MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  relexpsucr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem relexpsucr 13977
Description: A reduction for relation exponentiation to the right. (Contributed by RP, 23-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
relexpsucr ((𝑅𝑉 ∧ Rel 𝑅𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑅𝑟(𝑁 + 1)) = ((𝑅𝑟𝑁) ∘ 𝑅))

Proof of Theorem relexpsucr
StepHypRef Expression
1 elnn0 11501 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 simp3 1132 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → 𝑅𝑉)
3 simp1 1130 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → 𝑁 ∈ ℕ)
4 relexpsucnnr 13973 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑅𝑟(𝑁 + 1)) = ((𝑅𝑟𝑁) ∘ 𝑅))
52, 3, 4syl2anc 573 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑅𝑟(𝑁 + 1)) = ((𝑅𝑟𝑁) ∘ 𝑅))
653expib 1116 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑅𝑟(𝑁 + 1)) = ((𝑅𝑟𝑁) ∘ 𝑅)))
7 simp2 1131 . . . . . . . 8 ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → Rel 𝑅)
8 relcoi2 5806 . . . . . . . . 9 (Rel 𝑅 → (( I ↾ 𝑅) ∘ 𝑅) = 𝑅)
98eqcomd 2777 . . . . . . . 8 (Rel 𝑅𝑅 = (( I ↾ 𝑅) ∘ 𝑅))
107, 9syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → 𝑅 = (( I ↾ 𝑅) ∘ 𝑅))
11 simp1 1130 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → 𝑁 = 0)
1211oveq1d 6811 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑁 + 1) = (0 + 1))
13 0p1e1 11338 . . . . . . . . . 10 (0 + 1) = 1
1412, 13syl6eq 2821 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑁 + 1) = 1)
1514oveq2d 6812 . . . . . . . 8 ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑅𝑟(𝑁 + 1)) = (𝑅𝑟1))
16 simp3 1132 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → 𝑅𝑉)
17 relexp1g 13974 . . . . . . . . 9 (𝑅𝑉 → (𝑅𝑟1) = 𝑅)
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑅𝑟1) = 𝑅)
1915, 18eqtrd 2805 . . . . . . 7 ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑅𝑟(𝑁 + 1)) = 𝑅)
2011oveq2d 6812 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑅𝑟𝑁) = (𝑅𝑟0))
21 relexp0 13971 . . . . . . . . . 10 ((𝑅𝑉 ∧ Rel 𝑅) → (𝑅𝑟0) = ( I ↾ 𝑅))
2216, 7, 21syl2anc 573 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑅𝑟0) = ( I ↾ 𝑅))
2320, 22eqtrd 2805 . . . . . . . 8 ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑅𝑟𝑁) = ( I ↾ 𝑅))
2423coeq1d 5421 . . . . . . 7 ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → ((𝑅𝑟𝑁) ∘ 𝑅) = (( I ↾ 𝑅) ∘ 𝑅))
2510, 19, 243eqtr4d 2815 . . . . . 6 ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑅𝑟(𝑁 + 1)) = ((𝑅𝑟𝑁) ∘ 𝑅))
26253expib 1116 . . . . 5 (𝑁 = 0 → ((Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑅𝑟(𝑁 + 1)) = ((𝑅𝑟𝑁) ∘ 𝑅)))
276, 26jaoi 846 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → ((Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑅𝑟(𝑁 + 1)) = ((𝑅𝑟𝑁) ∘ 𝑅)))
281, 27sylbi 207 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑅𝑟(𝑁 + 1)) = ((𝑅𝑟𝑁) ∘ 𝑅)))
29283impib 1108 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑅𝑟(𝑁 + 1)) = ((𝑅𝑟𝑁) ∘ 𝑅))
30293com13 1118 1 ((𝑅𝑉 ∧ Rel 𝑅𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑅𝑟(𝑁 + 1)) = ((𝑅𝑟𝑁) ∘ 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wo 836  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145   cuni 4575   I cid 5157  cres 5252  ccom 5254  Rel wrel 5255  (class class class)co 6796  0cc0 10142  1c1 10143   + caddc 10145  cn 11226  0cn0 11499  𝑟crelexp 13968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-seq 13009  df-relexp 13969
This theorem is referenced by:  relexpsucrd  13978
  Copyright terms: Public domain W3C validator