Theorem evls1maprhm 22381

Description: The function 𝐹 mapping polynomials 𝑝 to their subring evaluation at a given point 𝑋 is a ring homomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1maprhm.q	⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
evls1maprhm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
evls1maprhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evls1maprhm.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
evls1maprhm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evls1maprhm.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
evls1maprhm.y	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
evls1maprhm.f	⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝑋))

Assertion

Ref	Expression
evls1maprhm	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑅))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑝   𝑂,𝑝   𝑃,𝑝   𝑈,𝑝   𝑋,𝑝   𝜑,𝑝

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑝)   𝑆(𝑝)   𝐹(𝑝)

Proof of Theorem evls1maprhm

Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1maprhm.u	. 2 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
2		eqid 2736	. 2 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
3		eqid 2736	. 2 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
4		eqid 2736	. 2 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
5		eqid 2736	. 2 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
6		evls1maprhm.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
7		evls1maprhm.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
8		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑆) = (𝑅 ↾s 𝑆)
9	8	subrgcrng 20576	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ CRing)
10	6, 7, 9	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ CRing)
11		evls1maprhm.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
12	11	ply1crng 22201	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝑆) ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
13	10, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ CRing)
14	13	crngringd 20244	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
15	6	crngringd 20244	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
16		evls1maprhm.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝑋))
17		fveq2 6905	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (1r‘𝑃) → (𝑂‘𝑝) = (𝑂‘(1r‘𝑃)))
18	17	fveq1d 6907	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (1r‘𝑃) → ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = ((𝑂‘(1r‘𝑃))‘𝑋))
19	1, 2	ringidcl 20263	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (1r‘𝑃) ∈ 𝑈)
20	14, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑃) ∈ 𝑈)
21		fvexd 6920	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(1r‘𝑃))‘𝑋) ∈ V)
22	16, 18, 20, 21	fvmptd3 7038	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(1r‘𝑃)) = ((𝑂‘(1r‘𝑃))‘𝑋))
23	8, 3	subrg1 20583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) = (1r‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
24	7, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (1r‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
25	24	fveq2d 6909	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = ((algSc‘𝑃)‘(1r‘(𝑅 ↾s 𝑆))))
26	10	crngringd 20244	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring)
27		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
28		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (1r‘(𝑅 ↾s 𝑆))
29	11, 27, 28, 2	ply1scl1 22297	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘(𝑅 ↾s 𝑆))) = (1r‘𝑃))
30	26, 29	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘(𝑅 ↾s 𝑆))) = (1r‘𝑃))
31	25, 30	eqtr2d 2777	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑃) = ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))
32	31	fveq2d 6909	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(1r‘𝑃)) = (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))))
33	32	fveq1d 6907	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(1r‘𝑃))‘𝑋) = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝑋))
34		evls1maprhm.q	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
35		evls1maprhm.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
36	3	subrg1cl 20581	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
37	7, 36	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
38		evls1maprhm.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
39	34, 11, 8, 35, 27, 6, 7, 37, 38	evls1scafv 22371	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝑋) = (1r‘𝑅))
40	22, 33, 39	3eqtrd 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(1r‘𝑃)) = (1r‘𝑅))
41	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑅 ∈ CRing)
42	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
43		simprl 770	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑞 ∈ 𝑈)
44		simprr 772	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑟 ∈ 𝑈)
45	38	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
46	34, 35, 11, 8, 1, 4, 5, 41, 42, 43, 44, 45	evls1muld 22377	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → ((𝑂‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟))‘𝑋) = (((𝑂‘𝑞)‘𝑋)(.r‘𝑅)((𝑂‘𝑟)‘𝑋)))
47		fveq2 6905	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (𝑞(.r‘𝑃)𝑟) → (𝑂‘𝑝) = (𝑂‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟)))
48	47	fveq1d 6907	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (𝑞(.r‘𝑃)𝑟) → ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = ((𝑂‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟))‘𝑋))
49	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑃 ∈ Ring)
50	1, 4, 49, 43, 44	ringcld 20258	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → (𝑞(.r‘𝑃)𝑟) ∈ 𝑈)
51		fvexd 6920	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → ((𝑂‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟))‘𝑋) ∈ V)
52	16, 48, 50, 51	fvmptd3 7038	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → (𝐹‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟)) = ((𝑂‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟))‘𝑋))
53		fveq2 6905	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑂‘𝑝) = (𝑂‘𝑞))
54	53	fveq1d 6907	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = ((𝑂‘𝑞)‘𝑋))
55		fvexd 6920	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → ((𝑂‘𝑞)‘𝑋) ∈ V)
56	16, 54, 43, 55	fvmptd3 7038	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → (𝐹‘𝑞) = ((𝑂‘𝑞)‘𝑋))
57		fveq2 6905	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑟 → (𝑂‘𝑝) = (𝑂‘𝑟))
58	57	fveq1d 6907	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑟 → ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = ((𝑂‘𝑟)‘𝑋))
59		fvexd 6920	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → ((𝑂‘𝑟)‘𝑋) ∈ V)
60	16, 58, 44, 59	fvmptd3 7038	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → (𝐹‘𝑟) = ((𝑂‘𝑟)‘𝑋))
61	56, 60	oveq12d 7450	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → ((𝐹‘𝑞)(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑟)) = (((𝑂‘𝑞)‘𝑋)(.r‘𝑅)((𝑂‘𝑟)‘𝑋)))
62	46, 52, 61	3eqtr4d 2786	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → (𝐹‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟)) = ((𝐹‘𝑞)(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑟)))
63		eqid 2736	. 2 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
64		eqid 2736	. 2 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
65		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (eval1‘𝑅) = (eval1‘𝑅)
66	34, 35, 11, 8, 1, 65, 6, 7	ressply1evl 22375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = ((eval1‘𝑅) ↾ 𝑈))
67	66	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑂 = ((eval1‘𝑅) ↾ 𝑈))
68	67	fveq1d 6907	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → (𝑂‘𝑝) = (((eval1‘𝑅) ↾ 𝑈)‘𝑝))
69		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑝 ∈ 𝑈)
70	69	fvresd 6925	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → (((eval1‘𝑅) ↾ 𝑈)‘𝑝) = ((eval1‘𝑅)‘𝑝))
71	68, 70	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → (𝑂‘𝑝) = ((eval1‘𝑅)‘𝑝))
72	71	fveq1d 6907	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = (((eval1‘𝑅)‘𝑝)‘𝑋))
73		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
74		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
75	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ CRing)
76	38	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝐵)
77		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (PwSer1‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (PwSer1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
78		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(PwSer1‘(𝑅 ↾s 𝑆))) = (Base‘(PwSer1‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
79	73, 8, 11, 1, 7, 77, 78, 74	ressply1bas2 22230	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ((Base‘(PwSer1‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∩ (Base‘(Poly1‘𝑅))))
80		inss2 4237	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘(PwSer1‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∩ (Base‘(Poly1‘𝑅))) ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑅))
81	79, 80	eqsstrdi 4027	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
82	81	sselda 3982	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
83	65, 73, 35, 74, 75, 76, 82	fveval1fvcl 22338	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → (((eval1‘𝑅)‘𝑝)‘𝑋) ∈ 𝐵)
84	72, 83	eqeltrd 2840	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) ∈ 𝐵)
85	84, 16	fmptd 7133	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑈⟶𝐵)
86	34, 35, 11, 8, 1, 63, 64, 41, 42, 43, 44, 45	evls1addd 22376	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → ((𝑂‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟))‘𝑋) = (((𝑂‘𝑞)‘𝑋)(+g‘𝑅)((𝑂‘𝑟)‘𝑋)))
87		fveq2 6905	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (𝑞(+g‘𝑃)𝑟) → (𝑂‘𝑝) = (𝑂‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟)))
88	87	fveq1d 6907	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (𝑞(+g‘𝑃)𝑟) → ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = ((𝑂‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟))‘𝑋))
89	49	ringgrpd 20240	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑃 ∈ Grp)
90	1, 63, 89, 43, 44	grpcld 18966	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → (𝑞(+g‘𝑃)𝑟) ∈ 𝑈)
91		fvexd 6920	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → ((𝑂‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟))‘𝑋) ∈ V)
92	16, 88, 90, 91	fvmptd3 7038	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → (𝐹‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟)) = ((𝑂‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟))‘𝑋))
93	56, 60	oveq12d 7450	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → ((𝐹‘𝑞)(+g‘𝑅)(𝐹‘𝑟)) = (((𝑂‘𝑞)‘𝑋)(+g‘𝑅)((𝑂‘𝑟)‘𝑋)))
94	86, 92, 93	3eqtr4d 2786	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → (𝐹‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟)) = ((𝐹‘𝑞)(+g‘𝑅)(𝐹‘𝑟)))
95	1, 2, 3, 4, 5, 14, 15, 40, 62, 35, 63, 64, 85, 94	isrhmd 20489	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3479   ∩ cin 3949   ↦ cmpt 5224   ↾ cres 5686  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248   ↾_s cress 17275  +_gcplusg 17298  ._rcmulr 17299  1_rcur 20179  Ringcrg 20231  CRingccrg 20232   RingHom crh 20470  SubRingcsubrg 20570  algSccascl 21873  PwSer₁cps1 22177  Poly₁cpl1 22179   evalSub₁ ces1 22318  eval₁ce1 22319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-ofr 7699  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-sup 9483  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-hash 14371  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-submnd 18798  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-mulg 19087  df-subg 19142  df-ghm 19232  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-srg 20185  df-ring 20233  df-cring 20234  df-rhm 20473  df-subrng 20547  df-subrg 20571  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-lsp 20971  df-assa 21874  df-asp 21875  df-ascl 21876  df-psr 21930  df-mvr 21931  df-mpl 21932  df-opsr 21934  df-evls 22099  df-evl 22100  df-psr1 22182  df-vr1 22183  df-ply1 22184  df-coe1 22185  df-evls1 22320  df-evl1 22321

This theorem is referenced by:  evls1maplmhm  22382  evl1maprhm  22384  ply1annidl  33746  ply1annprmidl  33751  algextdeglem4  33762