Theorem relexpsucr 14842

Description: A reduction for relation exponentiation to the right. (Contributed by RP, 23-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
relexpsucr	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ Rel 𝑅 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑅↑𝑟(𝑁 + 1)) = ((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ 𝑅))

Proof of Theorem relexpsucr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12336	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		simp3 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ Rel 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ 𝑉)
3		simp1 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ Rel 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ ℕ)
4		relexpsucnnr 14835	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑅↑𝑟(𝑁 + 1)) = ((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ 𝑅))
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ Rel 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑅↑𝑟(𝑁 + 1)) = ((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ 𝑅))
6	5	3expib 1121	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((Rel 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑅↑𝑟(𝑁 + 1)) = ((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ 𝑅)))
7		simp2 1136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → Rel 𝑅)
8		relcoi2 6215	. . . . . . . . 9 ⊢ (Rel 𝑅 → (( I ↾ ∪ ∪ 𝑅) ∘ 𝑅) = 𝑅)
9	8	eqcomd 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (Rel 𝑅 → 𝑅 = (( I ↾ ∪ ∪ 𝑅) ∘ 𝑅))
10	7, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → 𝑅 = (( I ↾ ∪ ∪ 𝑅) ∘ 𝑅))
11		simp1 1135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → 𝑁 = 0)
12	11	oveq1d 7352	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑁 + 1) = (0 + 1))
13		0p1e1 12196	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 1) = 1
14	12, 13	eqtrdi 2792	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑁 + 1) = 1)
15	14	oveq2d 7353	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑅↑𝑟(𝑁 + 1)) = (𝑅↑𝑟1))
16		simp3 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ 𝑉)
17		relexp1g 14836	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅↑𝑟1) = 𝑅)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑅↑𝑟1) = 𝑅)
19	15, 18	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑅↑𝑟(𝑁 + 1)) = 𝑅)
20	11	oveq2d 7353	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑅↑𝑟𝑁) = (𝑅↑𝑟0))
21		relexp0 14833	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ Rel 𝑅) → (𝑅↑𝑟0) = ( I ↾ ∪ ∪ 𝑅))
22	16, 7, 21	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑅↑𝑟0) = ( I ↾ ∪ ∪ 𝑅))
23	20, 22	eqtrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑅↑𝑟𝑁) = ( I ↾ ∪ ∪ 𝑅))
24	23	coeq1d 5803	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ 𝑅) = (( I ↾ ∪ ∪ 𝑅) ∘ 𝑅))
25	10, 19, 24	3eqtr4d 2786	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ Rel 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑅↑𝑟(𝑁 + 1)) = ((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ 𝑅))
26	25	3expib 1121	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → ((Rel 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑅↑𝑟(𝑁 + 1)) = ((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ 𝑅)))
27	6, 26	jaoi 854	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → ((Rel 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑅↑𝑟(𝑁 + 1)) = ((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ 𝑅)))
28	1, 27	sylbi 216	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((Rel 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑅↑𝑟(𝑁 + 1)) = ((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ 𝑅)))
29	28	3impib 1115	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ Rel 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑅↑𝑟(𝑁 + 1)) = ((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ 𝑅))
30	29	3com13 1123	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ Rel 𝑅 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑅↑𝑟(𝑁 + 1)) = ((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∪ cuni 4852   I cid 5517   ↾ cres 5622   ∘ ccom 5624  Rel wrel 5625  (class class class)co 7337  0cc0 10972  1c1 10973   + caddc 10975  ℕcn 12074  ℕ₀cn0 12334  ↑_𝑟crelexp 14829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-seq 13823  df-relexp 14830

This theorem is referenced by:  relexpsucrd  14843