Theorem evls1addd 22500

Description: Univariate polynomial evaluation of a sum of polynomials. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressply1evl2.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
ressply1evl2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
ressply1evl2.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
ressply1evl2.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
ressply1evl2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
evls1addd.1	⊢ ⨣ = (+g‘𝑊)
evls1addd.2	⊢ + = (+g‘𝑆)
evls1addd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evls1addd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1addd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
evls1addd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐵)
evls1addd.y	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
evls1addd	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀 ⨣ 𝑁))‘𝐶) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐶) + ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))

Proof of Theorem evls1addd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
2		evls1addd.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
3		evls1addd.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐵)
4		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (Poly1‘𝑆) = (Poly1‘𝑆)
5		ressply1evl2.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
6		ressply1evl2.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
7		ressply1evl2.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
8		evls1addd.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
9		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ ((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵) = ((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵)
10	4, 5, 6, 7, 8, 9	ressply1add 22358	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵)) → (𝑀(+g‘𝑊)𝑁) = (𝑀(+g‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))𝑁))
11	1, 2, 3, 10	syl12anc 849	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀(+g‘𝑊)𝑁) = (𝑀(+g‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))𝑁))
12		evls1addd.1	. . . . . 6 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑊)
13	12	oveqi 7424	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ⨣ 𝑁) = (𝑀(+g‘𝑊)𝑁)
14	7	fvexi 6896	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
15		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘(Poly1‘𝑆)) = (+g‘(Poly1‘𝑆))
16	9, 15	ressplusg 17344	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ V → (+g‘(Poly1‘𝑆)) = (+g‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵)))
17	14, 16	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(Poly1‘𝑆)) = (+g‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))
18	17	oveqi 7424	. . . . 5 ⊢ (𝑀(+g‘(Poly1‘𝑆))𝑁) = (𝑀(+g‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))𝑁)
19	11, 13, 18	3eqtr4g 2829	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ⨣ 𝑁) = (𝑀(+g‘(Poly1‘𝑆))𝑁))
20	19	fveq2d 6886	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘(𝑀 ⨣ 𝑁)) = ((eval1‘𝑆)‘(𝑀(+g‘(Poly1‘𝑆))𝑁)))
21	20	fveq1d 6884	. 2 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘(𝑀 ⨣ 𝑁))‘𝐶) = (((eval1‘𝑆)‘(𝑀(+g‘(Poly1‘𝑆))𝑁))‘𝐶))
22		ressply1evl2.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
23		ressply1evl2.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
24		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (eval1‘𝑆) = (eval1‘𝑆)
25		evls1addd.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
26	22, 23, 6, 5, 7, 24, 25, 8	ressply1evl 22499	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = ((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵))
27	26	fveq1d 6884	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑀 ⨣ 𝑁)) = (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘(𝑀 ⨣ 𝑁)))
28	5	subrgring 20659	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
29	6	ply1ring 22376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
30	8, 28, 29	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
31	30	ringgrpd 20324	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
32	7, 12, 31, 2, 3	grpcld 19014	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ⨣ 𝑁) ∈ 𝐵)
33	32	fvresd 6902	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘(𝑀 ⨣ 𝑁)) = ((eval1‘𝑆)‘(𝑀 ⨣ 𝑁)))
34	27, 33	eqtr2d 2805	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘(𝑀 ⨣ 𝑁)) = (𝑄‘(𝑀 ⨣ 𝑁)))
35	34	fveq1d 6884	. 2 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘(𝑀 ⨣ 𝑁))‘𝐶) = ((𝑄‘(𝑀 ⨣ 𝑁))‘𝐶))
36		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑆)) = (Base‘(Poly1‘𝑆))
37		evls1addd.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
38		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (PwSer1‘𝑈) = (PwSer1‘𝑈)
39		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝑈)) = (Base‘(PwSer1‘𝑈))
40	4, 5, 6, 7, 8, 38, 39, 36	ressply1bas2 22356	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘(PwSer1‘𝑈)) ∩ (Base‘(Poly1‘𝑆))))
41		inss2 4198	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘(PwSer1‘𝑈)) ∩ (Base‘(Poly1‘𝑆))) ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑆))
42	40, 41	eqsstrdi 3989	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑆)))
43	42, 2	sseldd 3946	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)))
44	26	fveq1d 6884	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) = (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑀))
45	2	fvresd 6902	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑀) = ((eval1‘𝑆)‘𝑀))
46	44, 45	eqtr2d 2805	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘𝑀) = (𝑄‘𝑀))
47	46	fveq1d 6884	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘𝑀)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑀)‘𝐶))
48	43, 47	jca 520	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)) ∧ (((eval1‘𝑆)‘𝑀)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑀)‘𝐶)))
49	42, 3	sseldd 3946	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)))
50	26	fveq1d 6884	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑁) = (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑁))
51	3	fvresd 6902	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑁) = ((eval1‘𝑆)‘𝑁))
52	50, 51	eqtr2d 2805	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘𝑁) = (𝑄‘𝑁))
53	52	fveq1d 6884	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘𝑁)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑁)‘𝐶))
54	49, 53	jca 520	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)) ∧ (((eval1‘𝑆)‘𝑁)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))
55		evls1addd.2	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑆)
56	24, 4, 23, 36, 25, 37, 48, 54, 15, 55	evl1addd 22470	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀(+g‘(Poly1‘𝑆))𝑁) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)) ∧ (((eval1‘𝑆)‘(𝑀(+g‘(Poly1‘𝑆))𝑁))‘𝐶) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐶) + ((𝑄‘𝑁)‘𝐶))))
57	56	simprd 500	. 2 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘(𝑀(+g‘(Poly1‘𝑆))𝑁))‘𝐶) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐶) + ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))
58	21, 35, 57	3eqtr3d 2812	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀 ⨣ 𝑁))‘𝐶) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐶) + ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ∩ cin 3912   ↾ cres 5664  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17269   ↾_s cress 17290  +_gcplusg 17310  Ringcrg 20315  CRingccrg 20316  SubRingcsubrg 20654  PwSer₁cps1 22304  Poly₁cpl1 22306   evalSub₁ ces1 22442  eval₁ce1 22443

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-ofr 7676  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-sup 9402  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-hash 14367  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-hom 17334  df-cco 17335  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-prds 17500  df-pws 17502  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-mhm 18841  df-submnd 18842  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-sbg 19005  df-mulg 19134  df-subg 19189  df-ghm 19284  df-cntz 19387  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-srg 20269  df-ring 20317  df-cring 20318  df-rhm 20554  df-subrng 20631  df-subrg 20655  df-lmod 20961  df-lss 21031  df-lsp 21071  df-assa 21972  df-asp 21973  df-ascl 21974  df-psr 22028  df-mvr 22029  df-mpl 22030  df-opsr 22032  df-evls 22194  df-evl 22195  df-psr1 22309  df-vr1 22310  df-ply1 22311  df-coe1 22312  df-evls1 22444  df-evl1 22445

This theorem is referenced by:  evls1maprhm  22505  cos9thpiminplylem6  34122