Theorem evlsmaprhm 22114

Description: The function 𝐹 mapping polynomials 𝑝 to their subring evaluation at a given point 𝑋 is a ring homomorphism. Compare evls1maprhm 22369. (Contributed by SN, 12-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsmaprhm.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑅)‘𝑆)
evlsmaprhm.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlsmaprhm.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 ↾s 𝑆)
evlsmaprhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlsmaprhm.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
evlsmaprhm.f	⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑄‘𝑝)‘𝐴))
evlsmaprhm.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsmaprhm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evlsmaprhm.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
evlsmaprhm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))

Assertion

Ref	Expression
evlsmaprhm	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑅))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   𝜑,𝑝   𝑃,𝑝   𝑄,𝑝   𝐴,𝑝

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑝)   𝑆(𝑝)   𝑈(𝑝)   𝐹(𝑝)   𝐼(𝑝)   𝑉(𝑝)

Proof of Theorem evlsmaprhm

Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlsmaprhm.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
2		eqid 2740	. 2 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
3		eqid 2740	. 2 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
4		eqid 2740	. 2 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
5		eqid 2740	. 2 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
6		evlsmaprhm.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
7		evlsmaprhm.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
8		evlsmaprhm.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
9		evlsmaprhm.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (𝑅 ↾s 𝑆)
10	9	subrgring 20553	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑈 ∈ Ring)
11	8, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
12	6, 7, 11	mplringd 22004	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
13		evlsmaprhm.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
14	13	crngringd 20225	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
15		evlsmaprhm.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑄‘𝑝)‘𝐴))
16		fveq2 6834	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (1r‘𝑃) → (𝑄‘𝑝) = (𝑄‘(1r‘𝑃)))
17	16	fveq1d 6836	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (1r‘𝑃) → ((𝑄‘𝑝)‘𝐴) = ((𝑄‘(1r‘𝑃))‘𝐴))
18	1, 2	ringidcl 20244	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (1r‘𝑃) ∈ 𝐵)
19	12, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑃) ∈ 𝐵)
20		fvexd 6849	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(1r‘𝑃))‘𝐴) ∈ V)
21	15, 17, 19, 20	fvmptd3 6966	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(1r‘𝑃)) = ((𝑄‘(1r‘𝑃))‘𝐴))
22		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
23		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑈) = (1r‘𝑈)
24	6, 22, 23, 2, 7, 11	mplascl1 22008	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑈)) = (1r‘𝑃))
25	24	eqcomd 2746	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑃) = ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑈)))
26	25	fveq2d 6838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(1r‘𝑃)) = (𝑄‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑈))))
27	26	fveq1d 6836	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(1r‘𝑃))‘𝐴) = ((𝑄‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑈)))‘𝐴))
28		evlsmaprhm.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑅)‘𝑆)
29		evlsmaprhm.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
30	9, 3	subrg1 20561	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) = (1r‘𝑈))
31	8, 30	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (1r‘𝑈))
32	3	subrg1cl 20559	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
33	8, 32	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
34	31, 33	eqeltrrd 2841	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑈) ∈ 𝑆)
35		evlsmaprhm.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
36	28, 6, 9, 29, 1, 22, 7, 13, 8, 34, 35	evlsscaval 22109	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑈)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑈)))‘𝐴) = (1r‘𝑈)))
37	36	simprd 496	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑈)))‘𝐴) = (1r‘𝑈))
38	37, 31	eqtr4d 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑈)))‘𝐴) = (1r‘𝑅))
39	21, 27, 38	3eqtrd 2779	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(1r‘𝑃)) = (1r‘𝑅))
40	7	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝐼 ∈ 𝑉)
41	13	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ CRing)
42	8	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
43	35	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
44		simprl 776	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑞 ∈ 𝐵)
45		eqidd 2741	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑄‘𝑞)‘𝐴) = ((𝑄‘𝑞)‘𝐴))
46	44, 45	jca 516	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘𝑞)‘𝐴) = ((𝑄‘𝑞)‘𝐴)))
47		simprr 778	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑟 ∈ 𝐵)
48		eqidd 2741	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑄‘𝑟)‘𝐴) = ((𝑄‘𝑟)‘𝐴))
49	47, 48	jca 516	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝑟 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘𝑟)‘𝐴) = ((𝑄‘𝑟)‘𝐴)))
50	28, 6, 9, 29, 1, 40, 41, 42, 43, 46, 49, 4, 5	evlsmulval 22113	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑞(.r‘𝑃)𝑟) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟))‘𝐴) = (((𝑄‘𝑞)‘𝐴)(.r‘𝑅)((𝑄‘𝑟)‘𝐴))))
51	50	simprd 496	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑄‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟))‘𝐴) = (((𝑄‘𝑞)‘𝐴)(.r‘𝑅)((𝑄‘𝑟)‘𝐴)))
52		fveq2 6834	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (𝑞(.r‘𝑃)𝑟) → (𝑄‘𝑝) = (𝑄‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟)))
53	52	fveq1d 6836	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (𝑞(.r‘𝑃)𝑟) → ((𝑄‘𝑝)‘𝐴) = ((𝑄‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟))‘𝐴))
54	12	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑃 ∈ Ring)
55	1, 4, 54, 44, 47	ringcld 20239	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝑞(.r‘𝑃)𝑟) ∈ 𝐵)
56		fvexd 6849	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑄‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟))‘𝐴) ∈ V)
57	15, 53, 55, 56	fvmptd3 6966	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟)) = ((𝑄‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟))‘𝐴))
58		fveq2 6834	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑄‘𝑝) = (𝑄‘𝑞))
59	58	fveq1d 6836	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → ((𝑄‘𝑝)‘𝐴) = ((𝑄‘𝑞)‘𝐴))
60		fvexd 6849	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑄‘𝑞)‘𝐴) ∈ V)
61	15, 59, 44, 60	fvmptd3 6966	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑞) = ((𝑄‘𝑞)‘𝐴))
62		fveq2 6834	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑟 → (𝑄‘𝑝) = (𝑄‘𝑟))
63	62	fveq1d 6836	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑟 → ((𝑄‘𝑝)‘𝐴) = ((𝑄‘𝑟)‘𝐴))
64		fvexd 6849	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑄‘𝑟)‘𝐴) ∈ V)
65	15, 63, 47, 64	fvmptd3 6966	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑟) = ((𝑄‘𝑟)‘𝐴))
66	61, 65	oveq12d 7381	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑞)(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑟)) = (((𝑄‘𝑞)‘𝐴)(.r‘𝑅)((𝑄‘𝑟)‘𝐴)))
67	51, 57, 66	3eqtr4d 2785	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟)) = ((𝐹‘𝑞)(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑟)))
68		eqid 2740	. 2 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
69		eqid 2740	. 2 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
70	7	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑉)
71	13	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ CRing)
72	8	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
73		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑝 ∈ 𝐵)
74	35	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
75	28, 6, 9, 1, 29, 70, 71, 72, 73, 74	evlscl 22108	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝑄‘𝑝)‘𝐴) ∈ 𝐾)
76	75, 15	fmptd 7062	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐾)
77	28, 6, 9, 29, 1, 40, 41, 42, 43, 46, 49, 68, 69	evlsaddval 22112	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑞(+g‘𝑃)𝑟) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟))‘𝐴) = (((𝑄‘𝑞)‘𝐴)(+g‘𝑅)((𝑄‘𝑟)‘𝐴))))
78	77	simprd 496	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑄‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟))‘𝐴) = (((𝑄‘𝑞)‘𝐴)(+g‘𝑅)((𝑄‘𝑟)‘𝐴)))
79		fveq2 6834	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (𝑞(+g‘𝑃)𝑟) → (𝑄‘𝑝) = (𝑄‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟)))
80	79	fveq1d 6836	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (𝑞(+g‘𝑃)𝑟) → ((𝑄‘𝑝)‘𝐴) = ((𝑄‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟))‘𝐴))
81	12	ringgrpd 20221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
82	81	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑃 ∈ Grp)
83	1, 68, 82, 44, 47	grpcld 18921	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝑞(+g‘𝑃)𝑟) ∈ 𝐵)
84		fvexd 6849	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑄‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟))‘𝐴) ∈ V)
85	15, 80, 83, 84	fvmptd3 6966	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟)) = ((𝑄‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟))‘𝐴))
86	61, 65	oveq12d 7381	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑞)(+g‘𝑅)(𝐹‘𝑟)) = (((𝑄‘𝑞)‘𝐴)(+g‘𝑅)((𝑄‘𝑟)‘𝐴)))
87	78, 85, 86	3eqtr4d 2785	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟)) = ((𝐹‘𝑞)(+g‘𝑅)(𝐹‘𝑟)))
88	1, 2, 3, 4, 5, 12, 14, 39, 67, 29, 68, 69, 76, 87	isrhmd 20466	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3432   ↦ cmpt 5160  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ↑_m cmap 8770  Basecbs 17177   ↾_s cress 17198  +_gcplusg 17218  ._rcmulr 17219  Grpcgrp 18907  1_rcur 20160  Ringcrg 20212  CRingccrg 20213   RingHom crh 20447  SubRingcsubrg 20548  algSccascl 21834   mPoly cmpl 21888   evalSub ces 22055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-ofr 7628  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-sup 9352  df-oi 9422  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-seq 13962  df-hash 14291  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-prds 17408  df-pws 17410  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-mhm 18749  df-submnd 18750  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-sbg 18912  df-mulg 19042  df-subg 19097  df-ghm 19186  df-cntz 19290  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-srg 20166  df-ring 20214  df-cring 20215  df-rhm 20450  df-subrng 20525  df-subrg 20549  df-lmod 20859  df-lss 20929  df-lsp 20969  df-assa 21835  df-asp 21836  df-ascl 21837  df-psr 21891  df-mvr 21892  df-mpl 21893  df-evls 22057

This theorem is referenced by: (None)