Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evlsmaprhm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem evlsmaprhm 41139
Description: The function 𝐹 mapping polynomials 𝑝 to their subring evaluation at a given point 𝑋 is a ring homomorphism. Compare evls1maprhm 32747. (Contributed by SN, 12-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
evlsmaprhm.q 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑅)β€˜π‘†)
evlsmaprhm.p 𝑃 = (𝐼 mPoly π‘ˆ)
evlsmaprhm.u π‘ˆ = (𝑅 β†Ύs 𝑆)
evlsmaprhm.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
evlsmaprhm.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
evlsmaprhm.f 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝐡 ↦ ((π‘„β€˜π‘)β€˜π΄))
evlsmaprhm.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsmaprhm.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
evlsmaprhm.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
evlsmaprhm.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
Assertion
Ref Expression
evlsmaprhm (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑅))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑝   𝐾,𝑝   πœ‘,𝑝   𝑃,𝑝   𝑄,𝑝   𝐴,𝑝
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑝)   𝑆(𝑝)   π‘ˆ(𝑝)   𝐹(𝑝)   𝐼(𝑝)   𝑉(𝑝)
Proof of Theorem evlsmaprhm
Dummy variables π‘ž π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlsmaprhm.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
2 eqid 2732 . 2 (1rβ€˜π‘ƒ) = (1rβ€˜π‘ƒ)
3 eqid 2732 . 2 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
4 eqid 2732 . 2 (.rβ€˜π‘ƒ) = (.rβ€˜π‘ƒ)
5 eqid 2732 . 2 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
6 evlsmaprhm.p . . 3 𝑃 = (𝐼 mPoly π‘ˆ)
7 evlsmaprhm.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
8 evlsmaprhm.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
9 evlsmaprhm.u . . . . 5 π‘ˆ = (𝑅 β†Ύs 𝑆)
109subrgring 20358 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ π‘ˆ ∈ Ring)
118, 10syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ Ring)
126, 7, 11mplringd 41114 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Ring)
13 evlsmaprhm.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
1413crngringd 20062 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
15 evlsmaprhm.f . . . 4 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝐡 ↦ ((π‘„β€˜π‘)β€˜π΄))
16 fveq2 6888 . . . . 5 (𝑝 = (1rβ€˜π‘ƒ) β†’ (π‘„β€˜π‘) = (π‘„β€˜(1rβ€˜π‘ƒ)))
1716fveq1d 6890 . . . 4 (𝑝 = (1rβ€˜π‘ƒ) β†’ ((π‘„β€˜π‘)β€˜π΄) = ((π‘„β€˜(1rβ€˜π‘ƒ))β€˜π΄))
181, 2ringidcl 20076 . . . . 5 (𝑃 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡)
1912, 18syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡)
20 fvexd 6903 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜(1rβ€˜π‘ƒ))β€˜π΄) ∈ V)
2115, 17, 19, 20fvmptd3 7018 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(1rβ€˜π‘ƒ)) = ((π‘„β€˜(1rβ€˜π‘ƒ))β€˜π΄))
22 eqid 2732 . . . . . . 7 (algScβ€˜π‘ƒ) = (algScβ€˜π‘ƒ)
23 eqid 2732 . . . . . . 7 (1rβ€˜π‘ˆ) = (1rβ€˜π‘ˆ)
246, 22, 23, 2, 7, 11mplascl1 41124 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜π‘ˆ)) = (1rβ€˜π‘ƒ))
2524eqcomd 2738 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘ƒ) = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜π‘ˆ)))
2625fveq2d 6892 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜(1rβ€˜π‘ƒ)) = (π‘„β€˜((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜π‘ˆ))))
2726fveq1d 6890 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜(1rβ€˜π‘ƒ))β€˜π΄) = ((π‘„β€˜((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜π‘ˆ)))β€˜π΄))
28 evlsmaprhm.q . . . . . 6 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑅)β€˜π‘†)
29 evlsmaprhm.k . . . . . 6 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
309, 3subrg1 20365 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘ˆ))
318, 30syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘ˆ))
323subrg1cl 20363 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝑆)
338, 32syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝑆)
3431, 33eqeltrrd 2834 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘ˆ) ∈ 𝑆)
35 evlsmaprhm.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
3628, 6, 9, 29, 1, 22, 7, 13, 8, 34, 35evlsscaval 41133 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜π‘ˆ)) ∈ 𝐡 ∧ ((π‘„β€˜((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜π‘ˆ)))β€˜π΄) = (1rβ€˜π‘ˆ)))
3736simprd 496 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜π‘ˆ)))β€˜π΄) = (1rβ€˜π‘ˆ))
3837, 31eqtr4d 2775 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜π‘ˆ)))β€˜π΄) = (1rβ€˜π‘…))
3921, 27, 383eqtrd 2776 . 2 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(1rβ€˜π‘ƒ)) = (1rβ€˜π‘…))
407adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
4113adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
428adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
4335adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
44 simprl 769 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ π‘ž ∈ 𝐡)
45 eqidd 2733 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘„β€˜π‘ž)β€˜π΄) = ((π‘„β€˜π‘ž)β€˜π΄))
4644, 45jca 512 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ ((π‘„β€˜π‘ž)β€˜π΄) = ((π‘„β€˜π‘ž)β€˜π΄)))
47 simprr 771 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐡)
48 eqidd 2733 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘„β€˜π‘Ÿ)β€˜π΄) = ((π‘„β€˜π‘Ÿ)β€˜π΄))
4947, 48jca 512 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝐡 ∧ ((π‘„β€˜π‘Ÿ)β€˜π΄) = ((π‘„β€˜π‘Ÿ)β€˜π΄)))
5028, 6, 9, 29, 1, 40, 41, 42, 43, 46, 49, 4, 5evlsmulval 41138 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘ž(.rβ€˜π‘ƒ)π‘Ÿ) ∈ 𝐡 ∧ ((π‘„β€˜(π‘ž(.rβ€˜π‘ƒ)π‘Ÿ))β€˜π΄) = (((π‘„β€˜π‘ž)β€˜π΄)(.rβ€˜π‘…)((π‘„β€˜π‘Ÿ)β€˜π΄))))
5150simprd 496 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘„β€˜(π‘ž(.rβ€˜π‘ƒ)π‘Ÿ))β€˜π΄) = (((π‘„β€˜π‘ž)β€˜π΄)(.rβ€˜π‘…)((π‘„β€˜π‘Ÿ)β€˜π΄)))
52 fveq2 6888 . . . . 5 (𝑝 = (π‘ž(.rβ€˜π‘ƒ)π‘Ÿ) β†’ (π‘„β€˜π‘) = (π‘„β€˜(π‘ž(.rβ€˜π‘ƒ)π‘Ÿ)))
5352fveq1d 6890 . . . 4 (𝑝 = (π‘ž(.rβ€˜π‘ƒ)π‘Ÿ) β†’ ((π‘„β€˜π‘)β€˜π΄) = ((π‘„β€˜(π‘ž(.rβ€˜π‘ƒ)π‘Ÿ))β€˜π΄))
5412adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
551, 4, 54, 44, 47ringcld 20073 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ (π‘ž(.rβ€˜π‘ƒ)π‘Ÿ) ∈ 𝐡)
56 fvexd 6903 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘„β€˜(π‘ž(.rβ€˜π‘ƒ)π‘Ÿ))β€˜π΄) ∈ V)
5715, 53, 55, 56fvmptd3 7018 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(π‘ž(.rβ€˜π‘ƒ)π‘Ÿ)) = ((π‘„β€˜(π‘ž(.rβ€˜π‘ƒ)π‘Ÿ))β€˜π΄))
58 fveq2 6888 . . . . . 6 (𝑝 = π‘ž β†’ (π‘„β€˜π‘) = (π‘„β€˜π‘ž))
5958fveq1d 6890 . . . . 5 (𝑝 = π‘ž β†’ ((π‘„β€˜π‘)β€˜π΄) = ((π‘„β€˜π‘ž)β€˜π΄))
60 fvexd 6903 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘„β€˜π‘ž)β€˜π΄) ∈ V)
6115, 59, 44, 60fvmptd3 7018 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘ž) = ((π‘„β€˜π‘ž)β€˜π΄))
62 fveq2 6888 . . . . . 6 (𝑝 = π‘Ÿ β†’ (π‘„β€˜π‘) = (π‘„β€˜π‘Ÿ))
6362fveq1d 6890 . . . . 5 (𝑝 = π‘Ÿ β†’ ((π‘„β€˜π‘)β€˜π΄) = ((π‘„β€˜π‘Ÿ)β€˜π΄))
64 fvexd 6903 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘„β€˜π‘Ÿ)β€˜π΄) ∈ V)
6515, 63, 47, 64fvmptd3 7018 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘Ÿ) = ((π‘„β€˜π‘Ÿ)β€˜π΄))
6661, 65oveq12d 7423 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ž)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜π‘Ÿ)) = (((π‘„β€˜π‘ž)β€˜π΄)(.rβ€˜π‘…)((π‘„β€˜π‘Ÿ)β€˜π΄)))
6751, 57, 663eqtr4d 2782 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(π‘ž(.rβ€˜π‘ƒ)π‘Ÿ)) = ((πΉβ€˜π‘ž)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜π‘Ÿ)))
68 eqid 2732 . 2 (+gβ€˜π‘ƒ) = (+gβ€˜π‘ƒ)
69 eqid 2732 . 2 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
707adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
7113adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
728adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
73 simpr 485 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
7435adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
7528, 6, 9, 1, 29, 70, 71, 72, 73, 74evlscl 41127 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘„β€˜π‘)β€˜π΄) ∈ 𝐾)
7675, 15fmptd 7110 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐡⟢𝐾)
7728, 6, 9, 29, 1, 40, 41, 42, 43, 46, 49, 68, 69evlsaddval 41137 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘ž(+gβ€˜π‘ƒ)π‘Ÿ) ∈ 𝐡 ∧ ((π‘„β€˜(π‘ž(+gβ€˜π‘ƒ)π‘Ÿ))β€˜π΄) = (((π‘„β€˜π‘ž)β€˜π΄)(+gβ€˜π‘…)((π‘„β€˜π‘Ÿ)β€˜π΄))))
7877simprd 496 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘„β€˜(π‘ž(+gβ€˜π‘ƒ)π‘Ÿ))β€˜π΄) = (((π‘„β€˜π‘ž)β€˜π΄)(+gβ€˜π‘…)((π‘„β€˜π‘Ÿ)β€˜π΄)))
79 fveq2 6888 . . . . 5 (𝑝 = (π‘ž(+gβ€˜π‘ƒ)π‘Ÿ) β†’ (π‘„β€˜π‘) = (π‘„β€˜(π‘ž(+gβ€˜π‘ƒ)π‘Ÿ)))
8079fveq1d 6890 . . . 4 (𝑝 = (π‘ž(+gβ€˜π‘ƒ)π‘Ÿ) β†’ ((π‘„β€˜π‘)β€˜π΄) = ((π‘„β€˜(π‘ž(+gβ€˜π‘ƒ)π‘Ÿ))β€˜π΄))
8112ringgrpd 20058 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Grp)
8281adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑃 ∈ Grp)
831, 68, 82, 44, 47grpcld 18829 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ (π‘ž(+gβ€˜π‘ƒ)π‘Ÿ) ∈ 𝐡)
84 fvexd 6903 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘„β€˜(π‘ž(+gβ€˜π‘ƒ)π‘Ÿ))β€˜π΄) ∈ V)
8515, 80, 83, 84fvmptd3 7018 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(π‘ž(+gβ€˜π‘ƒ)π‘Ÿ)) = ((π‘„β€˜(π‘ž(+gβ€˜π‘ƒ)π‘Ÿ))β€˜π΄))
8661, 65oveq12d 7423 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ž)(+gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜π‘Ÿ)) = (((π‘„β€˜π‘ž)β€˜π΄)(+gβ€˜π‘…)((π‘„β€˜π‘Ÿ)β€˜π΄)))
8778, 85, 863eqtr4d 2782 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(π‘ž(+gβ€˜π‘ƒ)π‘Ÿ)) = ((πΉβ€˜π‘ž)(+gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜π‘Ÿ)))
881, 2, 3, 4, 5, 12, 14, 39, 67, 29, 68, 69, 76, 87isrhmd 20258 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ↦ cmpt 5230  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ↑m cmap 8816  Basecbs 17140   β†Ύs cress 17169  +gcplusg 17193  .rcmulr 17194  Grpcgrp 18815  1rcur 19998  Ringcrg 20049  CRingccrg 20050   RingHom crh 20240  SubRingcsubrg 20351  algSccascl 21398   mPoly cmpl 21450   evalSub ces 21624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-srg 20003  df-ring 20051  df-cring 20052  df-rnghom 20243  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-assa 21399  df-asp 21400  df-ascl 21401  df-psr 21453  df-mvr 21454  df-mpl 21455  df-evls 21626
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator