Theorem evls1addd 22436

Description: Univariate polynomial evaluation of a sum of polynomials. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressply1evl2.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
ressply1evl2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
ressply1evl2.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
ressply1evl2.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
ressply1evl2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
evls1addd.1	⊢ ⨣ = (+g‘𝑊)
evls1addd.2	⊢ + = (+g‘𝑆)
evls1addd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evls1addd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1addd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
evls1addd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐵)
evls1addd.y	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
evls1addd	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀 ⨣ 𝑁))‘𝐶) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐶) + ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))

Proof of Theorem evls1addd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
2		evls1addd.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
3		evls1addd.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐵)
4		eqid 2764	. . . . . . 7 ⊢ (Poly1‘𝑆) = (Poly1‘𝑆)
5		ressply1evl2.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
6		ressply1evl2.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
7		ressply1evl2.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
8		evls1addd.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
9		eqid 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵) = ((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵)
10	4, 5, 6, 7, 8, 9	ressply1add 22293	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵)) → (𝑀(+g‘𝑊)𝑁) = (𝑀(+g‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))𝑁))
11	1, 2, 3, 10	syl12anc 847	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀(+g‘𝑊)𝑁) = (𝑀(+g‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))𝑁))
12		evls1addd.1	. . . . . 6 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑊)
13	12	oveqi 7411	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ⨣ 𝑁) = (𝑀(+g‘𝑊)𝑁)
14	7	fvexi 6883	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
15		eqid 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘(Poly1‘𝑆)) = (+g‘(Poly1‘𝑆))
16	9, 15	ressplusg 17322	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ V → (+g‘(Poly1‘𝑆)) = (+g‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵)))
17	14, 16	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(Poly1‘𝑆)) = (+g‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))
18	17	oveqi 7411	. . . . 5 ⊢ (𝑀(+g‘(Poly1‘𝑆))𝑁) = (𝑀(+g‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))𝑁)
19	11, 13, 18	3eqtr4g 2824	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ⨣ 𝑁) = (𝑀(+g‘(Poly1‘𝑆))𝑁))
20	19	fveq2d 6873	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘(𝑀 ⨣ 𝑁)) = ((eval1‘𝑆)‘(𝑀(+g‘(Poly1‘𝑆))𝑁)))
21	20	fveq1d 6871	. 2 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘(𝑀 ⨣ 𝑁))‘𝐶) = (((eval1‘𝑆)‘(𝑀(+g‘(Poly1‘𝑆))𝑁))‘𝐶))
22		ressply1evl2.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
23		ressply1evl2.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
24		eqid 2764	. . . . . 6 ⊢ (eval1‘𝑆) = (eval1‘𝑆)
25		evls1addd.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
26	22, 23, 6, 5, 7, 24, 25, 8	ressply1evl 22435	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = ((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵))
27	26	fveq1d 6871	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑀 ⨣ 𝑁)) = (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘(𝑀 ⨣ 𝑁)))
28	5	subrgring 20626	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
29	6	ply1ring 22311	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
30	8, 28, 29	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
31	30	ringgrpd 20294	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
32	7, 12, 31, 2, 3	grpcld 18991	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ⨣ 𝑁) ∈ 𝐵)
33	32	fvresd 6889	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘(𝑀 ⨣ 𝑁)) = ((eval1‘𝑆)‘(𝑀 ⨣ 𝑁)))
34	27, 33	eqtr2d 2800	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘(𝑀 ⨣ 𝑁)) = (𝑄‘(𝑀 ⨣ 𝑁)))
35	34	fveq1d 6871	. 2 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘(𝑀 ⨣ 𝑁))‘𝐶) = ((𝑄‘(𝑀 ⨣ 𝑁))‘𝐶))
36		eqid 2764	. . . 4 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑆)) = (Base‘(Poly1‘𝑆))
37		evls1addd.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
38		eqid 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (PwSer1‘𝑈) = (PwSer1‘𝑈)
39		eqid 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝑈)) = (Base‘(PwSer1‘𝑈))
40	4, 5, 6, 7, 8, 38, 39, 36	ressply1bas2 22291	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘(PwSer1‘𝑈)) ∩ (Base‘(Poly1‘𝑆))))
41		inss2 4191	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘(PwSer1‘𝑈)) ∩ (Base‘(Poly1‘𝑆))) ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑆))
42	40, 41	eqsstrdi 3982	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑆)))
43	42, 2	sseldd 3939	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)))
44	26	fveq1d 6871	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) = (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑀))
45	2	fvresd 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑀) = ((eval1‘𝑆)‘𝑀))
46	44, 45	eqtr2d 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘𝑀) = (𝑄‘𝑀))
47	46	fveq1d 6871	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘𝑀)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑀)‘𝐶))
48	43, 47	jca 519	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)) ∧ (((eval1‘𝑆)‘𝑀)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑀)‘𝐶)))
49	42, 3	sseldd 3939	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)))
50	26	fveq1d 6871	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑁) = (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑁))
51	3	fvresd 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑁) = ((eval1‘𝑆)‘𝑁))
52	50, 51	eqtr2d 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘𝑁) = (𝑄‘𝑁))
53	52	fveq1d 6871	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘𝑁)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑁)‘𝐶))
54	49, 53	jca 519	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)) ∧ (((eval1‘𝑆)‘𝑁)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))
55		evls1addd.2	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑆)
56	24, 4, 23, 36, 25, 37, 48, 54, 15, 55	evl1addd 22406	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀(+g‘(Poly1‘𝑆))𝑁) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)) ∧ (((eval1‘𝑆)‘(𝑀(+g‘(Poly1‘𝑆))𝑁))‘𝐶) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐶) + ((𝑄‘𝑁)‘𝐶))))
57	56	simprd 499	. 2 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘(𝑀(+g‘(Poly1‘𝑆))𝑁))‘𝐶) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐶) + ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))
58	21, 35, 57	3eqtr3d 2807	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀 ⨣ 𝑁))‘𝐶) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐶) + ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  Vcvv 3456   ∩ cin 3905   ↾ cres 5651  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  Basecbs 17247   ↾_s cress 17268  +_gcplusg 17288  Ringcrg 20285  CRingccrg 20286  SubRingcsubrg 20621  PwSer₁cps1 22239  Poly₁cpl1 22241   evalSub₁ ces1 22378  eval₁ce1 22379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-se 5603  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-isom 6532  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-of 7662  df-ofr 7663  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8143  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-2o 8440  df-er 8680  df-map 8812  df-pm 8813  df-ixp 8882  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-fsupp 9310  df-sup 9390  df-oi 9460  df-card 9899  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12484  df-z 12571  df-dec 12691  df-uz 12842  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-seq 14017  df-hash 14346  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-ress 17269  df-plusg 17301  df-mulr 17302  df-sca 17304  df-vsca 17305  df-ip 17306  df-tset 17307  df-ple 17308  df-ds 17310  df-hom 17312  df-cco 17313  df-0g 17472  df-gsum 17473  df-prds 17478  df-pws 17480  df-mre 17616  df-mrc 17617  df-acs 17619  df-mgm 18676  df-sgrp 18755  df-mnd 18771  df-mhm 18819  df-submnd 18820  df-grp 18980  df-minusg 18981  df-sbg 18982  df-mulg 19112  df-subg 19167  df-ghm 19256  df-cntz 19359  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20189  df-rng 20201  df-ur 20234  df-srg 20239  df-ring 20287  df-cring 20288  df-rhm 20523  df-subrng 20598  df-subrg 20622  df-lmod 20931  df-lss 21001  df-lsp 21041  df-assa 21907  df-asp 21908  df-ascl 21909  df-psr 21963  df-mvr 21964  df-mpl 21965  df-opsr 21967  df-evls 22129  df-evl 22130  df-psr1 22244  df-vr1 22245  df-ply1 22246  df-coe1 22247  df-evls1 22380  df-evl1 22381

This theorem is referenced by:  evls1maprhm  22441  cos9thpiminplylem6  34086