Theorem relexpindlem 14702

Description: Principle of transitive induction, finite and non-class version. The first three hypotheses give various existences, the next three give necessary substitutions and the last two are the basis and the induction hypothesis. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.) (Revised by RP, 30-May-2020.) (Proof shortened by Peter Mazsa, 2-Oct-2022.) (Revised by AV, 13-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
relexpindlem.1	⊢ (𝜂 → Rel 𝑅)
relexpindlem.2	⊢ (𝜂 → 𝑆 ∈ 𝑉)
relexpindlem.3	⊢ (𝑖 = 𝑆 → (𝜑 ↔ 𝜒))
relexpindlem.4	⊢ (𝑖 = 𝑥 → (𝜑 ↔ 𝜓))
relexpindlem.5	⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝜑 ↔ 𝜃))
relexpindlem.6	⊢ (𝜂 → 𝜒)
relexpindlem.7	⊢ (𝜂 → (𝑗𝑅𝑥 → (𝜃 → 𝜓)))

Assertion

Ref	Expression
relexpindlem	⊢ (𝜂 → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑥 → 𝜓)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑖   𝑥,𝑛   𝑖,𝑗,𝑅,𝑥   𝑆,𝑖,𝑗,𝑥   𝜂,𝑖,𝑗,𝑥   𝜑,𝑗,𝑥   𝜓,𝑖,𝑗   𝜒,𝑖   𝜃,𝑖   𝜂,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑛)   𝜓(𝑥,𝑛)   𝜒(𝑥,𝑗,𝑛)   𝜃(𝑥,𝑗,𝑛)   𝜂(𝑛)   𝑅(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝑉(𝑥,𝑖,𝑗,𝑛)

Proof of Theorem relexpindlem

Dummy variables 𝑙 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ 0 ∈ ℕ0))
2	1	anbi2d 628	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ↔ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0)))
3		oveq2 7263	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑅↑𝑟𝑘) = (𝑅↑𝑟0))
4	3	breqd 5081	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑘)𝑥 ↔ 𝑆(𝑅↑𝑟0)𝑥))
5	4	imbi1d 341	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑆(𝑅↑𝑟𝑘)𝑥 → 𝜓) ↔ (𝑆(𝑅↑𝑟0)𝑥 → 𝜓)))
6	5	albidv 1924	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟𝑘)𝑥 → 𝜓) ↔ ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟0)𝑥 → 𝜓)))
7	2, 6	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟𝑘)𝑥 → 𝜓)) ↔ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟0)𝑥 → 𝜓))))
8		eleq1 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ 𝑙 ∈ ℕ0))
9	8	anbi2d 628	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ↔ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)))
10		oveq2 7263	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑅↑𝑟𝑘) = (𝑅↑𝑟𝑙))
11	10	breqd 5081	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑘)𝑥 ↔ 𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑥))
12	11	imbi1d 341	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → ((𝑆(𝑅↑𝑟𝑘)𝑥 → 𝜓) ↔ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑥 → 𝜓)))
13	12	albidv 1924	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟𝑘)𝑥 → 𝜓) ↔ ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑥 → 𝜓)))
14	9, 13	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟𝑘)𝑥 → 𝜓)) ↔ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑥 → 𝜓))))
15		eleq1 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑙 + 1) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑙 + 1) ∈ ℕ0))
16	15	anbi2d 628	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑙 + 1) → (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ↔ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ (𝑙 + 1) ∈ ℕ0)))
17		oveq2 7263	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑙 + 1) → (𝑅↑𝑟𝑘) = (𝑅↑𝑟(𝑙 + 1)))
18	17	breqd 5081	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑙 + 1) → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑘)𝑥 ↔ 𝑆(𝑅↑𝑟(𝑙 + 1))𝑥))
19	18	imbi1d 341	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑙 + 1) → ((𝑆(𝑅↑𝑟𝑘)𝑥 → 𝜓) ↔ (𝑆(𝑅↑𝑟(𝑙 + 1))𝑥 → 𝜓)))
20	19	albidv 1924	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑙 + 1) → (∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟𝑘)𝑥 → 𝜓) ↔ ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟(𝑙 + 1))𝑥 → 𝜓)))
21	16, 20	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝑙 + 1) → ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟𝑘)𝑥 → 𝜓)) ↔ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ (𝑙 + 1) ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟(𝑙 + 1))𝑥 → 𝜓))))
22		eleq1 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ 𝑛 ∈ ℕ0))
23	22	anbi2d 628	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ↔ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)))
24		oveq2 7263	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑅↑𝑟𝑘) = (𝑅↑𝑟𝑛))
25	24	breqd 5081	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑘)𝑥 ↔ 𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑥))
26	25	imbi1d 341	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝑆(𝑅↑𝑟𝑘)𝑥 → 𝜓) ↔ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑥 → 𝜓)))
27	26	albidv 1924	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟𝑘)𝑥 → 𝜓) ↔ ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑥 → 𝜓)))
28	23, 27	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟𝑘)𝑥 → 𝜓)) ↔ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑥 → 𝜓))))
29		relexpindlem.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜂 → Rel 𝑅)
30	29	anim1ci 615	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑅 ∈ V ∧ Rel 𝑅))
31	30	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑅 ∈ V ∧ Rel 𝑅))
32		relexp0 14662	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ Rel 𝑅) → (𝑅↑𝑟0) = ( I ↾ ∪ ∪ 𝑅))
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑅↑𝑟0) = ( I ↾ ∪ ∪ 𝑅))
34		relexpindlem.6	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜂 → 𝜒)
35	34	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝜒)
36		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V))
37		relexpindlem.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜂 → 𝑆 ∈ 𝑉)
38	37	ad2antrl 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜒 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝑆 ∈ 𝑉)
39		simprl 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 = 𝑆 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ (𝜑 ∧ 𝑖 = 𝑆))) → (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V))
40	39, 35	jccil 522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 = 𝑆 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ (𝜑 ∧ 𝑖 = 𝑆))) → (𝜒 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)))
41	40	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ (𝜑 ∧ 𝑖 = 𝑆)) → (𝑖 = 𝑆 → (𝜒 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V))))
42	41	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 𝑆) → ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑖 = 𝑆 → (𝜒 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)))))
43	42	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = 𝑆 → (𝜑 → ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑖 = 𝑆 → (𝜒 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V))))))
44	43	3imp1 1345	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑖 = 𝑆 ∧ 𝜑 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)) ∧ 𝑖 = 𝑆) → (𝜒 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)))
45	44	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑆 → ((𝑖 = 𝑆 ∧ 𝜑 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝜒 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V))))
46		simprr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜒 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑖 = 𝑆)) → 𝑖 = 𝑆)
47		relexpindlem.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 = 𝑆 → (𝜑 ↔ 𝜒))
48	47	ad2antll 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜒 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑖 = 𝑆)) → (𝜑 ↔ 𝜒))
49	48	bicomd 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜒 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑖 = 𝑆)) → (𝜒 ↔ 𝜑))
50		anbi1 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜒 ↔ 𝜑) → ((𝜒 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑖 = 𝑆)) ↔ (𝜑 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑖 = 𝑆))))
51		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑖 = 𝑆)) → 𝜑)
52	50, 51	syl6bi 252	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜒 ↔ 𝜑) → ((𝜒 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑖 = 𝑆)) → 𝜑))
53	49, 52	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜒 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑖 = 𝑆)) → 𝜑)
54		simprl 767	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜒 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑖 = 𝑆)) → (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V))
55	46, 53, 54	3jca 1126	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜒 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑖 = 𝑆)) → (𝑖 = 𝑆 ∧ 𝜑 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)))
56	55	anassrs 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜒 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)) ∧ 𝑖 = 𝑆) → (𝑖 = 𝑆 ∧ 𝜑 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)))
57	56	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑆 → ((𝜒 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝑖 = 𝑆 ∧ 𝜑 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V))))
58	45, 57	impbid 211	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑆 → ((𝑖 = 𝑆 ∧ 𝜑 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)) ↔ (𝜒 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V))))
59	58	spcegv 3526	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → ((𝜒 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)) → ∃𝑖(𝑖 = 𝑆 ∧ 𝜑 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V))))
60	38, 59	mpcom 38	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜒 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)) → ∃𝑖(𝑖 = 𝑆 ∧ 𝜑 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)))
61	35, 36, 60	syl2an2r 681	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ∃𝑖(𝑖 = 𝑆 ∧ 𝜑 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)))
62		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆( I ↾ ∪ ∪ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑆 ∧ 𝜑 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)) ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0))) → 𝑆( I ↾ ∪ ∪ 𝑅)𝑥)
63		df-br 5071	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆( I ↾ ∪ ∪ 𝑅)𝑥 ↔ ⟨𝑆, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ ∪ ∪ 𝑅))
64	62, 63	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆( I ↾ ∪ ∪ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑆 ∧ 𝜑 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)) ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0))) → ⟨𝑆, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ ∪ ∪ 𝑅))
65		vex 3426	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑥 ∈ V
66	65	opelresi 5888	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨𝑆, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ ∪ ∪ 𝑅) ↔ (𝑆 ∈ ∪ ∪ 𝑅 ∧ ⟨𝑆, 𝑥⟩ ∈ I ))
67	64, 66	sylib 217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆( I ↾ ∪ ∪ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑆 ∧ 𝜑 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)) ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0))) → (𝑆 ∈ ∪ ∪ 𝑅 ∧ ⟨𝑆, 𝑥⟩ ∈ I ))
68		simplr 765	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑆 ∈ ∪ ∪ 𝑅 ∧ ⟨𝑆, 𝑥⟩ ∈ I ) ∧ (𝑆( I ↾ ∪ ∪ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑆 ∧ 𝜑 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)) ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0)))) → ⟨𝑆, 𝑥⟩ ∈ I )
69		df-br 5071	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆 I 𝑥 ↔ ⟨𝑆, 𝑥⟩ ∈ I )
70	68, 69	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ∈ ∪ ∪ 𝑅 ∧ ⟨𝑆, 𝑥⟩ ∈ I ) ∧ (𝑆( I ↾ ∪ ∪ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑆 ∧ 𝜑 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)) ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0)))) → 𝑆 I 𝑥)
71	65	ideq 5750	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑆 I 𝑥 ↔ 𝑆 = 𝑥)
72	70, 71	sylib 217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ∈ ∪ ∪ 𝑅 ∧ ⟨𝑆, 𝑥⟩ ∈ I ) ∧ (𝑆( I ↾ ∪ ∪ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑆 ∧ 𝜑 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)) ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0)))) → 𝑆 = 𝑥)
73	67, 72	mpancom 684	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆( I ↾ ∪ ∪ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑆 ∧ 𝜑 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)) ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0))) → 𝑆 = 𝑥)
74		breq1 5073	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑆 = 𝑥 → (𝑆( I ↾ ∪ ∪ 𝑅)𝑥 ↔ 𝑥( I ↾ ∪ ∪ 𝑅)𝑥))
75		eqeq2 2750	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑆 = 𝑥 → (𝑖 = 𝑆 ↔ 𝑖 = 𝑥))
76	75	3anbi1d 1438	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑆 = 𝑥 → ((𝑖 = 𝑆 ∧ 𝜑 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)) ↔ (𝑖 = 𝑥 ∧ 𝜑 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V))))
77	76	exbidv 1925	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆 = 𝑥 → (∃𝑖(𝑖 = 𝑆 ∧ 𝜑 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)) ↔ ∃𝑖(𝑖 = 𝑥 ∧ 𝜑 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V))))
78	77	anbi1d 629	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑆 = 𝑥 → ((∃𝑖(𝑖 = 𝑆 ∧ 𝜑 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)) ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0)) ↔ (∃𝑖(𝑖 = 𝑥 ∧ 𝜑 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)) ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0))))
79	74, 78	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 = 𝑥 → ((𝑆( I ↾ ∪ ∪ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑆 ∧ 𝜑 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)) ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0))) ↔ (𝑥( I ↾ ∪ ∪ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑥 ∧ 𝜑 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)) ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0)))))
80		simprl 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ (𝜑 ∧ 𝑖 = 𝑥)) → 𝜑)
81		relexpindlem.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 = 𝑥 → (𝜑 ↔ 𝜓))
82	81	ad2antll 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ (𝜑 ∧ 𝑖 = 𝑥)) → (𝜑 ↔ 𝜓))
83	80, 82	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ (𝜑 ∧ 𝑖 = 𝑥)) → 𝜓)
84	83	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 𝑥) → ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝜓))
85	84	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = 𝑥 → (𝜑 → ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝜓)))
86	85	3imp 1109	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑖 = 𝑥 ∧ 𝜑 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝜓)
87	86	exlimiv 1934	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑖(𝑖 = 𝑥 ∧ 𝜑 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝜓)
88	87	ad2antrl 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥( I ↾ ∪ ∪ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑥 ∧ 𝜑 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)) ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0))) → 𝜓)
89	79, 88	syl6bi 252	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 = 𝑥 → ((𝑆( I ↾ ∪ ∪ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑆 ∧ 𝜑 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)) ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0))) → 𝜓))
90	73, 89	mpcom 38	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆( I ↾ ∪ ∪ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑆 ∧ 𝜑 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)) ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0))) → 𝜓)
91	90	expcom 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∃𝑖(𝑖 = 𝑆 ∧ 𝜑 ∧ (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V)) ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0)) → (𝑆( I ↾ ∪ ∪ 𝑅)𝑥 → 𝜓))
92	61, 91	mpancom 684	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑆( I ↾ ∪ ∪ 𝑅)𝑥 → 𝜓))
93		breq 5072	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅↑𝑟0) = ( I ↾ ∪ ∪ 𝑅) → (𝑆(𝑅↑𝑟0)𝑥 ↔ 𝑆( I ↾ ∪ ∪ 𝑅)𝑥))
94	93	imbi1d 341	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅↑𝑟0) = ( I ↾ ∪ ∪ 𝑅) → ((𝑆(𝑅↑𝑟0)𝑥 → 𝜓) ↔ (𝑆( I ↾ ∪ ∪ 𝑅)𝑥 → 𝜓)))
95	92, 94	syl5ibr 245	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅↑𝑟0) = ( I ↾ ∪ ∪ 𝑅) → (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑆(𝑅↑𝑟0)𝑥 → 𝜓)))
96	33, 95	mpcom 38	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑆(𝑅↑𝑟0)𝑥 → 𝜓))
97	96	alrimiv 1931	. . . . . 6 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟0)𝑥 → 𝜓))
98		breq2 5074	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑥 → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 ↔ 𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑥))
99	98, 81	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑥 → ((𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑) ↔ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑥 → 𝜓)))
100	99	cbvalvw 2040	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑) ↔ ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑥 → 𝜓))
101	100	bicomi 223	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑥 → 𝜓) ↔ ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑))
102		imbi2 348	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑥 → 𝜓) ↔ ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) → ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑥 → 𝜓)) ↔ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑))))
103	102	anbi1d 629	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑥 → 𝜓) ↔ ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) → (((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑥 → 𝜓)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ↔ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)))
104	103	anbi2d 628	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑥 → 𝜓) ↔ ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) → (((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑥 → 𝜓)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)) ↔ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))))
105	104	anbi2d 628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑥 → 𝜓) ↔ ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) → (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑥 → 𝜓)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) ↔ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)))))
106	29	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) → Rel 𝑅)
107	106	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) → Rel 𝑅)
108		simprrr 778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) → 𝑙 ∈ ℕ0)
109	107, 108	relexpsucld 14673	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) → (𝑅↑𝑟(𝑙 + 1)) = (𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙)))
110		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)))) → 𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥)
111	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑆 ∈ 𝑉)
112	111	ad2antrl 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)))) → 𝑆 ∈ 𝑉)
113		brcog 5764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 ↔ ∃𝑗(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥)))
114	112, 65, 113	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)))) → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 ↔ ∃𝑗(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥)))
115	110, 114	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)))) → ∃𝑗(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥))
116		simprl 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥)))))) → (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V))
117		simprrl 777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥)))) → 𝑙 ∈ ℕ0)
118	117	ad2antll 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥)))))) → 𝑙 ∈ ℕ0)
119		simprl 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥)))) → (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)))
120	119	ad2antll 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥)))))) → (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)))
121	116, 118, 120	mp2and 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥)))))) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑))
122		simprrl 777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑) ∧ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥))))))) → (𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V))
123		simprrr 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥))) → 𝑗𝑅𝑥)
124	123	ad2antll 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥))))) → 𝑗𝑅𝑥)
125	124	ad2antll 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑) ∧ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥))))))) → 𝑗𝑅𝑥)
126		breq2 5074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 ↔ 𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗))
127		relexpindlem.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝜑 ↔ 𝜃))
128	126, 127	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑) ↔ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 → 𝜃)))
129	128	cbvalvw 2040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑) ↔ ∀𝑗(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 → 𝜃))
130		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑) ↔ ∀𝑗(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 → 𝜃)) → (∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑) ↔ ∀𝑗(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 → 𝜃)))
131		imbi2 348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑) ↔ ∀𝑗(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 → 𝜃)) → ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ↔ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 → 𝜃))))
132	131	anbi1d 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑) ↔ ∀𝑗(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 → 𝜃)) → (((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥))) ↔ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 → 𝜃)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥)))))
133	132	anbi2d 628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑) ↔ ∀𝑗(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 → 𝜃)) → (((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥)))) ↔ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 → 𝜃)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥))))))
134	133	anbi2d 628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑) ↔ ∀𝑗(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 → 𝜃)) → (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥))))) ↔ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 → 𝜃)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥)))))))
135	134	anbi2d 628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑) ↔ ∀𝑗(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 → 𝜃)) → ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥)))))) ↔ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 → 𝜃)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥))))))))
136	130, 135	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑) ↔ ∀𝑗(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 → 𝜃)) → ((∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑) ∧ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥))))))) ↔ (∀𝑗(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 → 𝜃) ∧ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 → 𝜃)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥)))))))))
137		simprrl 777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 → 𝜃)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥))) → 𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗)
138	137	ad2antll 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 → 𝜃)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥))))) → 𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗)
139	138	ad2antll 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((∀𝑗(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 → 𝜃) ∧ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 → 𝜃)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥))))))) → 𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗)
140		sp 2178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (∀𝑗(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 → 𝜃) → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 → 𝜃))
141	140	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((∀𝑗(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 → 𝜃) ∧ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 → 𝜃)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥))))))) → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 → 𝜃))
142	139, 141	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((∀𝑗(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 → 𝜃) ∧ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 → 𝜃)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥))))))) → 𝜃)
143	136, 142	syl6bi 252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑) ↔ ∀𝑗(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 → 𝜃)) → ((∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑) ∧ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥))))))) → 𝜃))
144	129, 143	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑) ∧ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥))))))) → 𝜃)
145		relexpindlem.7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜂 → (𝑗𝑅𝑥 → (𝜃 → 𝜓)))
146	145	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑗𝑅𝑥 → (𝜃 → 𝜓)))
147	122, 125, 144, 146	syl3c 66	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑) ∧ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥))))))) → 𝜓)
148	121, 147	mpancom 684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥)))))) → 𝜓)
149	148	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥))))) → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 → 𝜓))
150	149	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥)))) → ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 → 𝜓)))
151	150	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥))) → ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 → 𝜓))))
152	151	anassrs 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥)) → ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 → 𝜓))))
153	152	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥))) → ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 → 𝜓)))
154	153	anassrs 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥)) → ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 → 𝜓)))
155	154	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ (((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥))) → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 → 𝜓))
156	155	anassrs 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥)) → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 → 𝜓))
157	156	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 ∧ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥))) → 𝜓)
158	157	anassrs 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)))) ∧ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑗 ∧ 𝑗𝑅𝑥)) → 𝜓)
159	115, 158	exlimddv 1939	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)))) → 𝜓)
160	159	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 → 𝜓))
161		breq 5072	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅↑𝑟(𝑙 + 1)) = (𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙)) → (𝑆(𝑅↑𝑟(𝑙 + 1))𝑥 ↔ 𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥))
162	161	imbi1d 341	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅↑𝑟(𝑙 + 1)) = (𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙)) → ((𝑆(𝑅↑𝑟(𝑙 + 1))𝑥 → 𝜓) ↔ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙))𝑥 → 𝜓)))
163	160, 162	syl5ibr 245	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅↑𝑟(𝑙 + 1)) = (𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑙)) → (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) → (𝑆(𝑅↑𝑟(𝑙 + 1))𝑥 → 𝜓)))
164	109, 163	mpcom 38	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) → (𝑆(𝑅↑𝑟(𝑙 + 1))𝑥 → 𝜓))
165	164	alrimiv 1931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) → ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟(𝑙 + 1))𝑥 → 𝜓))
166	105, 165	syl6bi 252	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑥 → 𝜓) ↔ ∀𝑖(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑖 → 𝜑)) → (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑥 → 𝜓)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) → ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟(𝑙 + 1))𝑥 → 𝜓)))
167	101, 166	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑥 → 𝜓)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) → ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟(𝑙 + 1))𝑥 → 𝜓))
168	167	anassrs 467	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ (𝑙 + 1) ∈ ℕ0) ∧ ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑥 → 𝜓)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)) → ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟(𝑙 + 1))𝑥 → 𝜓))
169	168	expcom 413	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑥 → 𝜓)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ (𝑙 + 1) ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟(𝑙 + 1))𝑥 → 𝜓)))
170	169	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ0 → ((((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟𝑙)𝑥 → 𝜓)) → (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ (𝑙 + 1) ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟(𝑙 + 1))𝑥 → 𝜓))))
171	7, 14, 21, 28, 97, 170	nn0ind 12345	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑥 → 𝜓)))
172	171	anabsi7 667	. . . 4 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑥 → 𝜓))
173	172	19.21bi 2184	. . 3 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑥 → 𝜓))
174	173	exp31 419	. 2 ⊢ (𝜂 → (𝑅 ∈ V → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑥 → 𝜓))))
175		reldmrelexp 14660	. . . . . 6 ⊢ Rel dom ↑𝑟
176	175	ovprc1 7294	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝑅↑𝑟𝑛) = ∅)
177	176	breqd 5081	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑥 ↔ 𝑆∅𝑥))
178		br0 5119	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝑆∅𝑥
179	178	pm2.21i 119	. . . 4 ⊢ (𝑆∅𝑥 → 𝜓)
180	177, 179	syl6bi 252	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑥 → 𝜓))
181	180	a1d 25	. 2 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑥 → 𝜓)))
182	174, 181	pm2.61d1 180	1 ⊢ (𝜂 → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑥 → 𝜓)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085  ∀wal 1537   = wceq 1539  ∃wex 1783   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422  ∅c0 4253  ⟨cop 4564  ∪ cuni 4836   class class class wbr 5070   I cid 5479   ↾ cres 5582   ∘ ccom 5584  Rel wrel 5585  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805  ℕ₀cn0 12163  ↑_𝑟crelexp 14658

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-seq 13650  df-relexp 14659

This theorem is referenced by:  relexpind  14703