Theorem upgrwlkdvspth 29895

Description: A walk consisting of different vertices is a simple path. Notice that this theorem would not hold for arbitrary hypergraphs, see the counterexample given in the comment of upgrspthswlk 29894. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Oct-2017.) (Revised by AV, 17-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
upgrwlkdvspth	⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem upgrwlkdvspth

Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpc 1162	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃))
2		upgrspthswlk 29894	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (SPaths‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑝)})
3	2	3ad2ant1 1145	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → (SPaths‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑝)})
4	3	breqd 5108	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ 𝐹{⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑝)}𝑃))
5		wlkv 29769	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
6		3simpc 1162	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
8	7	3ad2ant2 1146	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
9		breq12 5102	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ↔ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃))
10		cnveq 5841	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ◡𝑝 = ◡𝑃)
11	10	funeqd 6537	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (Fun ◡𝑝 ↔ Fun ◡𝑃))
12	11	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑝 = 𝑃) → (Fun ◡𝑝 ↔ Fun ◡𝑃))
13	9, 12	anbi12d 641	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑝 = 𝑃) → ((𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑝) ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃)))
14		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑝)} = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑝)}
15	13, 14	brabga 5501	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹{⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑝)}𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃)))
16	8, 15	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → (𝐹{⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑝)}𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃)))
17	4, 16	bitrd 281	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃)))
18	1, 17	mpbird 259	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   class class class wbr 5097  {copab 5159  ^◡ccnv 5642  Fun wfun 6509  ‘cfv 6515  UPGraphcupgr 29237  Walkscwlks 29753  SPathscspths 29867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-ifp 1074  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-2o 8431  df-oadd 8434  df-er 8671  df-map 8803  df-pm 8804  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-dju 9852  df-card 9890  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-2 12273  df-n0 12475  df-xnn0 12548  df-z 12562  df-uz 12833  df-fz 13506  df-fzo 13653  df-hash 14337  df-word 14520  df-edg 29205  df-uhgr 29215  df-upgr 29239  df-wlks 29756  df-trls 29847  df-spths 29871

This theorem is referenced by: (None)