Theorem evlsmaprhm 22351

Description: The function 𝐹 mapping polynomials 𝑝 to their subring evaluation at a given point 𝑋 is a ring homomorphism. Compare evls1maprhm 22605. (Contributed by SN, 12-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsmaprhm.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑅)‘𝑆)
evlsmaprhm.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlsmaprhm.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 ↾s 𝑆)
evlsmaprhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlsmaprhm.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
evlsmaprhm.f	⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑄‘𝑝)‘𝐴))
evlsmaprhm.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsmaprhm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evlsmaprhm.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
evlsmaprhm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))

Assertion

Ref	Expression
evlsmaprhm	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑅))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   𝜑,𝑝   𝑃,𝑝   𝑄,𝑝   𝐴,𝑝

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑝)   𝑆(𝑝)   𝑈(𝑝)   𝐹(𝑝)   𝐼(𝑝)   𝑉(𝑝)

Proof of Theorem evlsmaprhm

Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlsmaprhm.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
2		eqid 2762	. 2 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
3		eqid 2762	. 2 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
4		eqid 2762	. 2 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
5		eqid 2762	. 2 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
6		evlsmaprhm.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
7		evlsmaprhm.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
8		evlsmaprhm.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
9		evlsmaprhm.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (𝑅 ↾s 𝑆)
10	9	subrgring 20740	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑈 ∈ Ring)
11	8, 10	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
12	6, 7, 11	mplringd 22241	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
13		evlsmaprhm.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
14	13	crngringd 20389	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
15		evlsmaprhm.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑄‘𝑝)‘𝐴))
16		fveq2 6882	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (1r‘𝑃) → (𝑄‘𝑝) = (𝑄‘(1r‘𝑃)))
17	16	fveq1d 6884	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (1r‘𝑃) → ((𝑄‘𝑝)‘𝐴) = ((𝑄‘(1r‘𝑃))‘𝐴))
18	1, 2	ringidcl 20410	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (1r‘𝑃) ∈ 𝐵)
19	12, 18	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑃) ∈ 𝐵)
20		fvexd 6897	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(1r‘𝑃))‘𝐴) ∈ V)
21	15, 17, 19, 20	fvmptd3 7014	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(1r‘𝑃)) = ((𝑄‘(1r‘𝑃))‘𝐴))
22		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
23		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑈) = (1r‘𝑈)
24	6, 22, 23, 2, 7, 11	mplascl1 22245	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑈)) = (1r‘𝑃))
25	24	eqcomd 2768	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑃) = ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑈)))
26	25	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(1r‘𝑃)) = (𝑄‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑈))))
27	26	fveq1d 6884	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(1r‘𝑃))‘𝐴) = ((𝑄‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑈)))‘𝐴))
28		evlsmaprhm.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑅)‘𝑆)
29		evlsmaprhm.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
30	9, 3	subrg1 20748	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) = (1r‘𝑈))
31	8, 30	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (1r‘𝑈))
32	3	subrg1cl 20746	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
33	8, 32	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
34	31, 33	eqeltrrd 2863	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑈) ∈ 𝑆)
35		evlsmaprhm.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
36	28, 6, 9, 29, 1, 22, 7, 13, 8, 34, 35	evlsscaval 22346	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑈)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑈)))‘𝐴) = (1r‘𝑈)))
37	36	simprd 501	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑈)))‘𝐴) = (1r‘𝑈))
38	37, 31	eqtr4d 2800	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑈)))‘𝐴) = (1r‘𝑅))
39	21, 27, 38	3eqtrd 2801	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(1r‘𝑃)) = (1r‘𝑅))
40	7	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝐼 ∈ 𝑉)
41	13	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ CRing)
42	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
43	35	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
44		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑞 ∈ 𝐵)
45		eqidd 2763	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑄‘𝑞)‘𝐴) = ((𝑄‘𝑞)‘𝐴))
46	44, 45	jca 521	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘𝑞)‘𝐴) = ((𝑄‘𝑞)‘𝐴)))
47		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑟 ∈ 𝐵)
48		eqidd 2763	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑄‘𝑟)‘𝐴) = ((𝑄‘𝑟)‘𝐴))
49	47, 48	jca 521	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝑟 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘𝑟)‘𝐴) = ((𝑄‘𝑟)‘𝐴)))
50	28, 6, 9, 29, 1, 40, 41, 42, 43, 46, 49, 4, 5	evlsmulval 22350	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑞(.r‘𝑃)𝑟) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟))‘𝐴) = (((𝑄‘𝑞)‘𝐴)(.r‘𝑅)((𝑄‘𝑟)‘𝐴))))
51	50	simprd 501	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑄‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟))‘𝐴) = (((𝑄‘𝑞)‘𝐴)(.r‘𝑅)((𝑄‘𝑟)‘𝐴)))
52		fveq2 6882	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (𝑞(.r‘𝑃)𝑟) → (𝑄‘𝑝) = (𝑄‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟)))
53	52	fveq1d 6884	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (𝑞(.r‘𝑃)𝑟) → ((𝑄‘𝑝)‘𝐴) = ((𝑄‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟))‘𝐴))
54	12	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑃 ∈ Ring)
55	1, 4, 54, 44, 47	ringcld 20400	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝑞(.r‘𝑃)𝑟) ∈ 𝐵)
56		fvexd 6897	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑄‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟))‘𝐴) ∈ V)
57	15, 53, 55, 56	fvmptd3 7014	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟)) = ((𝑄‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟))‘𝐴))
58		fveq2 6882	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑄‘𝑝) = (𝑄‘𝑞))
59	58	fveq1d 6884	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → ((𝑄‘𝑝)‘𝐴) = ((𝑄‘𝑞)‘𝐴))
60		fvexd 6897	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑄‘𝑞)‘𝐴) ∈ V)
61	15, 59, 44, 60	fvmptd3 7014	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑞) = ((𝑄‘𝑞)‘𝐴))
62		fveq2 6882	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑟 → (𝑄‘𝑝) = (𝑄‘𝑟))
63	62	fveq1d 6884	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑟 → ((𝑄‘𝑝)‘𝐴) = ((𝑄‘𝑟)‘𝐴))
64		fvexd 6897	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑄‘𝑟)‘𝐴) ∈ V)
65	15, 63, 47, 64	fvmptd3 7014	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑟) = ((𝑄‘𝑟)‘𝐴))
66	61, 65	oveq12d 7434	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑞)(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑟)) = (((𝑄‘𝑞)‘𝐴)(.r‘𝑅)((𝑄‘𝑟)‘𝐴)))
67	51, 57, 66	3eqtr4d 2807	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟)) = ((𝐹‘𝑞)(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑟)))
68		eqid 2762	. 2 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
69		eqid 2762	. 2 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
70	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑉)
71	13	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ CRing)
72	8	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
73		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑝 ∈ 𝐵)
74	35	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
75	28, 6, 9, 1, 29, 70, 71, 72, 73, 74	evlscl 22345	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝑄‘𝑝)‘𝐴) ∈ 𝐾)
76	75, 15	fmptd 7110	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐾)
77	28, 6, 9, 29, 1, 40, 41, 42, 43, 46, 49, 68, 69	evlsaddval 22349	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑞(+g‘𝑃)𝑟) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟))‘𝐴) = (((𝑄‘𝑞)‘𝐴)(+g‘𝑅)((𝑄‘𝑟)‘𝐴))))
78	77	simprd 501	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑄‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟))‘𝐴) = (((𝑄‘𝑞)‘𝐴)(+g‘𝑅)((𝑄‘𝑟)‘𝐴)))
79		fveq2 6882	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (𝑞(+g‘𝑃)𝑟) → (𝑄‘𝑝) = (𝑄‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟)))
80	79	fveq1d 6884	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (𝑞(+g‘𝑃)𝑟) → ((𝑄‘𝑝)‘𝐴) = ((𝑄‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟))‘𝐴))
81	12	ringgrpd 20385	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
82	81	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑃 ∈ Grp)
83	1, 68, 82, 44, 47	grpcld 19075	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝑞(+g‘𝑃)𝑟) ∈ 𝐵)
84		fvexd 6897	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑄‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟))‘𝐴) ∈ V)
85	15, 80, 83, 84	fvmptd3 7014	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟)) = ((𝑄‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟))‘𝐴))
86	61, 65	oveq12d 7434	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑞)(+g‘𝑅)(𝐹‘𝑟)) = (((𝑄‘𝑞)‘𝐴)(+g‘𝑅)((𝑄‘𝑟)‘𝐴)))
87	78, 85, 86	3eqtr4d 2807	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟)) = ((𝐹‘𝑞)(+g‘𝑅)(𝐹‘𝑟)))
88	1, 2, 3, 4, 5, 12, 14, 39, 67, 29, 68, 69, 76, 87	isrhmd 20637	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ↑_m cmap 8829  Basecbs 17305   ↾_s cress 17326  +_gcplusg 17346  ._rcmulr 17347  Grpcgrp 19061  1_rcur 20324  Ringcrg 20376  CRingccrg 20377   RingHom crh 20614  SubRingcsubrg 20735  algSccascl 22071   mPoly cmpl 22125   evalSub ces 22292

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-ofr 7682  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-seq 14068  df-hash 14397  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-hom 17370  df-cco 17371  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-prds 17536  df-pws 17538  df-mre 17674  df-mrc 17675  df-acs 17677  df-mgm 18734  df-sgrp 18825  df-mnd 18841  df-mhm 18895  df-submnd 18896  df-grp 19064  df-minusg 19065  df-sbg 19066  df-mulg 19195  df-subg 19250  df-ghm 19345  df-cntz 19448  df-cmn 19913  df-abl 19914  df-mgp 20278  df-rng 20292  df-ur 20325  df-srg 20330  df-ring 20378  df-cring 20379  df-rhm 20617  df-subrng 20712  df-subrg 20736  df-lmod 21050  df-lss 21120  df-lsp 21160  df-assa 22072  df-asp 22073  df-ascl 22074  df-psr 22128  df-mvr 22129  df-mpl 22130  df-evls 22294

This theorem is used by: (None)