MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  relexpsucr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem relexpsucr 14147
Description: A reduction for relation exponentiation to the right. (Contributed by RP, 23-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
relexpsucr ((𝑅𝑉 ∧ Rel 𝑅𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑅𝑟(𝑁 + 1)) = ((𝑅𝑟𝑁) ∘ 𝑅))

Proof of Theorem relexpsucr
StepHypRef Expression
1 elnn0 11621 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 simp3 1174 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → 𝑅𝑉)
3 simp1 1172 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → 𝑁 ∈ ℕ)
4 relexpsucnnr 14143 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑅𝑟(𝑁 + 1)) = ((𝑅𝑟𝑁) ∘ 𝑅))
52, 3, 4syl2anc 581 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑅𝑟(𝑁 + 1)) = ((𝑅𝑟𝑁) ∘ 𝑅))
653expib 1158 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑅𝑟(𝑁 + 1)) = ((𝑅𝑟𝑁) ∘ 𝑅)))
7 simp2 1173 . . . . . . . 8 ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → Rel 𝑅)
8 relcoi2 5905 . . . . . . . . 9 (Rel 𝑅 → (( I ↾ 𝑅) ∘ 𝑅) = 𝑅)
98eqcomd 2832 . . . . . . . 8 (Rel 𝑅𝑅 = (( I ↾ 𝑅) ∘ 𝑅))
107, 9syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → 𝑅 = (( I ↾ 𝑅) ∘ 𝑅))
11 simp1 1172 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → 𝑁 = 0)
1211oveq1d 6921 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑁 + 1) = (0 + 1))
13 0p1e1 11481 . . . . . . . . . 10 (0 + 1) = 1
1412, 13syl6eq 2878 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑁 + 1) = 1)
1514oveq2d 6922 . . . . . . . 8 ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑅𝑟(𝑁 + 1)) = (𝑅𝑟1))
16 simp3 1174 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → 𝑅𝑉)
17 relexp1g 14144 . . . . . . . . 9 (𝑅𝑉 → (𝑅𝑟1) = 𝑅)
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑅𝑟1) = 𝑅)
1915, 18eqtrd 2862 . . . . . . 7 ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑅𝑟(𝑁 + 1)) = 𝑅)
2011oveq2d 6922 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑅𝑟𝑁) = (𝑅𝑟0))
21 relexp0 14141 . . . . . . . . . 10 ((𝑅𝑉 ∧ Rel 𝑅) → (𝑅𝑟0) = ( I ↾ 𝑅))
2216, 7, 21syl2anc 581 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑅𝑟0) = ( I ↾ 𝑅))
2320, 22eqtrd 2862 . . . . . . . 8 ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑅𝑟𝑁) = ( I ↾ 𝑅))
2423coeq1d 5517 . . . . . . 7 ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → ((𝑅𝑟𝑁) ∘ 𝑅) = (( I ↾ 𝑅) ∘ 𝑅))
2510, 19, 243eqtr4d 2872 . . . . . 6 ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑅𝑟(𝑁 + 1)) = ((𝑅𝑟𝑁) ∘ 𝑅))
26253expib 1158 . . . . 5 (𝑁 = 0 → ((Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑅𝑟(𝑁 + 1)) = ((𝑅𝑟𝑁) ∘ 𝑅)))
276, 26jaoi 890 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → ((Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑅𝑟(𝑁 + 1)) = ((𝑅𝑟𝑁) ∘ 𝑅)))
281, 27sylbi 209 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑅𝑟(𝑁 + 1)) = ((𝑅𝑟𝑁) ∘ 𝑅)))
29283impib 1150 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ Rel 𝑅𝑅𝑉) → (𝑅𝑟(𝑁 + 1)) = ((𝑅𝑟𝑁) ∘ 𝑅))
30293com13 1160 1 ((𝑅𝑉 ∧ Rel 𝑅𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑅𝑟(𝑁 + 1)) = ((𝑅𝑟𝑁) ∘ 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  wo 880  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166   cuni 4659   I cid 5250  cres 5345  ccom 5347  Rel wrel 5348  (class class class)co 6906  0cc0 10253  1c1 10254   + caddc 10256  cn 11351  0cn0 11619  𝑟crelexp 14138
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-seq 13097  df-relexp 14139
This theorem is referenced by:  relexpsucrd  14148
  Copyright terms: Public domain W3C validator