MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  relexpsucr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem relexpsucr 15068
Description: A reduction for relation exponentiation to the right. (Contributed by RP, 23-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
relexpsucr ((𝑅𝑉 ∧ Rel 𝑅𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑅𝑟(𝑁 + 1)) = ((𝑅𝑟𝑁) ∘ 𝑅))

Proof of Theorem relexpsucr
StepHypRef Expression
1 elnn0 12526 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 simp3 1137 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → 𝑅𝑉)
3 simp1 1135 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → 𝑁 ∈ ℕ)
4 relexpsucnnr 15061 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑅𝑟(𝑁 + 1)) = ((𝑅𝑟𝑁) ∘ 𝑅))
52, 3, 4syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑅𝑟(𝑁 + 1)) = ((𝑅𝑟𝑁) ∘ 𝑅))
653expib 1121 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑅𝑟(𝑁 + 1)) = ((𝑅𝑟𝑁) ∘ 𝑅)))
7 simp2 1136 . . . . . . . 8 ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → Rel 𝑅)
8 relcoi2 6299 . . . . . . . . 9 (Rel 𝑅 → (( I ↾ 𝑅) ∘ 𝑅) = 𝑅)
98eqcomd 2741 . . . . . . . 8 (Rel 𝑅𝑅 = (( I ↾ 𝑅) ∘ 𝑅))
107, 9syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → 𝑅 = (( I ↾ 𝑅) ∘ 𝑅))
11 simp1 1135 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → 𝑁 = 0)
1211oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑁 + 1) = (0 + 1))
13 0p1e1 12386 . . . . . . . . . 10 (0 + 1) = 1
1412, 13eqtrdi 2791 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑁 + 1) = 1)
1514oveq2d 7447 . . . . . . . 8 ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑅𝑟(𝑁 + 1)) = (𝑅𝑟1))
16 simp3 1137 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → 𝑅𝑉)
17 relexp1g 15062 . . . . . . . . 9 (𝑅𝑉 → (𝑅𝑟1) = 𝑅)
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑅𝑟1) = 𝑅)
1915, 18eqtrd 2775 . . . . . . 7 ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑅𝑟(𝑁 + 1)) = 𝑅)
2011oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑅𝑟𝑁) = (𝑅𝑟0))
21 relexp0 15059 . . . . . . . . . 10 ((𝑅𝑉 ∧ Rel 𝑅) → (𝑅𝑟0) = ( I ↾ 𝑅))
2216, 7, 21syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑅𝑟0) = ( I ↾ 𝑅))
2320, 22eqtrd 2775 . . . . . . . 8 ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑅𝑟𝑁) = ( I ↾ 𝑅))
2423coeq1d 5875 . . . . . . 7 ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → ((𝑅𝑟𝑁) ∘ 𝑅) = (( I ↾ 𝑅) ∘ 𝑅))
2510, 19, 243eqtr4d 2785 . . . . . 6 ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑅𝑟(𝑁 + 1)) = ((𝑅𝑟𝑁) ∘ 𝑅))
26253expib 1121 . . . . 5 (𝑁 = 0 → ((Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑅𝑟(𝑁 + 1)) = ((𝑅𝑟𝑁) ∘ 𝑅)))
276, 26jaoi 857 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → ((Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑅𝑟(𝑁 + 1)) = ((𝑅𝑟𝑁) ∘ 𝑅)))
281, 27sylbi 217 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑅𝑟(𝑁 + 1)) = ((𝑅𝑟𝑁) ∘ 𝑅)))
29283impib 1115 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑅𝑟(𝑁 + 1)) = ((𝑅𝑟𝑁) ∘ 𝑅))
30293com13 1123 1 ((𝑅𝑉 ∧ Rel 𝑅𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑅𝑟(𝑁 + 1)) = ((𝑅𝑟𝑁) ∘ 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106   cuni 4912   I cid 5582  cres 5691  ccom 5693  Rel wrel 5694  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  cn 12264  0cn0 12524  𝑟crelexp 15055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-seq 14040  df-relexp 15056
This theorem is referenced by:  relexpsucrd  15069
  Copyright terms: Public domain W3C validator