Theorem infpss 10219

Description: Every infinite set has an equinumerous proper subset, proved without AC or Infinity. Exercise 7 of [TakeutiZaring] p. 91. See also infpssALT 10316. (Contributed by NM, 23-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
infpss	⊢ (ω ≼ 𝐴 → ∃𝑥(𝑥 ⊊ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem infpss

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infn0 9273	. . 3 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
2		n0 4300	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴)
3	1, 2	sylib 221	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴)
4		reldom 8959	. . . . . 6 ⊢ Rel ≼
5	4	brrelex2i 5712	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
6	5	difexd 5296	. . . 4 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 ∖ {𝑦}) ∈ V)
7	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑦}) ∈ V)
8		difsnpss 4770	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ (𝐴 ∖ {𝑦}) ⊊ 𝐴)
9	8	bilani 510	. . . 4 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑦}) ⊊ 𝐴)
10		infdifsn 9637	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 ∖ {𝑦}) ≈ 𝐴)
11	10	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑦}) ≈ 𝐴)
12	9, 11	jca 521	. . 3 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑦}) ⊊ 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≈ 𝐴))
13		psseq1 4038	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∖ {𝑦}) → (𝑥 ⊊ 𝐴 ↔ (𝐴 ∖ {𝑦}) ⊊ 𝐴))
14		breq1 5106	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∖ {𝑦}) → (𝑥 ≈ 𝐴 ↔ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≈ 𝐴))
15	13, 14	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∖ {𝑦}) → ((𝑥 ⊊ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝐴) ↔ ((𝐴 ∖ {𝑦}) ⊊ 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≈ 𝐴)))
16	7, 12, 15	spcedv 3552	. 2 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∃𝑥(𝑥 ⊊ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝐴))
17	3, 16	exlimddv 1968	1 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ∃𝑥(𝑥 ⊊ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  Vcvv 3450   ∖ cdif 3896   ⊊ wpss 3900  ∅c0 4279  {csn 4584   class class class wbr 5103  ωcom 7863   ≈ cen 8950   ≼ cdom 8951

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-om 7864  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955

This theorem is used by:  isfin4-2  10317