MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringcom Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ringcom 20176
Description: Commutativity of the additive group of a ring. (See also lmodcom 20751.) This proof requires the existence of a multiplicative identity, and the existence of additive inverses. Therefore, this proof is not applicable for semirings. (Contributed by GΓ©rard Lang, 4-Dec-2014.) (Proof shortened by AV, 1-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ringacl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
ringacl.p + = (+gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
ringcom ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 + π‘Œ) = (π‘Œ + 𝑋))
Proof of Theorem ringcom
StepHypRef Expression
1 ringacl.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
2 ringacl.p . . . . . 6 + = (+gβ€˜π‘…)
31, 2ringcomlem 20175 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 + 𝑋) + (π‘Œ + π‘Œ)) = ((𝑋 + π‘Œ) + (𝑋 + π‘Œ)))
4 simp1 1133 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
54ringgrpd 20144 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
6 simp2 1134 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
71, 2ringacl 20174 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝐡)
84, 6, 6, 7syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝐡)
9 simp3 1135 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
101, 2grpass 18869 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑋 + 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑋 + 𝑋) + π‘Œ) + π‘Œ) = ((𝑋 + 𝑋) + (π‘Œ + π‘Œ)))
115, 8, 9, 9, 10syl13anc 1369 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (((𝑋 + 𝑋) + π‘Œ) + π‘Œ) = ((𝑋 + 𝑋) + (π‘Œ + π‘Œ)))
121, 2ringacl 20174 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝐡)
131, 2grpass 18869 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑋 + π‘Œ) + 𝑋) + π‘Œ) = ((𝑋 + π‘Œ) + (𝑋 + π‘Œ)))
145, 12, 6, 9, 13syl13anc 1369 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (((𝑋 + π‘Œ) + 𝑋) + π‘Œ) = ((𝑋 + π‘Œ) + (𝑋 + π‘Œ)))
153, 11, 143eqtr4d 2776 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (((𝑋 + 𝑋) + π‘Œ) + π‘Œ) = (((𝑋 + π‘Œ) + 𝑋) + π‘Œ))
161, 2ringacl 20174 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 + 𝑋) + π‘Œ) ∈ 𝐡)
174, 8, 9, 16syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 + 𝑋) + π‘Œ) ∈ 𝐡)
181, 2ringacl 20174 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑋) ∈ 𝐡)
194, 12, 6, 18syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑋) ∈ 𝐡)
201, 2grprcan 18900 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (((𝑋 + 𝑋) + π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((((𝑋 + 𝑋) + π‘Œ) + π‘Œ) = (((𝑋 + π‘Œ) + 𝑋) + π‘Œ) ↔ ((𝑋 + 𝑋) + π‘Œ) = ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑋)))
215, 17, 19, 9, 20syl13anc 1369 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((((𝑋 + 𝑋) + π‘Œ) + π‘Œ) = (((𝑋 + π‘Œ) + 𝑋) + π‘Œ) ↔ ((𝑋 + 𝑋) + π‘Œ) = ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑋)))
2215, 21mpbid 231 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 + 𝑋) + π‘Œ) = ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑋))
231, 2grpass 18869 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 + 𝑋) + π‘Œ) = (𝑋 + (𝑋 + π‘Œ)))
245, 6, 6, 9, 23syl13anc 1369 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 + 𝑋) + π‘Œ) = (𝑋 + (𝑋 + π‘Œ)))
251, 2grpass 18869 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑋) = (𝑋 + (π‘Œ + 𝑋)))
265, 6, 9, 6, 25syl13anc 1369 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑋) = (𝑋 + (π‘Œ + 𝑋)))
2722, 24, 263eqtr3d 2774 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 + (𝑋 + π‘Œ)) = (𝑋 + (π‘Œ + 𝑋)))
281, 2ringacl 20174 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ + 𝑋) ∈ 𝐡)
29283com23 1123 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ + 𝑋) ∈ 𝐡)
301, 2grplcan 18927 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ + 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 + (𝑋 + π‘Œ)) = (𝑋 + (π‘Œ + 𝑋)) ↔ (𝑋 + π‘Œ) = (π‘Œ + 𝑋)))
315, 12, 29, 6, 30syl13anc 1369 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 + (𝑋 + π‘Œ)) = (𝑋 + (π‘Œ + 𝑋)) ↔ (𝑋 + π‘Œ) = (π‘Œ + 𝑋)))
3227, 31mpbid 231 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 + π‘Œ) = (π‘Œ + 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17150  +gcplusg 17203  Grpcgrp 18860  Ringcrg 20135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-plusg 17216  df-0g 17393  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-mgp 20037  df-ur 20084  df-ring 20137
This theorem is referenced by:  ringabl  20177
  Copyright terms: Public domain W3C validator