MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ispthson Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ispthson 26996
Description: Properties of a pair of functions to be a path between two given vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Nov-2017.) (Revised by AV, 16-Jan-2021.) (Revised by AV, 21-Mar-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
pthsonfval.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
ispthson (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹𝑈𝑃𝑍)) → (𝐹(𝐴(PathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)))

Proof of Theorem ispthson
Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pthsonfval.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21pthsonfval 26994 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴(PathsOn‘𝐺)𝐵) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑝𝑓(Paths‘𝐺)𝑝)})
32breqd 4854 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐹(𝐴(PathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃𝐹{⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑝𝑓(Paths‘𝐺)𝑝)}𝑃))
4 breq12 4848 . . . 4 ((𝑓 = 𝐹𝑝 = 𝑃) → (𝑓(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑝𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃))
5 breq12 4848 . . . 4 ((𝑓 = 𝐹𝑝 = 𝑃) → (𝑓(Paths‘𝐺)𝑝𝐹(Paths‘𝐺)𝑃))
64, 5anbi12d 625 . . 3 ((𝑓 = 𝐹𝑝 = 𝑃) → ((𝑓(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑝𝑓(Paths‘𝐺)𝑝) ↔ (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)))
7 eqid 2799 . . 3 {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑝𝑓(Paths‘𝐺)𝑝)} = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑝𝑓(Paths‘𝐺)𝑝)}
86, 7brabga 5185 . 2 ((𝐹𝑈𝑃𝑍) → (𝐹{⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑝𝑓(Paths‘𝐺)𝑝)}𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)))
93, 8sylan9bb 506 1 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹𝑈𝑃𝑍)) → (𝐹(𝐴(PathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157   class class class wbr 4843  {copab 4905  cfv 6101  (class class class)co 6878  Vtxcvtx 26231  TrailsOnctrlson 26944  Pathscpths 26966  PathsOncpthson 26968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-ifp 1087  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-card 9051  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-hash 13371  df-word 13535  df-wlks 26849  df-trls 26945  df-pths 26970  df-pthson 26972
This theorem is referenced by:  pthsonprop  26998  pthonpth  27002  spthonpthon  27005  0pthon  27471  1pthond  27488  3pthond  27519
  Copyright terms: Public domain W3C validator