Theorem evls1addd 22628

Description: Univariate polynomial evaluation of a sum of polynomials. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressply1evl2.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
ressply1evl2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
ressply1evl2.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
ressply1evl2.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
ressply1evl2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
evls1addd.1	⊢ ⨣ = (+g‘𝑊)
evls1addd.2	⊢ + = (+g‘𝑆)
evls1addd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evls1addd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1addd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
evls1addd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐵)
evls1addd.y	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
evls1addd	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀 ⨣ 𝑁))‘𝐶) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐶) + ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))

Proof of Theorem evls1addd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
2		evls1addd.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
3		evls1addd.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐵)
4		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Poly1‘𝑆) = (Poly1‘𝑆)
5		ressply1evl2.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
6		ressply1evl2.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
7		ressply1evl2.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
8		evls1addd.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
9		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ ((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵) = ((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵)
10	4, 5, 6, 7, 8, 9	ressply1add 22486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵)) → (𝑀(+g‘𝑊)𝑁) = (𝑀(+g‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))𝑁))
11	1, 2, 3, 10	syl12anc 850	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀(+g‘𝑊)𝑁) = (𝑀(+g‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))𝑁))
12		evls1addd.1	. . . . . 6 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑊)
13	12	oveqi 7429	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ⨣ 𝑁) = (𝑀(+g‘𝑊)𝑁)
14	7	fvexi 6895	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
15		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘(Poly1‘𝑆)) = (+g‘(Poly1‘𝑆))
16	9, 15	ressplusg 17401	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ V → (+g‘(Poly1‘𝑆)) = (+g‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵)))
17	14, 16	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(Poly1‘𝑆)) = (+g‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))
18	17	oveqi 7429	. . . . 5 ⊢ (𝑀(+g‘(Poly1‘𝑆))𝑁) = (𝑀(+g‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))𝑁)
19	11, 13, 18	3eqtr4g 2820	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ⨣ 𝑁) = (𝑀(+g‘(Poly1‘𝑆))𝑁))
20	19	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘(𝑀 ⨣ 𝑁)) = ((eval1‘𝑆)‘(𝑀(+g‘(Poly1‘𝑆))𝑁)))
21	20	fveq1d 6883	. 2 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘(𝑀 ⨣ 𝑁))‘𝐶) = (((eval1‘𝑆)‘(𝑀(+g‘(Poly1‘𝑆))𝑁))‘𝐶))
22		ressply1evl2.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
23		ressply1evl2.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
24		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (eval1‘𝑆) = (eval1‘𝑆)
25		evls1addd.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
26	22, 23, 6, 5, 7, 24, 25, 8	ressply1evl 22627	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = ((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵))
27	26	fveq1d 6883	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑀 ⨣ 𝑁)) = (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘(𝑀 ⨣ 𝑁)))
28	5	subrgring 20765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
29	6	ply1ring 22504	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
30	8, 28, 29	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
31	30	ringgrpd 20408	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
32	7, 12, 31, 2, 3	grpcld 19097	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ⨣ 𝑁) ∈ 𝐵)
33	32	fvresd 6901	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘(𝑀 ⨣ 𝑁)) = ((eval1‘𝑆)‘(𝑀 ⨣ 𝑁)))
34	27, 33	eqtr2d 2796	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘(𝑀 ⨣ 𝑁)) = (𝑄‘(𝑀 ⨣ 𝑁)))
35	34	fveq1d 6883	. 2 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘(𝑀 ⨣ 𝑁))‘𝐶) = ((𝑄‘(𝑀 ⨣ 𝑁))‘𝐶))
36		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑆)) = (Base‘(Poly1‘𝑆))
37		evls1addd.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
38		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (PwSer1‘𝑈) = (PwSer1‘𝑈)
39		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝑈)) = (Base‘(PwSer1‘𝑈))
40	4, 5, 6, 7, 8, 38, 39, 36	ressply1bas2 22484	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘(PwSer1‘𝑈)) ∩ (Base‘(Poly1‘𝑆))))
41		inss2 4183	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘(PwSer1‘𝑈)) ∩ (Base‘(Poly1‘𝑆))) ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑆))
42	40, 41	eqsstrdi 3975	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑆)))
43	42, 2	sseldd 3932	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)))
44	26	fveq1d 6883	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) = (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑀))
45	2	fvresd 6901	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑀) = ((eval1‘𝑆)‘𝑀))
46	44, 45	eqtr2d 2796	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘𝑀) = (𝑄‘𝑀))
47	46	fveq1d 6883	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘𝑀)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑀)‘𝐶))
48	43, 47	jca 521	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)) ∧ (((eval1‘𝑆)‘𝑀)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑀)‘𝐶)))
49	42, 3	sseldd 3932	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)))
50	26	fveq1d 6883	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑁) = (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑁))
51	3	fvresd 6901	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑁) = ((eval1‘𝑆)‘𝑁))
52	50, 51	eqtr2d 2796	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘𝑁) = (𝑄‘𝑁))
53	52	fveq1d 6883	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘𝑁)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑁)‘𝐶))
54	49, 53	jca 521	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)) ∧ (((eval1‘𝑆)‘𝑁)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))
55		evls1addd.2	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑆)
56	24, 4, 23, 36, 25, 37, 48, 54, 15, 55	evl1addd 22598	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀(+g‘(Poly1‘𝑆))𝑁) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)) ∧ (((eval1‘𝑆)‘(𝑀(+g‘(Poly1‘𝑆))𝑁))‘𝐶) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐶) + ((𝑄‘𝑁)‘𝐶))))
57	56	simprd 501	. 2 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘(𝑀(+g‘(Poly1‘𝑆))𝑁))‘𝐶) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐶) + ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))
58	21, 35, 57	3eqtr3d 2803	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀 ⨣ 𝑁))‘𝐶) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐶) + ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ∩ cin 3898   ↾ cres 5657  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416  Basecbs 17326   ↾_s cress 17347  +_gcplusg 17367  Ringcrg 20398  CRingccrg 20399  SubRingcsubrg 20760  PwSer₁cps1 22432  Poly₁cpl1 22434   evalSub₁ ces1 22570  eval₁ce1 22571

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-isom 6544  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7684  df-ofr 7685  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9339  df-sup 9419  df-oi 9489  df-card 9969  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12283  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12554  df-z 12641  df-dec 12762  df-uz 12913  df-fz 13587  df-fzo 13735  df-seq 14091  df-hash 14420  df-struct 17264  df-sets 17281  df-slot 17299  df-ndx 17311  df-base 17327  df-ress 17348  df-plusg 17380  df-mulr 17381  df-sca 17383  df-vsca 17384  df-ip 17385  df-tset 17386  df-ple 17387  df-ds 17389  df-hom 17391  df-cco 17392  df-0g 17551  df-gsum 17552  df-prds 17557  df-pws 17559  df-mre 17695  df-mrc 17696  df-acs 17698  df-mgm 18755  df-sgrp 18847  df-mnd 18863  df-mhm 18917  df-submnd 18918  df-grp 19086  df-minusg 19087  df-sbg 19088  df-mulg 19217  df-subg 19272  df-ghm 19367  df-cntz 19470  df-cmn 19935  df-abl 19936  df-mgp 20300  df-rng 20314  df-ur 20347  df-srg 20352  df-ring 20400  df-cring 20401  df-rhm 20641  df-subrng 20737  df-subrg 20761  df-lmod 21076  df-lss 21146  df-lsp 21186  df-assa 22100  df-asp 22101  df-ascl 22102  df-psr 22156  df-mvr 22157  df-mpl 22158  df-opsr 22160  df-evls 22322  df-evl 22323  df-psr1 22437  df-vr1 22438  df-ply1 22439  df-coe1 22440  df-evls1 22572  df-evl1 22573

This theorem is used by:  evls1maprhm  22633  cos9thpiminplylem6  34330