MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  upgrwlkdvspth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem upgrwlkdvspth 29772
Description: A walk consisting of different vertices is a simple path. Notice that this theorem would not hold for arbitrary hypergraphs, see the counterexample given in the comment of upgrspthswlk 29771. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Oct-2017.) (Revised by AV, 17-Jan-2021.)
Assertion
Ref Expression
upgrwlkdvspth ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem upgrwlkdvspth
Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3simpc 1149 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃))
2 upgrspthswlk 29771 . . . . 5 (𝐺 ∈ UPGraph → (SPaths‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun 𝑝)})
323ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → (SPaths‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun 𝑝)})
43breqd 5159 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃𝐹{⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun 𝑝)}𝑃))
5 wlkv 29645 . . . . . 6 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
6 3simpc 1149 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
873ad2ant2 1133 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
9 breq12 5153 . . . . . 6 ((𝑓 = 𝐹𝑝 = 𝑃) → (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝𝐹(Walks‘𝐺)𝑃))
10 cnveq 5887 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑃𝑝 = 𝑃)
1110funeqd 6590 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑃 → (Fun 𝑝 ↔ Fun 𝑃))
1211adantl 481 . . . . . 6 ((𝑓 = 𝐹𝑝 = 𝑃) → (Fun 𝑝 ↔ Fun 𝑃))
139, 12anbi12d 632 . . . . 5 ((𝑓 = 𝐹𝑝 = 𝑃) → ((𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun 𝑝) ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃)))
14 eqid 2735 . . . . 5 {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun 𝑝)} = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun 𝑝)}
1513, 14brabga 5544 . . . 4 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹{⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun 𝑝)}𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃)))
168, 15syl 17 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → (𝐹{⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun 𝑝)}𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃)))
174, 16bitrd 279 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃)))
181, 17mpbird 257 1 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478   class class class wbr 5148  {copab 5210  ccnv 5688  Fun wfun 6557  cfv 6563  UPGraphcupgr 29112  Walkscwlks 29629  SPathscspths 29746
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-edg 29080  df-uhgr 29090  df-upgr 29114  df-wlks 29632  df-trls 29725  df-spths 29750
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator