Theorem r1pquslmic 34007

Description: The univariate polynomial remainder ring (𝐹 “_s 𝑃) is module isomorphic with the quotient ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
r1plmhm.1	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
r1plmhm.2	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
r1plmhm.4	⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
r1plmhm.5	⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
r1plmhm.6	⊢ 𝐹 = (𝑓 ∈ 𝑈 ↦ (𝑓𝐸𝑀))
r1plmhm.9	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
r1plmhm.10	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑁)
r1pquslmic.0	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
r1pquslmic.k	⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
r1pquslmic.q	⊢ 𝑄 = (𝑃 /s (𝑃 ~QG 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
r1pquslmic	⊢ (𝜑 → 𝑄 ≃𝑚 (𝐹 “s 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐸   𝑓,𝑀   𝑃,𝑓   𝑈,𝑓   𝜑,𝑓   0 ,𝑓   𝑓,𝐹   𝑄,𝑓

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑁(𝑓)

Proof of Theorem r1pquslmic

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “s 𝑃) = (𝐹 “s 𝑃))
2		r1plmhm.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝑃))
4		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
5		r1plmhm.9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6	5	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
7		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) → 𝑓 ∈ 𝑈)
8		r1plmhm.10	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑁)
9	8	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) → 𝑀 ∈ 𝑁)
10		r1plmhm.4	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
11		r1plmhm.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
12		r1plmhm.5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
13	10, 11, 2, 12	r1pcl 26386	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ 𝑈 ∧ 𝑀 ∈ 𝑁) → (𝑓𝐸𝑀) ∈ 𝑈)
14	6, 7, 9, 13	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) → (𝑓𝐸𝑀) ∈ 𝑈)
15		r1plmhm.6	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐹 = (𝑓 ∈ 𝑈 ↦ (𝑓𝐸𝑀))
16	14, 15	fmptd 7110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑈⟶𝑈)
17		fimadmfo 6802	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝑈⟶𝑈 → 𝐹:𝑈–onto→(𝐹 “ 𝑈))
18	16, 17	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑈–onto→(𝐹 “ 𝑈))
19		anass 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ↔ (𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))
20		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓))
21		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))
22	20, 21	oveq12d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → ((𝐹‘𝑎)(+g‘(𝐹 “s 𝑃))(𝐹‘𝑏)) = ((𝐹‘𝑓)(+g‘(𝐹 “s 𝑃))(𝐹‘𝑞)))
23	11, 2, 10, 12, 15, 5, 8	r1plmhm 34006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 LMHom (𝐹 “s 𝑃)))
24	23	lmhmghmd 33463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 GrpHom (𝐹 “s 𝑃)))
25	24	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → 𝐹 ∈ (𝑃 GrpHom (𝐹 “s 𝑃)))
26		simp-6r 800	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → 𝑎 ∈ 𝑈)
27		simp-5r 798	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → 𝑏 ∈ 𝑈)
28		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (+g‘(𝐹 “s 𝑃)) = (+g‘(𝐹 “s 𝑃))
29	2, 4, 28	ghmlin 19349	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑃 GrpHom (𝐹 “s 𝑃)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑃)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘(𝐹 “s 𝑃))(𝐹‘𝑏)))
30	25, 26, 27, 29	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑃)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘(𝐹 “s 𝑃))(𝐹‘𝑏)))
31		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → 𝑓 ∈ 𝑈)
32		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → 𝑞 ∈ 𝑈)
33	2, 4, 28	ghmlin 19349	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑃 GrpHom (𝐹 “s 𝑃)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) → (𝐹‘(𝑓(+g‘𝑃)𝑞)) = ((𝐹‘𝑓)(+g‘(𝐹 “s 𝑃))(𝐹‘𝑞)))
34	25, 31, 32, 33	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑓(+g‘𝑃)𝑞)) = ((𝐹‘𝑓)(+g‘(𝐹 “s 𝑃))(𝐹‘𝑞)))
35	22, 30, 34	3eqtr4d 2807	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑃)𝑏)) = (𝐹‘(𝑓(+g‘𝑃)𝑞)))
36	35	expl 463	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑃)𝑏)) = (𝐹‘(𝑓(+g‘𝑃)𝑞))))
37	36	anasss 472	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ (𝑓 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑃)𝑏)) = (𝐹‘(𝑓(+g‘𝑃)𝑞))))
38	19, 37	sylanbr 594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑃)𝑏)) = (𝐹‘(𝑓(+g‘𝑃)𝑞))))
39	38	3impa 1127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ (𝑓 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑃)𝑏)) = (𝐹‘(𝑓(+g‘𝑃)𝑞))))
40	11	ply1ring 22473	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
41	5, 40	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
42	41	ringgrpd 20382	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
43	42	grpmndd 19071	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Mnd)
44		r1pquslmic.0	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
45	1, 3, 4, 18, 39, 43, 44	imasmnd 18884	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “s 𝑃) ∈ Mnd ∧ (𝐹‘ 0 ) = (0g‘(𝐹 “s 𝑃))))
46	45	simprd 501	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 0 ) = (0g‘(𝐹 “s 𝑃)))
47		oveq1 7423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = 0 → (𝑓𝐸𝑀) = ( 0 𝐸𝑀))
48	11, 2, 12, 10, 5, 8, 44	r1p0 34003	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ( 0 𝐸𝑀) = 0 )
49	47, 48	sylan9eqr 2819	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = 0 ) → (𝑓𝐸𝑀) = 0 )
50	2, 44	ring0cl 20409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 0 ∈ 𝑈)
51	41, 50	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑈)
52	15, 49, 51, 51	fvmptd2 6999	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 0 ) = 0 )
53	46, 52	eqtr3d 2799	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝐹 “s 𝑃)) = 0 )
54	53	sneqd 4599	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {(0g‘(𝐹 “s 𝑃))} = { 0 })
55	54	imaeq2d 6060	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ {(0g‘(𝐹 “s 𝑃))}) = (◡𝐹 “ { 0 }))
56		r1pquslmic.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
57	55, 56	eqtr4di 2815	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ {(0g‘(𝐹 “s 𝑃))}) = 𝐾)
58	57	oveq2d 7432	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ~QG (◡𝐹 “ {(0g‘(𝐹 “s 𝑃))})) = (𝑃 ~QG 𝐾))
59	58	oveq2d 7432	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 /s (𝑃 ~QG (◡𝐹 “ {(0g‘(𝐹 “s 𝑃))}))) = (𝑃 /s (𝑃 ~QG 𝐾)))
60		r1pquslmic.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑃 /s (𝑃 ~QG 𝐾))
61	59, 60	eqtr4di 2815	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 /s (𝑃 ~QG (◡𝐹 “ {(0g‘(𝐹 “s 𝑃))}))) = 𝑄)
62		eqid 2762	. . 3 ⊢ (0g‘(𝐹 “s 𝑃)) = (0g‘(𝐹 “s 𝑃))
63		eqid 2762	. . 3 ⊢ (◡𝐹 “ {(0g‘(𝐹 “s 𝑃))}) = (◡𝐹 “ {(0g‘(𝐹 “s 𝑃))})
64		eqid 2762	. . 3 ⊢ (𝑃 /s (𝑃 ~QG (◡𝐹 “ {(0g‘(𝐹 “s 𝑃))}))) = (𝑃 /s (𝑃 ~QG (◡𝐹 “ {(0g‘(𝐹 “s 𝑃))})))
65	16	ffnd 6707	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑈)
66		fnima 6666	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝑈 → (𝐹 “ 𝑈) = ran 𝐹)
67	65, 66	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝑈) = ran 𝐹)
68	11	fvexi 6896	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 ∈ V
69	68	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ V)
70	1, 3, 18, 69	imasbas 17602	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝑈) = (Base‘(𝐹 “s 𝑃)))
71	67, 70	eqtr3d 2799	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘(𝐹 “s 𝑃)))
72	62, 23, 63, 64, 71	lmicqusker 33834	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 /s (𝑃 ~QG (◡𝐹 “ {(0g‘(𝐹 “s 𝑃))}))) ≃𝑚 (𝐹 “s 𝑃))
73	61, 72	eqbrtrrd 5133	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≃𝑚 (𝐹 “s 𝑃))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453  {csn 4587   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190  ^◡ccnv 5658  ran crn 5660   “ cima 5662   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  –onto→wfo 6535  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Basecbs 17305  +_gcplusg 17346  0_gc0g 17528   “_s cimas 17594   /_s cqus 17595  Mndcmnd 18838   ~_QG cqg 19246   GrpHom cghm 19341  Ringcrg 20373   ≃_𝑚 clmic 21206  Poly₁cpl1 22403  Unic_1pcuc1p 26354  rem_1pcr1p 26356

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-ofr 7682  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-seq 14068  df-hash 14397  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-starv 17361  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-unif 17369  df-hom 17370  df-cco 17371  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-prds 17536  df-pws 17538  df-imas 17598  df-qus 17599  df-mre 17674  df-mrc 17675  df-acs 17677  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-mhm 18892  df-submnd 18893  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-mulg 19192  df-subg 19247  df-nsg 19248  df-eqg 19249  df-ghm 19342  df-gim 19387  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-cring 20376  df-oppr 20479  df-dvdsr 20499  df-unit 20500  df-invr 20530  df-subrng 20709  df-subrg 20733  df-rlreg 20857  df-lmod 21047  df-lss 21117  df-lmhm 21207  df-lmim 21208  df-lmic 21209  df-cnfld 21587  df-psr 22125  df-mvr 22126  df-mpl 22127  df-opsr 22129  df-psr1 22406  df-vr1 22407  df-ply1 22408  df-coe1 22409  df-mdeg 26282  df-deg1 26283  df-uc1p 26359  df-q1p 26360  df-r1p 26361

This theorem is used by:  algextdeglem6  34219