Theorem evls1maprhm 22602

Description: The function 𝐹 mapping polynomials 𝑝 to their subring evaluation at a given point 𝑋 is a ring homomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1maprhm.q	⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
evls1maprhm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
evls1maprhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evls1maprhm.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
evls1maprhm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evls1maprhm.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
evls1maprhm.y	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
evls1maprhm.f	⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝑋))

Assertion

Ref	Expression
evls1maprhm	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑅))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑝   𝑂,𝑝   𝑃,𝑝   𝑈,𝑝   𝑋,𝑝   𝜑,𝑝

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑝)   𝑆(𝑝)   𝐹(𝑝)

Proof of Theorem evls1maprhm

Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1maprhm.u	. 2 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
2		eqid 2760	. 2 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
3		eqid 2760	. 2 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
4		eqid 2760	. 2 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
5		eqid 2760	. 2 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
6		evls1maprhm.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
7		evls1maprhm.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
8		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑆) = (𝑅 ↾s 𝑆)
9	8	subrgcrng 20738	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ CRing)
10	6, 7, 9	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ CRing)
11		evls1maprhm.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
12	11	ply1crng 22424	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝑆) ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
13	10, 12	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ CRing)
14	13	crngringd 20386	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
15	6	crngringd 20386	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
16		evls1maprhm.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝑋))
17		fveq2 6879	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (1r‘𝑃) → (𝑂‘𝑝) = (𝑂‘(1r‘𝑃)))
18	17	fveq1d 6881	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (1r‘𝑃) → ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = ((𝑂‘(1r‘𝑃))‘𝑋))
19	1, 2	ringidcl 20407	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (1r‘𝑃) ∈ 𝑈)
20	14, 19	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑃) ∈ 𝑈)
21		fvexd 6894	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(1r‘𝑃))‘𝑋) ∈ V)
22	16, 18, 20, 21	fvmptd3 7011	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(1r‘𝑃)) = ((𝑂‘(1r‘𝑃))‘𝑋))
23	8, 3	subrg1 20745	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) = (1r‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
24	7, 23	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (1r‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
25	24	fveq2d 6883	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = ((algSc‘𝑃)‘(1r‘(𝑅 ↾s 𝑆))))
26	10	crngringd 20386	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring)
27		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
28		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (1r‘(𝑅 ↾s 𝑆))
29	11, 27, 28, 2	ply1scl1 22519	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘(𝑅 ↾s 𝑆))) = (1r‘𝑃))
30	26, 29	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘(𝑅 ↾s 𝑆))) = (1r‘𝑃))
31	25, 30	eqtr2d 2796	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑃) = ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))
32	31	fveq2d 6883	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(1r‘𝑃)) = (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))))
33	32	fveq1d 6881	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(1r‘𝑃))‘𝑋) = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝑋))
34		evls1maprhm.q	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
35		evls1maprhm.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
36	3	subrg1cl 20743	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
37	7, 36	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
38		evls1maprhm.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
39	34, 11, 8, 35, 27, 6, 7, 37, 38	evls1scafv 22592	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝑋) = (1r‘𝑅))
40	22, 33, 39	3eqtrd 2799	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(1r‘𝑃)) = (1r‘𝑅))
41	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑅 ∈ CRing)
42	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
43		simprl 783	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑞 ∈ 𝑈)
44		simprr 785	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑟 ∈ 𝑈)
45	38	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
46	34, 35, 11, 8, 1, 4, 5, 41, 42, 43, 44, 45	evls1muld 22598	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → ((𝑂‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟))‘𝑋) = (((𝑂‘𝑞)‘𝑋)(.r‘𝑅)((𝑂‘𝑟)‘𝑋)))
47		fveq2 6879	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (𝑞(.r‘𝑃)𝑟) → (𝑂‘𝑝) = (𝑂‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟)))
48	47	fveq1d 6881	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (𝑞(.r‘𝑃)𝑟) → ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = ((𝑂‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟))‘𝑋))
49	14	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑃 ∈ Ring)
50	1, 4, 49, 43, 44	ringcld 20397	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → (𝑞(.r‘𝑃)𝑟) ∈ 𝑈)
51		fvexd 6894	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → ((𝑂‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟))‘𝑋) ∈ V)
52	16, 48, 50, 51	fvmptd3 7011	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → (𝐹‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟)) = ((𝑂‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟))‘𝑋))
53		fveq2 6879	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑂‘𝑝) = (𝑂‘𝑞))
54	53	fveq1d 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = ((𝑂‘𝑞)‘𝑋))
55		fvexd 6894	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → ((𝑂‘𝑞)‘𝑋) ∈ V)
56	16, 54, 43, 55	fvmptd3 7011	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → (𝐹‘𝑞) = ((𝑂‘𝑞)‘𝑋))
57		fveq2 6879	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑟 → (𝑂‘𝑝) = (𝑂‘𝑟))
58	57	fveq1d 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑟 → ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = ((𝑂‘𝑟)‘𝑋))
59		fvexd 6894	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → ((𝑂‘𝑟)‘𝑋) ∈ V)
60	16, 58, 44, 59	fvmptd3 7011	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → (𝐹‘𝑟) = ((𝑂‘𝑟)‘𝑋))
61	56, 60	oveq12d 7432	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → ((𝐹‘𝑞)(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑟)) = (((𝑂‘𝑞)‘𝑋)(.r‘𝑅)((𝑂‘𝑟)‘𝑋)))
62	46, 52, 61	3eqtr4d 2805	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → (𝐹‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟)) = ((𝐹‘𝑞)(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑟)))
63		eqid 2760	. 2 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
64		eqid 2760	. 2 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
65		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (eval1‘𝑅) = (eval1‘𝑅)
66	34, 35, 11, 8, 1, 65, 6, 7	ressply1evl 22596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = ((eval1‘𝑅) ↾ 𝑈))
67	66	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑂 = ((eval1‘𝑅) ↾ 𝑈))
68	67	fveq1d 6881	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → (𝑂‘𝑝) = (((eval1‘𝑅) ↾ 𝑈)‘𝑝))
69		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑝 ∈ 𝑈)
70	69	fvresd 6899	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → (((eval1‘𝑅) ↾ 𝑈)‘𝑝) = ((eval1‘𝑅)‘𝑝))
71	68, 70	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → (𝑂‘𝑝) = ((eval1‘𝑅)‘𝑝))
72	71	fveq1d 6881	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = (((eval1‘𝑅)‘𝑝)‘𝑋))
73		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
74		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
75	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ CRing)
76	38	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝐵)
77		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (PwSer1‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (PwSer1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
78		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(PwSer1‘(𝑅 ↾s 𝑆))) = (Base‘(PwSer1‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
79	73, 8, 11, 1, 7, 77, 78, 74	ressply1bas2 22453	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ((Base‘(PwSer1‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∩ (Base‘(Poly1‘𝑅))))
80		inss2 4183	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘(PwSer1‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∩ (Base‘(Poly1‘𝑅))) ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑅))
81	79, 80	eqsstrdi 3975	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
82	81	sselda 3931	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
83	65, 73, 35, 74, 75, 76, 82	fveval1fvcl 22559	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → (((eval1‘𝑅)‘𝑝)‘𝑋) ∈ 𝐵)
84	72, 83	eqeltrd 2860	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) ∈ 𝐵)
85	84, 16	fmptd 7108	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑈⟶𝐵)
86	34, 35, 11, 8, 1, 63, 64, 41, 42, 43, 44, 45	evls1addd 22597	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → ((𝑂‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟))‘𝑋) = (((𝑂‘𝑞)‘𝑋)(+g‘𝑅)((𝑂‘𝑟)‘𝑋)))
87		fveq2 6879	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (𝑞(+g‘𝑃)𝑟) → (𝑂‘𝑝) = (𝑂‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟)))
88	87	fveq1d 6881	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (𝑞(+g‘𝑃)𝑟) → ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = ((𝑂‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟))‘𝑋))
89	49	ringgrpd 20382	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑃 ∈ Grp)
90	1, 63, 89, 43, 44	grpcld 19072	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → (𝑞(+g‘𝑃)𝑟) ∈ 𝑈)
91		fvexd 6894	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → ((𝑂‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟))‘𝑋) ∈ V)
92	16, 88, 90, 91	fvmptd3 7011	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → (𝐹‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟)) = ((𝑂‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟))‘𝑋))
93	56, 60	oveq12d 7432	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → ((𝐹‘𝑞)(+g‘𝑅)(𝐹‘𝑟)) = (((𝑂‘𝑞)‘𝑋)(+g‘𝑅)((𝑂‘𝑟)‘𝑋)))
94	86, 92, 93	3eqtr4d 2805	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → (𝐹‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟)) = ((𝐹‘𝑞)(+g‘𝑅)(𝐹‘𝑟)))
95	1, 2, 3, 4, 5, 14, 15, 40, 62, 35, 63, 64, 85, 94	isrhmd 20634	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ∩ cin 3898   ↦ cmpt 5186   ↾ cres 5657  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17302   ↾_s cress 17323  +_gcplusg 17343  ._rcmulr 17344  1_rcur 20321  Ringcrg 20373  CRingccrg 20374   RingHom crh 20611  SubRingcsubrg 20732  algSccascl 22068  PwSer₁cps1 22401  Poly₁cpl1 22403   evalSub₁ ces1 22539  eval₁ce1 22540

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-er 8697  df-map 8829  df-pm 8830  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9333  df-sup 9413  df-oi 9483  df-card 9945  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-fz 13563  df-fzo 13711  df-seq 14067  df-hash 14396  df-struct 17240  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-sca 17359  df-vsca 17360  df-ip 17361  df-tset 17362  df-ple 17363  df-ds 17365  df-hom 17367  df-cco 17368  df-0g 17527  df-gsum 17528  df-prds 17533  df-pws 17535  df-mre 17671  df-mrc 17672  df-acs 17674  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-mhm 18892  df-submnd 18893  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-mulg 19192  df-subg 19247  df-ghm 19342  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-srg 20327  df-ring 20375  df-cring 20376  df-rhm 20614  df-subrng 20709  df-subrg 20733  df-lmod 21047  df-lss 21117  df-lsp 21157  df-assa 22069  df-asp 22070  df-ascl 22071  df-psr 22125  df-mvr 22126  df-mpl 22127  df-opsr 22129  df-evls 22291  df-evl 22292  df-psr1 22406  df-vr1 22407  df-ply1 22408  df-coe1 22409  df-evls1 22541  df-evl1 22542

This theorem is used by:  evls1maplmhm  22603  evl1maprhm  22605  ply1annidl  34213  ply1annprmidl  34218  algextdeglem4  34231