Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evls1maprhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evls1maprhm 33213
Description: The function 𝐹 mapping polynomials 𝑝 to their subring evaluation at a given point 𝑋 is a ring homomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
evls1maprhm.q 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
evls1maprhm.p 𝑃 = (Poly1‘(𝑅s 𝑆))
evls1maprhm.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
evls1maprhm.u 𝑈 = (Base‘𝑃)
evls1maprhm.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
evls1maprhm.s (𝜑𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
evls1maprhm.y (𝜑𝑋𝐵)
evls1maprhm.f 𝐹 = (𝑝𝑈 ↦ ((𝑂𝑝)‘𝑋))
Assertion
Ref Expression
evls1maprhm (𝜑𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑅))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑝   𝑂,𝑝   𝑃,𝑝   𝑈,𝑝   𝑋,𝑝   𝜑,𝑝
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑝)   𝑆(𝑝)   𝐹(𝑝)

Proof of Theorem evls1maprhm
Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evls1maprhm.u . 2 𝑈 = (Base‘𝑃)
2 eqid 2731 . 2 (1r𝑃) = (1r𝑃)
3 eqid 2731 . 2 (1r𝑅) = (1r𝑅)
4 eqid 2731 . 2 (.r𝑃) = (.r𝑃)
5 eqid 2731 . 2 (.r𝑅) = (.r𝑅)
6 evls1maprhm.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
7 evls1maprhm.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
8 eqid 2731 . . . . . 6 (𝑅s 𝑆) = (𝑅s 𝑆)
98subrgcrng 20473 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝑅s 𝑆) ∈ CRing)
106, 7, 9syl2anc 583 . . . 4 (𝜑 → (𝑅s 𝑆) ∈ CRing)
11 evls1maprhm.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1‘(𝑅s 𝑆))
1211ply1crng 22040 . . . 4 ((𝑅s 𝑆) ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
1310, 12syl 17 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ CRing)
1413crngringd 20147 . 2 (𝜑𝑃 ∈ Ring)
156crngringd 20147 . 2 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
16 evls1maprhm.f . . . 4 𝐹 = (𝑝𝑈 ↦ ((𝑂𝑝)‘𝑋))
17 fveq2 6891 . . . . 5 (𝑝 = (1r𝑃) → (𝑂𝑝) = (𝑂‘(1r𝑃)))
1817fveq1d 6893 . . . 4 (𝑝 = (1r𝑃) → ((𝑂𝑝)‘𝑋) = ((𝑂‘(1r𝑃))‘𝑋))
191, 2ringidcl 20161 . . . . 5 (𝑃 ∈ Ring → (1r𝑃) ∈ 𝑈)
2014, 19syl 17 . . . 4 (𝜑 → (1r𝑃) ∈ 𝑈)
21 fvexd 6906 . . . 4 (𝜑 → ((𝑂‘(1r𝑃))‘𝑋) ∈ V)
2216, 18, 20, 21fvmptd3 7021 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘(1r𝑃)) = ((𝑂‘(1r𝑃))‘𝑋))
238, 3subrg1 20480 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r𝑅) = (1r‘(𝑅s 𝑆)))
247, 23syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (1r𝑅) = (1r‘(𝑅s 𝑆)))
2524fveq2d 6895 . . . . . 6 (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)) = ((algSc‘𝑃)‘(1r‘(𝑅s 𝑆))))
2610crngringd 20147 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅s 𝑆) ∈ Ring)
27 eqid 2731 . . . . . . . 8 (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
28 eqid 2731 . . . . . . . 8 (1r‘(𝑅s 𝑆)) = (1r‘(𝑅s 𝑆))
2911, 27, 28, 2ply1scl1 22134 . . . . . . 7 ((𝑅s 𝑆) ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘(𝑅s 𝑆))) = (1r𝑃))
3026, 29syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘(𝑅s 𝑆))) = (1r𝑃))
3125, 30eqtr2d 2772 . . . . 5 (𝜑 → (1r𝑃) = ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)))
3231fveq2d 6895 . . . 4 (𝜑 → (𝑂‘(1r𝑃)) = (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅))))
3332fveq1d 6893 . . 3 (𝜑 → ((𝑂‘(1r𝑃))‘𝑋) = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)))‘𝑋))
34 evls1maprhm.q . . . 4 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
35 evls1maprhm.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
363subrg1cl 20478 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r𝑅) ∈ 𝑆)
377, 36syl 17 . . . 4 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ 𝑆)
38 evls1maprhm.y . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
3934, 11, 8, 35, 27, 6, 7, 37, 38evls1scafv 33082 . . 3 (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)))‘𝑋) = (1r𝑅))
4022, 33, 393eqtrd 2775 . 2 (𝜑 → (𝐹‘(1r𝑃)) = (1r𝑅))
416adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑟𝑈)) → 𝑅 ∈ CRing)
427adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑟𝑈)) → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
43 simprl 768 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑟𝑈)) → 𝑞𝑈)
44 simprr 770 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑟𝑈)) → 𝑟𝑈)
4538adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑟𝑈)) → 𝑋𝐵)
4634, 35, 11, 8, 1, 4, 5, 41, 42, 43, 44, 45evls1muld 33088 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑟𝑈)) → ((𝑂‘(𝑞(.r𝑃)𝑟))‘𝑋) = (((𝑂𝑞)‘𝑋)(.r𝑅)((𝑂𝑟)‘𝑋)))
47 fveq2 6891 . . . . 5 (𝑝 = (𝑞(.r𝑃)𝑟) → (𝑂𝑝) = (𝑂‘(𝑞(.r𝑃)𝑟)))
4847fveq1d 6893 . . . 4 (𝑝 = (𝑞(.r𝑃)𝑟) → ((𝑂𝑝)‘𝑋) = ((𝑂‘(𝑞(.r𝑃)𝑟))‘𝑋))
4914adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑟𝑈)) → 𝑃 ∈ Ring)
501, 4, 49, 43, 44ringcld 20158 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑟𝑈)) → (𝑞(.r𝑃)𝑟) ∈ 𝑈)
51 fvexd 6906 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑟𝑈)) → ((𝑂‘(𝑞(.r𝑃)𝑟))‘𝑋) ∈ V)
5216, 48, 50, 51fvmptd3 7021 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑟𝑈)) → (𝐹‘(𝑞(.r𝑃)𝑟)) = ((𝑂‘(𝑞(.r𝑃)𝑟))‘𝑋))
53 fveq2 6891 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑞 → (𝑂𝑝) = (𝑂𝑞))
5453fveq1d 6893 . . . . 5 (𝑝 = 𝑞 → ((𝑂𝑝)‘𝑋) = ((𝑂𝑞)‘𝑋))
55 fvexd 6906 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑟𝑈)) → ((𝑂𝑞)‘𝑋) ∈ V)
5616, 54, 43, 55fvmptd3 7021 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑟𝑈)) → (𝐹𝑞) = ((𝑂𝑞)‘𝑋))
57 fveq2 6891 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑟 → (𝑂𝑝) = (𝑂𝑟))
5857fveq1d 6893 . . . . 5 (𝑝 = 𝑟 → ((𝑂𝑝)‘𝑋) = ((𝑂𝑟)‘𝑋))
59 fvexd 6906 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑟𝑈)) → ((𝑂𝑟)‘𝑋) ∈ V)
6016, 58, 44, 59fvmptd3 7021 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑟𝑈)) → (𝐹𝑟) = ((𝑂𝑟)‘𝑋))
6156, 60oveq12d 7430 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑟𝑈)) → ((𝐹𝑞)(.r𝑅)(𝐹𝑟)) = (((𝑂𝑞)‘𝑋)(.r𝑅)((𝑂𝑟)‘𝑋)))
6246, 52, 613eqtr4d 2781 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑟𝑈)) → (𝐹‘(𝑞(.r𝑃)𝑟)) = ((𝐹𝑞)(.r𝑅)(𝐹𝑟)))
63 eqid 2731 . 2 (+g𝑃) = (+g𝑃)
64 eqid 2731 . 2 (+g𝑅) = (+g𝑅)
65 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (eval1𝑅) = (eval1𝑅)
6634, 35, 11, 8, 1, 65, 6, 7ressply1evl 33086 . . . . . . . 8 (𝜑𝑂 = ((eval1𝑅) ↾ 𝑈))
6766adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝𝑈) → 𝑂 = ((eval1𝑅) ↾ 𝑈))
6867fveq1d 6893 . . . . . 6 ((𝜑𝑝𝑈) → (𝑂𝑝) = (((eval1𝑅) ↾ 𝑈)‘𝑝))
69 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝𝑈) → 𝑝𝑈)
7069fvresd 6911 . . . . . 6 ((𝜑𝑝𝑈) → (((eval1𝑅) ↾ 𝑈)‘𝑝) = ((eval1𝑅)‘𝑝))
7168, 70eqtrd 2771 . . . . 5 ((𝜑𝑝𝑈) → (𝑂𝑝) = ((eval1𝑅)‘𝑝))
7271fveq1d 6893 . . . 4 ((𝜑𝑝𝑈) → ((𝑂𝑝)‘𝑋) = (((eval1𝑅)‘𝑝)‘𝑋))
73 eqid 2731 . . . . 5 (Poly1𝑅) = (Poly1𝑅)
74 eqid 2731 . . . . 5 (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(Poly1𝑅))
756adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑝𝑈) → 𝑅 ∈ CRing)
7638adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑝𝑈) → 𝑋𝐵)
77 eqid 2731 . . . . . . . 8 (PwSer1‘(𝑅s 𝑆)) = (PwSer1‘(𝑅s 𝑆))
78 eqid 2731 . . . . . . . 8 (Base‘(PwSer1‘(𝑅s 𝑆))) = (Base‘(PwSer1‘(𝑅s 𝑆)))
7973, 8, 11, 1, 7, 77, 78, 74ressply1bas2 22069 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 = ((Base‘(PwSer1‘(𝑅s 𝑆))) ∩ (Base‘(Poly1𝑅))))
80 inss2 4229 . . . . . . 7 ((Base‘(PwSer1‘(𝑅s 𝑆))) ∩ (Base‘(Poly1𝑅))) ⊆ (Base‘(Poly1𝑅))
8179, 80eqsstrdi 4036 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ⊆ (Base‘(Poly1𝑅)))
8281sselda 3982 . . . . 5 ((𝜑𝑝𝑈) → 𝑝 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
8365, 73, 35, 74, 75, 76, 82fveval1fvcl 22171 . . . 4 ((𝜑𝑝𝑈) → (((eval1𝑅)‘𝑝)‘𝑋) ∈ 𝐵)
8472, 83eqeltrd 2832 . . 3 ((𝜑𝑝𝑈) → ((𝑂𝑝)‘𝑋) ∈ 𝐵)
8584, 16fmptd 7115 . 2 (𝜑𝐹:𝑈𝐵)
8634, 35, 11, 8, 1, 63, 64, 41, 42, 43, 44, 45evls1addd 33087 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑟𝑈)) → ((𝑂‘(𝑞(+g𝑃)𝑟))‘𝑋) = (((𝑂𝑞)‘𝑋)(+g𝑅)((𝑂𝑟)‘𝑋)))
87 fveq2 6891 . . . . 5 (𝑝 = (𝑞(+g𝑃)𝑟) → (𝑂𝑝) = (𝑂‘(𝑞(+g𝑃)𝑟)))
8887fveq1d 6893 . . . 4 (𝑝 = (𝑞(+g𝑃)𝑟) → ((𝑂𝑝)‘𝑋) = ((𝑂‘(𝑞(+g𝑃)𝑟))‘𝑋))
8949ringgrpd 20143 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑟𝑈)) → 𝑃 ∈ Grp)
901, 63, 89, 43, 44grpcld 18875 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑟𝑈)) → (𝑞(+g𝑃)𝑟) ∈ 𝑈)
91 fvexd 6906 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑟𝑈)) → ((𝑂‘(𝑞(+g𝑃)𝑟))‘𝑋) ∈ V)
9216, 88, 90, 91fvmptd3 7021 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑟𝑈)) → (𝐹‘(𝑞(+g𝑃)𝑟)) = ((𝑂‘(𝑞(+g𝑃)𝑟))‘𝑋))
9356, 60oveq12d 7430 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑟𝑈)) → ((𝐹𝑞)(+g𝑅)(𝐹𝑟)) = (((𝑂𝑞)‘𝑋)(+g𝑅)((𝑂𝑟)‘𝑋)))
9486, 92, 933eqtr4d 2781 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑟𝑈)) → (𝐹‘(𝑞(+g𝑃)𝑟)) = ((𝐹𝑞)(+g𝑅)(𝐹𝑟)))
951, 2, 3, 4, 5, 14, 15, 40, 62, 35, 63, 64, 85, 94isrhmd 20386 1 (𝜑𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  Vcvv 3473  cin 3947  cmpt 5231  cres 5678  cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  s cress 17180  +gcplusg 17204  .rcmulr 17205  1rcur 20082  Ringcrg 20134  CRingccrg 20135   RingHom crh 20367  SubRingcsubrg 20465  algSccascl 21716  PwSer1cps1 22017  Poly1cpl1 22019   evalSub1 ces1 22151  eval1ce1 22152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-sup 9443  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-hash 14298  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-prds 17400  df-pws 17402  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18994  df-subg 19046  df-ghm 19135  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-srg 20088  df-ring 20136  df-cring 20137  df-rhm 20370  df-subrng 20442  df-subrg 20467  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lsp 20815  df-assa 21717  df-asp 21718  df-ascl 21719  df-psr 21771  df-mvr 21772  df-mpl 21773  df-opsr 21775  df-evls 21945  df-evl 21946  df-psr1 22022  df-vr1 22023  df-ply1 22024  df-coe1 22025  df-evls1 22153  df-evl1 22154
This theorem is referenced by:  evls1maplmhm  33214  ply1annidl  33217  ply1annprmidl  33222  algextdeglem4  33230
  Copyright terms: Public domain W3C validator