Theorem upgrwlkdvspth 30212

Description: A walk consisting of different vertices is a simple path. Notice that this theorem would not hold for arbitrary hypergraphs, see the counterexample given in the comment of upgrspthswlk 30211. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Oct-2017.) (Revised by AV, 17-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
upgrwlkdvspth	⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem upgrwlkdvspth

Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpc 1168	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃))
2		upgrspthswlk 30211	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (SPaths‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑝)})
3	2	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → (SPaths‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑝)})
4	3	breqd 5118	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ 𝐹{⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑝)}𝑃))
5		wlkv 30080	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
6		3simpc 1168	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
7	5, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
8	7	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
9		breq12 5112	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ↔ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃))
10		cnveq 5857	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ◡𝑝 = ◡𝑃)
11	10	funeqd 6559	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (Fun ◡𝑝 ↔ Fun ◡𝑃))
12	11	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑝 = 𝑃) → (Fun ◡𝑝 ↔ Fun ◡𝑃))
13	9, 12	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑝 = 𝑃) → ((𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑝) ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃)))
14		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑝)} = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑝)}
15	13, 14	brabga 5516	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹{⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑝)}𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃)))
16	8, 15	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → (𝐹{⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑝)}𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃)))
17	4, 16	bitrd 282	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃)))
18	1, 17	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   class class class wbr 5107  {copab 5171  ^◡ccnv 5658  Fun wfun 6531  ‘cfv 6537  UPGraphcupgr 29545  Walkscwlks 30064  SPathscspths 30183

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-dju 9910  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-n0 12533  df-xnn0 12606  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-hash 14399  df-word 14583  df-edg 29513  df-uhgr 29523  df-upgr 29547  df-wlks 30067  df-trls 30162  df-spths 30187

This theorem is used by: (None)