k . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐻))
2927, 28mrcssvd 16549 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ⊆ (Base‘𝐻))
303subgbas 17862 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 = (Base‘𝐻))
312, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑈 = (Base‘𝐻))
3229, 31sseqtr4d 3802 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
33 ssfi 8387 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ Fin ∧ (𝐾‘{𝑋}) ⊆ 𝑈) → (𝐾‘{𝑋}) ∈ Fin)
3413, 32, 33syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ∈ Fin)
35 pgpfac.x . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑋𝑈)
3635, 31eleqtrd 2846 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
3728mrcsncl 16538 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((SubGrp‘𝐻) ∈ (Moore‘(Base‘𝐻)) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐻))
3827, 36, 37syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐻))
3919subg0cl 17866 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐻) → 0 ∈ (𝐾‘{𝑋}))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑0 ∈ (𝐾‘{𝑋}))
4140snssd 4494 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝐾‘{𝑋}))
4236snssd 4494 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → {𝑋} ⊆ (Base‘𝐻))
4327, 28, 42mrcssidd 16551 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → {𝑋} ⊆ (𝐾‘{𝑋}))
44 snssg 4469 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋𝑈 → (𝑋 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ {𝑋} ⊆ (𝐾‘{𝑋})))
4535, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ {𝑋} ⊆ (𝐾‘{𝑋})))
4643, 45mpbird 248 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 ∈ (𝐾‘{𝑋}))
47 pgpfac.oe . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑂𝑋) = 𝐸)
48 pgpfac.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐸 ≠ 1)
4947, 48eqnetrd 3004 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑂𝑋) ≠ 1)
50 pgpfac.o . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑂 = (od‘𝐻)
5150, 19od1 18240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐻 ∈ Grp → (𝑂0 ) = 1)
521, 23, 513syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑂0 ) = 1)
53 elsni 4351 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋 ∈ { 0 } → 𝑋 = 0 )
5453fveqeq2d 6383 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ { 0 } → ((𝑂𝑋) = 1 ↔ (𝑂0 ) = 1))
5552, 54syl5ibrcom 238 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑋 ∈ { 0 } → (𝑂𝑋) = 1))
5655necon3ad 2950 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑂𝑋) ≠ 1 → ¬ 𝑋 ∈ { 0 }))
5749, 56mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ { 0 })
5841, 46, 57ssnelpssd 3880 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → { 0 } ⊊ (𝐾‘{𝑋}))
59 php3 8353 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾‘{𝑋}) ∈ Fin ∧ { 0 } ⊊ (𝐾‘{𝑋})) → { 0 } ≺ (𝐾‘{𝑋}))
6034, 58, 59syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → { 0 } ≺ (𝐾‘{𝑋}))
61 snfi 8245 . . . . . . . . . . . 12 { 0 } ∈ Fin
62 hashsdom 13372 . . . . . . . . . . . 12 (({ 0 } ∈ Fin ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ Fin) → ((♯‘{ 0 }) < (♯‘(𝐾‘{𝑋})) ↔ { 0 } ≺ (𝐾‘{𝑋})))
6361, 34, 62sylancr 581 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((♯‘{ 0 }) < (♯‘(𝐾‘{𝑋})) ↔ { 0 } ≺ (𝐾‘{𝑋})))
6460, 63mpbird 248 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘{ 0 }) < (♯‘(𝐾‘{𝑋})))
6522, 64syl5eqbrr 4845 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 < (♯‘(𝐾‘{𝑋})))
66 1red 10294 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
67 hashcl 13349 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾‘{𝑋}) ∈ Fin → (♯‘(𝐾‘{𝑋})) ∈ ℕ0)
6834, 67syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘(𝐾‘{𝑋})) ∈ ℕ0)
6968nn0red 11599 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘(𝐾‘{𝑋})) ∈ ℝ)
7019subg0cl 17866 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐻) → 0𝑊)
71 ne0i 4085 . . . . . . . . . . . . 13 ( 0𝑊𝑊 ≠ ∅)
721, 70, 713syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊 ≠ ∅)
73 hashnncl 13359 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ Fin → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑊 ≠ ∅))
7415, 73syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑊 ≠ ∅))
7572, 74mpbird 248 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
7675nngt0d 11321 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < (♯‘𝑊))
77 ltmul1 11127 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ (♯‘(𝐾‘{𝑋})) ∈ ℝ ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℝ ∧ 0 < (♯‘𝑊))) → (1 < (♯‘(𝐾‘{𝑋})) ↔ (1 · (♯‘𝑊)) < ((♯‘(𝐾‘{𝑋})) · (♯‘𝑊))))
7866, 69, 18, 76, 77syl112anc 1493 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 < (♯‘(𝐾‘{𝑋})) ↔ (1 · (♯‘𝑊)) < ((♯‘(𝐾‘{𝑋})) · (♯‘𝑊))))
7965, 78mpbid 223 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 · (♯‘𝑊)) < ((♯‘(𝐾‘{𝑋})) · (♯‘𝑊)))
8018recnd 10322 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
8180mulid2d 10312 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 · (♯‘𝑊)) = (♯‘𝑊))
82 pgpfac.l . . . . . . . . . 10 = (LSSum‘𝐻)
83 eqid 2765 . . . . . . . . . 10 (Cntz‘𝐻) = (Cntz‘𝐻)
84 pgpfac.i . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋}) ∩ 𝑊) = { 0 })
85 pgpfac.g . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
863subgabl 18507 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ Abel)
8785, 2, 86syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐻 ∈ Abel)
8883, 87, 38, 1ablcntzd 18526 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ⊆ ((Cntz‘𝐻)‘𝑊))
8982, 19, 83, 38, 1, 84, 88, 34, 15lsmhash 18382 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘((𝐾‘{𝑋}) 𝑊)) = ((♯‘(𝐾‘{𝑋})) · (♯‘𝑊)))
90 pgpfac.s . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋}) 𝑊) = 𝑈)
9190fveq2d 6379 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘((𝐾‘{𝑋}) 𝑊)) = (♯‘𝑈))
9289, 91eqtr3d 2801 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((♯‘(𝐾‘{𝑋})) · (♯‘𝑊)) = (♯‘𝑈))
9379, 81, 923brtr3d 4840 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝑊) < (♯‘𝑈))
9418, 93ltned 10427 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝑊) ≠ (♯‘𝑈))
95 fveq2 6375 . . . . . . 7 (𝑊 = 𝑈 → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈))
9695necon3i 2969 . . . . . 6 ((♯‘𝑊) ≠ (♯‘𝑈) → 𝑊𝑈)
9794, 96syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊𝑈)
98 df-pss 3748 . . . . 5 (𝑊𝑈 ↔ (𝑊𝑈𝑊𝑈))
997, 97, 98sylanbrc 578 . . . 4 (𝜑𝑊𝑈)
100 psseq1 3855 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑊 → (𝑡𝑈𝑊𝑈))
101 eqeq2 2776 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑊 → ((𝐺 DProd 𝑠) = 𝑡 ↔ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑊))
102101anbi2d 622 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑊 → ((𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑡) ↔ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑊)))
103102rexbidv 3199 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑊 → (∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑡) ↔ ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑊)))
104100, 103imbi12d 335 . . . . 5 (𝑡 = 𝑊 → ((𝑡𝑈 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑡)) ↔ (𝑊𝑈 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑊))))
105 pgpfac.a . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)(𝑡𝑈 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑡)))
1066simpld 488 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
107104, 105, 106rspcdva 3467 . . . 4 (𝜑 → (𝑊𝑈 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑊)))
10899, 107mpd 15 . . 3 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑊))
109 breq2 4813 . . . . 5 (𝑠 = 𝑎 → (𝐺dom DProd 𝑠𝐺dom DProd 𝑎))
110 oveq2 6850 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑎 → (𝐺 DProd 𝑠) = (𝐺 DProd 𝑎))
111110eqeq1d 2767 . . . . 5 (𝑠 = 𝑎 → ((𝐺 DProd 𝑠) = 𝑊 ↔ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))
112109, 111anbi12d 624 . . . 4 (𝑠 = 𝑎 → ((𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑊) ↔ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊)))
113112cbvrexv 3320 . . 3 (∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑊) ↔ ∃𝑎 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))
114108, 113sylib 209 . 2 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))
115 pgpfac.c . . 3 𝐶 = {𝑟 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ (𝐺s 𝑟) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )}
11685adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → 𝐺 ∈ Abel)
117 pgpfac.p . . . 4 (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
118117adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → 𝑃 pGrp 𝐺)
1198adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → 𝐵 ∈ Fin)
1202adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
121105adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → ∀𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)(𝑡𝑈 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑡)))
122 pgpfac.e . . 3 𝐸 = (gEx‘𝐻)
12348adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → 𝐸 ≠ 1)
12435adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → 𝑋𝑈)
12547adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → (𝑂𝑋) = 𝐸)
1261adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐻))
12784adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → ((𝐾‘{𝑋}) ∩ 𝑊) = { 0 })
12890adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → ((𝐾‘{𝑋}) 𝑊) = 𝑈)
129 simprl 787 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → 𝑎 ∈ Word 𝐶)
130 simprrl 799 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → 𝐺dom DProd 𝑎)
131 simprrr 800 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊)
132 eqid 2765 . . 3 (𝑎 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩) = (𝑎 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)
1339, 115, 116, 118, 119, 120, 121, 3, 28, 50, 122, 19, 82, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132pgpfaclem1 18747 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑈))
134114, 133rexlimddv 3182 1 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  {crab 3059  Vcvv 3350  cin 3731  wss 3732  wpss 3733  c0 4079  {csn 4334   class class class wbr 4809  dom cdm 5277  ran crn 5278  cfv 6068  (class class class)co 6842  csdm 8159  Fincfn 8160  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   · cmul 10194   < clt 10328  cn 11274  0cn0 11538  chash 13321  Word cword 13486   ++ cconcat 13541  ⟨“cs1 13566  Basecbs 16130  s cress 16131  0gc0g 16366  Moorecmre 16508  mrClscmrc 16509  ACScacs 16511  Grpcgrp 17689  SubGrpcsubg 17852  Cntzccntz 18011  odcod 18208  gExcgex 18209   pGrp cpgp 18210  LSSumclsm 18313  Abelcabl 18460  CycGrpccyg 18545   DProd cdprd 18659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-tpos 7555  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-n0 11539  df-xnn0 11611  df-z 11625  df-uz 11887  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-word 13487  df-concat 13542  df-s1 13567  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-0g 16368  df-gsum 16369  df-mre 16512  df-mrc 16513  df-acs 16515  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-mhm 17601  df-submnd 17602  df-grp 17692  df-minusg 17693  df-sbg 17694  df-mulg 17808  df-subg 17855  df-ghm 17922  df-gim 17965  df-cntz 18013  df-oppg 18039  df-od 18212  df-pgp 18214  df-lsm 18315  df-pj1 18316  df-cmn 18461  df-abl 18462  df-cyg 18546  df-dprd 18661
This theorem is referenced by:  pgpfaclem3  18749
  Copyright terms: Public domain W3C validator