Theorem infpss 10235

Description: Every infinite set has an equinumerous proper subset, proved without AC or Infinity. Exercise 7 of [TakeutiZaring] p. 91. See also infpssALT 10332. (Contributed by NM, 23-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
infpss	⊢ (ω ≼ 𝐴 → ∃𝑥(𝑥 ⊊ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem infpss

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infn0 9317	. . 3 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
2		n0 4333	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴)
3	1, 2	sylib 218	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴)
4		reldom 8970	. . . . . 6 ⊢ Rel ≼
5	4	brrelex2i 5716	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
6	5	difexd 5306	. . . 4 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 ∖ {𝑦}) ∈ V)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑦}) ∈ V)
8		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
9		difsnpss 4788	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ (𝐴 ∖ {𝑦}) ⊊ 𝐴)
10	8, 9	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑦}) ⊊ 𝐴)
11		infdifsn 9676	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 ∖ {𝑦}) ≈ 𝐴)
12	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑦}) ≈ 𝐴)
13	10, 12	jca 511	. . 3 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑦}) ⊊ 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≈ 𝐴))
14		psseq1 4070	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∖ {𝑦}) → (𝑥 ⊊ 𝐴 ↔ (𝐴 ∖ {𝑦}) ⊊ 𝐴))
15		breq1 5127	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∖ {𝑦}) → (𝑥 ≈ 𝐴 ↔ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≈ 𝐴))
16	14, 15	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∖ {𝑦}) → ((𝑥 ⊊ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝐴) ↔ ((𝐴 ∖ {𝑦}) ⊊ 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≈ 𝐴)))
17	7, 13, 16	spcedv 3582	. 2 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∃𝑥(𝑥 ⊊ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝐴))
18	3, 17	exlimddv 1935	1 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ∃𝑥(𝑥 ⊊ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  Vcvv 3464   ∖ cdif 3928   ⊊ wpss 3932  ∅c0 4313  {csn 4606   class class class wbr 5124  ωcom 7866   ≈ cen 8961   ≼ cdom 8962

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-om 7867  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966

This theorem is referenced by:  isfin4-2  10333