MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringmnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringmnd 19228
Description: A ring is a monoid under addition. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
ringmnd (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)

Proof of Theorem ringmnd
StepHypRef Expression
1 ringgrp 19224 . 2 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
2 grpmnd 18042 . 2 (𝑅 ∈ Grp → 𝑅 ∈ Mnd)
31, 2syl 17 1 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  Mndcmnd 17902  Grpcgrp 18035  Ringcrg 19219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-nul 5206
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ral 3147  df-rex 3148  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-br 5063  df-iota 6311  df-fv 6359  df-ov 7154  df-grp 18038  df-ring 19221
This theorem is referenced by:  ringmgm  19229  gsummulc1  19278  gsummulc2  19279  gsummgp0  19280  prdsringd  19284  pwsco1rhm  19412  lmodvsmmulgdi  19591  psrlidm  20104  psrridm  20105  mplsubrglem  20140  mplmonmul  20165  evlslem2  20212  evlslem3  20213  evlsgsumadd  20224  coe1tmmul2  20363  coe1tmmul  20364  cply1mul  20381  gsummoncoe1  20391  evls1gsumadd  20406  cnfldmulg  20495  cnsubmlem  20511  gsumfsum  20530  nn0srg  20533  rge0srg  20534  zring0  20545  re0g  20674  uvcresum  20855  mamudi  20930  mamudir  20931  mamulid  20968  mamurid  20969  mat1dimmul  21003  mat1mhm  21011  dmatmul  21024  scmatscm  21040  1mavmul  21075  mulmarep1gsum1  21100  mdet0pr  21119  m1detdiag  21124  mdetdiag  21126  mdet0  21133  m2detleib  21158  maducoeval2  21167  madugsum  21170  smadiadetlem1a  21190  smadiadetlem3  21195  smadiadet  21197  cpmatmcllem  21244  mat2pmatghm  21256  mat2pmatmul  21257  pmatcollpw3fi1lem1  21312  idpm2idmp  21327  mp2pm2mplem4  21335  pm2mpghm  21342  monmat2matmon  21350  pm2mp  21351  chfacfscmulgsum  21386  chfacfpmmulgsum  21390  cpmadugsumlemF  21402  cayhamlem4  21414  tdeglem4  24571  tdeglem2  24572  mdegmullem  24589  coe1mul3  24610  plypf1  24719  tayl0  24867  jensen  25482  amgmlem  25483  freshmansdream  30775  suborng  30804  xrge0slmod  30833  drgext0gsca  30882  fedgmullem2  30914  extdg1id  30941  zringnm  31089  rezh  31100  amgm2d  40419  amgm3d  40420  amgm4d  40421  2zrng0  44043  cznrng  44060  mgpsumz  44244  ply1mulgsumlem2  44275  amgmwlem  44737  amgmw2d  44739
  Copyright terms: Public domain W3C validator