Theorem relexpsucr 15228

Description: A reduction for relation exponentiation to the right. (Contributed by RP, 23-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
relexpsucr	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ Rel 𝑅 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑅↑𝑟(𝑁 + 1)) = ((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ 𝑅))

Proof of Theorem relexpsucr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12648	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		simp3 1156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ Rel 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ 𝑉)
3		simp1 1154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ Rel 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ ℕ)
4		relexpsucnnr 15221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑅↑𝑟(𝑁 + 1)) = ((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ 𝑅))
5	2, 3, 4	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ Rel 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑅↑𝑟(𝑁 + 1)) = ((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ 𝑅))
6	5	3expib 1140	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((Rel 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑅↑𝑟(𝑁 + 1)) = ((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ 𝑅)))
7		simp2 1155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → Rel 𝑅)
8		relcoi2 6304	. . . . . . . . 9 ⊢ (Rel 𝑅 → (( I ↾ ∪ ∪ 𝑅) ∘ 𝑅) = 𝑅)
9	8	eqcomd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (Rel 𝑅 → 𝑅 = (( I ↾ ∪ ∪ 𝑅) ∘ 𝑅))
10	7, 9	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → 𝑅 = (( I ↾ ∪ ∪ 𝑅) ∘ 𝑅))
11		simp1 1154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → 𝑁 = 0)
12	11	oveq1d 7466	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑁 + 1) = (0 + 1))
13		0p1e1 12503	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 1) = 1
14	12, 13	eqtrdi 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑁 + 1) = 1)
15	14	oveq2d 7467	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑅↑𝑟(𝑁 + 1)) = (𝑅↑𝑟1))
16		simp3 1156	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ 𝑉)
17		relexp1g 15222	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅↑𝑟1) = 𝑅)
18	16, 17	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑅↑𝑟1) = 𝑅)
19	15, 18	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑅↑𝑟(𝑁 + 1)) = 𝑅)
20	11	oveq2d 7467	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑅↑𝑟𝑁) = (𝑅↑𝑟0))
21		relexp0 15219	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ Rel 𝑅) → (𝑅↑𝑟0) = ( I ↾ ∪ ∪ 𝑅))
22	16, 7, 21	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑅↑𝑟0) = ( I ↾ ∪ ∪ 𝑅))
23	20, 22	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑅↑𝑟𝑁) = ( I ↾ ∪ ∪ 𝑅))
24	23	coeq1d 5850	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ 𝑅) = (( I ↾ ∪ ∪ 𝑅) ∘ 𝑅))
25	10, 19, 24	3eqtr4d 2808	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑅↑𝑟(𝑁 + 1)) = ((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ 𝑅))
26	25	3expib 1140	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → ((Rel 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑅↑𝑟(𝑁 + 1)) = ((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ 𝑅)))
27	6, 26	jaoi 871	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → ((Rel 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑅↑𝑟(𝑁 + 1)) = ((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ 𝑅)))
28	1, 27	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((Rel 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑅↑𝑟(𝑁 + 1)) = ((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ 𝑅)))
29	28	3impib 1134	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ Rel 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑅↑𝑟(𝑁 + 1)) = ((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ 𝑅))
30	29	3com13 1142	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ Rel 𝑅 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑅↑𝑟(𝑁 + 1)) = ((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ 𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∪ cuni 4872   I cid 5552   ↾ cres 5660   ∘ ccom 5662  Rel wrel 5663  (class class class)co 7451  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242  ℕcn 12375  ℕ₀cn0 12646  ↑_𝑟crelexp 15215

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-seq 14185  df-relexp 15216

This theorem is used by:  relexpsucrd  15229