Theorem relexpindlem 15016

Description: Principle of transitive induction, finite and non-class version. The first three hypotheses give various existences, the next three give necessary substitutions and the last two are the basis and the induction hypothesis. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.) (Revised by RP, 30-May-2020.) (Proof shortened by Peter Mazsa, 2-Oct-2022.) (Revised by AV, 13-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
relexpindlem.1	⊢ (𝜂 → Rel 𝑅)
relexpindlem.2	⊢ (𝜂 → 𝑆 ∈ 𝑉)
relexpindlem.3	⊢ (𝑖 = 𝑆 → (𝜑 ↔ 𝜒))
relexpindlem.4	⊢ (𝑖 = 𝑥 → (𝜑 ↔ 𝜓))
relexpindlem.5	⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝜑 ↔ 𝜃))
relexpindlem.6	⊢ (𝜂 → 𝜒)
relexpindlem.7	⊢ (𝜂 → (𝑗𝑅𝑥 → (𝜃 → 𝜓)))

Assertion

Ref	Expression
relexpindlem	⊢ (𝜂 → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑥 → 𝜓)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑖   𝑥,𝑛   𝑖,𝑗,𝑅,𝑥   𝑆,𝑖,𝑗,𝑥   𝜂,𝑖,𝑗,𝑥   𝜑,𝑗,𝑥   𝜓,𝑖,𝑗   𝜒,𝑖   𝜃,𝑖   𝜂,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑛)   𝜓(𝑥,𝑛)   𝜒(𝑥,𝑗,𝑛)   𝜃(𝑥,𝑗,𝑛)   𝜂(𝑛)   𝑅(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝑉(𝑥,𝑖,𝑗,𝑛)

Proof of Theorem relexpindlem

Dummy variables 𝑙 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2827	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ 0 ∈ ℕ0))
2	1	anbi2d 636	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ↔ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0)))
3		oveq2 7364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑅↑𝑟𝑘) = (𝑅↑𝑟0))
4	3	breqd 5083	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑘)𝑥 ↔ 𝑆(𝑅↑𝑟0)𝑥))
5	4	imbi1d 342	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑆(𝑅↑𝑟𝑘)𝑥 → 𝜓) ↔ (𝑆(𝑅↑𝑟0)𝑥 → 𝜓)))
6	5	albidv 1927	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟𝑘)𝑥 → 𝜓) ↔ ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟0)𝑥 → 𝜓)))
7	2, 6	imbi12d 345	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟𝑘)𝑥 → 𝜓)) ↔ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟0)𝑥 → 𝜓))))
8		eleq1 2827	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ 𝑙 ∈ ℕ0))
9	8	anbi2d 636	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ↔ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)))
10		oveq2 7364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑅↑𝑟𝑘) = (𝑅↑𝑟𝑙))
11	10	breqd 5083	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑘)𝑥 ↔ 𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑥))
12	11	imbi1d 342	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → ((𝑆(𝑅↑𝑟𝑘)𝑥 → 𝜓) ↔ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑥 → 𝜓)))
13	12	albidv 1927	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟𝑘)𝑥 → 𝜓) ↔ ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑥 → 𝜓)))
14	9, 13	imbi12d 345	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟𝑘)𝑥 → 𝜓)) ↔ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑥 → 𝜓))))
15		eleq1 2827	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑙 + 1) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑙 + 1) ∈ ℕ0))
16	15	anbi2d 636	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑙 + 1) → (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ↔ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ (𝑙 + 1) ∈ ℕ0)))
17		oveq2 7364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑙 + 1) → (𝑅↑𝑟𝑘) = (𝑅↑𝑟(𝑙 + 1)))
18	17	breqd 5083	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑙 + 1) → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑘)𝑥 ↔ 𝑆(𝑅↑𝑟(𝑙 + 1))𝑥))
19	18	imbi1d 342	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑙 + 1) → ((𝑆(𝑅↑𝑟𝑘)𝑥 → 𝜓) ↔ (𝑆(𝑅↑𝑟(𝑙 + 1))𝑥 → 𝜓)))
20	19	albidv 1927	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑙 + 1) → (∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟𝑘)𝑥 → 𝜓) ↔ ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟(𝑙 + 1))𝑥 → 𝜓)))
21	16, 20	imbi12d 345	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝑙 + 1) → ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟𝑘)𝑥 → 𝜓)) ↔ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ (𝑙 + 1) ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟(𝑙 + 1))𝑥 → 𝜓))))
22		eleq1 2827	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ 𝑛 ∈ ℕ0))
23	22	anbi2d 636	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ↔ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)))
24		oveq2 7364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑅↑𝑟𝑘) = (𝑅↑𝑟𝑛))
25	24	breqd 5083	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑘)𝑥 ↔ 𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑥))
26	25	imbi1d 342	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝑆(𝑅↑𝑟𝑘)𝑥 → 𝜓) ↔ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑥 → 𝜓)))
27	26	albidv 1927	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟𝑘)𝑥 → 𝜓) ↔ ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑥 → 𝜓)))
28	23, 27	imbi12d 345	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟𝑘)𝑥 → 𝜓)) ↔ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑥 → 𝜓))))
29		relexpindlem.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜂 → Rel 𝑅)
30	29	anim1ci 622	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑅 ∈ V ∧ Rel 𝑅))
31	30	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑅 ∈ V ∧ Rel 𝑅))
32		relexp0 14976	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ Rel 𝑅) → (𝑅↑𝑟0) = ( I ↾ ∪ ∪ 𝑅))
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑅↑𝑟0) = ( I ↾ ∪ ∪ 𝑅))
34		relexpindlem.6	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜂 → 𝜒)
35	34	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝜒)
36		simpl 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V))
37		relexpindlem.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜂 → 𝑆 ∈ 𝑉)
38	37	ad2antrl 734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜒 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝑆 ∈ 𝑉)
39		simprl 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 = 𝑆 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ (𝜑 ∧ 𝑖 = 𝑆))) → (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V))
40	39, 35	jccil 527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 = 𝑆 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ (𝜑 ∧ 𝑖 = 𝑆))) → (𝜒 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)))
41	40	expcom 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ (𝜑 ∧ 𝑖 = 𝑆)) → (𝑖 = 𝑆 → (𝜒 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V))))
42	41	expcom 414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 𝑆) → ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑖 = 𝑆 → (𝜒 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)))))
43	42	expcom 414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = 𝑆 → (𝜑 → ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑖 = 𝑆 → (𝜒 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V))))))
44	43	3imp1 1354	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑖 = 𝑆 ∧ 𝜑 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)) ∧ 𝑖 = 𝑆) → (𝜒 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)))
45	44	expcom 414	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑆 → ((𝑖 = 𝑆 ∧ 𝜑 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝜒 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V))))
46		simprr 778	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜒 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑖 = 𝑆)) → 𝑖 = 𝑆)
47		relexpindlem.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 = 𝑆 → (𝜑 ↔ 𝜒))
48	47	ad2antll 735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜒 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑖 = 𝑆)) → (𝜑 ↔ 𝜒))
49	48	bicomd 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜒 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑖 = 𝑆)) → (𝜒 ↔ 𝜑))
50		anbi1 639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜒 ↔ 𝜑) → ((𝜒 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑖 = 𝑆)) ↔ (𝜑 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑖 = 𝑆))))
51		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑖 = 𝑆)) → 𝜑)
52	50, 51	biimtrdi 254	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜒 ↔ 𝜑) → ((𝜒 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑖 = 𝑆)) → 𝜑))
53	49, 52	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜒 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑖 = 𝑆)) → 𝜑)
54		simprl 776	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜒 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑖 = 𝑆)) → (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V))
55	46, 53, 54	3jca 1134	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜒 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑖 = 𝑆)) → (𝑖 = 𝑆 ∧ 𝜑 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)))
56	55	anassrs 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜒 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)) ∧ 𝑖 = 𝑆) → (𝑖 = 𝑆 ∧ 𝜑 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)))
57	56	expcom 414	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑆 → ((𝜒 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝑖 = 𝑆 ∧ 𝜑 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V))))
58	45, 57	impbid 213	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑆 → ((𝑖 = 𝑆 ∧ 𝜑 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)) ↔ (𝜒 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V))))
59	58	spcegv 3535	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → ((𝜒 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)) → ∃𝑖(𝑖 = 𝑆 ∧ 𝜑 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V))))
60	38, 59	mpcom 38	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜒 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)) → ∃𝑖(𝑖 = 𝑆 ∧ 𝜑 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)))
61	35, 36, 60	syl2an2r 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ∃𝑖(𝑖 = 𝑆 ∧ 𝜑 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)))
62		df-br 5073	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆( I ↾ ∪ ∪ 𝑅)𝑥 ↔ ⟨𝑆, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ ∪ ∪ 𝑅))
63	62	birani 504	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆( I ↾ ∪ ∪ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑆 ∧ 𝜑 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)) ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0))) → ⟨𝑆, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ ∪ ∪ 𝑅))
64		vex 3435	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑥 ∈ V
65	64	opelresi 5939	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨𝑆, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ ∪ ∪ 𝑅) ↔ (𝑆 ∈ ∪ ∪ 𝑅 ∧ ⟨𝑆, 𝑥⟩ ∈ I ))
66	63, 65	sylib 219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆( I ↾ ∪ ∪ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑆 ∧ 𝜑 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)) ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0))) → (𝑆 ∈ ∪ ∪ 𝑅 ∧ ⟨𝑆, 𝑥⟩ ∈ I ))
67		simplr 774	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑆 ∈ ∪ ∪ 𝑅 ∧ ⟨𝑆, 𝑥⟩ ∈ I ) ∧ (𝑆( I ↾ ∪ ∪ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑆 ∧ 𝜑 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)) ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0)))) → ⟨𝑆, 𝑥⟩ ∈ I )
68		df-br 5073	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆 I 𝑥 ↔ ⟨𝑆, 𝑥⟩ ∈ I )
69	67, 68	sylibr 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ∈ ∪ ∪ 𝑅 ∧ ⟨𝑆, 𝑥⟩ ∈ I ) ∧ (𝑆( I ↾ ∪ ∪ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑆 ∧ 𝜑 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)) ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0)))) → 𝑆 I 𝑥)
70	64	ideq 5794	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑆 I 𝑥 ↔ 𝑆 = 𝑥)
71	69, 70	sylib 219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ∈ ∪ ∪ 𝑅 ∧ ⟨𝑆, 𝑥⟩ ∈ I ) ∧ (𝑆( I ↾ ∪ ∪ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑆 ∧ 𝜑 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)) ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0)))) → 𝑆 = 𝑥)
72	66, 71	mpancom 694	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆( I ↾ ∪ ∪ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑆 ∧ 𝜑 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)) ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0))) → 𝑆 = 𝑥)
73		breq1 5075	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑆 = 𝑥 → (𝑆( I ↾ ∪ ∪ 𝑅)𝑥 ↔ 𝑥( I ↾ ∪ ∪ 𝑅)𝑥))
74		eqeq2 2751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑆 = 𝑥 → (𝑖 = 𝑆 ↔ 𝑖 = 𝑥))
75	74	3anbi1d 1448	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑆 = 𝑥 → ((𝑖 = 𝑆 ∧ 𝜑 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)) ↔ (𝑖 = 𝑥 ∧ 𝜑 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V))))
76	75	exbidv 1928	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆 = 𝑥 → (∃𝑖(𝑖 = 𝑆 ∧ 𝜑 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)) ↔ ∃𝑖(𝑖 = 𝑥 ∧ 𝜑 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V))))
77	76	anbi1d 637	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑆 = 𝑥 → ((∃𝑖(𝑖 = 𝑆 ∧ 𝜑 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)) ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0)) ↔ (∃𝑖(𝑖 = 𝑥 ∧ 𝜑 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)) ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0))))
78	73, 77	anbi12d 638	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 = 𝑥 → ((𝑆( I ↾ ∪ ∪ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑆 ∧ 𝜑 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)) ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0))) ↔ (𝑥( I ↾ ∪ ∪ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑥 ∧ 𝜑 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)) ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0)))))
79		simprl 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ (𝜑 ∧ 𝑖 = 𝑥)) → 𝜑)
80		relexpindlem.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 = 𝑥 → (𝜑 ↔ 𝜓))
81	80	ad2antll 735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ (𝜑 ∧ 𝑖 = 𝑥)) → (𝜑 ↔ 𝜓))
82	79, 81	mpbid 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ (𝜑 ∧ 𝑖 = 𝑥)) → 𝜓)
83	82	expcom 414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 𝑥) → ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝜓))
84	83	expcom 414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = 𝑥 → (𝜑 → ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝜓)))
85	84	3imp 1116	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑖 = 𝑥 ∧ 𝜑 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝜓)
86	85	exlimiv 1937	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑖(𝑖 = 𝑥 ∧ 𝜑 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝜓)
87	86	ad2antrl 734	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥( I ↾ ∪ ∪ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑥 ∧ 𝜑 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)) ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0))) → 𝜓)
88	78, 87	biimtrdi 254	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 = 𝑥 → ((𝑆( I ↾ ∪ ∪ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑆 ∧ 𝜑 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)) ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0))) → 𝜓))
89	72, 88	mpcom 38	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆( I ↾ ∪ ∪ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑆 ∧ 𝜑 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)) ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0))) → 𝜓)
90	89	expcom 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∃𝑖(𝑖 = 𝑆 ∧ 𝜑 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)) ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0)) → (𝑆( I ↾ ∪ ∪ 𝑅)𝑥 → 𝜓))
91	61, 90	mpancom 694	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑆( I ↾ ∪ ∪ 𝑅)𝑥 → 𝜓))
92		breq 5074	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅↑𝑟0) = ( I ↾ ∪ ∪ 𝑅) → (𝑆(𝑅↑𝑟0)𝑥 ↔ 𝑆( I ↾ ∪ ∪ 𝑅)𝑥))
93	92	imbi1d 342	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅↑𝑟0) = ( I ↾ ∪ ∪ 𝑅) → ((𝑆(𝑅↑𝑟0)𝑥 → 𝜓) ↔ (𝑆( I ↾ ∪ ∪ 𝑅)𝑥 → 𝜓)))
94	91, 93	imbitrrid 247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅↑𝑟0) = ( I ↾ ∪ ∪ 𝑅) → (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑆(𝑅↑𝑟0)𝑥 → 𝜓)))
95	33, 94	mpcom 38	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑆(𝑅↑𝑟0)𝑥 → 𝜓))
96	95	alrimiv 1934	. . . . . 6 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟0)𝑥 → 𝜓))
97		breq2 5076	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑥 → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 ↔ 𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑥))
98	97, 80	imbi12d 345	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑥 → ((𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑) ↔ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑥 → 𝜓)))
99	98	cbvalvw 2043	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑) ↔ ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑥 → 𝜓))
100	99	bicomi 225	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑥 → 𝜓) ↔ ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑))
101		imbi2 349	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑥 → 𝜓) ↔ ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) → ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑥 → 𝜓)) ↔ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑))))
102	101	anbi1d 637	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑥 → 𝜓) ↔ ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) → (((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑥 → 𝜓)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ↔ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)))
103	102	anbi2d 636	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑥 → 𝜓) ↔ ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) → (((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑥 → 𝜓)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)) ↔ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))))
104	103	anbi2d 636	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑥 → 𝜓) ↔ ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) → (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑥 → 𝜓)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) ↔ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)))))
105	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) → Rel 𝑅)
106	105	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) → Rel 𝑅)
107		simprrr 787	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) → 𝑙 ∈ ℕ0)
108	106, 107	relexpsucld 14987	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) → (𝑅↑𝑟(𝑙 + 1)) = (𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙)))
109		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)))) → 𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥)
110	37	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑆 ∈ 𝑉)
111	110	ad2antrl 734	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)))) → 𝑆 ∈ 𝑉)
112		brcog 5808	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 ↔ ∃𝑗(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥)))
113	111, 64, 112	sylancl 592	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)))) → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 ↔ ∃𝑗(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥)))
114	109, 113	mpbid 233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)))) → ∃𝑗(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥))
115		simprl 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥)))))) → (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V))
116		simprrl 786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥)))) → 𝑙 ∈ ℕ0)
117	116	ad2antll 735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥)))))) → 𝑙 ∈ ℕ0)
118		simprl 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥)))) → (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)))
119	118	ad2antll 735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥)))))) → (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)))
120	115, 117, 119	mp2and 705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥)))))) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑))
121		simprrl 786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑) ∧ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥))))))) → (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V))
122		simprrr 787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥))) → 𝑗𝑅𝑥)
123	122	ad2antll 735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥))))) → 𝑗𝑅𝑥)
124	123	ad2antll 735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑) ∧ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥))))))) → 𝑗𝑅𝑥)
125		breq2 5076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 ↔ 𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗))
126		relexpindlem.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝜑 ↔ 𝜃))
127	125, 126	imbi12d 345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑) ↔ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 → 𝜃)))
128	127	cbvalvw 2043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑) ↔ ∀𝑗(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 → 𝜃))
129		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑) ↔ ∀𝑗(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 → 𝜃)) → (∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑) ↔ ∀𝑗(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 → 𝜃)))
130		imbi2 349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑) ↔ ∀𝑗(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 → 𝜃)) → ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ↔ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 → 𝜃))))
131	130	anbi1d 637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑) ↔ ∀𝑗(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 → 𝜃)) → (((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥))) ↔ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 → 𝜃)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥)))))
132	131	anbi2d 636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑) ↔ ∀𝑗(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 → 𝜃)) → (((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥)))) ↔ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 → 𝜃)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥))))))
133	132	anbi2d 636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑) ↔ ∀𝑗(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 → 𝜃)) → (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥))))) ↔ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 → 𝜃)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥)))))))
134	133	anbi2d 636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑) ↔ ∀𝑗(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 → 𝜃)) → ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥)))))) ↔ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 → 𝜃)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥))))))))
135	129, 134	anbi12d 638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑) ↔ ∀𝑗(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 → 𝜃)) → ((∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑) ∧ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥))))))) ↔ (∀𝑗(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 → 𝜃) ∧ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 → 𝜃)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥)))))))))
136		simprrl 786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 → 𝜃)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥))) → 𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗)
137	136	ad2antll 735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 → 𝜃)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥))))) → 𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗)
138	137	ad2antll 735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((∀𝑗(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 → 𝜃) ∧ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 → 𝜃)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥))))))) → 𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗)
139		sp 2195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (∀𝑗(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 → 𝜃) → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 → 𝜃))
140	139	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((∀𝑗(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 → 𝜃) ∧ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 → 𝜃)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥))))))) → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 → 𝜃))
141	138, 140	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((∀𝑗(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 → 𝜃) ∧ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 → 𝜃)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥))))))) → 𝜃)
142	135, 141	biimtrdi 254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑) ↔ ∀𝑗(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 → 𝜃)) → ((∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑) ∧ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥))))))) → 𝜃))
143	128, 142	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑) ∧ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥))))))) → 𝜃)
144		relexpindlem.7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜂 → (𝑗𝑅𝑥 → (𝜃 → 𝜓)))
145	144	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑗𝑅𝑥 → (𝜃 → 𝜓)))
146	121, 124, 143, 145	syl3c 66	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑) ∧ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥))))))) → 𝜓)
147	120, 146	mpancom 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥)))))) → 𝜓)
148	147	expcom 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥))))) → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 → 𝜓))
149	148	expcom 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥)))) → ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 → 𝜓)))
150	149	expcom 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥))) → ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 → 𝜓))))
151	150	anassrs 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥)) → ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 → 𝜓))))
152	151	impcom 408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥))) → ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 → 𝜓)))
153	152	anassrs 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥)) → ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 → 𝜓)))
154	153	impcom 408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ (((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥))) → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 → 𝜓))
155	154	anassrs 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥)) → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 → 𝜓))
156	155	impcom 408	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 ∧ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥))) → 𝜓)
157	156	anassrs 468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)))) ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥)) → 𝜓)
158	114, 157	exlimddv 1942	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)))) → 𝜓)
159	158	expcom 414	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 → 𝜓))
160		breq 5074	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅↑𝑟(𝑙 + 1)) = (𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙)) → (𝑆(𝑅↑𝑟(𝑙 + 1))𝑥 ↔ 𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥))
161	160	imbi1d 342	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅↑𝑟(𝑙 + 1)) = (𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙)) → ((𝑆(𝑅↑𝑟(𝑙 + 1))𝑥 → 𝜓) ↔ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 → 𝜓)))
162	159, 161	imbitrrid 247	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅↑𝑟(𝑙 + 1)) = (𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙)) → (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) → (𝑆(𝑅↑𝑟(𝑙 + 1))𝑥 → 𝜓)))
163	108, 162	mpcom 38	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) → (𝑆(𝑅↑𝑟(𝑙 + 1))𝑥 → 𝜓))
164	163	alrimiv 1934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) → ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟(𝑙 + 1))𝑥 → 𝜓))
165	104, 164	biimtrdi 254	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑥 → 𝜓) ↔ ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) → (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑥 → 𝜓)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) → ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟(𝑙 + 1))𝑥 → 𝜓)))
166	100, 165	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑥 → 𝜓)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) → ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟(𝑙 + 1))𝑥 → 𝜓))
167	166	anassrs 468	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ (𝑙 + 1) ∈ ℕ0) ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑥 → 𝜓)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)) → ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟(𝑙 + 1))𝑥 → 𝜓))
168	167	expcom 414	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑥 → 𝜓)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ (𝑙 + 1) ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟(𝑙 + 1))𝑥 → 𝜓)))
169	168	expcom 414	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ0 → ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑥 → 𝜓)) → (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ (𝑙 + 1) ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟(𝑙 + 1))𝑥 → 𝜓))))
170	7, 14, 21, 28, 96, 169	nn0ind 12615	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑥 → 𝜓)))
171	170	anabsi7 677	. . . 4 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑥 → 𝜓))
172	171	19.21bi 2201	. . 3 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑥 → 𝜓))
173	172	exp31 420	. 2 ⊢ (𝜂 → (𝑅 ∈ V → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑥 → 𝜓))))
174		reldmrelexp 14974	. . . . . 6 ⊢ Rel dom ↑𝑟
175	174	ovprc1 7395	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝑅↑𝑟𝑛) = ∅)
176	175	breqd 5083	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑥 ↔ 𝑆∅𝑥))
177		br0 5121	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝑆∅𝑥
178	177	pm2.21i 119	. . . 4 ⊢ (𝑆∅𝑥 → 𝜓)
179	176, 178	biimtrdi 254	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑥 → 𝜓))
180	179	a1d 25	. 2 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑥 → 𝜓)))
181	173, 180	pm2.61d1 181	1 ⊢ (𝜂 → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑥 → 𝜓)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092  ∀wal 1545   = wceq 1547  ∃wex 1786   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431  ∅c0 4261  ⟨cop 4561  ∪ cuni 4838   class class class wbr 5072   I cid 5512   ↾ cres 5620   ∘ ccom 5622  Rel wrel 5623  (class class class)co 7356  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032  ℕ₀cn0 12428  ↑_𝑟crelexp 14972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-seq 13955  df-relexp 14973

This theorem is referenced by:  relexpind  15017