Theorem evls1addd 22716

Description: Univariate polynomial evaluation of a sum of polynomials. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressply1evl2.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
ressply1evl2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
ressply1evl2.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
ressply1evl2.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
ressply1evl2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
evls1addd.1	⊢ ⨣ = (+g‘𝑊)
evls1addd.2	⊢ + = (+g‘𝑆)
evls1addd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evls1addd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1addd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
evls1addd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐵)
evls1addd.y	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
evls1addd	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀 ⨣ 𝑁))‘𝐶) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐶) + ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))

Proof of Theorem evls1addd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
2		evls1addd.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
3		evls1addd.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐵)
4		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Poly1‘𝑆) = (Poly1‘𝑆)
5		ressply1evl2.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
6		ressply1evl2.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
7		ressply1evl2.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
8		evls1addd.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
9		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ ((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵) = ((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵)
10	4, 5, 6, 7, 8, 9	ressply1add 22574	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵)) → (𝑀(+g‘𝑊)𝑁) = (𝑀(+g‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))𝑁))
11	1, 2, 3, 10	syl12anc 850	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀(+g‘𝑊)𝑁) = (𝑀(+g‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))𝑁))
12		evls1addd.1	. . . . . 6 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑊)
13	12	oveqi 7453	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ⨣ 𝑁) = (𝑀(+g‘𝑊)𝑁)
14	7	fvexi 6919	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
15		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘(Poly1‘𝑆)) = (+g‘(Poly1‘𝑆))
16	9, 15	ressplusg 17488	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ V → (+g‘(Poly1‘𝑆)) = (+g‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵)))
17	14, 16	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(Poly1‘𝑆)) = (+g‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))
18	17	oveqi 7453	. . . . 5 ⊢ (𝑀(+g‘(Poly1‘𝑆))𝑁) = (𝑀(+g‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))𝑁)
19	11, 13, 18	3eqtr4g 2823	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ⨣ 𝑁) = (𝑀(+g‘(Poly1‘𝑆))𝑁))
20	19	fveq2d 6909	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘(𝑀 ⨣ 𝑁)) = ((eval1‘𝑆)‘(𝑀(+g‘(Poly1‘𝑆))𝑁)))
21	20	fveq1d 6907	. 2 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘(𝑀 ⨣ 𝑁))‘𝐶) = (((eval1‘𝑆)‘(𝑀(+g‘(Poly1‘𝑆))𝑁))‘𝐶))
22		ressply1evl2.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
23		ressply1evl2.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
24		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (eval1‘𝑆) = (eval1‘𝑆)
25		evls1addd.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
26	22, 23, 6, 5, 7, 24, 25, 8	ressply1evl 22715	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = ((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵))
27	26	fveq1d 6907	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑀 ⨣ 𝑁)) = (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘(𝑀 ⨣ 𝑁)))
28	5	subrgring 20853	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
29	6	ply1ring 22592	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
30	8, 28, 29	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
31	30	ringgrpd 20496	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
32	7, 12, 31, 2, 3	grpcld 19184	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ⨣ 𝑁) ∈ 𝐵)
33	32	fvresd 6925	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘(𝑀 ⨣ 𝑁)) = ((eval1‘𝑆)‘(𝑀 ⨣ 𝑁)))
34	27, 33	eqtr2d 2799	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘(𝑀 ⨣ 𝑁)) = (𝑄‘(𝑀 ⨣ 𝑁)))
35	34	fveq1d 6907	. 2 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘(𝑀 ⨣ 𝑁))‘𝐶) = ((𝑄‘(𝑀 ⨣ 𝑁))‘𝐶))
36		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑆)) = (Base‘(Poly1‘𝑆))
37		evls1addd.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
38		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (PwSer1‘𝑈) = (PwSer1‘𝑈)
39		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝑈)) = (Base‘(PwSer1‘𝑈))
40	4, 5, 6, 7, 8, 38, 39, 36	ressply1bas2 22572	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘(PwSer1‘𝑈)) ∩ (Base‘(Poly1‘𝑆))))
41		inss2 4137	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘(PwSer1‘𝑈)) ∩ (Base‘(Poly1‘𝑆))) ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑆))
42	40, 41	eqsstrdi 3957	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑆)))
43	42, 2	sseldd 3914	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)))
44	26	fveq1d 6907	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) = (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑀))
45	2	fvresd 6925	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑀) = ((eval1‘𝑆)‘𝑀))
46	44, 45	eqtr2d 2799	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘𝑀) = (𝑄‘𝑀))
47	46	fveq1d 6907	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘𝑀)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑀)‘𝐶))
48	43, 47	jca 521	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)) ∧ (((eval1‘𝑆)‘𝑀)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑀)‘𝐶)))
49	42, 3	sseldd 3914	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)))
50	26	fveq1d 6907	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑁) = (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑁))
51	3	fvresd 6925	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑁) = ((eval1‘𝑆)‘𝑁))
52	50, 51	eqtr2d 2799	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘𝑁) = (𝑄‘𝑁))
53	52	fveq1d 6907	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘𝑁)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑁)‘𝐶))
54	49, 53	jca 521	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)) ∧ (((eval1‘𝑆)‘𝑁)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))
55		evls1addd.2	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑆)
56	24, 4, 23, 36, 25, 37, 48, 54, 15, 55	evl1addd 22686	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀(+g‘(Poly1‘𝑆))𝑁) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)) ∧ (((eval1‘𝑆)‘(𝑀(+g‘(Poly1‘𝑆))𝑁))‘𝐶) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐶) + ((𝑄‘𝑁)‘𝐶))))
57	56	simprd 501	. 2 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘(𝑀(+g‘(Poly1‘𝑆))𝑁))‘𝐶) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐶) + ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))
58	21, 35, 57	3eqtr3d 2806	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀 ⨣ 𝑁))‘𝐶) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐶) + ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ∩ cin 4092   ↾ cres 5657  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  Basecbs 17413   ↾_s cress 17434  +_gcplusg 17454  Ringcrg 20486  CRingccrg 20487  SubRingcsubrg 20848  PwSer₁cps1 22520  Poly₁cpl1 22522   evalSub₁ ces1 22658  eval₁ce1 22659

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-of 7714  df-ofr 7715  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8202  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-er 8742  df-map 8874  df-pm 8875  df-ixp 8951  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fsupp 9379  df-sup 9458  df-oi 9528  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-seq 14169  df-hash 14499  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-hom 17478  df-cco 17479  df-0g 17638  df-gsum 17639  df-prds 17644  df-pws 17646  df-mre 17782  df-mrc 17783  df-acs 17785  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-mhm 19004  df-submnd 19005  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-sbg 19175  df-mulg 19304  df-subg 19359  df-ghm 19454  df-cntz 19558  df-cmn 20023  df-abl 20024  df-mgp 20388  df-rng 20402  df-ur 20435  df-srg 20440  df-ring 20488  df-cring 20489  df-rhm 20729  df-subrng 20825  df-subrg 20849  df-lmod 21164  df-lss 21234  df-lsp 21274  df-assa 22188  df-asp 22189  df-ascl 22190  df-psr 22244  df-mvr 22245  df-mpl 22246  df-opsr 22248  df-evls 22410  df-evl 22411  df-psr1 22525  df-vr1 22526  df-ply1 22527  df-coe1 22528  df-evls1 22660  df-evl1 22661

This theorem is used by:  evls1maprhm  22721  cos9thpiminplylem6  34486