Theorem infpss 10211

Description: Every infinite set has an equinumerous proper subset, proved without AC or Infinity. Exercise 7 of [TakeutiZaring] p. 91. See also infpssALT 10307. (Contributed by NM, 23-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
infpss	⊢ (ω ≼ 𝐴 → ∃𝑥(𝑥 ⊊ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem infpss

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infn0 9306	. . 3 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
2		n0 4341	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴)
3	1, 2	sylib 217	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴)
4		reldom 8944	. . . . . 6 ⊢ Rel ≼
5	4	brrelex2i 5726	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
6	5	difexd 5322	. . . 4 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 ∖ {𝑦}) ∈ V)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑦}) ∈ V)
8		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
9		difsnpss 4805	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ (𝐴 ∖ {𝑦}) ⊊ 𝐴)
10	8, 9	sylib 217	. . . 4 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑦}) ⊊ 𝐴)
11		infdifsn 9651	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 ∖ {𝑦}) ≈ 𝐴)
12	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑦}) ≈ 𝐴)
13	10, 12	jca 511	. . 3 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑦}) ⊊ 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≈ 𝐴))
14		psseq1 4082	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∖ {𝑦}) → (𝑥 ⊊ 𝐴 ↔ (𝐴 ∖ {𝑦}) ⊊ 𝐴))
15		breq1 5144	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∖ {𝑦}) → (𝑥 ≈ 𝐴 ↔ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≈ 𝐴))
16	14, 15	anbi12d 630	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∖ {𝑦}) → ((𝑥 ⊊ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝐴) ↔ ((𝐴 ∖ {𝑦}) ⊊ 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≈ 𝐴)))
17	7, 13, 16	spcedv 3582	. 2 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∃𝑥(𝑥 ⊊ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝐴))
18	3, 17	exlimddv 1930	1 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ∃𝑥(𝑥 ⊊ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533  ∃wex 1773   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  Vcvv 3468   ∖ cdif 3940   ⊊ wpss 3944  ∅c0 4317  {csn 4623   class class class wbr 5141  ωcom 7851   ≈ cen 8935   ≼ cdom 8936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-om 7852  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940

This theorem is referenced by:  isfin4-2  10308