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Theorem relexpindlem 14764
Description: Principle of transitive induction, finite and non-class version. The first three hypotheses give various existences, the next three give necessary substitutions and the last two are the basis and the induction hypothesis. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.) (Revised by RP, 30-May-2020.) (Proof shortened by Peter Mazsa, 2-Oct-2022.) (Revised by AV, 13-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
relexpindlem.1 (𝜂 → Rel 𝑅)
relexpindlem.2 (𝜂𝑆𝑉)
relexpindlem.3 (𝑖 = 𝑆 → (𝜑𝜒))
relexpindlem.4 (𝑖 = 𝑥 → (𝜑𝜓))
relexpindlem.5 (𝑖 = 𝑗 → (𝜑𝜃))
relexpindlem.6 (𝜂𝜒)
relexpindlem.7 (𝜂 → (𝑗𝑅𝑥 → (𝜃𝜓)))
Assertion
Ref Expression
relexpindlem (𝜂 → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆(𝑅𝑟𝑛)𝑥𝜓)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑖   𝑥,𝑛   𝑖,𝑗,𝑅,𝑥   𝑆,𝑖,𝑗,𝑥   𝜂,𝑖,𝑗,𝑥   𝜑,𝑗,𝑥   𝜓,𝑖,𝑗   𝜒,𝑖   𝜃,𝑖   𝜂,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑛)   𝜓(𝑥,𝑛)   𝜒(𝑥,𝑗,𝑛)   𝜃(𝑥,𝑗,𝑛)   𝜂(𝑛)   𝑅(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝑉(𝑥,𝑖,𝑗,𝑛)

Proof of Theorem relexpindlem
Dummy variables 𝑙 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2828 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ 0 ∈ ℕ0))
21anbi2d 629 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → (((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ↔ ((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0)))
3 oveq2 7277 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → (𝑅𝑟𝑘) = (𝑅𝑟0))
43breqd 5090 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝑆(𝑅𝑟0)𝑥))
54imbi1d 342 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → ((𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝜓) ↔ (𝑆(𝑅𝑟0)𝑥𝜓)))
65albidv 1927 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → (∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝜓) ↔ ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟0)𝑥𝜓)))
72, 6imbi12d 345 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝜓)) ↔ (((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟0)𝑥𝜓))))
8 eleq1 2828 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑙 → (𝑘 ∈ ℕ0𝑙 ∈ ℕ0))
98anbi2d 629 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑙 → (((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ↔ ((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)))
10 oveq2 7277 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑙 → (𝑅𝑟𝑘) = (𝑅𝑟𝑙))
1110breqd 5090 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑙 → (𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥))
1211imbi1d 342 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑙 → ((𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝜓) ↔ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓)))
1312albidv 1927 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑙 → (∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝜓) ↔ ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓)))
149, 13imbi12d 345 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑙 → ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝜓)) ↔ (((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓))))
15 eleq1 2828 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑙 + 1) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑙 + 1) ∈ ℕ0))
1615anbi2d 629 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑙 + 1) → (((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ↔ ((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ (𝑙 + 1) ∈ ℕ0)))
17 oveq2 7277 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑙 + 1) → (𝑅𝑟𝑘) = (𝑅𝑟(𝑙 + 1)))
1817breqd 5090 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑙 + 1) → (𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝑆(𝑅𝑟(𝑙 + 1))𝑥))
1918imbi1d 342 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑙 + 1) → ((𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝜓) ↔ (𝑆(𝑅𝑟(𝑙 + 1))𝑥𝜓)))
2019albidv 1927 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑙 + 1) → (∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝜓) ↔ ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟(𝑙 + 1))𝑥𝜓)))
2116, 20imbi12d 345 . . . . . 6 (𝑘 = (𝑙 + 1) → ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝜓)) ↔ (((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ (𝑙 + 1) ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟(𝑙 + 1))𝑥𝜓))))
22 eleq1 2828 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0))
2322anbi2d 629 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → (((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ↔ ((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)))
24 oveq2 7277 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛 → (𝑅𝑟𝑘) = (𝑅𝑟𝑛))
2524breqd 5090 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → (𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝑆(𝑅𝑟𝑛)𝑥))
2625imbi1d 342 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝜓) ↔ (𝑆(𝑅𝑟𝑛)𝑥𝜓)))
2726albidv 1927 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → (∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝜓) ↔ ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑛)𝑥𝜓)))
2823, 27imbi12d 345 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝜓)) ↔ (((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑛)𝑥𝜓))))
29 relexpindlem.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜂 → Rel 𝑅)
3029anim1ci 616 . . . . . . . . . 10 ((𝜂𝑅 ∈ V) → (𝑅 ∈ V ∧ Rel 𝑅))
3130adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑅 ∈ V ∧ Rel 𝑅))
32 relexp0 14724 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ V ∧ Rel 𝑅) → (𝑅𝑟0) = ( I ↾ 𝑅))
3331, 32syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑅𝑟0) = ( I ↾ 𝑅))
34 relexpindlem.6 . . . . . . . . . . . 12 (𝜂𝜒)
3534adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜂𝑅 ∈ V) → 𝜒)
36 simpl 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝜂𝑅 ∈ V))
37 relexpindlem.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜂𝑆𝑉)
3837ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜒 ∧ (𝜂𝑅 ∈ V)) → 𝑆𝑉)
39 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑖 = 𝑆 ∧ ((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ (𝜑𝑖 = 𝑆))) → (𝜂𝑅 ∈ V))
4039, 35jccil 523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑖 = 𝑆 ∧ ((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ (𝜑𝑖 = 𝑆))) → (𝜒 ∧ (𝜂𝑅 ∈ V)))
4140expcom 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ (𝜑𝑖 = 𝑆)) → (𝑖 = 𝑆 → (𝜒 ∧ (𝜂𝑅 ∈ V))))
4241expcom 414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 = 𝑆) → ((𝜂𝑅 ∈ V) → (𝑖 = 𝑆 → (𝜒 ∧ (𝜂𝑅 ∈ V)))))
4342expcom 414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 𝑆 → (𝜑 → ((𝜂𝑅 ∈ V) → (𝑖 = 𝑆 → (𝜒 ∧ (𝜂𝑅 ∈ V))))))
44433imp1 1346 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑖 = 𝑆𝜑 ∧ (𝜂𝑅 ∈ V)) ∧ 𝑖 = 𝑆) → (𝜒 ∧ (𝜂𝑅 ∈ V)))
4544expcom 414 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑆 → ((𝑖 = 𝑆𝜑 ∧ (𝜂𝑅 ∈ V)) → (𝜒 ∧ (𝜂𝑅 ∈ V))))
46 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒 ∧ ((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑖 = 𝑆)) → 𝑖 = 𝑆)
47 relexpindlem.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 = 𝑆 → (𝜑𝜒))
4847ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒 ∧ ((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑖 = 𝑆)) → (𝜑𝜒))
4948bicomd 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒 ∧ ((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑖 = 𝑆)) → (𝜒𝜑))
50 anbi1 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝜑) → ((𝜒 ∧ ((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑖 = 𝑆)) ↔ (𝜑 ∧ ((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑖 = 𝑆))))
51 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑖 = 𝑆)) → 𝜑)
5250, 51syl6bi 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒𝜑) → ((𝜒 ∧ ((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑖 = 𝑆)) → 𝜑))
5349, 52mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒 ∧ ((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑖 = 𝑆)) → 𝜑)
54 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒 ∧ ((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑖 = 𝑆)) → (𝜂𝑅 ∈ V))
5546, 53, 543jca 1127 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜒 ∧ ((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑖 = 𝑆)) → (𝑖 = 𝑆𝜑 ∧ (𝜂𝑅 ∈ V)))
5655anassrs 468 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜒 ∧ (𝜂𝑅 ∈ V)) ∧ 𝑖 = 𝑆) → (𝑖 = 𝑆𝜑 ∧ (𝜂𝑅 ∈ V)))
5756expcom 414 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑆 → ((𝜒 ∧ (𝜂𝑅 ∈ V)) → (𝑖 = 𝑆𝜑 ∧ (𝜂𝑅 ∈ V))))
5845, 57impbid 211 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑆 → ((𝑖 = 𝑆𝜑 ∧ (𝜂𝑅 ∈ V)) ↔ (𝜒 ∧ (𝜂𝑅 ∈ V))))
5958spcegv 3535 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆𝑉 → ((𝜒 ∧ (𝜂𝑅 ∈ V)) → ∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑 ∧ (𝜂𝑅 ∈ V))))
6038, 59mpcom 38 . . . . . . . . . . 11 ((𝜒 ∧ (𝜂𝑅 ∈ V)) → ∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑 ∧ (𝜂𝑅 ∈ V)))
6135, 36, 60syl2an2r 682 . . . . . . . . . 10 (((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑 ∧ (𝜂𝑅 ∈ V)))
62 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑 ∧ (𝜂𝑅 ∈ V)) ∧ ((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0))) → 𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥)
63 df-br 5080 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥 ↔ ⟨𝑆, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝑅))
6462, 63sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑 ∧ (𝜂𝑅 ∈ V)) ∧ ((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0))) → ⟨𝑆, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝑅))
65 vex 3435 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 ∈ V
6665opelresi 5897 . . . . . . . . . . . . . 14 (⟨𝑆, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝑅) ↔ (𝑆 𝑅 ∧ ⟨𝑆, 𝑥⟩ ∈ I ))
6764, 66sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑 ∧ (𝜂𝑅 ∈ V)) ∧ ((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0))) → (𝑆 𝑅 ∧ ⟨𝑆, 𝑥⟩ ∈ I ))
68 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑆 𝑅 ∧ ⟨𝑆, 𝑥⟩ ∈ I ) ∧ (𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑 ∧ (𝜂𝑅 ∈ V)) ∧ ((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0)))) → ⟨𝑆, 𝑥⟩ ∈ I )
69 df-br 5080 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 I 𝑥 ↔ ⟨𝑆, 𝑥⟩ ∈ I )
7068, 69sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 𝑅 ∧ ⟨𝑆, 𝑥⟩ ∈ I ) ∧ (𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑 ∧ (𝜂𝑅 ∈ V)) ∧ ((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0)))) → 𝑆 I 𝑥)
7165ideq 5759 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 I 𝑥𝑆 = 𝑥)
7270, 71sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 𝑅 ∧ ⟨𝑆, 𝑥⟩ ∈ I ) ∧ (𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑 ∧ (𝜂𝑅 ∈ V)) ∧ ((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0)))) → 𝑆 = 𝑥)
7367, 72mpancom 685 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑 ∧ (𝜂𝑅 ∈ V)) ∧ ((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0))) → 𝑆 = 𝑥)
74 breq1 5082 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 = 𝑥 → (𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥𝑥( I ↾ 𝑅)𝑥))
75 eqeq2 2752 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑆 = 𝑥 → (𝑖 = 𝑆𝑖 = 𝑥))
76753anbi1d 1439 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆 = 𝑥 → ((𝑖 = 𝑆𝜑 ∧ (𝜂𝑅 ∈ V)) ↔ (𝑖 = 𝑥𝜑 ∧ (𝜂𝑅 ∈ V))))
7776exbidv 1928 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 = 𝑥 → (∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑 ∧ (𝜂𝑅 ∈ V)) ↔ ∃𝑖(𝑖 = 𝑥𝜑 ∧ (𝜂𝑅 ∈ V))))
7877anbi1d 630 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 = 𝑥 → ((∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑 ∧ (𝜂𝑅 ∈ V)) ∧ ((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0)) ↔ (∃𝑖(𝑖 = 𝑥𝜑 ∧ (𝜂𝑅 ∈ V)) ∧ ((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0))))
7974, 78anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 = 𝑥 → ((𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑 ∧ (𝜂𝑅 ∈ V)) ∧ ((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0))) ↔ (𝑥( I ↾ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑥𝜑 ∧ (𝜂𝑅 ∈ V)) ∧ ((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0)))))
80 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ (𝜑𝑖 = 𝑥)) → 𝜑)
81 relexpindlem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 = 𝑥 → (𝜑𝜓))
8281ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ (𝜑𝑖 = 𝑥)) → (𝜑𝜓))
8380, 82mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ (𝜑𝑖 = 𝑥)) → 𝜓)
8483expcom 414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 = 𝑥) → ((𝜂𝑅 ∈ V) → 𝜓))
8584expcom 414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 𝑥 → (𝜑 → ((𝜂𝑅 ∈ V) → 𝜓)))
86853imp 1110 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 = 𝑥𝜑 ∧ (𝜂𝑅 ∈ V)) → 𝜓)
8786exlimiv 1937 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑖(𝑖 = 𝑥𝜑 ∧ (𝜂𝑅 ∈ V)) → 𝜓)
8887ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥( I ↾ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑥𝜑 ∧ (𝜂𝑅 ∈ V)) ∧ ((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0))) → 𝜓)
8979, 88syl6bi 252 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 = 𝑥 → ((𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑 ∧ (𝜂𝑅 ∈ V)) ∧ ((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0))) → 𝜓))
9073, 89mpcom 38 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑 ∧ (𝜂𝑅 ∈ V)) ∧ ((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0))) → 𝜓)
9190expcom 414 . . . . . . . . . 10 ((∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑 ∧ (𝜂𝑅 ∈ V)) ∧ ((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0)) → (𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥𝜓))
9261, 91mpancom 685 . . . . . . . . 9 (((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥𝜓))
93 breq 5081 . . . . . . . . . 10 ((𝑅𝑟0) = ( I ↾ 𝑅) → (𝑆(𝑅𝑟0)𝑥𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥))
9493imbi1d 342 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑟0) = ( I ↾ 𝑅) → ((𝑆(𝑅𝑟0)𝑥𝜓) ↔ (𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥𝜓)))
9592, 94syl5ibr 245 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑟0) = ( I ↾ 𝑅) → (((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑆(𝑅𝑟0)𝑥𝜓)))
9633, 95mpcom 38 . . . . . . 7 (((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑆(𝑅𝑟0)𝑥𝜓))
9796alrimiv 1934 . . . . . 6 (((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟0)𝑥𝜓))
98 breq2 5083 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑥 → (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥))
9998, 81imbi12d 345 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑥 → ((𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ↔ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓)))
10099cbvalvw 2043 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ↔ ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓))
101100bicomi 223 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓) ↔ ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑))
102 imbi2 349 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓) ↔ ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) → ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓)) ↔ (((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑))))
103102anbi1d 630 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓) ↔ ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) → (((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ↔ ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)))
104103anbi2d 629 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓) ↔ ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) → (((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)) ↔ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))))
105104anbi2d 629 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓) ↔ ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) → (((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) ↔ ((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)))))
10629adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜂𝑅 ∈ V) → Rel 𝑅)
107106adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) → Rel 𝑅)
108 simprrr 779 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) → 𝑙 ∈ ℕ0)
109107, 108relexpsucld 14735 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) → (𝑅𝑟(𝑙 + 1)) = (𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙)))
110 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)))) → 𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥)
11137adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜂𝑅 ∈ V) → 𝑆𝑉)
112111ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)))) → 𝑆𝑉)
113 brcog 5773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑆𝑉𝑥 ∈ V) → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ↔ ∃𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))
114112, 65, 113sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)))) → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ↔ ∃𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))
115110, 114mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)))) → ∃𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))
116 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))))) → (𝜂𝑅 ∈ V))
117 simprrl 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))) → 𝑙 ∈ ℕ0)
118117ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))))) → 𝑙 ∈ ℕ0)
119 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))) → (((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)))
120119ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))))) → (((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)))
121116, 118, 120mp2and 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))))) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑))
122 simprrl 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ∧ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))))))) → (𝜂𝑅 ∈ V))
123 simprrr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))) → 𝑗𝑅𝑥)
124123ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))))) → 𝑗𝑅𝑥)
125124ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ∧ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))))))) → 𝑗𝑅𝑥)
126 breq2 5083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑖 = 𝑗 → (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗))
127 relexpindlem.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑖 = 𝑗 → (𝜑𝜃))
128126, 127imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑖 = 𝑗 → ((𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ↔ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)))
129128cbvalvw 2043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ↔ ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃))
130 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ↔ ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) → (∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ↔ ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)))
131 imbi2 349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ↔ ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) → ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ↔ (((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃))))
132131anbi1d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ↔ ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) → (((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))) ↔ ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))))
133132anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ↔ ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) → (((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))) ↔ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))))))
134133anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ↔ ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) → (((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))))) ↔ ((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))))))
135134anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ↔ ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) → ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))))) ↔ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))))))))
136130, 135anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ↔ ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) → ((∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ∧ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))))))) ↔ (∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃) ∧ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))))))))
137 simprrl 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))) → 𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗)
138137ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))))) → 𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗)
139138ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃) ∧ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))))))) → 𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗)
140 sp 2180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃) → (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃))
141140adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃) ∧ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))))))) → (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃))
142139, 141mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃) ∧ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))))))) → 𝜃)
143136, 142syl6bi 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ↔ ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) → ((∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ∧ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))))))) → 𝜃))
144129, 143ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ∧ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))))))) → 𝜃)
145 relexpindlem.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜂 → (𝑗𝑅𝑥 → (𝜃𝜓)))
146145adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜂𝑅 ∈ V) → (𝑗𝑅𝑥 → (𝜃𝜓)))
147122, 125, 144, 146syl3c 66 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ∧ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))))))) → 𝜓)
148121, 147mpancom 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))))) → 𝜓)
149148expcom 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))))) → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥𝜓))
150149expcom 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))) → ((𝜂𝑅 ∈ V) → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥𝜓)))
151150expcom 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))) → ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝜂𝑅 ∈ V) → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥𝜓))))
152151anassrs 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)) → ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝜂𝑅 ∈ V) → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥𝜓))))
153152impcom 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))) → ((𝜂𝑅 ∈ V) → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥𝜓)))
154153anassrs 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)) → ((𝜂𝑅 ∈ V) → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥𝜓)))
155154impcom 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ (((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))) → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥𝜓))
156155anassrs 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)) → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥𝜓))
157156impcom 408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))) → 𝜓)
158157anassrs 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)))) ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)) → 𝜓)
159115, 158exlimddv 1942 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)))) → 𝜓)
160159expcom 414 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥𝜓))
161 breq 5081 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅𝑟(𝑙 + 1)) = (𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙)) → (𝑆(𝑅𝑟(𝑙 + 1))𝑥𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥))
162161imbi1d 342 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅𝑟(𝑙 + 1)) = (𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙)) → ((𝑆(𝑅𝑟(𝑙 + 1))𝑥𝜓) ↔ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥𝜓)))
163160, 162syl5ibr 245 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅𝑟(𝑙 + 1)) = (𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙)) → (((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) → (𝑆(𝑅𝑟(𝑙 + 1))𝑥𝜓)))
164109, 163mpcom 38 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) → (𝑆(𝑅𝑟(𝑙 + 1))𝑥𝜓))
165164alrimiv 1934 . . . . . . . . . . 11 (((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟(𝑙 + 1))𝑥𝜓))
166105, 165syl6bi 252 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓) ↔ ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) → (((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟(𝑙 + 1))𝑥𝜓)))
167101, 166ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟(𝑙 + 1))𝑥𝜓))
168167anassrs 468 . . . . . . . 8 ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ (𝑙 + 1) ∈ ℕ0) ∧ ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟(𝑙 + 1))𝑥𝜓))
169168expcom 414 . . . . . . 7 (((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ (𝑙 + 1) ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟(𝑙 + 1))𝑥𝜓)))
170169expcom 414 . . . . . 6 (𝑙 ∈ ℕ0 → ((((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓)) → (((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ (𝑙 + 1) ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟(𝑙 + 1))𝑥𝜓))))
1717, 14, 21, 28, 97, 170nn0ind 12407 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → (((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑛)𝑥𝜓)))
172171anabsi7 668 . . . 4 (((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑛)𝑥𝜓))
17317219.21bi 2186 . . 3 (((𝜂𝑅 ∈ V) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑆(𝑅𝑟𝑛)𝑥𝜓))
174173exp31 420 . 2 (𝜂 → (𝑅 ∈ V → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆(𝑅𝑟𝑛)𝑥𝜓))))
175 reldmrelexp 14722 . . . . . 6 Rel dom ↑𝑟
176175ovprc1 7308 . . . . 5 𝑅 ∈ V → (𝑅𝑟𝑛) = ∅)
177176breqd 5090 . . . 4 𝑅 ∈ V → (𝑆(𝑅𝑟𝑛)𝑥𝑆𝑥))
178 br0 5128 . . . . 5 ¬ 𝑆𝑥
179178pm2.21i 119 . . . 4 (𝑆𝑥𝜓)
180177, 179syl6bi 252 . . 3 𝑅 ∈ V → (𝑆(𝑅𝑟𝑛)𝑥𝜓))
181180a1d 25 . 2 𝑅 ∈ V → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆(𝑅𝑟𝑛)𝑥𝜓)))
182174, 181pm2.61d1 180 1 (𝜂 → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆(𝑅𝑟𝑛)𝑥𝜓)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086  wal 1540   = wceq 1542  wex 1786  wcel 2110  Vcvv 3431  c0 4262  cop 4573   cuni 4845   class class class wbr 5079   I cid 5488  cres 5591  ccom 5593  Rel wrel 5594  (class class class)co 7269  0cc0 10864  1c1 10865   + caddc 10867  0cn0 12225  𝑟crelexp 14720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10920  ax-resscn 10921  ax-1cn 10922  ax-icn 10923  ax-addcl 10924  ax-addrcl 10925  ax-mulcl 10926  ax-mulrcl 10927  ax-mulcom 10928  ax-addass 10929  ax-mulass 10930  ax-distr 10931  ax-i2m1 10932  ax-1ne0 10933  ax-1rid 10934  ax-rnegex 10935  ax-rrecex 10936  ax-cnre 10937  ax-pre-lttri 10938  ax-pre-lttrn 10939  ax-pre-ltadd 10940  ax-pre-mulgt0 10941
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7702  df-2nd 7819  df-frecs 8082  df-wrecs 8113  df-recs 8187  df-rdg 8226  df-er 8473  df-en 8709  df-dom 8710  df-sdom 8711  df-pnf 11004  df-mnf 11005  df-xr 11006  df-ltxr 11007  df-le 11008  df-sub 11199  df-neg 11200  df-nn 11966  df-n0 12226  df-z 12312  df-uz 12574  df-seq 13712  df-relexp 14721
This theorem is referenced by:  relexpind  14765
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