MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringcom Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ringcom 20090
Description: Commutativity of the additive group of a ring. (See also lmodcom 20510.) This proof requires the existence of a multiplicative identity, and the existence of additive inverses. Therefore, this proof is not applicable for semirings. (Contributed by GΓ©rard Lang, 4-Dec-2014.) (Proof shortened by AV, 1-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ringacl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
ringacl.p + = (+gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
ringcom ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 + π‘Œ) = (π‘Œ + 𝑋))
Proof of Theorem ringcom
StepHypRef Expression
1 ringacl.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
2 ringacl.p . . . . . 6 + = (+gβ€˜π‘…)
31, 2ringcomlem 20089 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 + 𝑋) + (π‘Œ + π‘Œ)) = ((𝑋 + π‘Œ) + (𝑋 + π‘Œ)))
4 simp1 1136 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
54ringgrpd 20058 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
6 simp2 1137 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
71, 2ringacl 20088 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝐡)
84, 6, 6, 7syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝐡)
9 simp3 1138 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
101, 2grpass 18824 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑋 + 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑋 + 𝑋) + π‘Œ) + π‘Œ) = ((𝑋 + 𝑋) + (π‘Œ + π‘Œ)))
115, 8, 9, 9, 10syl13anc 1372 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (((𝑋 + 𝑋) + π‘Œ) + π‘Œ) = ((𝑋 + 𝑋) + (π‘Œ + π‘Œ)))
121, 2ringacl 20088 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝐡)
131, 2grpass 18824 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑋 + π‘Œ) + 𝑋) + π‘Œ) = ((𝑋 + π‘Œ) + (𝑋 + π‘Œ)))
145, 12, 6, 9, 13syl13anc 1372 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (((𝑋 + π‘Œ) + 𝑋) + π‘Œ) = ((𝑋 + π‘Œ) + (𝑋 + π‘Œ)))
153, 11, 143eqtr4d 2782 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (((𝑋 + 𝑋) + π‘Œ) + π‘Œ) = (((𝑋 + π‘Œ) + 𝑋) + π‘Œ))
161, 2ringacl 20088 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 + 𝑋) + π‘Œ) ∈ 𝐡)
174, 8, 9, 16syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 + 𝑋) + π‘Œ) ∈ 𝐡)
181, 2ringacl 20088 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑋) ∈ 𝐡)
194, 12, 6, 18syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑋) ∈ 𝐡)
201, 2grprcan 18854 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (((𝑋 + 𝑋) + π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((((𝑋 + 𝑋) + π‘Œ) + π‘Œ) = (((𝑋 + π‘Œ) + 𝑋) + π‘Œ) ↔ ((𝑋 + 𝑋) + π‘Œ) = ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑋)))
215, 17, 19, 9, 20syl13anc 1372 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((((𝑋 + 𝑋) + π‘Œ) + π‘Œ) = (((𝑋 + π‘Œ) + 𝑋) + π‘Œ) ↔ ((𝑋 + 𝑋) + π‘Œ) = ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑋)))
2215, 21mpbid 231 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 + 𝑋) + π‘Œ) = ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑋))
231, 2grpass 18824 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 + 𝑋) + π‘Œ) = (𝑋 + (𝑋 + π‘Œ)))
245, 6, 6, 9, 23syl13anc 1372 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 + 𝑋) + π‘Œ) = (𝑋 + (𝑋 + π‘Œ)))
251, 2grpass 18824 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑋) = (𝑋 + (π‘Œ + 𝑋)))
265, 6, 9, 6, 25syl13anc 1372 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑋) = (𝑋 + (π‘Œ + 𝑋)))
2722, 24, 263eqtr3d 2780 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 + (𝑋 + π‘Œ)) = (𝑋 + (π‘Œ + 𝑋)))
281, 2ringacl 20088 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ + 𝑋) ∈ 𝐡)
29283com23 1126 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ + 𝑋) ∈ 𝐡)
301, 2grplcan 18881 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ + 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 + (𝑋 + π‘Œ)) = (𝑋 + (π‘Œ + 𝑋)) ↔ (𝑋 + π‘Œ) = (π‘Œ + 𝑋)))
315, 12, 29, 6, 30syl13anc 1372 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 + (𝑋 + π‘Œ)) = (𝑋 + (π‘Œ + 𝑋)) ↔ (𝑋 + π‘Œ) = (π‘Œ + 𝑋)))
3227, 31mpbid 231 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 + π‘Œ) = (π‘Œ + 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  Grpcgrp 18815  Ringcrg 20049
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051
This theorem is referenced by:  ringabl  20091
  Copyright terms: Public domain W3C validator