Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  relexpsucl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem relexpsucl 14392
 Description: A reduction for relation exponentiation to the left. (Contributed by RP, 23-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
relexpsucl ((𝑅𝑉 ∧ Rel 𝑅𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑅𝑟(𝑁 + 1)) = (𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑁)))

Proof of Theorem relexpsucl
StepHypRef Expression
1 elnn0 11896 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 simp3 1135 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → 𝑅𝑉)
3 simp1 1133 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → 𝑁 ∈ ℕ)
4 relexpsucnnl 14391 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑅𝑟(𝑁 + 1)) = (𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑁)))
52, 3, 4syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑅𝑟(𝑁 + 1)) = (𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑁)))
653expib 1119 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑅𝑟(𝑁 + 1)) = (𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑁))))
7 simp2 1134 . . . . . . . 8 ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → Rel 𝑅)
8 relcoi1 6116 . . . . . . . 8 (Rel 𝑅 → (𝑅 ∘ ( I ↾ 𝑅)) = 𝑅)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑅 ∘ ( I ↾ 𝑅)) = 𝑅)
10 simp1 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → 𝑁 = 0)
1110oveq2d 7165 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑅𝑟𝑁) = (𝑅𝑟0))
12 simp3 1135 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → 𝑅𝑉)
13 relexp0 14382 . . . . . . . . . 10 ((𝑅𝑉 ∧ Rel 𝑅) → (𝑅𝑟0) = ( I ↾ 𝑅))
1412, 7, 13syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑅𝑟0) = ( I ↾ 𝑅))
1511, 14eqtrd 2859 . . . . . . . 8 ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑅𝑟𝑁) = ( I ↾ 𝑅))
1615coeq2d 5720 . . . . . . 7 ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑁)) = (𝑅 ∘ ( I ↾ 𝑅)))
1710oveq1d 7164 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑁 + 1) = (0 + 1))
18 0p1e1 11756 . . . . . . . . . 10 (0 + 1) = 1
1917, 18syl6eq 2875 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑁 + 1) = 1)
2019oveq2d 7165 . . . . . . . 8 ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑅𝑟(𝑁 + 1)) = (𝑅𝑟1))
21 relexp1g 14385 . . . . . . . . 9 (𝑅𝑉 → (𝑅𝑟1) = 𝑅)
2212, 21syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑅𝑟1) = 𝑅)
2320, 22eqtrd 2859 . . . . . . 7 ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑅𝑟(𝑁 + 1)) = 𝑅)
249, 16, 233eqtr4rd 2870 . . . . . 6 ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑅𝑟(𝑁 + 1)) = (𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑁)))
25243expib 1119 . . . . 5 (𝑁 = 0 → ((Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑅𝑟(𝑁 + 1)) = (𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑁))))
266, 25jaoi 854 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → ((Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑅𝑟(𝑁 + 1)) = (𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑁))))
271, 26sylbi 220 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑅𝑟(𝑁 + 1)) = (𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑁))))
28273impib 1113 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑅𝑟(𝑁 + 1)) = (𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑁)))
29283com13 1121 1 ((𝑅𝑉 ∧ Rel 𝑅𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑅𝑟(𝑁 + 1)) = (𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑁)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∪ cuni 4824   I cid 5446   ↾ cres 5544   ∘ ccom 5546  Rel wrel 5547  (class class class)co 7149  0cc0 10535  1c1 10536   + caddc 10538  ℕcn 11634  ℕ0cn0 11894  ↑𝑟crelexp 14379 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-seq 13374  df-relexp 14380 This theorem is referenced by:  relexpsucld  14393  relexpindlem  14422
 Copyright terms: Public domain W3C validator