Theorem r1pquslmic 34142

Description: The univariate polynomial remainder ring (𝐹 “_s 𝑃) is module isomorphic with the quotient ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
r1plmhm.1	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
r1plmhm.2	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
r1plmhm.4	⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
r1plmhm.5	⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
r1plmhm.6	⊢ 𝐹 = (𝑓 ∈ 𝑈 ↦ (𝑓𝐸𝑀))
r1plmhm.9	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
r1plmhm.10	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑁)
r1pquslmic.0	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
r1pquslmic.k	⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
r1pquslmic.q	⊢ 𝑄 = (𝑃 /s (𝑃 ~QG 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
r1pquslmic	⊢ (𝜑 → 𝑄 ≃𝑚 (𝐹 “s 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐸   𝑓,𝑀   𝑃,𝑓   𝑈,𝑓   𝜑,𝑓   0 ,𝑓   𝑓,𝐹   𝑄,𝑓

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑁(𝑓)

Proof of Theorem r1pquslmic

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “s 𝑃) = (𝐹 “s 𝑃))
2		r1plmhm.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝑃))
4		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
5		r1plmhm.9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6	5	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
7		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) → 𝑓 ∈ 𝑈)
8		r1plmhm.10	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑁)
9	8	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) → 𝑀 ∈ 𝑁)
10		r1plmhm.4	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
11		r1plmhm.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
12		r1plmhm.5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
13	10, 11, 2, 12	r1pcl 26477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ 𝑈 ∧ 𝑀 ∈ 𝑁) → (𝑓𝐸𝑀) ∈ 𝑈)
14	6, 7, 9, 13	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) → (𝑓𝐸𝑀) ∈ 𝑈)
15		r1plmhm.6	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐹 = (𝑓 ∈ 𝑈 ↦ (𝑓𝐸𝑀))
16	14, 15	fmptd 7114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑈⟶𝑈)
17		fimadmfo 6805	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝑈⟶𝑈 → 𝐹:𝑈–onto→(𝐹 “ 𝑈))
18	16, 17	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑈–onto→(𝐹 “ 𝑈))
19		anass 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ↔ (𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))
20		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓))
21		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))
22	20, 21	oveq12d 7438	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → ((𝐹‘𝑎)(+g‘(𝐹 “s 𝑃))(𝐹‘𝑏)) = ((𝐹‘𝑓)(+g‘(𝐹 “s 𝑃))(𝐹‘𝑞)))
23	11, 2, 10, 12, 15, 5, 8	r1plmhm 34141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 LMHom (𝐹 “s 𝑃)))
24	23	lmhmghmd 33597	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 GrpHom (𝐹 “s 𝑃)))
25	24	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → 𝐹 ∈ (𝑃 GrpHom (𝐹 “s 𝑃)))
26		simp-6r 800	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → 𝑎 ∈ 𝑈)
27		simp-5r 798	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → 𝑏 ∈ 𝑈)
28		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (+g‘(𝐹 “s 𝑃)) = (+g‘(𝐹 “s 𝑃))
29	2, 4, 28	ghmlin 19435	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑃 GrpHom (𝐹 “s 𝑃)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑃)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘(𝐹 “s 𝑃))(𝐹‘𝑏)))
30	25, 26, 27, 29	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑃)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘(𝐹 “s 𝑃))(𝐹‘𝑏)))
31		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → 𝑓 ∈ 𝑈)
32		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → 𝑞 ∈ 𝑈)
33	2, 4, 28	ghmlin 19435	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑃 GrpHom (𝐹 “s 𝑃)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) → (𝐹‘(𝑓(+g‘𝑃)𝑞)) = ((𝐹‘𝑓)(+g‘(𝐹 “s 𝑃))(𝐹‘𝑞)))
34	25, 31, 32, 33	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑓(+g‘𝑃)𝑞)) = ((𝐹‘𝑓)(+g‘(𝐹 “s 𝑃))(𝐹‘𝑞)))
35	22, 30, 34	3eqtr4d 2805	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑃)𝑏)) = (𝐹‘(𝑓(+g‘𝑃)𝑞)))
36	35	expl 463	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑃)𝑏)) = (𝐹‘(𝑓(+g‘𝑃)𝑞))))
37	36	anasss 472	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ (𝑓 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑃)𝑏)) = (𝐹‘(𝑓(+g‘𝑃)𝑞))))
38	19, 37	sylanbr 594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑃)𝑏)) = (𝐹‘(𝑓(+g‘𝑃)𝑞))))
39	38	3impa 1127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ (𝑓 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑓) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑃)𝑏)) = (𝐹‘(𝑓(+g‘𝑃)𝑞))))
40	11	ply1ring 22565	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
41	5, 40	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
42	41	ringgrpd 20469	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
43	42	grpmndd 19157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Mnd)
44		r1pquslmic.0	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
45	1, 3, 4, 18, 39, 43, 44	imasmnd 18969	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “s 𝑃) ∈ Mnd ∧ (𝐹‘ 0 ) = (0g‘(𝐹 “s 𝑃))))
46	45	simprd 501	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 0 ) = (0g‘(𝐹 “s 𝑃)))
47		oveq1 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = 0 → (𝑓𝐸𝑀) = ( 0 𝐸𝑀))
48	11, 2, 12, 10, 5, 8, 44	r1p0 34138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ( 0 𝐸𝑀) = 0 )
49	47, 48	sylan9eqr 2817	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = 0 ) → (𝑓𝐸𝑀) = 0 )
50	2, 44	ring0cl 20496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 0 ∈ 𝑈)
51	41, 50	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑈)
52	15, 49, 51, 51	fvmptd2 7002	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 0 ) = 0 )
53	46, 52	eqtr3d 2797	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝐹 “s 𝑃)) = 0 )
54	53	sneqd 4595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {(0g‘(𝐹 “s 𝑃))} = { 0 })
55	54	imaeq2d 6051	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ {(0g‘(𝐹 “s 𝑃))}) = (◡𝐹 “ { 0 }))
56		r1pquslmic.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
57	55, 56	eqtr4di 2813	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ {(0g‘(𝐹 “s 𝑃))}) = 𝐾)
58	57	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ~QG (◡𝐹 “ {(0g‘(𝐹 “s 𝑃))})) = (𝑃 ~QG 𝐾))
59	58	oveq2d 7436	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 /s (𝑃 ~QG (◡𝐹 “ {(0g‘(𝐹 “s 𝑃))}))) = (𝑃 /s (𝑃 ~QG 𝐾)))
60		r1pquslmic.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑃 /s (𝑃 ~QG 𝐾))
61	59, 60	eqtr4di 2813	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 /s (𝑃 ~QG (◡𝐹 “ {(0g‘(𝐹 “s 𝑃))}))) = 𝑄)
62		eqid 2760	. . 3 ⊢ (0g‘(𝐹 “s 𝑃)) = (0g‘(𝐹 “s 𝑃))
63		eqid 2760	. . 3 ⊢ (◡𝐹 “ {(0g‘(𝐹 “s 𝑃))}) = (◡𝐹 “ {(0g‘(𝐹 “s 𝑃))})
64		eqid 2760	. . 3 ⊢ (𝑃 /s (𝑃 ~QG (◡𝐹 “ {(0g‘(𝐹 “s 𝑃))}))) = (𝑃 /s (𝑃 ~QG (◡𝐹 “ {(0g‘(𝐹 “s 𝑃))})))
65	16	ffnd 6710	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑈)
66		fnima 6669	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝑈 → (𝐹 “ 𝑈) = ran 𝐹)
67	65, 66	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝑈) = ran 𝐹)
68	11	fvexi 6899	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 ∈ V
69	68	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ V)
70	1, 3, 18, 69	imasbas 17684	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝑈) = (Base‘(𝐹 “s 𝑃)))
71	67, 70	eqtr3d 2797	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘(𝐹 “s 𝑃)))
72	62, 23, 63, 64, 71	lmicqusker 33969	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 /s (𝑃 ~QG (◡𝐹 “ {(0g‘(𝐹 “s 𝑃))}))) ≃𝑚 (𝐹 “s 𝑃))
73	61, 72	eqbrtrrd 5128	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≃𝑚 (𝐹 “s 𝑃))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  {csn 4583   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ^◡ccnv 5649  ran crn 5651   “ cima 5653   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  –onto→wfo 6536  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  0_gc0g 17610   “_s cimas 17676   /_s cqus 17677  Mndcmnd 18923   ~_QG cqg 19332   GrpHom cghm 19427  Ringcrg 20459   ≃_𝑚 clmic 21296  Poly₁cpl1 22495  Unic_1pcuc1p 26445  rem_1pcr1p 26447

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-ofr 7694  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-ec 8719  df-qs 8723  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-hash 14475  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-prds 17618  df-pws 17620  df-imas 17680  df-qus 17681  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-mulg 19278  df-subg 19333  df-nsg 19334  df-eqg 19335  df-ghm 19428  df-gim 19473  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-cring 20462  df-oppr 20567  df-dvdsr 20587  df-unit 20588  df-invr 20618  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-rlreg 20946  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-lmhm 21297  df-lmim 21298  df-lmic 21299  df-cnfld 21679  df-psr 22217  df-mvr 22218  df-mpl 22219  df-opsr 22221  df-psr1 22498  df-vr1 22499  df-ply1 22500  df-coe1 22501  df-mdeg 26373  df-deg1 26374  df-uc1p 26450  df-q1p 26451  df-r1p 26452

This theorem is used by:  algextdeglem6  34354