Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evlsmaprhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evlsmaprhm 41597
Description: The function 𝐹 mapping polynomials 𝑝 to their subring evaluation at a given point 𝑋 is a ring homomorphism. Compare evls1maprhm 33205. (Contributed by SN, 12-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
evlsmaprhm.q 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑅)‘𝑆)
evlsmaprhm.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlsmaprhm.u 𝑈 = (𝑅s 𝑆)
evlsmaprhm.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlsmaprhm.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
evlsmaprhm.f 𝐹 = (𝑝𝐵 ↦ ((𝑄𝑝)‘𝐴))
evlsmaprhm.i (𝜑𝐼𝑉)
evlsmaprhm.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
evlsmaprhm.s (𝜑𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
evlsmaprhm.a (𝜑𝐴 ∈ (𝐾m 𝐼))
Assertion
Ref Expression
evlsmaprhm (𝜑𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑅))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   𝜑,𝑝   𝑃,𝑝   𝑄,𝑝   𝐴,𝑝
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑝)   𝑆(𝑝)   𝑈(𝑝)   𝐹(𝑝)   𝐼(𝑝)   𝑉(𝑝)

Proof of Theorem evlsmaprhm
Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlsmaprhm.b . 2 𝐵 = (Base‘𝑃)
2 eqid 2724 . 2 (1r𝑃) = (1r𝑃)
3 eqid 2724 . 2 (1r𝑅) = (1r𝑅)
4 eqid 2724 . 2 (.r𝑃) = (.r𝑃)
5 eqid 2724 . 2 (.r𝑅) = (.r𝑅)
6 evlsmaprhm.p . . 3 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
7 evlsmaprhm.i . . 3 (𝜑𝐼𝑉)
8 evlsmaprhm.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
9 evlsmaprhm.u . . . . 5 𝑈 = (𝑅s 𝑆)
109subrgring 20461 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑈 ∈ Ring)
118, 10syl 17 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ Ring)
126, 7, 11mplringd 41572 . 2 (𝜑𝑃 ∈ Ring)
13 evlsmaprhm.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
1413crngringd 20136 . 2 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
15 evlsmaprhm.f . . . 4 𝐹 = (𝑝𝐵 ↦ ((𝑄𝑝)‘𝐴))
16 fveq2 6881 . . . . 5 (𝑝 = (1r𝑃) → (𝑄𝑝) = (𝑄‘(1r𝑃)))
1716fveq1d 6883 . . . 4 (𝑝 = (1r𝑃) → ((𝑄𝑝)‘𝐴) = ((𝑄‘(1r𝑃))‘𝐴))
181, 2ringidcl 20150 . . . . 5 (𝑃 ∈ Ring → (1r𝑃) ∈ 𝐵)
1912, 18syl 17 . . . 4 (𝜑 → (1r𝑃) ∈ 𝐵)
20 fvexd 6896 . . . 4 (𝜑 → ((𝑄‘(1r𝑃))‘𝐴) ∈ V)
2115, 17, 19, 20fvmptd3 7011 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘(1r𝑃)) = ((𝑄‘(1r𝑃))‘𝐴))
22 eqid 2724 . . . . . . 7 (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
23 eqid 2724 . . . . . . 7 (1r𝑈) = (1r𝑈)
246, 22, 23, 2, 7, 11mplascl1 41582 . . . . . 6 (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑈)) = (1r𝑃))
2524eqcomd 2730 . . . . 5 (𝜑 → (1r𝑃) = ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑈)))
2625fveq2d 6885 . . . 4 (𝜑 → (𝑄‘(1r𝑃)) = (𝑄‘((algSc‘𝑃)‘(1r𝑈))))
2726fveq1d 6883 . . 3 (𝜑 → ((𝑄‘(1r𝑃))‘𝐴) = ((𝑄‘((algSc‘𝑃)‘(1r𝑈)))‘𝐴))
28 evlsmaprhm.q . . . . . 6 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑅)‘𝑆)
29 evlsmaprhm.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝑅)
309, 3subrg1 20469 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r𝑅) = (1r𝑈))
318, 30syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (1r𝑅) = (1r𝑈))
323subrg1cl 20467 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r𝑅) ∈ 𝑆)
338, 32syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ 𝑆)
3431, 33eqeltrrd 2826 . . . . . 6 (𝜑 → (1r𝑈) ∈ 𝑆)
35 evlsmaprhm.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ (𝐾m 𝐼))
3628, 6, 9, 29, 1, 22, 7, 13, 8, 34, 35evlsscaval 41591 . . . . 5 (𝜑 → (((algSc‘𝑃)‘(1r𝑈)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘((algSc‘𝑃)‘(1r𝑈)))‘𝐴) = (1r𝑈)))
3736simprd 495 . . . 4 (𝜑 → ((𝑄‘((algSc‘𝑃)‘(1r𝑈)))‘𝐴) = (1r𝑈))
3837, 31eqtr4d 2767 . . 3 (𝜑 → ((𝑄‘((algSc‘𝑃)‘(1r𝑈)))‘𝐴) = (1r𝑅))
3921, 27, 383eqtrd 2768 . 2 (𝜑 → (𝐹‘(1r𝑃)) = (1r𝑅))
407adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → 𝐼𝑉)
4113adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → 𝑅 ∈ CRing)
428adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
4335adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐾m 𝐼))
44 simprl 768 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → 𝑞𝐵)
45 eqidd 2725 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → ((𝑄𝑞)‘𝐴) = ((𝑄𝑞)‘𝐴))
4644, 45jca 511 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝑞𝐵 ∧ ((𝑄𝑞)‘𝐴) = ((𝑄𝑞)‘𝐴)))
47 simprr 770 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → 𝑟𝐵)
48 eqidd 2725 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → ((𝑄𝑟)‘𝐴) = ((𝑄𝑟)‘𝐴))
4947, 48jca 511 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝑟𝐵 ∧ ((𝑄𝑟)‘𝐴) = ((𝑄𝑟)‘𝐴)))
5028, 6, 9, 29, 1, 40, 41, 42, 43, 46, 49, 4, 5evlsmulval 41596 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → ((𝑞(.r𝑃)𝑟) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘(𝑞(.r𝑃)𝑟))‘𝐴) = (((𝑄𝑞)‘𝐴)(.r𝑅)((𝑄𝑟)‘𝐴))))
5150simprd 495 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → ((𝑄‘(𝑞(.r𝑃)𝑟))‘𝐴) = (((𝑄𝑞)‘𝐴)(.r𝑅)((𝑄𝑟)‘𝐴)))
52 fveq2 6881 . . . . 5 (𝑝 = (𝑞(.r𝑃)𝑟) → (𝑄𝑝) = (𝑄‘(𝑞(.r𝑃)𝑟)))
5352fveq1d 6883 . . . 4 (𝑝 = (𝑞(.r𝑃)𝑟) → ((𝑄𝑝)‘𝐴) = ((𝑄‘(𝑞(.r𝑃)𝑟))‘𝐴))
5412adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → 𝑃 ∈ Ring)
551, 4, 54, 44, 47ringcld 20147 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝑞(.r𝑃)𝑟) ∈ 𝐵)
56 fvexd 6896 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → ((𝑄‘(𝑞(.r𝑃)𝑟))‘𝐴) ∈ V)
5715, 53, 55, 56fvmptd3 7011 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝐹‘(𝑞(.r𝑃)𝑟)) = ((𝑄‘(𝑞(.r𝑃)𝑟))‘𝐴))
58 fveq2 6881 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑞 → (𝑄𝑝) = (𝑄𝑞))
5958fveq1d 6883 . . . . 5 (𝑝 = 𝑞 → ((𝑄𝑝)‘𝐴) = ((𝑄𝑞)‘𝐴))
60 fvexd 6896 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → ((𝑄𝑞)‘𝐴) ∈ V)
6115, 59, 44, 60fvmptd3 7011 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝐹𝑞) = ((𝑄𝑞)‘𝐴))
62 fveq2 6881 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑟 → (𝑄𝑝) = (𝑄𝑟))
6362fveq1d 6883 . . . . 5 (𝑝 = 𝑟 → ((𝑄𝑝)‘𝐴) = ((𝑄𝑟)‘𝐴))
64 fvexd 6896 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → ((𝑄𝑟)‘𝐴) ∈ V)
6515, 63, 47, 64fvmptd3 7011 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝐹𝑟) = ((𝑄𝑟)‘𝐴))
6661, 65oveq12d 7419 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → ((𝐹𝑞)(.r𝑅)(𝐹𝑟)) = (((𝑄𝑞)‘𝐴)(.r𝑅)((𝑄𝑟)‘𝐴)))
6751, 57, 663eqtr4d 2774 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝐹‘(𝑞(.r𝑃)𝑟)) = ((𝐹𝑞)(.r𝑅)(𝐹𝑟)))
68 eqid 2724 . 2 (+g𝑃) = (+g𝑃)
69 eqid 2724 . 2 (+g𝑅) = (+g𝑅)
707adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑝𝐵) → 𝐼𝑉)
7113adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑝𝐵) → 𝑅 ∈ CRing)
728adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑝𝐵) → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
73 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝑝𝐵) → 𝑝𝐵)
7435adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑝𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐾m 𝐼))
7528, 6, 9, 1, 29, 70, 71, 72, 73, 74evlscl 41585 . . 3 ((𝜑𝑝𝐵) → ((𝑄𝑝)‘𝐴) ∈ 𝐾)
7675, 15fmptd 7105 . 2 (𝜑𝐹:𝐵𝐾)
7728, 6, 9, 29, 1, 40, 41, 42, 43, 46, 49, 68, 69evlsaddval 41595 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → ((𝑞(+g𝑃)𝑟) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘(𝑞(+g𝑃)𝑟))‘𝐴) = (((𝑄𝑞)‘𝐴)(+g𝑅)((𝑄𝑟)‘𝐴))))
7877simprd 495 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → ((𝑄‘(𝑞(+g𝑃)𝑟))‘𝐴) = (((𝑄𝑞)‘𝐴)(+g𝑅)((𝑄𝑟)‘𝐴)))
79 fveq2 6881 . . . . 5 (𝑝 = (𝑞(+g𝑃)𝑟) → (𝑄𝑝) = (𝑄‘(𝑞(+g𝑃)𝑟)))
8079fveq1d 6883 . . . 4 (𝑝 = (𝑞(+g𝑃)𝑟) → ((𝑄𝑝)‘𝐴) = ((𝑄‘(𝑞(+g𝑃)𝑟))‘𝐴))
8112ringgrpd 20132 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ Grp)
8281adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → 𝑃 ∈ Grp)
831, 68, 82, 44, 47grpcld 18864 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝑞(+g𝑃)𝑟) ∈ 𝐵)
84 fvexd 6896 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → ((𝑄‘(𝑞(+g𝑃)𝑟))‘𝐴) ∈ V)
8515, 80, 83, 84fvmptd3 7011 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝐹‘(𝑞(+g𝑃)𝑟)) = ((𝑄‘(𝑞(+g𝑃)𝑟))‘𝐴))
8661, 65oveq12d 7419 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → ((𝐹𝑞)(+g𝑅)(𝐹𝑟)) = (((𝑄𝑞)‘𝐴)(+g𝑅)((𝑄𝑟)‘𝐴)))
8778, 85, 863eqtr4d 2774 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝐹‘(𝑞(+g𝑃)𝑟)) = ((𝐹𝑞)(+g𝑅)(𝐹𝑟)))
881, 2, 3, 4, 5, 12, 14, 39, 67, 29, 68, 69, 76, 87isrhmd 20375 1 (𝜑𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3466  cmpt 5221  cfv 6533  (class class class)co 7401  m cmap 8815  Basecbs 17140  s cress 17169  +gcplusg 17193  .rcmulr 17194  Grpcgrp 18850  1rcur 20071  Ringcrg 20123  CRingccrg 20124   RingHom crh 20356  SubRingcsubrg 20454  algSccascl 21707   mPoly cmpl 21759   evalSub ces 21934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-ofr 7664  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-map 8817  df-pm 8818  df-ixp 8887  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fsupp 9357  df-sup 9432  df-oi 9500  df-card 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18560  df-sgrp 18639  df-mnd 18655  df-mhm 18700  df-submnd 18701  df-grp 18853  df-minusg 18854  df-sbg 18855  df-mulg 18983  df-subg 19035  df-ghm 19124  df-cntz 19218  df-cmn 19687  df-abl 19688  df-mgp 20025  df-rng 20043  df-ur 20072  df-srg 20077  df-ring 20125  df-cring 20126  df-rhm 20359  df-subrng 20431  df-subrg 20456  df-lmod 20693  df-lss 20764  df-lsp 20804  df-assa 21708  df-asp 21709  df-ascl 21710  df-psr 21762  df-mvr 21763  df-mpl 21764  df-evls 21936
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator