Theorem evlsmaprhm 42883

Description: The function 𝐹 mapping polynomials 𝑝 to their subring evaluation at a given point 𝑋 is a ring homomorphism. Compare evls1maprhm 22324. (Contributed by SN, 12-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsmaprhm.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑅)‘𝑆)
evlsmaprhm.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlsmaprhm.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 ↾s 𝑆)
evlsmaprhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlsmaprhm.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
evlsmaprhm.f	⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑄‘𝑝)‘𝐴))
evlsmaprhm.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsmaprhm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evlsmaprhm.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
evlsmaprhm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))

Assertion

Ref	Expression
evlsmaprhm	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑅))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   𝜑,𝑝   𝑃,𝑝   𝑄,𝑝   𝐴,𝑝

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑝)   𝑆(𝑝)   𝑈(𝑝)   𝐹(𝑝)   𝐼(𝑝)   𝑉(𝑝)

Proof of Theorem evlsmaprhm

Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlsmaprhm.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
2		eqid 2737	. 2 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
3		eqid 2737	. 2 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
4		eqid 2737	. 2 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
5		eqid 2737	. 2 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
6		evlsmaprhm.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
7		evlsmaprhm.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
8		evlsmaprhm.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
9		evlsmaprhm.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (𝑅 ↾s 𝑆)
10	9	subrgring 20511	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑈 ∈ Ring)
11	8, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
12	6, 7, 11	mplringd 21982	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
13		evlsmaprhm.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
14	13	crngringd 20185	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
15		evlsmaprhm.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑄‘𝑝)‘𝐴))
16		fveq2 6835	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (1r‘𝑃) → (𝑄‘𝑝) = (𝑄‘(1r‘𝑃)))
17	16	fveq1d 6837	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (1r‘𝑃) → ((𝑄‘𝑝)‘𝐴) = ((𝑄‘(1r‘𝑃))‘𝐴))
18	1, 2	ringidcl 20204	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (1r‘𝑃) ∈ 𝐵)
19	12, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑃) ∈ 𝐵)
20		fvexd 6850	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(1r‘𝑃))‘𝐴) ∈ V)
21	15, 17, 19, 20	fvmptd3 6966	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(1r‘𝑃)) = ((𝑄‘(1r‘𝑃))‘𝐴))
22		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
23		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑈) = (1r‘𝑈)
24	6, 22, 23, 2, 7, 11	mplascl1 21985	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑈)) = (1r‘𝑃))
25	24	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑃) = ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑈)))
26	25	fveq2d 6839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(1r‘𝑃)) = (𝑄‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑈))))
27	26	fveq1d 6837	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(1r‘𝑃))‘𝐴) = ((𝑄‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑈)))‘𝐴))
28		evlsmaprhm.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑅)‘𝑆)
29		evlsmaprhm.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
30	9, 3	subrg1 20519	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) = (1r‘𝑈))
31	8, 30	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (1r‘𝑈))
32	3	subrg1cl 20517	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
33	8, 32	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
34	31, 33	eqeltrrd 2838	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑈) ∈ 𝑆)
35		evlsmaprhm.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
36	28, 6, 9, 29, 1, 22, 7, 13, 8, 34, 35	evlsscaval 42877	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑈)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑈)))‘𝐴) = (1r‘𝑈)))
37	36	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑈)))‘𝐴) = (1r‘𝑈))
38	37, 31	eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑈)))‘𝐴) = (1r‘𝑅))
39	21, 27, 38	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(1r‘𝑃)) = (1r‘𝑅))
40	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝐼 ∈ 𝑉)
41	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ CRing)
42	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
43	35	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
44		simprl 771	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑞 ∈ 𝐵)
45		eqidd 2738	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑄‘𝑞)‘𝐴) = ((𝑄‘𝑞)‘𝐴))
46	44, 45	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘𝑞)‘𝐴) = ((𝑄‘𝑞)‘𝐴)))
47		simprr 773	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑟 ∈ 𝐵)
48		eqidd 2738	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑄‘𝑟)‘𝐴) = ((𝑄‘𝑟)‘𝐴))
49	47, 48	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝑟 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘𝑟)‘𝐴) = ((𝑄‘𝑟)‘𝐴)))
50	28, 6, 9, 29, 1, 40, 41, 42, 43, 46, 49, 4, 5	evlsmulval 42882	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑞(.r‘𝑃)𝑟) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟))‘𝐴) = (((𝑄‘𝑞)‘𝐴)(.r‘𝑅)((𝑄‘𝑟)‘𝐴))))
51	50	simprd 495	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑄‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟))‘𝐴) = (((𝑄‘𝑞)‘𝐴)(.r‘𝑅)((𝑄‘𝑟)‘𝐴)))
52		fveq2 6835	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (𝑞(.r‘𝑃)𝑟) → (𝑄‘𝑝) = (𝑄‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟)))
53	52	fveq1d 6837	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (𝑞(.r‘𝑃)𝑟) → ((𝑄‘𝑝)‘𝐴) = ((𝑄‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟))‘𝐴))
54	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑃 ∈ Ring)
55	1, 4, 54, 44, 47	ringcld 20199	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝑞(.r‘𝑃)𝑟) ∈ 𝐵)
56		fvexd 6850	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑄‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟))‘𝐴) ∈ V)
57	15, 53, 55, 56	fvmptd3 6966	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟)) = ((𝑄‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟))‘𝐴))
58		fveq2 6835	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑄‘𝑝) = (𝑄‘𝑞))
59	58	fveq1d 6837	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → ((𝑄‘𝑝)‘𝐴) = ((𝑄‘𝑞)‘𝐴))
60		fvexd 6850	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑄‘𝑞)‘𝐴) ∈ V)
61	15, 59, 44, 60	fvmptd3 6966	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑞) = ((𝑄‘𝑞)‘𝐴))
62		fveq2 6835	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑟 → (𝑄‘𝑝) = (𝑄‘𝑟))
63	62	fveq1d 6837	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑟 → ((𝑄‘𝑝)‘𝐴) = ((𝑄‘𝑟)‘𝐴))
64		fvexd 6850	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑄‘𝑟)‘𝐴) ∈ V)
65	15, 63, 47, 64	fvmptd3 6966	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑟) = ((𝑄‘𝑟)‘𝐴))
66	61, 65	oveq12d 7378	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑞)(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑟)) = (((𝑄‘𝑞)‘𝐴)(.r‘𝑅)((𝑄‘𝑟)‘𝐴)))
67	51, 57, 66	3eqtr4d 2782	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟)) = ((𝐹‘𝑞)(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑟)))
68		eqid 2737	. 2 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
69		eqid 2737	. 2 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
70	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑉)
71	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ CRing)
72	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
73		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑝 ∈ 𝐵)
74	35	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
75	28, 6, 9, 1, 29, 70, 71, 72, 73, 74	evlscl 42876	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝑄‘𝑝)‘𝐴) ∈ 𝐾)
76	75, 15	fmptd 7061	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐾)
77	28, 6, 9, 29, 1, 40, 41, 42, 43, 46, 49, 68, 69	evlsaddval 42881	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑞(+g‘𝑃)𝑟) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟))‘𝐴) = (((𝑄‘𝑞)‘𝐴)(+g‘𝑅)((𝑄‘𝑟)‘𝐴))))
78	77	simprd 495	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑄‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟))‘𝐴) = (((𝑄‘𝑞)‘𝐴)(+g‘𝑅)((𝑄‘𝑟)‘𝐴)))
79		fveq2 6835	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (𝑞(+g‘𝑃)𝑟) → (𝑄‘𝑝) = (𝑄‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟)))
80	79	fveq1d 6837	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (𝑞(+g‘𝑃)𝑟) → ((𝑄‘𝑝)‘𝐴) = ((𝑄‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟))‘𝐴))
81	12	ringgrpd 20181	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
82	81	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑃 ∈ Grp)
83	1, 68, 82, 44, 47	grpcld 18881	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝑞(+g‘𝑃)𝑟) ∈ 𝐵)
84		fvexd 6850	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑄‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟))‘𝐴) ∈ V)
85	15, 80, 83, 84	fvmptd3 6966	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟)) = ((𝑄‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟))‘𝐴))
86	61, 65	oveq12d 7378	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑞)(+g‘𝑅)(𝐹‘𝑟)) = (((𝑄‘𝑞)‘𝐴)(+g‘𝑅)((𝑄‘𝑟)‘𝐴)))
87	78, 85, 86	3eqtr4d 2782	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟)) = ((𝐹‘𝑞)(+g‘𝑅)(𝐹‘𝑟)))
88	1, 2, 3, 4, 5, 12, 14, 39, 67, 29, 68, 69, 76, 87	isrhmd 20427	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3441   ↦ cmpt 5180  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360   ↑_m cmap 8767  Basecbs 17140   ↾_s cress 17161  +_gcplusg 17181  ._rcmulr 17182  Grpcgrp 18867  1_rcur 20120  Ringcrg 20172  CRingccrg 20173   RingHom crh 20409  SubRingcsubrg 20506  algSccascl 21811   mPoly cmpl 21866   evalSub ces 22031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-ofr 7625  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-seq 13929  df-hash 14258  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-hom 17205  df-cco 17206  df-0g 17365  df-gsum 17366  df-prds 17371  df-pws 17373  df-mre 17509  df-mrc 17510  df-acs 17512  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-mhm 18712  df-submnd 18713  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-sbg 18872  df-mulg 19002  df-subg 19057  df-ghm 19146  df-cntz 19250  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-srg 20126  df-ring 20174  df-cring 20175  df-rhm 20412  df-subrng 20483  df-subrg 20507  df-lmod 20817  df-lss 20887  df-lsp 20927  df-assa 21812  df-asp 21813  df-ascl 21814  df-psr 21869  df-mvr 21870  df-mpl 21871  df-evls 22033

This theorem is referenced by: (None)