MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringcom 20223
Description: Commutativity of the additive group of a ring. (See also lmodcom 20798.) This proof requires the existence of a multiplicative identity, and the existence of additive inverses. Therefore, this proof is not applicable for semirings. (Contributed by GΓ©rard Lang, 4-Dec-2014.) (Proof shortened by AV, 1-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ringacl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
ringacl.p + = (+gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
ringcom ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 + π‘Œ) = (π‘Œ + 𝑋))

Proof of Theorem ringcom
StepHypRef Expression
1 ringacl.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
2 ringacl.p . . . . . 6 + = (+gβ€˜π‘…)
31, 2ringcomlem 20222 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 + 𝑋) + (π‘Œ + π‘Œ)) = ((𝑋 + π‘Œ) + (𝑋 + π‘Œ)))
4 simp1 1133 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
54ringgrpd 20189 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
6 simp2 1134 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
71, 2ringacl 20221 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝐡)
84, 6, 6, 7syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝐡)
9 simp3 1135 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
101, 2grpass 18906 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑋 + 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑋 + 𝑋) + π‘Œ) + π‘Œ) = ((𝑋 + 𝑋) + (π‘Œ + π‘Œ)))
115, 8, 9, 9, 10syl13anc 1369 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (((𝑋 + 𝑋) + π‘Œ) + π‘Œ) = ((𝑋 + 𝑋) + (π‘Œ + π‘Œ)))
121, 2ringacl 20221 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝐡)
131, 2grpass 18906 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑋 + π‘Œ) + 𝑋) + π‘Œ) = ((𝑋 + π‘Œ) + (𝑋 + π‘Œ)))
145, 12, 6, 9, 13syl13anc 1369 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (((𝑋 + π‘Œ) + 𝑋) + π‘Œ) = ((𝑋 + π‘Œ) + (𝑋 + π‘Œ)))
153, 11, 143eqtr4d 2778 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (((𝑋 + 𝑋) + π‘Œ) + π‘Œ) = (((𝑋 + π‘Œ) + 𝑋) + π‘Œ))
161, 2ringacl 20221 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 + 𝑋) + π‘Œ) ∈ 𝐡)
174, 8, 9, 16syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 + 𝑋) + π‘Œ) ∈ 𝐡)
181, 2ringacl 20221 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑋) ∈ 𝐡)
194, 12, 6, 18syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑋) ∈ 𝐡)
201, 2grprcan 18937 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (((𝑋 + 𝑋) + π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((((𝑋 + 𝑋) + π‘Œ) + π‘Œ) = (((𝑋 + π‘Œ) + 𝑋) + π‘Œ) ↔ ((𝑋 + 𝑋) + π‘Œ) = ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑋)))
215, 17, 19, 9, 20syl13anc 1369 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((((𝑋 + 𝑋) + π‘Œ) + π‘Œ) = (((𝑋 + π‘Œ) + 𝑋) + π‘Œ) ↔ ((𝑋 + 𝑋) + π‘Œ) = ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑋)))
2215, 21mpbid 231 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 + 𝑋) + π‘Œ) = ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑋))
231, 2grpass 18906 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 + 𝑋) + π‘Œ) = (𝑋 + (𝑋 + π‘Œ)))
245, 6, 6, 9, 23syl13anc 1369 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 + 𝑋) + π‘Œ) = (𝑋 + (𝑋 + π‘Œ)))
251, 2grpass 18906 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑋) = (𝑋 + (π‘Œ + 𝑋)))
265, 6, 9, 6, 25syl13anc 1369 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑋) = (𝑋 + (π‘Œ + 𝑋)))
2722, 24, 263eqtr3d 2776 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 + (𝑋 + π‘Œ)) = (𝑋 + (π‘Œ + 𝑋)))
281, 2ringacl 20221 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ + 𝑋) ∈ 𝐡)
29283com23 1123 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ + 𝑋) ∈ 𝐡)
301, 2grplcan 18964 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ + 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 + (𝑋 + π‘Œ)) = (𝑋 + (π‘Œ + 𝑋)) ↔ (𝑋 + π‘Œ) = (π‘Œ + 𝑋)))
315, 12, 29, 6, 30syl13anc 1369 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 + (𝑋 + π‘Œ)) = (𝑋 + (π‘Œ + 𝑋)) ↔ (𝑋 + π‘Œ) = (π‘Œ + 𝑋)))
3227, 31mpbid 231 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 + π‘Œ) = (π‘Œ + 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  +gcplusg 17240  Grpcgrp 18897  Ringcrg 20180
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-plusg 17253  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-mgp 20082  df-ur 20129  df-ring 20182
This theorem is referenced by:  ringabl  20224
  Copyright terms: Public domain W3C validator