MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evls1addd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evls1addd 22376
Description: Univariate polynomial evaluation of a sum of polynomials. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ressply1evl2.q 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
ressply1evl2.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
ressply1evl2.w 𝑊 = (Poly1𝑈)
ressply1evl2.u 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
ressply1evl2.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
evls1addd.1 = (+g𝑊)
evls1addd.2 + = (+g𝑆)
evls1addd.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
evls1addd.r (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1addd.m (𝜑𝑀𝐵)
evls1addd.n (𝜑𝑁𝐵)
evls1addd.y (𝜑𝐶𝐾)
Assertion
Ref Expression
evls1addd (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀 𝑁))‘𝐶) = (((𝑄𝑀)‘𝐶) + ((𝑄𝑁)‘𝐶)))

Proof of Theorem evls1addd
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . 6 (𝜑𝜑)
2 evls1addd.m . . . . . 6 (𝜑𝑀𝐵)
3 evls1addd.n . . . . . 6 (𝜑𝑁𝐵)
4 eqid 2736 . . . . . . 7 (Poly1𝑆) = (Poly1𝑆)
5 ressply1evl2.u . . . . . . 7 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
6 ressply1evl2.w . . . . . . 7 𝑊 = (Poly1𝑈)
7 ressply1evl2.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑊)
8 evls1addd.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
9 eqid 2736 . . . . . . 7 ((Poly1𝑆) ↾s 𝐵) = ((Poly1𝑆) ↾s 𝐵)
104, 5, 6, 7, 8, 9ressply1add 22232 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐵𝑁𝐵)) → (𝑀(+g𝑊)𝑁) = (𝑀(+g‘((Poly1𝑆) ↾s 𝐵))𝑁))
111, 2, 3, 10syl12anc 836 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀(+g𝑊)𝑁) = (𝑀(+g‘((Poly1𝑆) ↾s 𝐵))𝑁))
12 evls1addd.1 . . . . . 6 = (+g𝑊)
1312oveqi 7445 . . . . 5 (𝑀 𝑁) = (𝑀(+g𝑊)𝑁)
147fvexi 6919 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
15 eqid 2736 . . . . . . . 8 (+g‘(Poly1𝑆)) = (+g‘(Poly1𝑆))
169, 15ressplusg 17335 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ V → (+g‘(Poly1𝑆)) = (+g‘((Poly1𝑆) ↾s 𝐵)))
1714, 16ax-mp 5 . . . . . 6 (+g‘(Poly1𝑆)) = (+g‘((Poly1𝑆) ↾s 𝐵))
1817oveqi 7445 . . . . 5 (𝑀(+g‘(Poly1𝑆))𝑁) = (𝑀(+g‘((Poly1𝑆) ↾s 𝐵))𝑁)
1911, 13, 183eqtr4g 2801 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 𝑁) = (𝑀(+g‘(Poly1𝑆))𝑁))
2019fveq2d 6909 . . 3 (𝜑 → ((eval1𝑆)‘(𝑀 𝑁)) = ((eval1𝑆)‘(𝑀(+g‘(Poly1𝑆))𝑁)))
2120fveq1d 6907 . 2 (𝜑 → (((eval1𝑆)‘(𝑀 𝑁))‘𝐶) = (((eval1𝑆)‘(𝑀(+g‘(Poly1𝑆))𝑁))‘𝐶))
22 ressply1evl2.q . . . . . 6 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
23 ressply1evl2.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝑆)
24 eqid 2736 . . . . . 6 (eval1𝑆) = (eval1𝑆)
25 evls1addd.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
2622, 23, 6, 5, 7, 24, 25, 8ressply1evl 22375 . . . . 5 (𝜑𝑄 = ((eval1𝑆) ↾ 𝐵))
2726fveq1d 6907 . . . 4 (𝜑 → (𝑄‘(𝑀 𝑁)) = (((eval1𝑆) ↾ 𝐵)‘(𝑀 𝑁)))
285subrgring 20575 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
296ply1ring 22250 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
308, 28, 293syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ Ring)
3130ringgrpd 20240 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ Grp)
327, 12, 31, 2, 3grpcld 18966 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 𝑁) ∈ 𝐵)
3332fvresd 6925 . . . 4 (𝜑 → (((eval1𝑆) ↾ 𝐵)‘(𝑀 𝑁)) = ((eval1𝑆)‘(𝑀 𝑁)))
3427, 33eqtr2d 2777 . . 3 (𝜑 → ((eval1𝑆)‘(𝑀 𝑁)) = (𝑄‘(𝑀 𝑁)))
3534fveq1d 6907 . 2 (𝜑 → (((eval1𝑆)‘(𝑀 𝑁))‘𝐶) = ((𝑄‘(𝑀 𝑁))‘𝐶))
36 eqid 2736 . . . 4 (Base‘(Poly1𝑆)) = (Base‘(Poly1𝑆))
37 evls1addd.y . . . 4 (𝜑𝐶𝐾)
38 eqid 2736 . . . . . . . 8 (PwSer1𝑈) = (PwSer1𝑈)
39 eqid 2736 . . . . . . . 8 (Base‘(PwSer1𝑈)) = (Base‘(PwSer1𝑈))
404, 5, 6, 7, 8, 38, 39, 36ressply1bas2 22230 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = ((Base‘(PwSer1𝑈)) ∩ (Base‘(Poly1𝑆))))
41 inss2 4237 . . . . . . 7 ((Base‘(PwSer1𝑈)) ∩ (Base‘(Poly1𝑆))) ⊆ (Base‘(Poly1𝑆))
4240, 41eqsstrdi 4027 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ⊆ (Base‘(Poly1𝑆)))
4342, 2sseldd 3983 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (Base‘(Poly1𝑆)))
4426fveq1d 6907 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄𝑀) = (((eval1𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑀))
452fvresd 6925 . . . . . . 7 (𝜑 → (((eval1𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑀) = ((eval1𝑆)‘𝑀))
4644, 45eqtr2d 2777 . . . . . 6 (𝜑 → ((eval1𝑆)‘𝑀) = (𝑄𝑀))
4746fveq1d 6907 . . . . 5 (𝜑 → (((eval1𝑆)‘𝑀)‘𝐶) = ((𝑄𝑀)‘𝐶))
4843, 47jca 511 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 ∈ (Base‘(Poly1𝑆)) ∧ (((eval1𝑆)‘𝑀)‘𝐶) = ((𝑄𝑀)‘𝐶)))
4942, 3sseldd 3983 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (Base‘(Poly1𝑆)))
5026fveq1d 6907 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄𝑁) = (((eval1𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑁))
513fvresd 6925 . . . . . . 7 (𝜑 → (((eval1𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑁) = ((eval1𝑆)‘𝑁))
5250, 51eqtr2d 2777 . . . . . 6 (𝜑 → ((eval1𝑆)‘𝑁) = (𝑄𝑁))
5352fveq1d 6907 . . . . 5 (𝜑 → (((eval1𝑆)‘𝑁)‘𝐶) = ((𝑄𝑁)‘𝐶))
5449, 53jca 511 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 ∈ (Base‘(Poly1𝑆)) ∧ (((eval1𝑆)‘𝑁)‘𝐶) = ((𝑄𝑁)‘𝐶)))
55 evls1addd.2 . . . 4 + = (+g𝑆)
5624, 4, 23, 36, 25, 37, 48, 54, 15, 55evl1addd 22346 . . 3 (𝜑 → ((𝑀(+g‘(Poly1𝑆))𝑁) ∈ (Base‘(Poly1𝑆)) ∧ (((eval1𝑆)‘(𝑀(+g‘(Poly1𝑆))𝑁))‘𝐶) = (((𝑄𝑀)‘𝐶) + ((𝑄𝑁)‘𝐶))))
5756simprd 495 . 2 (𝜑 → (((eval1𝑆)‘(𝑀(+g‘(Poly1𝑆))𝑁))‘𝐶) = (((𝑄𝑀)‘𝐶) + ((𝑄𝑁)‘𝐶)))
5821, 35, 573eqtr3d 2784 1 (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀 𝑁))‘𝐶) = (((𝑄𝑀)‘𝐶) + ((𝑄𝑁)‘𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2107  Vcvv 3479  cin 3949  cres 5686  cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  s cress 17275  +gcplusg 17298  Ringcrg 20231  CRingccrg 20232  SubRingcsubrg 20570  PwSer1cps1 22177  Poly1cpl1 22179   evalSub1 ces1 22318  eval1ce1 22319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-ofr 7699  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-sup 9483  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-hash 14371  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-submnd 18798  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-mulg 19087  df-subg 19142  df-ghm 19232  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-srg 20185  df-ring 20233  df-cring 20234  df-rhm 20473  df-subrng 20547  df-subrg 20571  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-lsp 20971  df-assa 21874  df-asp 21875  df-ascl 21876  df-psr 21930  df-mvr 21931  df-mpl 21932  df-opsr 21934  df-evls 22099  df-evl 22100  df-psr1 22182  df-vr1 22183  df-ply1 22184  df-coe1 22185  df-evls1 22320  df-evl1 22321
This theorem is referenced by:  evls1maprhm  22381
  Copyright terms: Public domain W3C validator