Theorem r1pquslmic 32971

Description: The univariate polynomial remainder ring (𝐹 “_s 𝑃) is module isomorphic with the quotient ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
r1plmhm.1	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
r1plmhm.2	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
r1plmhm.4	⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
r1plmhm.5	⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
r1plmhm.6	⊢ 𝐹 = (𝑓 ∈ 𝑈 ↦ (𝑓𝐸𝑀))
r1plmhm.9	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
r1plmhm.10	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑁)
r1pquslmic.0	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
r1pquslmic.k	⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
r1pquslmic.q	⊢ 𝑄 = (𝑃 /s (𝑃 ~QG 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
r1pquslmic	⊢ (𝜑 → 𝑄 ≃𝑚 (𝐹 “s 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐸   𝑓,𝑀   𝑃,𝑓   𝑈,𝑓   𝜑,𝑓   0 ,𝑓   𝑓,𝐹   𝑄,𝑓

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑁(𝑓)

Proof of Theorem r1pquslmic

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “s 𝑃) = (𝐹 “s 𝑃))
2		r1plmhm.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝑃))
4		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
5		r1plmhm.9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
7		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) → 𝑓 ∈ 𝑈)
8		r1plmhm.10	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑁)
9	8	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) → 𝑀 ∈ 𝑁)
10		r1plmhm.4	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
11		r1plmhm.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
12		r1plmhm.5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
13	10, 11, 2, 12	r1pcl 25924	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ 𝑈 ∧ 𝑀 ∈ 𝑁) → (𝑓𝐸𝑀) ∈ 𝑈)
14	6, 7, 9, 13	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) → (𝑓𝐸𝑀) ∈ 𝑈)
15		r1plmhm.6	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐹 = (𝑓 ∈ 𝑈 ↦ (𝑓𝐸𝑀))
16	14, 15	fmptd 7115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑈⟶𝑈)
17		fimadmfo 6814	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝑈⟶𝑈 → 𝐹:𝑈–onto→(𝐹 “ 𝑈))
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑈–onto→(𝐹 “ 𝑈))
19		anass 468	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ↔ (𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))
20		simplr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓))
21		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))
22	20, 21	oveq12d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → ((𝐹‘𝑎)(+g‘(𝐹 “s 𝑃))(𝐹‘𝑏)) = ((𝐹‘𝑓)(+g‘(𝐹 “s 𝑃))(𝐹‘𝑞)))
23	11, 2, 10, 12, 15, 5, 8	r1plmhm 32970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 LMHom (𝐹 “s 𝑃)))
24	23	lmhmghmd 32480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 GrpHom (𝐹 “s 𝑃)))
25	24	ad6antr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → 𝐹 ∈ (𝑃 GrpHom (𝐹 “s 𝑃)))
26		simp-6r 785	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → 𝑎 ∈ 𝑈)
27		simp-5r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → 𝑏 ∈ 𝑈)
28		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (+g‘(𝐹 “s 𝑃)) = (+g‘(𝐹 “s 𝑃))
29	2, 4, 28	ghmlin 19139	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑃 GrpHom (𝐹 “s 𝑃)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑃)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘(𝐹 “s 𝑃))(𝐹‘𝑏)))
30	25, 26, 27, 29	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑃)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘(𝐹 “s 𝑃))(𝐹‘𝑏)))
31		simp-4r 781	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → 𝑓 ∈ 𝑈)
32		simpllr 773	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → 𝑞 ∈ 𝑈)
33	2, 4, 28	ghmlin 19139	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑃 GrpHom (𝐹 “s 𝑃)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) → (𝐹‘(𝑓(+g‘𝑃)𝑞)) = ((𝐹‘𝑓)(+g‘(𝐹 “s 𝑃))(𝐹‘𝑞)))
34	25, 31, 32, 33	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑓(+g‘𝑃)𝑞)) = ((𝐹‘𝑓)(+g‘(𝐹 “s 𝑃))(𝐹‘𝑞)))
35	22, 30, 34	3eqtr4d 2781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑃)𝑏)) = (𝐹‘(𝑓(+g‘𝑃)𝑞)))
36	35	expl 457	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑃)𝑏)) = (𝐹‘(𝑓(+g‘𝑃)𝑞))))
37	36	anasss 466	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ (𝑓 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑃)𝑏)) = (𝐹‘(𝑓(+g‘𝑃)𝑞))))
38	19, 37	sylanbr 581	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑃)𝑏)) = (𝐹‘(𝑓(+g‘𝑃)𝑞))))
39	38	3impa 1109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ (𝑓 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑃)𝑏)) = (𝐹‘(𝑓(+g‘𝑃)𝑞))))
40	11	ply1ring 22003	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
41	5, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
42	41	ringgrpd 20140	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
43	42	grpmndd 18871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Mnd)
44		r1pquslmic.0	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
45	1, 3, 4, 18, 39, 43, 44	imasmnd 18700	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “s 𝑃) ∈ Mnd ∧ (𝐹‘ 0 ) = (0g‘(𝐹 “s 𝑃))))
46	45	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 0 ) = (0g‘(𝐹 “s 𝑃)))
47		oveq1 7419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = 0 → (𝑓𝐸𝑀) = ( 0 𝐸𝑀))
48	11, 2, 12, 10, 5, 8, 44	r1p0 32966	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ( 0 𝐸𝑀) = 0 )
49	47, 48	sylan9eqr 2793	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = 0 ) → (𝑓𝐸𝑀) = 0 )
50	2, 44	ring0cl 20159	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 0 ∈ 𝑈)
51	41, 50	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑈)
52	15, 49, 51, 51	fvmptd2 7006	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 0 ) = 0 )
53	46, 52	eqtr3d 2773	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝐹 “s 𝑃)) = 0 )
54	53	sneqd 4640	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {(0g‘(𝐹 “s 𝑃))} = { 0 })
55	54	imaeq2d 6059	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ {(0g‘(𝐹 “s 𝑃))}) = (◡𝐹 “ { 0 }))
56		r1pquslmic.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
57	55, 56	eqtr4di 2789	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ {(0g‘(𝐹 “s 𝑃))}) = 𝐾)
58	57	oveq2d 7428	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ~QG (◡𝐹 “ {(0g‘(𝐹 “s 𝑃))})) = (𝑃 ~QG 𝐾))
59	58	oveq2d 7428	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 /s (𝑃 ~QG (◡𝐹 “ {(0g‘(𝐹 “s 𝑃))}))) = (𝑃 /s (𝑃 ~QG 𝐾)))
60		r1pquslmic.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑃 /s (𝑃 ~QG 𝐾))
61	59, 60	eqtr4di 2789	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 /s (𝑃 ~QG (◡𝐹 “ {(0g‘(𝐹 “s 𝑃))}))) = 𝑄)
62		eqid 2731	. . 3 ⊢ (0g‘(𝐹 “s 𝑃)) = (0g‘(𝐹 “s 𝑃))
63		eqid 2731	. . 3 ⊢ (◡𝐹 “ {(0g‘(𝐹 “s 𝑃))}) = (◡𝐹 “ {(0g‘(𝐹 “s 𝑃))})
64		eqid 2731	. . 3 ⊢ (𝑃 /s (𝑃 ~QG (◡𝐹 “ {(0g‘(𝐹 “s 𝑃))}))) = (𝑃 /s (𝑃 ~QG (◡𝐹 “ {(0g‘(𝐹 “s 𝑃))})))
65	16	ffnd 6718	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑈)
66		fnima 6680	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝑈 → (𝐹 “ 𝑈) = ran 𝐹)
67	65, 66	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝑈) = ran 𝐹)
68	11	fvexi 6905	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 ∈ V
69	68	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ V)
70	1, 3, 18, 69	imasbas 17465	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝑈) = (Base‘(𝐹 “s 𝑃)))
71	67, 70	eqtr3d 2773	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘(𝐹 “s 𝑃)))
72	62, 23, 63, 64, 71	lmicqusker 32824	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 /s (𝑃 ~QG (◡𝐹 “ {(0g‘(𝐹 “s 𝑃))}))) ≃𝑚 (𝐹 “s 𝑃))
73	61, 72	eqbrtrrd 5172	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≃𝑚 (𝐹 “s 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473  {csn 4628   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ^◡ccnv 5675  ran crn 5677   “ cima 5679   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539  –onto→wfo 6541  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  +_gcplusg 17204  0_gc0g 17392   “_s cimas 17457   /_s cqus 17458  Mndcmnd 18662   ~_QG cqg 19042   GrpHom cghm 19131  Ringcrg 20131   ≃_𝑚 clmic 20780  Poly₁cpl1 21933  Unic_1pcuc1p 25893  rem_1pcr1p 25895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195  ax-mulf 11196

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-tpos 8217  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-ec 8711  df-qs 8715  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-hash 14298  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-prds 17400  df-pws 17402  df-imas 17461  df-qus 17462  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18568  df-sgrp 18647  df-mnd 18663  df-mhm 18708  df-submnd 18709  df-grp 18861  df-minusg 18862  df-sbg 18863  df-mulg 18991  df-subg 19043  df-nsg 19044  df-eqg 19045  df-ghm 19132  df-gim 19177  df-cntz 19226  df-cmn 19695  df-abl 19696  df-mgp 20033  df-rng 20051  df-ur 20080  df-ring 20133  df-cring 20134  df-oppr 20229  df-dvdsr 20252  df-unit 20253  df-invr 20283  df-subrng 20438  df-subrg 20463  df-lmod 20620  df-lss 20691  df-lmhm 20781  df-lmim 20782  df-lmic 20783  df-rlreg 21103  df-cnfld 21149  df-psr 21685  df-mvr 21686  df-mpl 21687  df-opsr 21689  df-psr1 21936  df-vr1 21937  df-ply1 21938  df-coe1 21939  df-mdeg 25819  df-deg1 25820  df-uc1p 25898  df-q1p 25899  df-r1p 25900

This theorem is referenced by:  algextdeglem6  33082