Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evlsmaprhm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem evlsmaprhm 41704
Description: The function 𝐹 mapping polynomials 𝑝 to their subring evaluation at a given point 𝑋 is a ring homomorphism. Compare evls1maprhm 33278. (Contributed by SN, 12-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
evlsmaprhm.q 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑅)β€˜π‘†)
evlsmaprhm.p 𝑃 = (𝐼 mPoly π‘ˆ)
evlsmaprhm.u π‘ˆ = (𝑅 β†Ύs 𝑆)
evlsmaprhm.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
evlsmaprhm.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
evlsmaprhm.f 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝐡 ↦ ((π‘„β€˜π‘)β€˜π΄))
evlsmaprhm.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsmaprhm.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
evlsmaprhm.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
evlsmaprhm.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
Assertion
Ref Expression
evlsmaprhm (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑅))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑝   𝐾,𝑝   πœ‘,𝑝   𝑃,𝑝   𝑄,𝑝   𝐴,𝑝
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑝)   𝑆(𝑝)   π‘ˆ(𝑝)   𝐹(𝑝)   𝐼(𝑝)   𝑉(𝑝)
Proof of Theorem evlsmaprhm
Dummy variables π‘ž π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlsmaprhm.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
2 eqid 2726 . 2 (1rβ€˜π‘ƒ) = (1rβ€˜π‘ƒ)
3 eqid 2726 . 2 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
4 eqid 2726 . 2 (.rβ€˜π‘ƒ) = (.rβ€˜π‘ƒ)
5 eqid 2726 . 2 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
6 evlsmaprhm.p . . 3 𝑃 = (𝐼 mPoly π‘ˆ)
7 evlsmaprhm.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
8 evlsmaprhm.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
9 evlsmaprhm.u . . . . 5 π‘ˆ = (𝑅 β†Ύs 𝑆)
109subrgring 20476 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ π‘ˆ ∈ Ring)
118, 10syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ Ring)
126, 7, 11mplringd 41679 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Ring)
13 evlsmaprhm.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
1413crngringd 20151 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
15 evlsmaprhm.f . . . 4 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝐡 ↦ ((π‘„β€˜π‘)β€˜π΄))
16 fveq2 6885 . . . . 5 (𝑝 = (1rβ€˜π‘ƒ) β†’ (π‘„β€˜π‘) = (π‘„β€˜(1rβ€˜π‘ƒ)))
1716fveq1d 6887 . . . 4 (𝑝 = (1rβ€˜π‘ƒ) β†’ ((π‘„β€˜π‘)β€˜π΄) = ((π‘„β€˜(1rβ€˜π‘ƒ))β€˜π΄))
181, 2ringidcl 20165 . . . . 5 (𝑃 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡)
1912, 18syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡)
20 fvexd 6900 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜(1rβ€˜π‘ƒ))β€˜π΄) ∈ V)
2115, 17, 19, 20fvmptd3 7015 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(1rβ€˜π‘ƒ)) = ((π‘„β€˜(1rβ€˜π‘ƒ))β€˜π΄))
22 eqid 2726 . . . . . . 7 (algScβ€˜π‘ƒ) = (algScβ€˜π‘ƒ)
23 eqid 2726 . . . . . . 7 (1rβ€˜π‘ˆ) = (1rβ€˜π‘ˆ)
246, 22, 23, 2, 7, 11mplascl1 41689 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜π‘ˆ)) = (1rβ€˜π‘ƒ))
2524eqcomd 2732 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘ƒ) = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜π‘ˆ)))
2625fveq2d 6889 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜(1rβ€˜π‘ƒ)) = (π‘„β€˜((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜π‘ˆ))))
2726fveq1d 6887 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜(1rβ€˜π‘ƒ))β€˜π΄) = ((π‘„β€˜((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜π‘ˆ)))β€˜π΄))
28 evlsmaprhm.q . . . . . 6 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑅)β€˜π‘†)
29 evlsmaprhm.k . . . . . 6 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
309, 3subrg1 20484 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘ˆ))
318, 30syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘ˆ))
323subrg1cl 20482 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝑆)
338, 32syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝑆)
3431, 33eqeltrrd 2828 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘ˆ) ∈ 𝑆)
35 evlsmaprhm.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
3628, 6, 9, 29, 1, 22, 7, 13, 8, 34, 35evlsscaval 41698 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜π‘ˆ)) ∈ 𝐡 ∧ ((π‘„β€˜((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜π‘ˆ)))β€˜π΄) = (1rβ€˜π‘ˆ)))
3736simprd 495 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜π‘ˆ)))β€˜π΄) = (1rβ€˜π‘ˆ))
3837, 31eqtr4d 2769 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜π‘ˆ)))β€˜π΄) = (1rβ€˜π‘…))
3921, 27, 383eqtrd 2770 . 2 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(1rβ€˜π‘ƒ)) = (1rβ€˜π‘…))
407adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
4113adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
428adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
4335adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
44 simprl 768 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ π‘ž ∈ 𝐡)
45 eqidd 2727 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘„β€˜π‘ž)β€˜π΄) = ((π‘„β€˜π‘ž)β€˜π΄))
4644, 45jca 511 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ ((π‘„β€˜π‘ž)β€˜π΄) = ((π‘„β€˜π‘ž)β€˜π΄)))
47 simprr 770 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐡)
48 eqidd 2727 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘„β€˜π‘Ÿ)β€˜π΄) = ((π‘„β€˜π‘Ÿ)β€˜π΄))
4947, 48jca 511 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝐡 ∧ ((π‘„β€˜π‘Ÿ)β€˜π΄) = ((π‘„β€˜π‘Ÿ)β€˜π΄)))
5028, 6, 9, 29, 1, 40, 41, 42, 43, 46, 49, 4, 5evlsmulval 41703 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘ž(.rβ€˜π‘ƒ)π‘Ÿ) ∈ 𝐡 ∧ ((π‘„β€˜(π‘ž(.rβ€˜π‘ƒ)π‘Ÿ))β€˜π΄) = (((π‘„β€˜π‘ž)β€˜π΄)(.rβ€˜π‘…)((π‘„β€˜π‘Ÿ)β€˜π΄))))
5150simprd 495 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘„β€˜(π‘ž(.rβ€˜π‘ƒ)π‘Ÿ))β€˜π΄) = (((π‘„β€˜π‘ž)β€˜π΄)(.rβ€˜π‘…)((π‘„β€˜π‘Ÿ)β€˜π΄)))
52 fveq2 6885 . . . . 5 (𝑝 = (π‘ž(.rβ€˜π‘ƒ)π‘Ÿ) β†’ (π‘„β€˜π‘) = (π‘„β€˜(π‘ž(.rβ€˜π‘ƒ)π‘Ÿ)))
5352fveq1d 6887 . . . 4 (𝑝 = (π‘ž(.rβ€˜π‘ƒ)π‘Ÿ) β†’ ((π‘„β€˜π‘)β€˜π΄) = ((π‘„β€˜(π‘ž(.rβ€˜π‘ƒ)π‘Ÿ))β€˜π΄))
5412adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
551, 4, 54, 44, 47ringcld 20162 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ (π‘ž(.rβ€˜π‘ƒ)π‘Ÿ) ∈ 𝐡)
56 fvexd 6900 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘„β€˜(π‘ž(.rβ€˜π‘ƒ)π‘Ÿ))β€˜π΄) ∈ V)
5715, 53, 55, 56fvmptd3 7015 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(π‘ž(.rβ€˜π‘ƒ)π‘Ÿ)) = ((π‘„β€˜(π‘ž(.rβ€˜π‘ƒ)π‘Ÿ))β€˜π΄))
58 fveq2 6885 . . . . . 6 (𝑝 = π‘ž β†’ (π‘„β€˜π‘) = (π‘„β€˜π‘ž))
5958fveq1d 6887 . . . . 5 (𝑝 = π‘ž β†’ ((π‘„β€˜π‘)β€˜π΄) = ((π‘„β€˜π‘ž)β€˜π΄))
60 fvexd 6900 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘„β€˜π‘ž)β€˜π΄) ∈ V)
6115, 59, 44, 60fvmptd3 7015 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘ž) = ((π‘„β€˜π‘ž)β€˜π΄))
62 fveq2 6885 . . . . . 6 (𝑝 = π‘Ÿ β†’ (π‘„β€˜π‘) = (π‘„β€˜π‘Ÿ))
6362fveq1d 6887 . . . . 5 (𝑝 = π‘Ÿ β†’ ((π‘„β€˜π‘)β€˜π΄) = ((π‘„β€˜π‘Ÿ)β€˜π΄))
64 fvexd 6900 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘„β€˜π‘Ÿ)β€˜π΄) ∈ V)
6515, 63, 47, 64fvmptd3 7015 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘Ÿ) = ((π‘„β€˜π‘Ÿ)β€˜π΄))
6661, 65oveq12d 7423 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ž)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜π‘Ÿ)) = (((π‘„β€˜π‘ž)β€˜π΄)(.rβ€˜π‘…)((π‘„β€˜π‘Ÿ)β€˜π΄)))
6751, 57, 663eqtr4d 2776 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(π‘ž(.rβ€˜π‘ƒ)π‘Ÿ)) = ((πΉβ€˜π‘ž)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜π‘Ÿ)))
68 eqid 2726 . 2 (+gβ€˜π‘ƒ) = (+gβ€˜π‘ƒ)
69 eqid 2726 . 2 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
707adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
7113adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
728adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
73 simpr 484 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
7435adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
7528, 6, 9, 1, 29, 70, 71, 72, 73, 74evlscl 41692 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘„β€˜π‘)β€˜π΄) ∈ 𝐾)
7675, 15fmptd 7109 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐡⟢𝐾)
7728, 6, 9, 29, 1, 40, 41, 42, 43, 46, 49, 68, 69evlsaddval 41702 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘ž(+gβ€˜π‘ƒ)π‘Ÿ) ∈ 𝐡 ∧ ((π‘„β€˜(π‘ž(+gβ€˜π‘ƒ)π‘Ÿ))β€˜π΄) = (((π‘„β€˜π‘ž)β€˜π΄)(+gβ€˜π‘…)((π‘„β€˜π‘Ÿ)β€˜π΄))))
7877simprd 495 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘„β€˜(π‘ž(+gβ€˜π‘ƒ)π‘Ÿ))β€˜π΄) = (((π‘„β€˜π‘ž)β€˜π΄)(+gβ€˜π‘…)((π‘„β€˜π‘Ÿ)β€˜π΄)))
79 fveq2 6885 . . . . 5 (𝑝 = (π‘ž(+gβ€˜π‘ƒ)π‘Ÿ) β†’ (π‘„β€˜π‘) = (π‘„β€˜(π‘ž(+gβ€˜π‘ƒ)π‘Ÿ)))
8079fveq1d 6887 . . . 4 (𝑝 = (π‘ž(+gβ€˜π‘ƒ)π‘Ÿ) β†’ ((π‘„β€˜π‘)β€˜π΄) = ((π‘„β€˜(π‘ž(+gβ€˜π‘ƒ)π‘Ÿ))β€˜π΄))
8112ringgrpd 20147 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Grp)
8281adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑃 ∈ Grp)
831, 68, 82, 44, 47grpcld 18877 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ (π‘ž(+gβ€˜π‘ƒ)π‘Ÿ) ∈ 𝐡)
84 fvexd 6900 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘„β€˜(π‘ž(+gβ€˜π‘ƒ)π‘Ÿ))β€˜π΄) ∈ V)
8515, 80, 83, 84fvmptd3 7015 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(π‘ž(+gβ€˜π‘ƒ)π‘Ÿ)) = ((π‘„β€˜(π‘ž(+gβ€˜π‘ƒ)π‘Ÿ))β€˜π΄))
8661, 65oveq12d 7423 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ž)(+gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜π‘Ÿ)) = (((π‘„β€˜π‘ž)β€˜π΄)(+gβ€˜π‘…)((π‘„β€˜π‘Ÿ)β€˜π΄)))
8778, 85, 863eqtr4d 2776 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(π‘ž(+gβ€˜π‘ƒ)π‘Ÿ)) = ((πΉβ€˜π‘ž)(+gβ€˜π‘…)(πΉβ€˜π‘Ÿ)))
881, 2, 3, 4, 5, 12, 14, 39, 67, 29, 68, 69, 76, 87isrhmd 20390 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   ↦ cmpt 5224  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ↑m cmap 8822  Basecbs 17153   β†Ύs cress 17182  +gcplusg 17206  .rcmulr 17207  Grpcgrp 18863  1rcur 20086  Ringcrg 20138  CRingccrg 20139   RingHom crh 20371  SubRingcsubrg 20469  algSccascl 21747   mPoly cmpl 21800   evalSub ces 21975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-srg 20092  df-ring 20140  df-cring 20141  df-rhm 20374  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-assa 21748  df-asp 21749  df-ascl 21750  df-psr 21803  df-mvr 21804  df-mpl 21805  df-evls 21977
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator