Theorem ringcom 19733

Description: Commutativity of the additive group of a ring. (See also lmodcom 20084.) (Contributed by Gérard Lang, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringacl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringacl.p	⊢ + = (+g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringcom	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Proof of Theorem ringcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringacl.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
4	2, 3	ringidcl 19722	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
6		ringacl.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ + = (+g‘𝑅)
7	2, 6	ringacl 19732	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅)) ∈ 𝐵)
8	1, 5, 5, 7	syl3anc 1369	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅)) ∈ 𝐵)
9		simp2 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		simp3 1136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
11		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
12	2, 6, 11	ringdi 19720	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌)) = ((((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋) + (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑌)))
13	1, 8, 9, 10, 12	syl13anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌)) = ((((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋) + (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑌)))
14	2, 6	ringacl 19732	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
15	2, 6, 11	ringdir 19721	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)) → (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌)) = (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌)) + ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌))))
16	1, 5, 5, 14, 15	syl13anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌)) = (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌)) + ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌))))
17	13, 16	eqtr3d 2780	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋) + (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑌)) = (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌)) + ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌))))
18	2, 6, 11	ringdir 19721	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋) = (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑋) + ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑋)))
19	1, 5, 5, 9, 18	syl13anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋) = (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑋) + ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑋)))
20	2, 11, 3	ringlidm 19725	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑋)
21	1, 9, 20	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑋)
22	21, 21	oveq12d 7273	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑋) + ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑋)) = (𝑋 + 𝑋))
23	19, 22	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋) = (𝑋 + 𝑋))
24	2, 6, 11	ringdir 19721	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑌) = (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑌) + ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑌)))
25	1, 5, 5, 10, 24	syl13anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑌) = (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑌) + ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑌)))
26	2, 11, 3	ringlidm 19725	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑌)
27	1, 10, 26	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑌)
28	27, 27	oveq12d 7273	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑌) + ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑌)) = (𝑌 + 𝑌))
29	25, 28	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑌) = (𝑌 + 𝑌))
30	23, 29	oveq12d 7273	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋) + (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑌)) = ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)))
31	2, 11, 3	ringlidm 19725	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + 𝑌))
32	1, 14, 31	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + 𝑌))
33	32, 32	oveq12d 7273	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌)) + ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌))) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))
34	17, 30, 33	3eqtr3d 2786	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))
35		ringgrp 19703	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
36	1, 35	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
37	2, 6	ringacl 19732	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝐵)
38	1, 9, 9, 37	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝐵)
39	2, 6	grpass 18501	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑋 + 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)))
40	36, 38, 10, 10, 39	syl13anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)))
41	2, 6	grpass 18501	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))
42	36, 14, 9, 10, 41	syl13anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))
43	34, 40, 42	3eqtr4d 2788	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌))
44	2, 6	ringacl 19732	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝐵)
45	1, 38, 10, 44	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝐵)
46	2, 6	ringacl 19732	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) ∈ 𝐵)
47	1, 14, 9, 46	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) ∈ 𝐵)
48	2, 6	grprcan 18528	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌) ↔ ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋)))
49	36, 45, 47, 10, 48	syl13anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌) ↔ ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋)))
50	43, 49	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋))
51	2, 6	grpass 18501	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = (𝑋 + (𝑋 + 𝑌)))
52	36, 9, 9, 10, 51	syl13anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = (𝑋 + (𝑋 + 𝑌)))
53	2, 6	grpass 18501	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)))
54	36, 9, 10, 9, 53	syl13anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)))
55	50, 52, 54	3eqtr3d 2786	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)))
56	2, 6	ringacl 19732	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵)
57	56	3com23 1124	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵)
58	2, 6	grplcan 18552	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + (𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)) ↔ (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)))
59	36, 14, 57, 9, 58	syl13anc 1370	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + (𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)) ↔ (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)))
60	55, 59	mpbid 231	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  ._rcmulr 16889  Grpcgrp 18492  1_rcur 19652  Ringcrg 19698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700

This theorem is referenced by:  ringabl  19734