Theorem r1pquslmic 33596

Description: The univariate polynomial remainder ring (𝐹 “_s 𝑃) is module isomorphic with the quotient ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
r1plmhm.1	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
r1plmhm.2	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
r1plmhm.4	⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
r1plmhm.5	⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
r1plmhm.6	⊢ 𝐹 = (𝑓 ∈ 𝑈 ↦ (𝑓𝐸𝑀))
r1plmhm.9	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
r1plmhm.10	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑁)
r1pquslmic.0	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
r1pquslmic.k	⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
r1pquslmic.q	⊢ 𝑄 = (𝑃 /s (𝑃 ~QG 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
r1pquslmic	⊢ (𝜑 → 𝑄 ≃𝑚 (𝐹 “s 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐸   𝑓,𝑀   𝑃,𝑓   𝑈,𝑓   𝜑,𝑓   0 ,𝑓   𝑓,𝐹   𝑄,𝑓

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑁(𝑓)

Proof of Theorem r1pquslmic

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “s 𝑃) = (𝐹 “s 𝑃))
2		r1plmhm.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝑃))
4		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
5		r1plmhm.9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
7		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) → 𝑓 ∈ 𝑈)
8		r1plmhm.10	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑁)
9	8	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) → 𝑀 ∈ 𝑁)
10		r1plmhm.4	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
11		r1plmhm.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
12		r1plmhm.5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
13	10, 11, 2, 12	r1pcl 26218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ 𝑈 ∧ 𝑀 ∈ 𝑁) → (𝑓𝐸𝑀) ∈ 𝑈)
14	6, 7, 9, 13	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) → (𝑓𝐸𝑀) ∈ 𝑈)
15		r1plmhm.6	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐹 = (𝑓 ∈ 𝑈 ↦ (𝑓𝐸𝑀))
16	14, 15	fmptd 7148	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑈⟶𝑈)
17		fimadmfo 6843	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝑈⟶𝑈 → 𝐹:𝑈–onto→(𝐹 “ 𝑈))
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑈–onto→(𝐹 “ 𝑈))
19		anass 468	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ↔ (𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))
20		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓))
21		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))
22	20, 21	oveq12d 7466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → ((𝐹‘𝑎)(+g‘(𝐹 “s 𝑃))(𝐹‘𝑏)) = ((𝐹‘𝑓)(+g‘(𝐹 “s 𝑃))(𝐹‘𝑞)))
23	11, 2, 10, 12, 15, 5, 8	r1plmhm 33595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 LMHom (𝐹 “s 𝑃)))
24	23	lmhmghmd 33023	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 GrpHom (𝐹 “s 𝑃)))
25	24	ad6antr 735	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → 𝐹 ∈ (𝑃 GrpHom (𝐹 “s 𝑃)))
26		simp-6r 787	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → 𝑎 ∈ 𝑈)
27		simp-5r 785	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → 𝑏 ∈ 𝑈)
28		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (+g‘(𝐹 “s 𝑃)) = (+g‘(𝐹 “s 𝑃))
29	2, 4, 28	ghmlin 19261	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑃 GrpHom (𝐹 “s 𝑃)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑃)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘(𝐹 “s 𝑃))(𝐹‘𝑏)))
30	25, 26, 27, 29	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑃)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘(𝐹 “s 𝑃))(𝐹‘𝑏)))
31		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → 𝑓 ∈ 𝑈)
32		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → 𝑞 ∈ 𝑈)
33	2, 4, 28	ghmlin 19261	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑃 GrpHom (𝐹 “s 𝑃)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) → (𝐹‘(𝑓(+g‘𝑃)𝑞)) = ((𝐹‘𝑓)(+g‘(𝐹 “s 𝑃))(𝐹‘𝑞)))
34	25, 31, 32, 33	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑓(+g‘𝑃)𝑞)) = ((𝐹‘𝑓)(+g‘(𝐹 “s 𝑃))(𝐹‘𝑞)))
35	22, 30, 34	3eqtr4d 2790	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑃)𝑏)) = (𝐹‘(𝑓(+g‘𝑃)𝑞)))
36	35	expl 457	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑃)𝑏)) = (𝐹‘(𝑓(+g‘𝑃)𝑞))))
37	36	anasss 466	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ (𝑓 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑃)𝑏)) = (𝐹‘(𝑓(+g‘𝑃)𝑞))))
38	19, 37	sylanbr 581	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑃)𝑏)) = (𝐹‘(𝑓(+g‘𝑃)𝑞))))
39	38	3impa 1110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ (𝑓 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑃)𝑏)) = (𝐹‘(𝑓(+g‘𝑃)𝑞))))
40	11	ply1ring 22270	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
41	5, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
42	41	ringgrpd 20269	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
43	42	grpmndd 18986	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Mnd)
44		r1pquslmic.0	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
45	1, 3, 4, 18, 39, 43, 44	imasmnd 18810	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “s 𝑃) ∈ Mnd ∧ (𝐹‘ 0 ) = (0g‘(𝐹 “s 𝑃))))
46	45	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 0 ) = (0g‘(𝐹 “s 𝑃)))
47		oveq1 7455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = 0 → (𝑓𝐸𝑀) = ( 0 𝐸𝑀))
48	11, 2, 12, 10, 5, 8, 44	r1p0 33591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ( 0 𝐸𝑀) = 0 )
49	47, 48	sylan9eqr 2802	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = 0 ) → (𝑓𝐸𝑀) = 0 )
50	2, 44	ring0cl 20290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 0 ∈ 𝑈)
51	41, 50	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑈)
52	15, 49, 51, 51	fvmptd2 7037	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 0 ) = 0 )
53	46, 52	eqtr3d 2782	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝐹 “s 𝑃)) = 0 )
54	53	sneqd 4660	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {(0g‘(𝐹 “s 𝑃))} = { 0 })
55	54	imaeq2d 6089	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ {(0g‘(𝐹 “s 𝑃))}) = (◡𝐹 “ { 0 }))
56		r1pquslmic.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
57	55, 56	eqtr4di 2798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ {(0g‘(𝐹 “s 𝑃))}) = 𝐾)
58	57	oveq2d 7464	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ~QG (◡𝐹 “ {(0g‘(𝐹 “s 𝑃))})) = (𝑃 ~QG 𝐾))
59	58	oveq2d 7464	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 /s (𝑃 ~QG (◡𝐹 “ {(0g‘(𝐹 “s 𝑃))}))) = (𝑃 /s (𝑃 ~QG 𝐾)))
60		r1pquslmic.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑃 /s (𝑃 ~QG 𝐾))
61	59, 60	eqtr4di 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 /s (𝑃 ~QG (◡𝐹 “ {(0g‘(𝐹 “s 𝑃))}))) = 𝑄)
62		eqid 2740	. . 3 ⊢ (0g‘(𝐹 “s 𝑃)) = (0g‘(𝐹 “s 𝑃))
63		eqid 2740	. . 3 ⊢ (◡𝐹 “ {(0g‘(𝐹 “s 𝑃))}) = (◡𝐹 “ {(0g‘(𝐹 “s 𝑃))})
64		eqid 2740	. . 3 ⊢ (𝑃 /s (𝑃 ~QG (◡𝐹 “ {(0g‘(𝐹 “s 𝑃))}))) = (𝑃 /s (𝑃 ~QG (◡𝐹 “ {(0g‘(𝐹 “s 𝑃))})))
65	16	ffnd 6748	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑈)
66		fnima 6710	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝑈 → (𝐹 “ 𝑈) = ran 𝐹)
67	65, 66	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝑈) = ran 𝐹)
68	11	fvexi 6934	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 ∈ V
69	68	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ V)
70	1, 3, 18, 69	imasbas 17572	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝑈) = (Base‘(𝐹 “s 𝑃)))
71	67, 70	eqtr3d 2782	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘(𝐹 “s 𝑃)))
72	62, 23, 63, 64, 71	lmicqusker 33411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 /s (𝑃 ~QG (◡𝐹 “ {(0g‘(𝐹 “s 𝑃))}))) ≃𝑚 (𝐹 “s 𝑃))
73	61, 72	eqbrtrrd 5190	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≃𝑚 (𝐹 “s 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488  {csn 4648   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  ^◡ccnv 5699  ran crn 5701   “ cima 5703   Fn wfn 6568  ⟶wf 6569  –onto→wfo 6571  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  0_gc0g 17499   “_s cimas 17564   /_s cqus 17565  Mndcmnd 18772   ~_QG cqg 19162   GrpHom cghm 19252  Ringcrg 20260   ≃_𝑚 clmic 21043  Poly₁cpl1 22199  Unic_1pcuc1p 26186  rem_1pcr1p 26188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-ofr 7715  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-ec 8765  df-qs 8769  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-hash 14380  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-prds 17507  df-pws 17509  df-imas 17568  df-qus 17569  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-nsg 19164  df-eqg 19165  df-ghm 19253  df-gim 19299  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-cring 20263  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-subrng 20572  df-subrg 20597  df-rlreg 20716  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lmhm 21044  df-lmim 21045  df-lmic 21046  df-cnfld 21388  df-psr 21952  df-mvr 21953  df-mpl 21954  df-opsr 21956  df-psr1 22202  df-vr1 22203  df-ply1 22204  df-coe1 22205  df-mdeg 26114  df-deg1 26115  df-uc1p 26191  df-q1p 26192  df-r1p 26193

This theorem is referenced by:  algextdeglem6  33713