MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringcom 19912
Description: Commutativity of the additive group of a ring. (See also lmodcom 20274.) (Contributed by Gérard Lang, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ringacl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringacl.p + = (+g𝑅)
Assertion
Ref Expression
ringcom ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Proof of Theorem ringcom
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
2 ringacl.b . . . . . . . . . . 11 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (1r𝑅) = (1r𝑅)
42, 3ringidcl 19901 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
51, 4syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
6 ringacl.p . . . . . . . . . 10 + = (+g𝑅)
72, 6ringacl 19911 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵) → ((1r𝑅) + (1r𝑅)) ∈ 𝐵)
81, 5, 5, 7syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((1r𝑅) + (1r𝑅)) ∈ 𝐵)
9 simp2 1137 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
10 simp3 1138 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
11 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (.r𝑅) = (.r𝑅)
122, 6, 11ringdi 19899 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((1r𝑅) + (1r𝑅)) ∈ 𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (((1r𝑅) + (1r𝑅))(.r𝑅)(𝑋 + 𝑌)) = ((((1r𝑅) + (1r𝑅))(.r𝑅)𝑋) + (((1r𝑅) + (1r𝑅))(.r𝑅)𝑌)))
131, 8, 9, 10, 12syl13anc 1372 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((1r𝑅) + (1r𝑅))(.r𝑅)(𝑋 + 𝑌)) = ((((1r𝑅) + (1r𝑅))(.r𝑅)𝑋) + (((1r𝑅) + (1r𝑅))(.r𝑅)𝑌)))
142, 6ringacl 19911 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
152, 6, 11ringdir 19900 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)) → (((1r𝑅) + (1r𝑅))(.r𝑅)(𝑋 + 𝑌)) = (((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑋 + 𝑌)) + ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑋 + 𝑌))))
161, 5, 5, 14, 15syl13anc 1372 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((1r𝑅) + (1r𝑅))(.r𝑅)(𝑋 + 𝑌)) = (((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑋 + 𝑌)) + ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑋 + 𝑌))))
1713, 16eqtr3d 2779 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((((1r𝑅) + (1r𝑅))(.r𝑅)𝑋) + (((1r𝑅) + (1r𝑅))(.r𝑅)𝑌)) = (((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑋 + 𝑌)) + ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑋 + 𝑌))))
182, 6, 11ringdir 19900 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵𝑋𝐵)) → (((1r𝑅) + (1r𝑅))(.r𝑅)𝑋) = (((1r𝑅)(.r𝑅)𝑋) + ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑋)))
191, 5, 5, 9, 18syl13anc 1372 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((1r𝑅) + (1r𝑅))(.r𝑅)𝑋) = (((1r𝑅)(.r𝑅)𝑋) + ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑋)))
202, 11, 3ringlidm 19904 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑋) = 𝑋)
211, 9, 20syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑋) = 𝑋)
2221, 21oveq12d 7359 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((1r𝑅)(.r𝑅)𝑋) + ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑋)) = (𝑋 + 𝑋))
2319, 22eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((1r𝑅) + (1r𝑅))(.r𝑅)𝑋) = (𝑋 + 𝑋))
242, 6, 11ringdir 19900 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵𝑌𝐵)) → (((1r𝑅) + (1r𝑅))(.r𝑅)𝑌) = (((1r𝑅)(.r𝑅)𝑌) + ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑌)))
251, 5, 5, 10, 24syl13anc 1372 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((1r𝑅) + (1r𝑅))(.r𝑅)𝑌) = (((1r𝑅)(.r𝑅)𝑌) + ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑌)))
262, 11, 3ringlidm 19904 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵) → ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑌) = 𝑌)
271, 10, 26syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑌) = 𝑌)
2827, 27oveq12d 7359 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((1r𝑅)(.r𝑅)𝑌) + ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑌)) = (𝑌 + 𝑌))
2925, 28eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((1r𝑅) + (1r𝑅))(.r𝑅)𝑌) = (𝑌 + 𝑌))
3023, 29oveq12d 7359 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((((1r𝑅) + (1r𝑅))(.r𝑅)𝑋) + (((1r𝑅) + (1r𝑅))(.r𝑅)𝑌)) = ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)))
312, 11, 3ringlidm 19904 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) → ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + 𝑌))
321, 14, 31syl2anc 585 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + 𝑌))
3332, 32oveq12d 7359 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑋 + 𝑌)) + ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑋 + 𝑌))) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))
3417, 30, 333eqtr3d 2785 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))
35 ringgrp 19882 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
361, 35syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
372, 6ringacl 19911 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐵) → (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝐵)
381, 9, 9, 37syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝐵)
392, 6grpass 18682 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑋 + 𝑋) ∈ 𝐵𝑌𝐵𝑌𝐵)) → (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)))
4036, 38, 10, 10, 39syl13anc 1372 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)))
412, 6grpass 18682 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))
4236, 14, 9, 10, 41syl13anc 1372 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))
4334, 40, 423eqtr4d 2787 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌))
442, 6ringacl 19911 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝐵)
451, 38, 10, 44syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝐵)
462, 6ringacl 19911 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) ∈ 𝐵)
471, 14, 9, 46syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) ∈ 𝐵)
482, 6grprcan 18709 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) ∈ 𝐵𝑌𝐵)) → ((((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌) ↔ ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋)))
4936, 45, 47, 10, 48syl13anc 1372 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌) ↔ ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋)))
5043, 49mpbid 231 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋))
512, 6grpass 18682 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = (𝑋 + (𝑋 + 𝑌)))
5236, 9, 9, 10, 51syl13anc 1372 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = (𝑋 + (𝑋 + 𝑌)))
532, 6grpass 18682 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)))
5436, 9, 10, 9, 53syl13anc 1372 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)))
5550, 52, 543eqtr3d 2785 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + (𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)))
562, 6ringacl 19911 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵)
57563com23 1126 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵)
582, 6grplcan 18733 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵𝑋𝐵)) → ((𝑋 + (𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)) ↔ (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)))
5936, 14, 57, 9, 58syl13anc 1372 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 + (𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)) ↔ (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)))
6055, 59mpbid 231 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6483  (class class class)co 7341  Basecbs 17009  +gcplusg 17059  .rcmulr 17060  Grpcgrp 18673  1rcur 19831  Ringcrg 19877
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654  ax-cnex 11032  ax-resscn 11033  ax-1cn 11034  ax-icn 11035  ax-addcl 11036  ax-addrcl 11037  ax-mulcl 11038  ax-mulrcl 11039  ax-mulcom 11040  ax-addass 11041  ax-mulass 11042  ax-distr 11043  ax-i2m1 11044  ax-1ne0 11045  ax-1rid 11046  ax-rnegex 11047  ax-rrecex 11048  ax-cnre 11049  ax-pre-lttri 11050  ax-pre-lttrn 11051  ax-pre-ltadd 11052  ax-pre-mulgt0 11053
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3920  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4857  df-iun 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-tr 5214  df-id 5522  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6242  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-riota 7297  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7785  df-2nd 7904  df-frecs 8171  df-wrecs 8202  df-recs 8276  df-rdg 8315  df-er 8573  df-en 8809  df-dom 8810  df-sdom 8811  df-pnf 11116  df-mnf 11117  df-xr 11118  df-ltxr 11119  df-le 11120  df-sub 11312  df-neg 11313  df-nn 12079  df-2 12141  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-plusg 17072  df-0g 17249  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-grp 18676  df-minusg 18677  df-mgp 19815  df-ur 19832  df-ring 19879
This theorem is referenced by:  ringabl  19913
  Copyright terms: Public domain W3C validator