MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infpss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infpss 10248
Description: Every infinite set has an equinumerous proper subset, proved without AC or Infinity. Exercise 7 of [TakeutiZaring] p. 91. See also infpssALT 10344. (Contributed by NM, 23-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
infpss (ω ≼ 𝐴 → ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐴))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem infpss
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 infn0 9338 . . 3 (ω ≼ 𝐴𝐴 ≠ ∅)
2 n0 4350 . . 3 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦𝐴)
31, 2sylib 217 . 2 (ω ≼ 𝐴 → ∃𝑦 𝑦𝐴)
4 reldom 8976 . . . . . 6 Rel ≼
54brrelex2i 5739 . . . . 5 (ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ V)
65difexd 5335 . . . 4 (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 ∖ {𝑦}) ∈ V)
76adantr 479 . . 3 ((ω ≼ 𝐴𝑦𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑦}) ∈ V)
8 simpr 483 . . . . 5 ((ω ≼ 𝐴𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
9 difsnpss 4815 . . . . 5 (𝑦𝐴 ↔ (𝐴 ∖ {𝑦}) ⊊ 𝐴)
108, 9sylib 217 . . . 4 ((ω ≼ 𝐴𝑦𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑦}) ⊊ 𝐴)
11 infdifsn 9688 . . . . 5 (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 ∖ {𝑦}) ≈ 𝐴)
1211adantr 479 . . . 4 ((ω ≼ 𝐴𝑦𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑦}) ≈ 𝐴)
1310, 12jca 510 . . 3 ((ω ≼ 𝐴𝑦𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑦}) ⊊ 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≈ 𝐴))
14 psseq1 4087 . . . 4 (𝑥 = (𝐴 ∖ {𝑦}) → (𝑥𝐴 ↔ (𝐴 ∖ {𝑦}) ⊊ 𝐴))
15 breq1 5155 . . . 4 (𝑥 = (𝐴 ∖ {𝑦}) → (𝑥𝐴 ↔ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≈ 𝐴))
1614, 15anbi12d 630 . . 3 (𝑥 = (𝐴 ∖ {𝑦}) → ((𝑥𝐴𝑥𝐴) ↔ ((𝐴 ∖ {𝑦}) ⊊ 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≈ 𝐴)))
177, 13, 16spcedv 3587 . 2 ((ω ≼ 𝐴𝑦𝐴) → ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐴))
183, 17exlimddv 1930 1 (ω ≼ 𝐴 → ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  wne 2937  Vcvv 3473  cdif 3946  wpss 3950  c0 4326  {csn 4632   class class class wbr 5152  ωcom 7876  cen 8967  cdom 8968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-om 7877  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972
This theorem is referenced by:  isfin4-2  10345
  Copyright terms: Public domain W3C validator