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Theorem relexpindlem 14401
Description: Principle of transitive induction, finite and non-class version. The first three hypotheses give various existences, the next three give necessary substitutions and the last two are the basis and the induction hypothesis. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.) (Revised by RP, 30-May-2020.) (Proof shortened by Peter Mazsa, 2-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
relexpindlem.1 (𝜂 → Rel 𝑅)
relexpindlem.2 (𝜂𝑅 ∈ V)
relexpindlem.3 (𝜂𝑆 ∈ V)
relexpindlem.4 (𝑖 = 𝑆 → (𝜑𝜒))
relexpindlem.5 (𝑖 = 𝑥 → (𝜑𝜓))
relexpindlem.6 (𝑖 = 𝑗 → (𝜑𝜃))
relexpindlem.7 (𝜂𝜒)
relexpindlem.8 (𝜂 → (𝑗𝑅𝑥 → (𝜃𝜓)))
Assertion
Ref Expression
relexpindlem (𝜂 → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆(𝑅𝑟𝑛)𝑥𝜓)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑖   𝑥,𝑛   𝑖,𝑗,𝑅,𝑥   𝑆,𝑖,𝑗,𝑥   𝜂,𝑖,𝑗,𝑥   𝜑,𝑗,𝑥   𝜓,𝑖,𝑗   𝜒,𝑖   𝜃,𝑖   𝜂,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑛)   𝜓(𝑥,𝑛)   𝜒(𝑥,𝑗,𝑛)   𝜃(𝑥,𝑗,𝑛)   𝜂(𝑛)   𝑅(𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem relexpindlem
Dummy variables 𝑙 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2899 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ 0 ∈ ℕ0))
21anbi2d 631 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → ((𝜂𝑘 ∈ ℕ0) ↔ (𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0)))
3 oveq2 7138 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (𝑅𝑟𝑘) = (𝑅𝑟0))
43breqd 5050 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → (𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝑆(𝑅𝑟0)𝑥))
54imbi1d 345 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → ((𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝜓) ↔ (𝑆(𝑅𝑟0)𝑥𝜓)))
65albidv 1922 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → (∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝜓) ↔ ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟0)𝑥𝜓)))
72, 6imbi12d 348 . . . . 5 (𝑘 = 0 → (((𝜂𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝜓)) ↔ ((𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟0)𝑥𝜓))))
8 eleq1 2899 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑙 → (𝑘 ∈ ℕ0𝑙 ∈ ℕ0))
98anbi2d 631 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑙 → ((𝜂𝑘 ∈ ℕ0) ↔ (𝜂𝑙 ∈ ℕ0)))
10 oveq2 7138 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑙 → (𝑅𝑟𝑘) = (𝑅𝑟𝑙))
1110breqd 5050 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑙 → (𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥))
1211imbi1d 345 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑙 → ((𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝜓) ↔ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓)))
1312albidv 1922 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑙 → (∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝜓) ↔ ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓)))
149, 13imbi12d 348 . . . . 5 (𝑘 = 𝑙 → (((𝜂𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝜓)) ↔ ((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓))))
15 eleq1 2899 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑙 + 1) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑙 + 1) ∈ ℕ0))
1615anbi2d 631 . . . . . 6 (𝑘 = (𝑙 + 1) → ((𝜂𝑘 ∈ ℕ0) ↔ (𝜂 ∧ (𝑙 + 1) ∈ ℕ0)))
17 oveq2 7138 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑙 + 1) → (𝑅𝑟𝑘) = (𝑅𝑟(𝑙 + 1)))
1817breqd 5050 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑙 + 1) → (𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝑆(𝑅𝑟(𝑙 + 1))𝑥))
1918imbi1d 345 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑙 + 1) → ((𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝜓) ↔ (𝑆(𝑅𝑟(𝑙 + 1))𝑥𝜓)))
2019albidv 1922 . . . . . 6 (𝑘 = (𝑙 + 1) → (∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝜓) ↔ ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟(𝑙 + 1))𝑥𝜓)))
2116, 20imbi12d 348 . . . . 5 (𝑘 = (𝑙 + 1) → (((𝜂𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝜓)) ↔ ((𝜂 ∧ (𝑙 + 1) ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟(𝑙 + 1))𝑥𝜓))))
22 eleq1 2899 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0))
2322anbi2d 631 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → ((𝜂𝑘 ∈ ℕ0) ↔ (𝜂𝑛 ∈ ℕ0)))
24 oveq2 7138 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → (𝑅𝑟𝑘) = (𝑅𝑟𝑛))
2524breqd 5050 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → (𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝑆(𝑅𝑟𝑛)𝑥))
2625imbi1d 345 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝜓) ↔ (𝑆(𝑅𝑟𝑛)𝑥𝜓)))
2726albidv 1922 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → (∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝜓) ↔ ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑛)𝑥𝜓)))
2823, 27imbi12d 348 . . . . 5 (𝑘 = 𝑛 → (((𝜂𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝜓)) ↔ ((𝜂𝑛 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑛)𝑥𝜓))))
29 relexpindlem.2 . . . . . . . . . 10 (𝜂𝑅 ∈ V)
30 relexpindlem.1 . . . . . . . . . 10 (𝜂 → Rel 𝑅)
3129, 30jca 515 . . . . . . . . 9 (𝜂 → (𝑅 ∈ V ∧ Rel 𝑅))
3231adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑅 ∈ V ∧ Rel 𝑅))
33 relexp0 14361 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ V ∧ Rel 𝑅) → (𝑅𝑟0) = ( I ↾ 𝑅))
3432, 33syl 17 . . . . . . 7 ((𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑅𝑟0) = ( I ↾ 𝑅))
35 relexpindlem.7 . . . . . . . . . 10 (𝜂𝜒)
36 simpl 486 . . . . . . . . . 10 ((𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0) → 𝜂)
37 relexpindlem.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜂𝑆 ∈ V)
3837adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜒𝜂) → 𝑆 ∈ V)
39 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑖 = 𝑆 ∧ (𝜂 ∧ (𝜑𝑖 = 𝑆))) → 𝜂)
4039, 35jccil 526 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 = 𝑆 ∧ (𝜂 ∧ (𝜑𝑖 = 𝑆))) → (𝜒𝜂))
4140expcom 417 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜂 ∧ (𝜑𝑖 = 𝑆)) → (𝑖 = 𝑆 → (𝜒𝜂)))
4241expcom 417 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 = 𝑆) → (𝜂 → (𝑖 = 𝑆 → (𝜒𝜂))))
4342expcom 417 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑆 → (𝜑 → (𝜂 → (𝑖 = 𝑆 → (𝜒𝜂)))))
44433imp1 1344 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 = 𝑆𝜑𝜂) ∧ 𝑖 = 𝑆) → (𝜒𝜂))
4544expcom 417 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑆 → ((𝑖 = 𝑆𝜑𝜂) → (𝜒𝜂)))
46 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜒 ∧ (𝜂𝑖 = 𝑆)) → 𝑖 = 𝑆)
47 relexpindlem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = 𝑆 → (𝜑𝜒))
4847ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒 ∧ (𝜂𝑖 = 𝑆)) → (𝜑𝜒))
4948bicomd 226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒 ∧ (𝜂𝑖 = 𝑆)) → (𝜒𝜑))
50 anbi1 634 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒𝜑) → ((𝜒 ∧ (𝜂𝑖 = 𝑆)) ↔ (𝜑 ∧ (𝜂𝑖 = 𝑆))))
51 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝜂𝑖 = 𝑆)) → 𝜑)
5250, 51syl6bi 256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝜑) → ((𝜒 ∧ (𝜂𝑖 = 𝑆)) → 𝜑))
5349, 52mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜒 ∧ (𝜂𝑖 = 𝑆)) → 𝜑)
54 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜒 ∧ (𝜂𝑖 = 𝑆)) → 𝜂)
5546, 53, 543jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜒 ∧ (𝜂𝑖 = 𝑆)) → (𝑖 = 𝑆𝜑𝜂))
5655anassrs 471 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜒𝜂) ∧ 𝑖 = 𝑆) → (𝑖 = 𝑆𝜑𝜂))
5756expcom 417 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑆 → ((𝜒𝜂) → (𝑖 = 𝑆𝜑𝜂)))
5845, 57impbid 215 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑆 → ((𝑖 = 𝑆𝜑𝜂) ↔ (𝜒𝜂)))
5958spcegv 3574 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ V → ((𝜒𝜂) → ∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑𝜂)))
6038, 59mpcom 38 . . . . . . . . . 10 ((𝜒𝜂) → ∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑𝜂))
6135, 36, 60syl2an2r 684 . . . . . . . . 9 ((𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0) → ∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑𝜂))
62 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑𝜂) ∧ (𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0))) → 𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥)
63 df-br 5040 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥 ↔ ⟨𝑆, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝑅))
6462, 63sylib 221 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑𝜂) ∧ (𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0))) → ⟨𝑆, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝑅))
65 vex 3474 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 ∈ V
6665opelresi 5834 . . . . . . . . . . . . 13 (⟨𝑆, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝑅) ↔ (𝑆 𝑅 ∧ ⟨𝑆, 𝑥⟩ ∈ I ))
6764, 66sylib 221 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑𝜂) ∧ (𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0))) → (𝑆 𝑅 ∧ ⟨𝑆, 𝑥⟩ ∈ I ))
68 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 𝑅 ∧ ⟨𝑆, 𝑥⟩ ∈ I ) ∧ (𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑𝜂) ∧ (𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0)))) → ⟨𝑆, 𝑥⟩ ∈ I )
69 df-br 5040 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 I 𝑥 ↔ ⟨𝑆, 𝑥⟩ ∈ I )
7068, 69sylibr 237 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 𝑅 ∧ ⟨𝑆, 𝑥⟩ ∈ I ) ∧ (𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑𝜂) ∧ (𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0)))) → 𝑆 I 𝑥)
7165ideq 5696 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 I 𝑥𝑆 = 𝑥)
7270, 71sylib 221 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 𝑅 ∧ ⟨𝑆, 𝑥⟩ ∈ I ) ∧ (𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑𝜂) ∧ (𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0)))) → 𝑆 = 𝑥)
7367, 72mpancom 687 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑𝜂) ∧ (𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0))) → 𝑆 = 𝑥)
74 breq1 5042 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 = 𝑥 → (𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥𝑥( I ↾ 𝑅)𝑥))
75 eqeq2 2833 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆 = 𝑥 → (𝑖 = 𝑆𝑖 = 𝑥))
76753anbi1d 1437 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 = 𝑥 → ((𝑖 = 𝑆𝜑𝜂) ↔ (𝑖 = 𝑥𝜑𝜂)))
7776exbidv 1923 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 = 𝑥 → (∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑𝜂) ↔ ∃𝑖(𝑖 = 𝑥𝜑𝜂)))
7877anbi1d 632 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 = 𝑥 → ((∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑𝜂) ∧ (𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0)) ↔ (∃𝑖(𝑖 = 𝑥𝜑𝜂) ∧ (𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0))))
7974, 78anbi12d 633 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 = 𝑥 → ((𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑𝜂) ∧ (𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0))) ↔ (𝑥( I ↾ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑥𝜑𝜂) ∧ (𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0)))))
80 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜂 ∧ (𝜑𝑖 = 𝑥)) → 𝜑)
81 relexpindlem.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = 𝑥 → (𝜑𝜓))
8281ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜂 ∧ (𝜑𝑖 = 𝑥)) → (𝜑𝜓))
8380, 82mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜂 ∧ (𝜑𝑖 = 𝑥)) → 𝜓)
8483expcom 417 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 = 𝑥) → (𝜂𝜓))
8584expcom 417 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑥 → (𝜑 → (𝜂𝜓)))
86853imp 1108 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 = 𝑥𝜑𝜂) → 𝜓)
8786exlimiv 1932 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑖(𝑖 = 𝑥𝜑𝜂) → 𝜓)
8887ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥( I ↾ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑥𝜑𝜂) ∧ (𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0))) → 𝜓)
8979, 88syl6bi 256 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 = 𝑥 → ((𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑𝜂) ∧ (𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0))) → 𝜓))
9073, 89mpcom 38 . . . . . . . . . 10 ((𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑𝜂) ∧ (𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0))) → 𝜓)
9190expcom 417 . . . . . . . . 9 ((∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑𝜂) ∧ (𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0)) → (𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥𝜓))
9261, 91mpancom 687 . . . . . . . 8 ((𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥𝜓))
93 breq 5041 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑟0) = ( I ↾ 𝑅) → (𝑆(𝑅𝑟0)𝑥𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥))
9493imbi1d 345 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑟0) = ( I ↾ 𝑅) → ((𝑆(𝑅𝑟0)𝑥𝜓) ↔ (𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥𝜓)))
9592, 94syl5ibr 249 . . . . . . 7 ((𝑅𝑟0) = ( I ↾ 𝑅) → ((𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑆(𝑅𝑟0)𝑥𝜓)))
9634, 95mpcom 38 . . . . . 6 ((𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑆(𝑅𝑟0)𝑥𝜓))
9796alrimiv 1929 . . . . 5 ((𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟0)𝑥𝜓))
98 breq2 5043 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑥 → (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥))
9998, 81imbi12d 348 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑥 → ((𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ↔ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓)))
10099cbvalvw 2044 . . . . . . . . . 10 (∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ↔ ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓))
101100bicomi 227 . . . . . . . . 9 (∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓) ↔ ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑))
102 imbi2 352 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓) ↔ ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) → (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓)) ↔ ((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑))))
103102anbi1d 632 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓) ↔ ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) → ((((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ↔ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)))
104103anbi2d 631 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓) ↔ ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) → (((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)) ↔ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))))
105104anbi2d 631 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓) ↔ ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) → ((𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) ↔ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)))))
10629adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) → 𝑅 ∈ V)
10730adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) → Rel 𝑅)
108 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) → 𝑙 ∈ ℕ0)
109 relexpsucl 14371 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ V ∧ Rel 𝑅𝑙 ∈ ℕ0) → (𝑅𝑟(𝑙 + 1)) = (𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙)))
110106, 107, 108, 109syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) → (𝑅𝑟(𝑙 + 1)) = (𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙)))
111 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)))) → 𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥)
11237ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)))) → 𝑆 ∈ V)
113 brcog 5710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ↔ ∃𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))
114112, 65, 113sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)))) → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ↔ ∃𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))
115111, 114mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)))) → ∃𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))
116 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))))) → 𝜂)
117 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))) → 𝑙 ∈ ℕ0)
118117ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))))) → 𝑙 ∈ ℕ0)
119 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))) → ((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)))
120119ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))))) → ((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)))
121116, 118, 120mp2and 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))))) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑))
122 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ∧ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))))))) → 𝜂)
123 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))) → 𝑗𝑅𝑥)
124123ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))))) → 𝑗𝑅𝑥)
125124ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ∧ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))))))) → 𝑗𝑅𝑥)
126 breq2 5043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑖 = 𝑗 → (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗))
127 relexpindlem.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑖 = 𝑗 → (𝜑𝜃))
128126, 127imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑖 = 𝑗 → ((𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ↔ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)))
129128cbvalvw 2044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ↔ ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃))
130 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ↔ ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) → (∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ↔ ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)))
131 imbi2 352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ↔ ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) → (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ↔ ((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃))))
132131anbi1d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ↔ ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) → ((((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))) ↔ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))))
133132anbi2d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ↔ ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) → (((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))) ↔ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))))))
134133anbi2d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ↔ ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) → ((𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))))) ↔ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))))))
135134anbi2d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ↔ ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) → ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))))) ↔ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))))))))
136130, 135anbi12d 633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ↔ ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) → ((∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ∧ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))))))) ↔ (∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃) ∧ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))))))))
137 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))) → 𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗)
138137ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))))) → 𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗)
139138ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃) ∧ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))))))) → 𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗)
140 sp 2183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃) → (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃))
141140adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃) ∧ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))))))) → (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃))
142139, 141mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃) ∧ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))))))) → 𝜃)
143136, 142syl6bi 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ↔ ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) → ((∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ∧ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))))))) → 𝜃))
144129, 143ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ∧ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))))))) → 𝜃)
145 relexpindlem.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜂 → (𝑗𝑅𝑥 → (𝜃𝜓)))
146122, 125, 144, 145syl3c 66 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ∧ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))))))) → 𝜓)
147121, 146mpancom 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))))) → 𝜓)
148147expcom 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))))) → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥𝜓))
149148expcom 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))) → (𝜂 → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥𝜓)))
150149expcom 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))) → ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 → (𝜂 → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥𝜓))))
151150anassrs 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)) → ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 → (𝜂 → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥𝜓))))
152151impcom 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))) → (𝜂 → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥𝜓)))
153152anassrs 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)) → (𝜂 → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥𝜓)))
154153impcom 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜂 ∧ (((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))) → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥𝜓))
155154anassrs 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)) → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥𝜓))
156155impcom 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))) → 𝜓)
157156anassrs 471 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)))) ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)) → 𝜓)
158115, 157exlimddv 1937 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)))) → 𝜓)
159158expcom 417 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥𝜓))
160 breq 5041 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅𝑟(𝑙 + 1)) = (𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙)) → (𝑆(𝑅𝑟(𝑙 + 1))𝑥𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥))
161160imbi1d 345 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅𝑟(𝑙 + 1)) = (𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙)) → ((𝑆(𝑅𝑟(𝑙 + 1))𝑥𝜓) ↔ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥𝜓)))
162159, 161syl5ibr 249 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅𝑟(𝑙 + 1)) = (𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙)) → ((𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) → (𝑆(𝑅𝑟(𝑙 + 1))𝑥𝜓)))
163110, 162mpcom 38 . . . . . . . . . . 11 ((𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) → (𝑆(𝑅𝑟(𝑙 + 1))𝑥𝜓))
164163alrimiv 1929 . . . . . . . . . 10 ((𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟(𝑙 + 1))𝑥𝜓))
165105, 164syl6bi 256 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓) ↔ ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) → ((𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟(𝑙 + 1))𝑥𝜓)))
166101, 165ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟(𝑙 + 1))𝑥𝜓))
167166anassrs 471 . . . . . . 7 (((𝜂 ∧ (𝑙 + 1) ∈ ℕ0) ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟(𝑙 + 1))𝑥𝜓))
168167expcom 417 . . . . . 6 ((((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ((𝜂 ∧ (𝑙 + 1) ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟(𝑙 + 1))𝑥𝜓)))
169168expcom 417 . . . . 5 (𝑙 ∈ ℕ0 → (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓)) → ((𝜂 ∧ (𝑙 + 1) ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟(𝑙 + 1))𝑥𝜓))))
1707, 14, 21, 28, 97, 169nn0ind 12055 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝜂𝑛 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑛)𝑥𝜓)))
171170anabsi7 670 . . 3 ((𝜂𝑛 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑛)𝑥𝜓))
17217119.21bi 2189 . 2 ((𝜂𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑆(𝑅𝑟𝑛)𝑥𝜓))
173172ex 416 1 (𝜂 → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆(𝑅𝑟𝑛)𝑥𝜓)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084  wal 1536   = wceq 1538  wex 1781  wcel 2115  Vcvv 3471  cop 4546   cuni 4811   class class class wbr 5039   I cid 5432  cres 5530  ccom 5532  Rel wrel 5533  (class class class)co 7130  0cc0 10514  1c1 10515   + caddc 10517  0cn0 11875  𝑟crelexp 14358
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-seq 13353  df-relexp 14359
This theorem is referenced by:  relexpind  14402
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