Theorem infpss 9628

Description: Every infinite set has an equinumerous proper subset, proved without AC or Infinity. Exercise 7 of [TakeutiZaring] p. 91. See also infpssALT 9724. (Contributed by NM, 23-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
infpss	⊢ (ω ≼ 𝐴 → ∃𝑥(𝑥 ⊊ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem infpss

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infn0 8764	. . 3 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
2		n0 4260	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴)
3	1, 2	sylib 221	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴)
4		reldom 8498	. . . . . 6 ⊢ Rel ≼
5	4	brrelex2i 5573	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
6		difexg 5195	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∖ {𝑦}) ∈ V)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 ∖ {𝑦}) ∈ V)
8	7	adantr 484	. . 3 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑦}) ∈ V)
9		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
10		difsnpss 4700	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ (𝐴 ∖ {𝑦}) ⊊ 𝐴)
11	9, 10	sylib 221	. . . 4 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑦}) ⊊ 𝐴)
12		infdifsn 9104	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 ∖ {𝑦}) ≈ 𝐴)
13	12	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑦}) ≈ 𝐴)
14	11, 13	jca 515	. . 3 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑦}) ⊊ 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≈ 𝐴))
15		psseq1 4015	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∖ {𝑦}) → (𝑥 ⊊ 𝐴 ↔ (𝐴 ∖ {𝑦}) ⊊ 𝐴))
16		breq1 5033	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∖ {𝑦}) → (𝑥 ≈ 𝐴 ↔ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≈ 𝐴))
17	15, 16	anbi12d 633	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∖ {𝑦}) → ((𝑥 ⊊ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝐴) ↔ ((𝐴 ∖ {𝑦}) ⊊ 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≈ 𝐴)))
18	8, 14, 17	spcedv 3547	. 2 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∃𝑥(𝑥 ⊊ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝐴))
19	3, 18	exlimddv 1936	1 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ∃𝑥(𝑥 ⊊ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  Vcvv 3441   ∖ cdif 3878   ⊊ wpss 3882  ∅c0 4243  {csn 4525   class class class wbr 5030  ωcom 7560   ≈ cen 8489   ≼ cdom 8490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-om 7561  df-1o 8085  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496

This theorem is referenced by:  isfin4-2  9725