Theorem evlsmaprhm 22402

Description: The function 𝐹 mapping polynomials 𝑝 to their subring evaluation at a given point 𝑋 is a ring homomorphism. Compare evls1maprhm 22656. (Contributed by SN, 12-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsmaprhm.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑅)‘𝑆)
evlsmaprhm.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlsmaprhm.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 ↾s 𝑆)
evlsmaprhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlsmaprhm.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
evlsmaprhm.f	⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑄‘𝑝)‘𝐴))
evlsmaprhm.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsmaprhm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evlsmaprhm.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
evlsmaprhm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))

Assertion

Ref	Expression
evlsmaprhm	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑅))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   𝜑,𝑝   𝑃,𝑝   𝑄,𝑝   𝐴,𝑝

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑝)   𝑆(𝑝)   𝑈(𝑝)   𝐹(𝑝)   𝐼(𝑝)   𝑉(𝑝)

Proof of Theorem evlsmaprhm

Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlsmaprhm.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
2		eqid 2760	. 2 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
3		eqid 2760	. 2 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
4		eqid 2760	. 2 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
5		eqid 2760	. 2 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
6		evlsmaprhm.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
7		evlsmaprhm.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
8		evlsmaprhm.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
9		evlsmaprhm.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (𝑅 ↾s 𝑆)
10	9	subrgring 20788	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑈 ∈ Ring)
11	8, 10	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
12	6, 7, 11	mplringd 22292	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
13		evlsmaprhm.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
14	13	crngringd 20435	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
15		evlsmaprhm.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑄‘𝑝)‘𝐴))
16		fveq2 6873	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (1r‘𝑃) → (𝑄‘𝑝) = (𝑄‘(1r‘𝑃)))
17	16	fveq1d 6875	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (1r‘𝑃) → ((𝑄‘𝑝)‘𝐴) = ((𝑄‘(1r‘𝑃))‘𝐴))
18	1, 2	ringidcl 20456	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (1r‘𝑃) ∈ 𝐵)
19	12, 18	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑃) ∈ 𝐵)
20		fvexd 6888	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(1r‘𝑃))‘𝐴) ∈ V)
21	15, 17, 19, 20	fvmptd3 7005	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(1r‘𝑃)) = ((𝑄‘(1r‘𝑃))‘𝐴))
22		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
23		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑈) = (1r‘𝑈)
24	6, 22, 23, 2, 7, 11	mplascl1 22296	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑈)) = (1r‘𝑃))
25	24	eqcomd 2766	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑃) = ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑈)))
26	25	fveq2d 6877	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(1r‘𝑃)) = (𝑄‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑈))))
27	26	fveq1d 6875	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(1r‘𝑃))‘𝐴) = ((𝑄‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑈)))‘𝐴))
28		evlsmaprhm.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑅)‘𝑆)
29		evlsmaprhm.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
30	9, 3	subrg1 20796	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) = (1r‘𝑈))
31	8, 30	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (1r‘𝑈))
32	3	subrg1cl 20794	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
33	8, 32	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
34	31, 33	eqeltrrd 2861	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑈) ∈ 𝑆)
35		evlsmaprhm.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
36	28, 6, 9, 29, 1, 22, 7, 13, 8, 34, 35	evlsscaval 22397	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑈)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑈)))‘𝐴) = (1r‘𝑈)))
37	36	simprd 501	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑈)))‘𝐴) = (1r‘𝑈))
38	37, 31	eqtr4d 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑈)))‘𝐴) = (1r‘𝑅))
39	21, 27, 38	3eqtrd 2799	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(1r‘𝑃)) = (1r‘𝑅))
40	7	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝐼 ∈ 𝑉)
41	13	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ CRing)
42	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
43	35	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
44		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑞 ∈ 𝐵)
45		eqidd 2761	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑄‘𝑞)‘𝐴) = ((𝑄‘𝑞)‘𝐴))
46	44, 45	jca 521	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘𝑞)‘𝐴) = ((𝑄‘𝑞)‘𝐴)))
47		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑟 ∈ 𝐵)
48		eqidd 2761	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑄‘𝑟)‘𝐴) = ((𝑄‘𝑟)‘𝐴))
49	47, 48	jca 521	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝑟 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘𝑟)‘𝐴) = ((𝑄‘𝑟)‘𝐴)))
50	28, 6, 9, 29, 1, 40, 41, 42, 43, 46, 49, 4, 5	evlsmulval 22401	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑞(.r‘𝑃)𝑟) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟))‘𝐴) = (((𝑄‘𝑞)‘𝐴)(.r‘𝑅)((𝑄‘𝑟)‘𝐴))))
51	50	simprd 501	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑄‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟))‘𝐴) = (((𝑄‘𝑞)‘𝐴)(.r‘𝑅)((𝑄‘𝑟)‘𝐴)))
52		fveq2 6873	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (𝑞(.r‘𝑃)𝑟) → (𝑄‘𝑝) = (𝑄‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟)))
53	52	fveq1d 6875	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (𝑞(.r‘𝑃)𝑟) → ((𝑄‘𝑝)‘𝐴) = ((𝑄‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟))‘𝐴))
54	12	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑃 ∈ Ring)
55	1, 4, 54, 44, 47	ringcld 20446	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝑞(.r‘𝑃)𝑟) ∈ 𝐵)
56		fvexd 6888	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑄‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟))‘𝐴) ∈ V)
57	15, 53, 55, 56	fvmptd3 7005	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟)) = ((𝑄‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟))‘𝐴))
58		fveq2 6873	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑄‘𝑝) = (𝑄‘𝑞))
59	58	fveq1d 6875	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → ((𝑄‘𝑝)‘𝐴) = ((𝑄‘𝑞)‘𝐴))
60		fvexd 6888	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑄‘𝑞)‘𝐴) ∈ V)
61	15, 59, 44, 60	fvmptd3 7005	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑞) = ((𝑄‘𝑞)‘𝐴))
62		fveq2 6873	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑟 → (𝑄‘𝑝) = (𝑄‘𝑟))
63	62	fveq1d 6875	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑟 → ((𝑄‘𝑝)‘𝐴) = ((𝑄‘𝑟)‘𝐴))
64		fvexd 6888	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑄‘𝑟)‘𝐴) ∈ V)
65	15, 63, 47, 64	fvmptd3 7005	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑟) = ((𝑄‘𝑟)‘𝐴))
66	61, 65	oveq12d 7426	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑞)(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑟)) = (((𝑄‘𝑞)‘𝐴)(.r‘𝑅)((𝑄‘𝑟)‘𝐴)))
67	51, 57, 66	3eqtr4d 2805	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟)) = ((𝐹‘𝑞)(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑟)))
68		eqid 2760	. 2 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
69		eqid 2760	. 2 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
70	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑉)
71	13	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ CRing)
72	8	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
73		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑝 ∈ 𝐵)
74	35	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
75	28, 6, 9, 1, 29, 70, 71, 72, 73, 74	evlscl 22396	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝑄‘𝑝)‘𝐴) ∈ 𝐾)
76	75, 15	fmptd 7102	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐾)
77	28, 6, 9, 29, 1, 40, 41, 42, 43, 46, 49, 68, 69	evlsaddval 22400	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑞(+g‘𝑃)𝑟) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟))‘𝐴) = (((𝑄‘𝑞)‘𝐴)(+g‘𝑅)((𝑄‘𝑟)‘𝐴))))
78	77	simprd 501	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑄‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟))‘𝐴) = (((𝑄‘𝑞)‘𝐴)(+g‘𝑅)((𝑄‘𝑟)‘𝐴)))
79		fveq2 6873	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (𝑞(+g‘𝑃)𝑟) → (𝑄‘𝑝) = (𝑄‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟)))
80	79	fveq1d 6875	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (𝑞(+g‘𝑃)𝑟) → ((𝑄‘𝑝)‘𝐴) = ((𝑄‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟))‘𝐴))
81	12	ringgrpd 20431	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
82	81	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑃 ∈ Grp)
83	1, 68, 82, 44, 47	grpcld 19120	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝑞(+g‘𝑃)𝑟) ∈ 𝐵)
84		fvexd 6888	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑄‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟))‘𝐴) ∈ V)
85	15, 80, 83, 84	fvmptd3 7005	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟)) = ((𝑄‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟))‘𝐴))
86	61, 65	oveq12d 7426	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑞)(+g‘𝑅)(𝐹‘𝑟)) = (((𝑄‘𝑞)‘𝐴)(+g‘𝑅)((𝑄‘𝑟)‘𝐴)))
87	78, 85, 86	3eqtr4d 2805	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟)) = ((𝐹‘𝑞)(+g‘𝑅)(𝐹‘𝑟)))
88	1, 2, 3, 4, 5, 12, 14, 39, 67, 29, 68, 69, 76, 87	isrhmd 20684	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408   ↑_m cmap 8825  Basecbs 17349   ↾_s cress 17370  +_gcplusg 17390  ._rcmulr 17391  Grpcgrp 19106  1_rcur 20369  Ringcrg 20421  CRingccrg 20422   RingHom crh 20661  SubRingcsubrg 20783  algSccascl 22122   mPoly cmpl 22176   evalSub ces 22343

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8904  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9992  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-nn 12306  df-2 12375  df-3 12376  df-4 12377  df-5 12378  df-6 12379  df-7 12380  df-8 12381  df-9 12382  df-n0 12577  df-z 12664  df-dec 12785  df-uz 12936  df-fz 13610  df-fzo 13758  df-seq 14114  df-hash 14443  df-struct 17287  df-sets 17304  df-slot 17322  df-ndx 17334  df-base 17350  df-ress 17371  df-plusg 17403  df-mulr 17404  df-sca 17406  df-vsca 17407  df-ip 17408  df-tset 17409  df-ple 17410  df-ds 17412  df-hom 17414  df-cco 17415  df-0g 17574  df-gsum 17575  df-prds 17580  df-pws 17582  df-mre 17718  df-mrc 17719  df-acs 17721  df-mgm 18778  df-sgrp 18870  df-mnd 18886  df-mhm 18940  df-submnd 18941  df-grp 19109  df-minusg 19110  df-sbg 19111  df-mulg 19240  df-subg 19295  df-ghm 19390  df-cntz 19493  df-cmn 19958  df-abl 19959  df-mgp 20323  df-rng 20337  df-ur 20370  df-srg 20375  df-ring 20423  df-cring 20424  df-rhm 20664  df-subrng 20760  df-subrg 20784  df-lmod 21099  df-lss 21169  df-lsp 21209  df-assa 22123  df-asp 22124  df-ascl 22125  df-psr 22179  df-mvr 22180  df-mpl 22181  df-evls 22345

This theorem is used by: (None)