Theorem ringcom 19818

Description: Commutativity of the additive group of a ring. (See also lmodcom 20169.) (Contributed by Gérard Lang, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringacl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringacl.p	⊢ + = (+g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringcom	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Proof of Theorem ringcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringacl.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
4	2, 3	ringidcl 19807	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
6		ringacl.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ + = (+g‘𝑅)
7	2, 6	ringacl 19817	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅)) ∈ 𝐵)
8	1, 5, 5, 7	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅)) ∈ 𝐵)
9		simp2 1136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		simp3 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
11		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
12	2, 6, 11	ringdi 19805	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌)) = ((((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋) + (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑌)))
13	1, 8, 9, 10, 12	syl13anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌)) = ((((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋) + (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑌)))
14	2, 6	ringacl 19817	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
15	2, 6, 11	ringdir 19806	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)) → (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌)) = (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌)) + ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌))))
16	1, 5, 5, 14, 15	syl13anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌)) = (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌)) + ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌))))
17	13, 16	eqtr3d 2780	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋) + (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑌)) = (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌)) + ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌))))
18	2, 6, 11	ringdir 19806	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋) = (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑋) + ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑋)))
19	1, 5, 5, 9, 18	syl13anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋) = (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑋) + ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑋)))
20	2, 11, 3	ringlidm 19810	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑋)
21	1, 9, 20	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑋)
22	21, 21	oveq12d 7293	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑋) + ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑋)) = (𝑋 + 𝑋))
23	19, 22	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋) = (𝑋 + 𝑋))
24	2, 6, 11	ringdir 19806	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑌) = (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑌) + ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑌)))
25	1, 5, 5, 10, 24	syl13anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑌) = (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑌) + ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑌)))
26	2, 11, 3	ringlidm 19810	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑌)
27	1, 10, 26	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑌)
28	27, 27	oveq12d 7293	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑌) + ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑌)) = (𝑌 + 𝑌))
29	25, 28	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑌) = (𝑌 + 𝑌))
30	23, 29	oveq12d 7293	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋) + (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑌)) = ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)))
31	2, 11, 3	ringlidm 19810	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + 𝑌))
32	1, 14, 31	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + 𝑌))
33	32, 32	oveq12d 7293	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌)) + ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌))) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))
34	17, 30, 33	3eqtr3d 2786	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))
35		ringgrp 19788	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
36	1, 35	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
37	2, 6	ringacl 19817	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝐵)
38	1, 9, 9, 37	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝐵)
39	2, 6	grpass 18586	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑋 + 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)))
40	36, 38, 10, 10, 39	syl13anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)))
41	2, 6	grpass 18586	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))
42	36, 14, 9, 10, 41	syl13anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))
43	34, 40, 42	3eqtr4d 2788	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌))
44	2, 6	ringacl 19817	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝐵)
45	1, 38, 10, 44	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝐵)
46	2, 6	ringacl 19817	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) ∈ 𝐵)
47	1, 14, 9, 46	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) ∈ 𝐵)
48	2, 6	grprcan 18613	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌) ↔ ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋)))
49	36, 45, 47, 10, 48	syl13anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌) ↔ ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋)))
50	43, 49	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋))
51	2, 6	grpass 18586	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = (𝑋 + (𝑋 + 𝑌)))
52	36, 9, 9, 10, 51	syl13anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = (𝑋 + (𝑋 + 𝑌)))
53	2, 6	grpass 18586	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)))
54	36, 9, 10, 9, 53	syl13anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)))
55	50, 52, 54	3eqtr3d 2786	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)))
56	2, 6	ringacl 19817	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵)
57	56	3com23 1125	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵)
58	2, 6	grplcan 18637	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + (𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)) ↔ (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)))
59	36, 14, 57, 9, 58	syl13anc 1371	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + (𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)) ↔ (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)))
60	55, 59	mpbid 231	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962  ._rcmulr 16963  Grpcgrp 18577  1_rcur 19737  Ringcrg 19783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785

This theorem is referenced by:  ringabl  19819