Theorem evlsmaprhm 42593

Description: The function 𝐹 mapping polynomials 𝑝 to their subring evaluation at a given point 𝑋 is a ring homomorphism. Compare evls1maprhm 22314. (Contributed by SN, 12-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsmaprhm.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑅)‘𝑆)
evlsmaprhm.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlsmaprhm.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 ↾s 𝑆)
evlsmaprhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlsmaprhm.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
evlsmaprhm.f	⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑄‘𝑝)‘𝐴))
evlsmaprhm.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsmaprhm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evlsmaprhm.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
evlsmaprhm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))

Assertion

Ref	Expression
evlsmaprhm	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑅))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   𝜑,𝑝   𝑃,𝑝   𝑄,𝑝   𝐴,𝑝

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑝)   𝑆(𝑝)   𝑈(𝑝)   𝐹(𝑝)   𝐼(𝑝)   𝑉(𝑝)

Proof of Theorem evlsmaprhm

Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlsmaprhm.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
2		eqid 2735	. 2 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
3		eqid 2735	. 2 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
4		eqid 2735	. 2 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
5		eqid 2735	. 2 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
6		evlsmaprhm.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
7		evlsmaprhm.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
8		evlsmaprhm.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
9		evlsmaprhm.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (𝑅 ↾s 𝑆)
10	9	subrgring 20534	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑈 ∈ Ring)
11	8, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
12	6, 7, 11	mplringd 21983	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
13		evlsmaprhm.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
14	13	crngringd 20206	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
15		evlsmaprhm.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑄‘𝑝)‘𝐴))
16		fveq2 6876	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (1r‘𝑃) → (𝑄‘𝑝) = (𝑄‘(1r‘𝑃)))
17	16	fveq1d 6878	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (1r‘𝑃) → ((𝑄‘𝑝)‘𝐴) = ((𝑄‘(1r‘𝑃))‘𝐴))
18	1, 2	ringidcl 20225	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (1r‘𝑃) ∈ 𝐵)
19	12, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑃) ∈ 𝐵)
20		fvexd 6891	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(1r‘𝑃))‘𝐴) ∈ V)
21	15, 17, 19, 20	fvmptd3 7009	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(1r‘𝑃)) = ((𝑄‘(1r‘𝑃))‘𝐴))
22		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
23		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑈) = (1r‘𝑈)
24	6, 22, 23, 2, 7, 11	mplascl1 42578	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑈)) = (1r‘𝑃))
25	24	eqcomd 2741	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑃) = ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑈)))
26	25	fveq2d 6880	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(1r‘𝑃)) = (𝑄‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑈))))
27	26	fveq1d 6878	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(1r‘𝑃))‘𝐴) = ((𝑄‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑈)))‘𝐴))
28		evlsmaprhm.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑅)‘𝑆)
29		evlsmaprhm.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
30	9, 3	subrg1 20542	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) = (1r‘𝑈))
31	8, 30	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (1r‘𝑈))
32	3	subrg1cl 20540	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
33	8, 32	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
34	31, 33	eqeltrrd 2835	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑈) ∈ 𝑆)
35		evlsmaprhm.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
36	28, 6, 9, 29, 1, 22, 7, 13, 8, 34, 35	evlsscaval 42587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑈)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑈)))‘𝐴) = (1r‘𝑈)))
37	36	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑈)))‘𝐴) = (1r‘𝑈))
38	37, 31	eqtr4d 2773	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑈)))‘𝐴) = (1r‘𝑅))
39	21, 27, 38	3eqtrd 2774	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(1r‘𝑃)) = (1r‘𝑅))
40	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝐼 ∈ 𝑉)
41	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ CRing)
42	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
43	35	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
44		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑞 ∈ 𝐵)
45		eqidd 2736	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑄‘𝑞)‘𝐴) = ((𝑄‘𝑞)‘𝐴))
46	44, 45	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘𝑞)‘𝐴) = ((𝑄‘𝑞)‘𝐴)))
47		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑟 ∈ 𝐵)
48		eqidd 2736	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑄‘𝑟)‘𝐴) = ((𝑄‘𝑟)‘𝐴))
49	47, 48	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝑟 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘𝑟)‘𝐴) = ((𝑄‘𝑟)‘𝐴)))
50	28, 6, 9, 29, 1, 40, 41, 42, 43, 46, 49, 4, 5	evlsmulval 42592	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑞(.r‘𝑃)𝑟) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟))‘𝐴) = (((𝑄‘𝑞)‘𝐴)(.r‘𝑅)((𝑄‘𝑟)‘𝐴))))
51	50	simprd 495	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑄‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟))‘𝐴) = (((𝑄‘𝑞)‘𝐴)(.r‘𝑅)((𝑄‘𝑟)‘𝐴)))
52		fveq2 6876	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (𝑞(.r‘𝑃)𝑟) → (𝑄‘𝑝) = (𝑄‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟)))
53	52	fveq1d 6878	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (𝑞(.r‘𝑃)𝑟) → ((𝑄‘𝑝)‘𝐴) = ((𝑄‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟))‘𝐴))
54	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑃 ∈ Ring)
55	1, 4, 54, 44, 47	ringcld 20220	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝑞(.r‘𝑃)𝑟) ∈ 𝐵)
56		fvexd 6891	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑄‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟))‘𝐴) ∈ V)
57	15, 53, 55, 56	fvmptd3 7009	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟)) = ((𝑄‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟))‘𝐴))
58		fveq2 6876	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑄‘𝑝) = (𝑄‘𝑞))
59	58	fveq1d 6878	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → ((𝑄‘𝑝)‘𝐴) = ((𝑄‘𝑞)‘𝐴))
60		fvexd 6891	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑄‘𝑞)‘𝐴) ∈ V)
61	15, 59, 44, 60	fvmptd3 7009	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑞) = ((𝑄‘𝑞)‘𝐴))
62		fveq2 6876	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑟 → (𝑄‘𝑝) = (𝑄‘𝑟))
63	62	fveq1d 6878	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑟 → ((𝑄‘𝑝)‘𝐴) = ((𝑄‘𝑟)‘𝐴))
64		fvexd 6891	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑄‘𝑟)‘𝐴) ∈ V)
65	15, 63, 47, 64	fvmptd3 7009	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑟) = ((𝑄‘𝑟)‘𝐴))
66	61, 65	oveq12d 7423	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑞)(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑟)) = (((𝑄‘𝑞)‘𝐴)(.r‘𝑅)((𝑄‘𝑟)‘𝐴)))
67	51, 57, 66	3eqtr4d 2780	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟)) = ((𝐹‘𝑞)(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑟)))
68		eqid 2735	. 2 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
69		eqid 2735	. 2 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
70	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑉)
71	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ CRing)
72	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
73		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑝 ∈ 𝐵)
74	35	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
75	28, 6, 9, 1, 29, 70, 71, 72, 73, 74	evlscl 42581	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝑄‘𝑝)‘𝐴) ∈ 𝐾)
76	75, 15	fmptd 7104	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐾)
77	28, 6, 9, 29, 1, 40, 41, 42, 43, 46, 49, 68, 69	evlsaddval 42591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑞(+g‘𝑃)𝑟) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟))‘𝐴) = (((𝑄‘𝑞)‘𝐴)(+g‘𝑅)((𝑄‘𝑟)‘𝐴))))
78	77	simprd 495	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑄‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟))‘𝐴) = (((𝑄‘𝑞)‘𝐴)(+g‘𝑅)((𝑄‘𝑟)‘𝐴)))
79		fveq2 6876	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (𝑞(+g‘𝑃)𝑟) → (𝑄‘𝑝) = (𝑄‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟)))
80	79	fveq1d 6878	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (𝑞(+g‘𝑃)𝑟) → ((𝑄‘𝑝)‘𝐴) = ((𝑄‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟))‘𝐴))
81	12	ringgrpd 20202	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
82	81	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑃 ∈ Grp)
83	1, 68, 82, 44, 47	grpcld 18930	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝑞(+g‘𝑃)𝑟) ∈ 𝐵)
84		fvexd 6891	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑄‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟))‘𝐴) ∈ V)
85	15, 80, 83, 84	fvmptd3 7009	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟)) = ((𝑄‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟))‘𝐴))
86	61, 65	oveq12d 7423	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑞)(+g‘𝑅)(𝐹‘𝑟)) = (((𝑄‘𝑞)‘𝐴)(+g‘𝑅)((𝑄‘𝑟)‘𝐴)))
87	78, 85, 86	3eqtr4d 2780	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟)) = ((𝐹‘𝑞)(+g‘𝑅)(𝐹‘𝑟)))
88	1, 2, 3, 4, 5, 12, 14, 39, 67, 29, 68, 69, 76, 87	isrhmd 20448	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459   ↦ cmpt 5201  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   ↑_m cmap 8840  Basecbs 17228   ↾_s cress 17251  +_gcplusg 17271  ._rcmulr 17272  Grpcgrp 18916  1_rcur 20141  Ringcrg 20193  CRingccrg 20194   RingHom crh 20429  SubRingcsubrg 20529  algSccascl 21812   mPoly cmpl 21866   evalSub ces 22030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-ofr 7672  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-sup 9454  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-seq 14020  df-hash 14349  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-hom 17295  df-cco 17296  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-prds 17461  df-pws 17463  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-acs 17601  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-mhm 18761  df-submnd 18762  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-mulg 19051  df-subg 19106  df-ghm 19196  df-cntz 19300  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-srg 20147  df-ring 20195  df-cring 20196  df-rhm 20432  df-subrng 20506  df-subrg 20530  df-lmod 20819  df-lss 20889  df-lsp 20929  df-assa 21813  df-asp 21814  df-ascl 21815  df-psr 21869  df-mvr 21870  df-mpl 21871  df-evls 22032

This theorem is referenced by: (None)