Theorem r1pquslmic 33576

Description: The univariate polynomial remainder ring (𝐹 “_s 𝑃) is module isomorphic with the quotient ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
r1plmhm.1	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
r1plmhm.2	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
r1plmhm.4	⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
r1plmhm.5	⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
r1plmhm.6	⊢ 𝐹 = (𝑓 ∈ 𝑈 ↦ (𝑓𝐸𝑀))
r1plmhm.9	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
r1plmhm.10	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑁)
r1pquslmic.0	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
r1pquslmic.k	⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
r1pquslmic.q	⊢ 𝑄 = (𝑃 /s (𝑃 ~QG 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
r1pquslmic	⊢ (𝜑 → 𝑄 ≃𝑚 (𝐹 “s 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐸   𝑓,𝑀   𝑃,𝑓   𝑈,𝑓   𝜑,𝑓   0 ,𝑓   𝑓,𝐹   𝑄,𝑓

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑁(𝑓)

Proof of Theorem r1pquslmic

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “s 𝑃) = (𝐹 “s 𝑃))
2		r1plmhm.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝑃))
4		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
5		r1plmhm.9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
7		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) → 𝑓 ∈ 𝑈)
8		r1plmhm.10	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑁)
9	8	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) → 𝑀 ∈ 𝑁)
10		r1plmhm.4	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
11		r1plmhm.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
12		r1plmhm.5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
13	10, 11, 2, 12	r1pcl 26064	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ 𝑈 ∧ 𝑀 ∈ 𝑁) → (𝑓𝐸𝑀) ∈ 𝑈)
14	6, 7, 9, 13	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) → (𝑓𝐸𝑀) ∈ 𝑈)
15		r1plmhm.6	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐹 = (𝑓 ∈ 𝑈 ↦ (𝑓𝐸𝑀))
16	14, 15	fmptd 7086	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑈⟶𝑈)
17		fimadmfo 6781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝑈⟶𝑈 → 𝐹:𝑈–onto→(𝐹 “ 𝑈))
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑈–onto→(𝐹 “ 𝑈))
19		anass 468	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ↔ (𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))
20		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓))
21		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))
22	20, 21	oveq12d 7405	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → ((𝐹‘𝑎)(+g‘(𝐹 “s 𝑃))(𝐹‘𝑏)) = ((𝐹‘𝑓)(+g‘(𝐹 “s 𝑃))(𝐹‘𝑞)))
23	11, 2, 10, 12, 15, 5, 8	r1plmhm 33575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 LMHom (𝐹 “s 𝑃)))
24	23	lmhmghmd 32978	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 GrpHom (𝐹 “s 𝑃)))
25	24	ad6antr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → 𝐹 ∈ (𝑃 GrpHom (𝐹 “s 𝑃)))
26		simp-6r 787	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → 𝑎 ∈ 𝑈)
27		simp-5r 785	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → 𝑏 ∈ 𝑈)
28		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (+g‘(𝐹 “s 𝑃)) = (+g‘(𝐹 “s 𝑃))
29	2, 4, 28	ghmlin 19153	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑃 GrpHom (𝐹 “s 𝑃)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑃)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘(𝐹 “s 𝑃))(𝐹‘𝑏)))
30	25, 26, 27, 29	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑃)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘(𝐹 “s 𝑃))(𝐹‘𝑏)))
31		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → 𝑓 ∈ 𝑈)
32		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → 𝑞 ∈ 𝑈)
33	2, 4, 28	ghmlin 19153	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑃 GrpHom (𝐹 “s 𝑃)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) → (𝐹‘(𝑓(+g‘𝑃)𝑞)) = ((𝐹‘𝑓)(+g‘(𝐹 “s 𝑃))(𝐹‘𝑞)))
34	25, 31, 32, 33	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑓(+g‘𝑃)𝑞)) = ((𝐹‘𝑓)(+g‘(𝐹 “s 𝑃))(𝐹‘𝑞)))
35	22, 30, 34	3eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑃)𝑏)) = (𝐹‘(𝑓(+g‘𝑃)𝑞)))
36	35	expl 457	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑃)𝑏)) = (𝐹‘(𝑓(+g‘𝑃)𝑞))))
37	36	anasss 466	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ (𝑓 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑃)𝑏)) = (𝐹‘(𝑓(+g‘𝑃)𝑞))))
38	19, 37	sylanbr 582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑃)𝑏)) = (𝐹‘(𝑓(+g‘𝑃)𝑞))))
39	38	3impa 1109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ (𝑓 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑃)𝑏)) = (𝐹‘(𝑓(+g‘𝑃)𝑞))))
40	11	ply1ring 22132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
41	5, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
42	41	ringgrpd 20151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
43	42	grpmndd 18878	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Mnd)
44		r1pquslmic.0	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
45	1, 3, 4, 18, 39, 43, 44	imasmnd 18702	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “s 𝑃) ∈ Mnd ∧ (𝐹‘ 0 ) = (0g‘(𝐹 “s 𝑃))))
46	45	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 0 ) = (0g‘(𝐹 “s 𝑃)))
47		oveq1 7394	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = 0 → (𝑓𝐸𝑀) = ( 0 𝐸𝑀))
48	11, 2, 12, 10, 5, 8, 44	r1p0 33571	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ( 0 𝐸𝑀) = 0 )
49	47, 48	sylan9eqr 2786	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = 0 ) → (𝑓𝐸𝑀) = 0 )
50	2, 44	ring0cl 20176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 0 ∈ 𝑈)
51	41, 50	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑈)
52	15, 49, 51, 51	fvmptd2 6976	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 0 ) = 0 )
53	46, 52	eqtr3d 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝐹 “s 𝑃)) = 0 )
54	53	sneqd 4601	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {(0g‘(𝐹 “s 𝑃))} = { 0 })
55	54	imaeq2d 6031	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ {(0g‘(𝐹 “s 𝑃))}) = (◡𝐹 “ { 0 }))
56		r1pquslmic.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
57	55, 56	eqtr4di 2782	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ {(0g‘(𝐹 “s 𝑃))}) = 𝐾)
58	57	oveq2d 7403	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ~QG (◡𝐹 “ {(0g‘(𝐹 “s 𝑃))})) = (𝑃 ~QG 𝐾))
59	58	oveq2d 7403	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 /s (𝑃 ~QG (◡𝐹 “ {(0g‘(𝐹 “s 𝑃))}))) = (𝑃 /s (𝑃 ~QG 𝐾)))
60		r1pquslmic.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑃 /s (𝑃 ~QG 𝐾))
61	59, 60	eqtr4di 2782	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 /s (𝑃 ~QG (◡𝐹 “ {(0g‘(𝐹 “s 𝑃))}))) = 𝑄)
62		eqid 2729	. . 3 ⊢ (0g‘(𝐹 “s 𝑃)) = (0g‘(𝐹 “s 𝑃))
63		eqid 2729	. . 3 ⊢ (◡𝐹 “ {(0g‘(𝐹 “s 𝑃))}) = (◡𝐹 “ {(0g‘(𝐹 “s 𝑃))})
64		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝑃 /s (𝑃 ~QG (◡𝐹 “ {(0g‘(𝐹 “s 𝑃))}))) = (𝑃 /s (𝑃 ~QG (◡𝐹 “ {(0g‘(𝐹 “s 𝑃))})))
65	16	ffnd 6689	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑈)
66		fnima 6648	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝑈 → (𝐹 “ 𝑈) = ran 𝐹)
67	65, 66	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝑈) = ran 𝐹)
68	11	fvexi 6872	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 ∈ V
69	68	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ V)
70	1, 3, 18, 69	imasbas 17475	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝑈) = (Base‘(𝐹 “s 𝑃)))
71	67, 70	eqtr3d 2766	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘(𝐹 “s 𝑃)))
72	62, 23, 63, 64, 71	lmicqusker 33389	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 /s (𝑃 ~QG (◡𝐹 “ {(0g‘(𝐹 “s 𝑃))}))) ≃𝑚 (𝐹 “s 𝑃))
73	61, 72	eqbrtrrd 5131	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≃𝑚 (𝐹 “s 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447  {csn 4589   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188  ^◡ccnv 5637  ran crn 5639   “ cima 5641   Fn wfn 6506  ⟶wf 6507  –onto→wfo 6509  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  0_gc0g 17402   “_s cimas 17467   /_s cqus 17468  Mndcmnd 18661   ~_QG cqg 19054   GrpHom cghm 19144  Ringcrg 20142   ≃_𝑚 clmic 20928  Poly₁cpl1 22061  Unic_1pcuc1p 26032  rem_1pcr1p 26034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-ofr 7654  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-tpos 8205  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-ec 8673  df-qs 8677  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-hash 14296  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-prds 17410  df-pws 17412  df-imas 17471  df-qus 17472  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-mulg 19000  df-subg 19055  df-nsg 19056  df-eqg 19057  df-ghm 19145  df-gim 19191  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-cring 20145  df-oppr 20246  df-dvdsr 20266  df-unit 20267  df-invr 20297  df-subrng 20455  df-subrg 20479  df-rlreg 20603  df-lmod 20768  df-lss 20838  df-lmhm 20929  df-lmim 20930  df-lmic 20931  df-cnfld 21265  df-psr 21818  df-mvr 21819  df-mpl 21820  df-opsr 21822  df-psr1 22064  df-vr1 22065  df-ply1 22066  df-coe1 22067  df-mdeg 25960  df-deg1 25961  df-uc1p 26037  df-q1p 26038  df-r1p 26039

This theorem is referenced by:  algextdeglem6  33712