MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringcom 18786
Description: Commutativity of the additive group of a ring. (See also lmodcom 19118.) (Contributed by Gérard Lang, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ringacl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringacl.p + = (+g𝑅)
Assertion
Ref Expression
ringcom ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Proof of Theorem ringcom
StepHypRef Expression
1 simp1 1130 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
2 ringacl.b . . . . . . . . . . 11 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 eqid 2771 . . . . . . . . . . 11 (1r𝑅) = (1r𝑅)
42, 3ringidcl 18775 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
51, 4syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
6 ringacl.p . . . . . . . . . 10 + = (+g𝑅)
72, 6ringacl 18785 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵) → ((1r𝑅) + (1r𝑅)) ∈ 𝐵)
81, 5, 5, 7syl3anc 1476 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((1r𝑅) + (1r𝑅)) ∈ 𝐵)
9 simp2 1131 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
10 simp3 1132 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
11 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (.r𝑅) = (.r𝑅)
122, 6, 11ringdi 18773 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((1r𝑅) + (1r𝑅)) ∈ 𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (((1r𝑅) + (1r𝑅))(.r𝑅)(𝑋 + 𝑌)) = ((((1r𝑅) + (1r𝑅))(.r𝑅)𝑋) + (((1r𝑅) + (1r𝑅))(.r𝑅)𝑌)))
131, 8, 9, 10, 12syl13anc 1478 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((1r𝑅) + (1r𝑅))(.r𝑅)(𝑋 + 𝑌)) = ((((1r𝑅) + (1r𝑅))(.r𝑅)𝑋) + (((1r𝑅) + (1r𝑅))(.r𝑅)𝑌)))
142, 6ringacl 18785 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
152, 6, 11ringdir 18774 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)) → (((1r𝑅) + (1r𝑅))(.r𝑅)(𝑋 + 𝑌)) = (((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑋 + 𝑌)) + ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑋 + 𝑌))))
161, 5, 5, 14, 15syl13anc 1478 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((1r𝑅) + (1r𝑅))(.r𝑅)(𝑋 + 𝑌)) = (((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑋 + 𝑌)) + ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑋 + 𝑌))))
1713, 16eqtr3d 2807 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((((1r𝑅) + (1r𝑅))(.r𝑅)𝑋) + (((1r𝑅) + (1r𝑅))(.r𝑅)𝑌)) = (((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑋 + 𝑌)) + ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑋 + 𝑌))))
182, 6, 11ringdir 18774 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵𝑋𝐵)) → (((1r𝑅) + (1r𝑅))(.r𝑅)𝑋) = (((1r𝑅)(.r𝑅)𝑋) + ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑋)))
191, 5, 5, 9, 18syl13anc 1478 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((1r𝑅) + (1r𝑅))(.r𝑅)𝑋) = (((1r𝑅)(.r𝑅)𝑋) + ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑋)))
202, 11, 3ringlidm 18778 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑋) = 𝑋)
211, 9, 20syl2anc 573 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑋) = 𝑋)
2221, 21oveq12d 6813 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((1r𝑅)(.r𝑅)𝑋) + ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑋)) = (𝑋 + 𝑋))
2319, 22eqtrd 2805 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((1r𝑅) + (1r𝑅))(.r𝑅)𝑋) = (𝑋 + 𝑋))
242, 6, 11ringdir 18774 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵𝑌𝐵)) → (((1r𝑅) + (1r𝑅))(.r𝑅)𝑌) = (((1r𝑅)(.r𝑅)𝑌) + ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑌)))
251, 5, 5, 10, 24syl13anc 1478 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((1r𝑅) + (1r𝑅))(.r𝑅)𝑌) = (((1r𝑅)(.r𝑅)𝑌) + ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑌)))
262, 11, 3ringlidm 18778 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵) → ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑌) = 𝑌)
271, 10, 26syl2anc 573 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑌) = 𝑌)
2827, 27oveq12d 6813 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((1r𝑅)(.r𝑅)𝑌) + ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑌)) = (𝑌 + 𝑌))
2925, 28eqtrd 2805 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((1r𝑅) + (1r𝑅))(.r𝑅)𝑌) = (𝑌 + 𝑌))
3023, 29oveq12d 6813 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((((1r𝑅) + (1r𝑅))(.r𝑅)𝑋) + (((1r𝑅) + (1r𝑅))(.r𝑅)𝑌)) = ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)))
312, 11, 3ringlidm 18778 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) → ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + 𝑌))
321, 14, 31syl2anc 573 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + 𝑌))
3332, 32oveq12d 6813 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑋 + 𝑌)) + ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑋 + 𝑌))) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))
3417, 30, 333eqtr3d 2813 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))
35 ringgrp 18759 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
361, 35syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
372, 6ringacl 18785 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐵) → (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝐵)
381, 9, 9, 37syl3anc 1476 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝐵)
392, 6grpass 17638 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑋 + 𝑋) ∈ 𝐵𝑌𝐵𝑌𝐵)) → (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)))
4036, 38, 10, 10, 39syl13anc 1478 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)))
412, 6grpass 17638 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))
4236, 14, 9, 10, 41syl13anc 1478 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))
4334, 40, 423eqtr4d 2815 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌))
442, 6ringacl 18785 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝐵)
451, 38, 10, 44syl3anc 1476 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝐵)
462, 6ringacl 18785 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) ∈ 𝐵)
471, 14, 9, 46syl3anc 1476 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) ∈ 𝐵)
482, 6grprcan 17662 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) ∈ 𝐵𝑌𝐵)) → ((((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌) ↔ ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋)))
4936, 45, 47, 10, 48syl13anc 1478 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌) ↔ ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋)))
5043, 49mpbid 222 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋))
512, 6grpass 17638 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = (𝑋 + (𝑋 + 𝑌)))
5236, 9, 9, 10, 51syl13anc 1478 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = (𝑋 + (𝑋 + 𝑌)))
532, 6grpass 17638 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)))
5436, 9, 10, 9, 53syl13anc 1478 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)))
5550, 52, 543eqtr3d 2813 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + (𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)))
562, 6ringacl 18785 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵)
57563com23 1120 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵)
582, 6grplcan 17684 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵𝑋𝐵)) → ((𝑋 + (𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)) ↔ (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)))
5936, 14, 57, 9, 58syl13anc 1478 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 + (𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)) ↔ (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)))
6055, 59mpbid 222 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  cfv 6030  (class class class)co 6795  Basecbs 16063  +gcplusg 16148  .rcmulr 16149  Grpcgrp 17629  1rcur 18708  Ringcrg 18754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7099  ax-cnex 10197  ax-resscn 10198  ax-1cn 10199  ax-icn 10200  ax-addcl 10201  ax-addrcl 10202  ax-mulcl 10203  ax-mulrcl 10204  ax-mulcom 10205  ax-addass 10206  ax-mulass 10207  ax-distr 10208  ax-i2m1 10209  ax-1ne0 10210  ax-1rid 10211  ax-rnegex 10212  ax-rrecex 10213  ax-cnre 10214  ax-pre-lttri 10215  ax-pre-lttrn 10216  ax-pre-ltadd 10217  ax-pre-mulgt0 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6756  df-ov 6798  df-oprab 6799  df-mpt2 6800  df-om 7216  df-wrecs 7562  df-recs 7624  df-rdg 7662  df-er 7899  df-en 8113  df-dom 8114  df-sdom 8115  df-pnf 10281  df-mnf 10282  df-xr 10283  df-ltxr 10284  df-le 10285  df-sub 10473  df-neg 10474  df-nn 11226  df-2 11284  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-plusg 16161  df-0g 16309  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-mgp 18697  df-ur 18709  df-ring 18756
This theorem is referenced by:  ringabl  18787
  Copyright terms: Public domain W3C validator