Theorem upgrwlkdvspth 30069

Description: A walk consisting of different vertices is a simple path. Notice that this theorem would not hold for arbitrary hypergraphs, see the counterexample given in the comment of upgrspthswlk 30068. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Oct-2017.) (Revised by AV, 17-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
upgrwlkdvspth	⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem upgrwlkdvspth

Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpc 1168	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃))
2		upgrspthswlk 30068	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (SPaths‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑝)})
3	2	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → (SPaths‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑝)})
4	3	breqd 5121	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ 𝐹{⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑝)}𝑃))
5		wlkv 29943	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
6		3simpc 1168	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
7	5, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
8	7	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
9		breq12 5115	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ↔ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃))
10		cnveq 5861	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ◡𝑝 = ◡𝑃)
11	10	funeqd 6560	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (Fun ◡𝑝 ↔ Fun ◡𝑃))
12	11	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑝 = 𝑃) → (Fun ◡𝑝 ↔ Fun ◡𝑃))
13	9, 12	anbi12d 643	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑝 = 𝑃) → ((𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑝) ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃)))
14		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑝)} = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑝)}
15	13, 14	brabga 5520	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹{⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑝)}𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃)))
16	8, 15	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → (𝐹{⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑝)}𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃)))
17	4, 16	bitrd 282	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃)))
18	1, 17	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   class class class wbr 5110  {copab 5174  ^◡ccnv 5662  Fun wfun 6532  ‘cfv 6538  UPGraphcupgr 29411  Walkscwlks 29927  SPathscspths 30041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-dju 9888  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-n0 12506  df-xnn0 12579  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-hash 14369  df-word 14553  df-edg 29379  df-uhgr 29389  df-upgr 29413  df-wlks 29930  df-trls 30021  df-spths 30045

This theorem is referenced by: (None)