Theorem evls1addd 22361

Description: Univariate polynomial evaluation of a sum of polynomials. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressply1evl2.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
ressply1evl2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
ressply1evl2.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
ressply1evl2.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
ressply1evl2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
evls1addd.1	⊢ ⨣ = (+g‘𝑊)
evls1addd.2	⊢ + = (+g‘𝑆)
evls1addd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evls1addd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1addd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
evls1addd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐵)
evls1addd.y	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
evls1addd	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀 ⨣ 𝑁))‘𝐶) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐶) + ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))

Proof of Theorem evls1addd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
2		evls1addd.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
3		evls1addd.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐵)
4		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (Poly1‘𝑆) = (Poly1‘𝑆)
5		ressply1evl2.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
6		ressply1evl2.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
7		ressply1evl2.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
8		evls1addd.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
9		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ ((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵) = ((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵)
10	4, 5, 6, 7, 8, 9	ressply1add 22218	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵)) → (𝑀(+g‘𝑊)𝑁) = (𝑀(+g‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))𝑁))
11	1, 2, 3, 10	syl12anc 843	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀(+g‘𝑊)𝑁) = (𝑀(+g‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))𝑁))
12		evls1addd.1	. . . . . 6 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑊)
13	12	oveqi 7373	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ⨣ 𝑁) = (𝑀(+g‘𝑊)𝑁)
14	7	fvexi 6845	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
15		eqid 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘(Poly1‘𝑆)) = (+g‘(Poly1‘𝑆))
16	9, 15	ressplusg 17249	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ V → (+g‘(Poly1‘𝑆)) = (+g‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵)))
17	14, 16	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(Poly1‘𝑆)) = (+g‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))
18	17	oveqi 7373	. . . . 5 ⊢ (𝑀(+g‘(Poly1‘𝑆))𝑁) = (𝑀(+g‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))𝑁)
19	11, 13, 18	3eqtr4g 2801	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ⨣ 𝑁) = (𝑀(+g‘(Poly1‘𝑆))𝑁))
20	19	fveq2d 6835	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘(𝑀 ⨣ 𝑁)) = ((eval1‘𝑆)‘(𝑀(+g‘(Poly1‘𝑆))𝑁)))
21	20	fveq1d 6833	. 2 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘(𝑀 ⨣ 𝑁))‘𝐶) = (((eval1‘𝑆)‘(𝑀(+g‘(Poly1‘𝑆))𝑁))‘𝐶))
22		ressply1evl2.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
23		ressply1evl2.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
24		eqid 2741	. . . . . 6 ⊢ (eval1‘𝑆) = (eval1‘𝑆)
25		evls1addd.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
26	22, 23, 6, 5, 7, 24, 25, 8	ressply1evl 22360	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = ((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵))
27	26	fveq1d 6833	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑀 ⨣ 𝑁)) = (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘(𝑀 ⨣ 𝑁)))
28	5	subrgring 20550	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
29	6	ply1ring 22236	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
30	8, 28, 29	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
31	30	ringgrpd 20218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
32	7, 12, 31, 2, 3	grpcld 18918	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ⨣ 𝑁) ∈ 𝐵)
33	32	fvresd 6851	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘(𝑀 ⨣ 𝑁)) = ((eval1‘𝑆)‘(𝑀 ⨣ 𝑁)))
34	27, 33	eqtr2d 2777	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘(𝑀 ⨣ 𝑁)) = (𝑄‘(𝑀 ⨣ 𝑁)))
35	34	fveq1d 6833	. 2 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘(𝑀 ⨣ 𝑁))‘𝐶) = ((𝑄‘(𝑀 ⨣ 𝑁))‘𝐶))
36		eqid 2741	. . . 4 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑆)) = (Base‘(Poly1‘𝑆))
37		evls1addd.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
38		eqid 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (PwSer1‘𝑈) = (PwSer1‘𝑈)
39		eqid 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝑈)) = (Base‘(PwSer1‘𝑈))
40	4, 5, 6, 7, 8, 38, 39, 36	ressply1bas2 22216	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘(PwSer1‘𝑈)) ∩ (Base‘(Poly1‘𝑆))))
41		inss2 4169	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘(PwSer1‘𝑈)) ∩ (Base‘(Poly1‘𝑆))) ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑆))
42	40, 41	eqsstrdi 3961	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑆)))
43	42, 2	sseldd 3918	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)))
44	26	fveq1d 6833	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) = (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑀))
45	2	fvresd 6851	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑀) = ((eval1‘𝑆)‘𝑀))
46	44, 45	eqtr2d 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘𝑀) = (𝑄‘𝑀))
47	46	fveq1d 6833	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘𝑀)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑀)‘𝐶))
48	43, 47	jca 517	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)) ∧ (((eval1‘𝑆)‘𝑀)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑀)‘𝐶)))
49	42, 3	sseldd 3918	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)))
50	26	fveq1d 6833	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑁) = (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑁))
51	3	fvresd 6851	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑁) = ((eval1‘𝑆)‘𝑁))
52	50, 51	eqtr2d 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘𝑁) = (𝑄‘𝑁))
53	52	fveq1d 6833	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘𝑁)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑁)‘𝐶))
54	49, 53	jca 517	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)) ∧ (((eval1‘𝑆)‘𝑁)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))
55		evls1addd.2	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑆)
56	24, 4, 23, 36, 25, 37, 48, 54, 15, 55	evl1addd 22331	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀(+g‘(Poly1‘𝑆))𝑁) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)) ∧ (((eval1‘𝑆)‘(𝑀(+g‘(Poly1‘𝑆))𝑁))‘𝐶) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐶) + ((𝑄‘𝑁)‘𝐶))))
57	56	simprd 497	. 2 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘(𝑀(+g‘(Poly1‘𝑆))𝑁))‘𝐶) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐶) + ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))
58	21, 35, 57	3eqtr3d 2784	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀 ⨣ 𝑁))‘𝐶) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐶) + ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  Vcvv 3433   ∩ cin 3884   ↾ cres 5623  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  Basecbs 17174   ↾_s cress 17195  +_gcplusg 17215  Ringcrg 20209  CRingccrg 20210  SubRingcsubrg 20545  PwSer₁cps1 22164  Poly₁cpl1 22166   evalSub₁ ces1 22303  eval₁ce1 22304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-ofr 7625  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-hash 14288  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-hom 17239  df-cco 17240  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-prds 17405  df-pws 17407  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-submnd 18747  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-mulg 19039  df-subg 19094  df-ghm 19183  df-cntz 19287  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-srg 20163  df-ring 20211  df-cring 20212  df-rhm 20447  df-subrng 20522  df-subrg 20546  df-lmod 20856  df-lss 20926  df-lsp 20966  df-assa 21832  df-asp 21833  df-ascl 21834  df-psr 21888  df-mvr 21889  df-mpl 21890  df-opsr 21892  df-evls 22054  df-evl 22055  df-psr1 22169  df-vr1 22170  df-ply1 22171  df-coe1 22172  df-evls1 22305  df-evl1 22306

This theorem is referenced by:  evls1maprhm  22366  cos9thpiminplylem6  33983