Theorem evls1maprhm 22536

Description: The function 𝐹 mapping polynomials 𝑝 to their subring evaluation at a given point 𝑋 is a ring homomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1maprhm.q	⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
evls1maprhm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
evls1maprhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evls1maprhm.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
evls1maprhm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evls1maprhm.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
evls1maprhm.y	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
evls1maprhm.f	⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝑋))

Assertion

Ref	Expression
evls1maprhm	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑅))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑝   𝑂,𝑝   𝑃,𝑝   𝑈,𝑝   𝑋,𝑝   𝜑,𝑝

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑝)   𝑆(𝑝)   𝐹(𝑝)

Proof of Theorem evls1maprhm

Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1maprhm.u	. 2 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
2		eqid 2763	. 2 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
3		eqid 2763	. 2 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
4		eqid 2763	. 2 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
5		eqid 2763	. 2 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
6		evls1maprhm.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
7		evls1maprhm.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
8		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑆) = (𝑅 ↾s 𝑆)
9	8	subrgcrng 20674	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ CRing)
10	6, 7, 9	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ CRing)
11		evls1maprhm.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
12	11	ply1crng 22358	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝑆) ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
13	10, 12	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ CRing)
14	13	crngringd 20323	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
15	6	crngringd 20323	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
16		evls1maprhm.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝑋))
17		fveq2 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (1r‘𝑃) → (𝑂‘𝑝) = (𝑂‘(1r‘𝑃)))
18	17	fveq1d 6883	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (1r‘𝑃) → ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = ((𝑂‘(1r‘𝑃))‘𝑋))
19	1, 2	ringidcl 20344	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (1r‘𝑃) ∈ 𝑈)
20	14, 19	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑃) ∈ 𝑈)
21		fvexd 6896	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(1r‘𝑃))‘𝑋) ∈ V)
22	16, 18, 20, 21	fvmptd3 7013	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(1r‘𝑃)) = ((𝑂‘(1r‘𝑃))‘𝑋))
23	8, 3	subrg1 20681	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) = (1r‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
24	7, 23	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (1r‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
25	24	fveq2d 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = ((algSc‘𝑃)‘(1r‘(𝑅 ↾s 𝑆))))
26	10	crngringd 20323	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring)
27		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
28		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (1r‘(𝑅 ↾s 𝑆))
29	11, 27, 28, 2	ply1scl1 22453	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘(𝑅 ↾s 𝑆))) = (1r‘𝑃))
30	26, 29	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘(𝑅 ↾s 𝑆))) = (1r‘𝑃))
31	25, 30	eqtr2d 2799	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑃) = ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))
32	31	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(1r‘𝑃)) = (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))))
33	32	fveq1d 6883	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(1r‘𝑃))‘𝑋) = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝑋))
34		evls1maprhm.q	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
35		evls1maprhm.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
36	3	subrg1cl 20679	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
37	7, 36	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
38		evls1maprhm.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
39	34, 11, 8, 35, 27, 6, 7, 37, 38	evls1scafv 22526	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝑋) = (1r‘𝑅))
40	22, 33, 39	3eqtrd 2802	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(1r‘𝑃)) = (1r‘𝑅))
41	6	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑅 ∈ CRing)
42	7	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
43		simprl 782	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑞 ∈ 𝑈)
44		simprr 784	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑟 ∈ 𝑈)
45	38	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
46	34, 35, 11, 8, 1, 4, 5, 41, 42, 43, 44, 45	evls1muld 22532	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → ((𝑂‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟))‘𝑋) = (((𝑂‘𝑞)‘𝑋)(.r‘𝑅)((𝑂‘𝑟)‘𝑋)))
47		fveq2 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (𝑞(.r‘𝑃)𝑟) → (𝑂‘𝑝) = (𝑂‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟)))
48	47	fveq1d 6883	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (𝑞(.r‘𝑃)𝑟) → ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = ((𝑂‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟))‘𝑋))
49	14	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑃 ∈ Ring)
50	1, 4, 49, 43, 44	ringcld 20334	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → (𝑞(.r‘𝑃)𝑟) ∈ 𝑈)
51		fvexd 6896	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → ((𝑂‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟))‘𝑋) ∈ V)
52	16, 48, 50, 51	fvmptd3 7013	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → (𝐹‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟)) = ((𝑂‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟))‘𝑋))
53		fveq2 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑂‘𝑝) = (𝑂‘𝑞))
54	53	fveq1d 6883	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = ((𝑂‘𝑞)‘𝑋))
55		fvexd 6896	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → ((𝑂‘𝑞)‘𝑋) ∈ V)
56	16, 54, 43, 55	fvmptd3 7013	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → (𝐹‘𝑞) = ((𝑂‘𝑞)‘𝑋))
57		fveq2 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑟 → (𝑂‘𝑝) = (𝑂‘𝑟))
58	57	fveq1d 6883	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑟 → ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = ((𝑂‘𝑟)‘𝑋))
59		fvexd 6896	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → ((𝑂‘𝑟)‘𝑋) ∈ V)
60	16, 58, 44, 59	fvmptd3 7013	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → (𝐹‘𝑟) = ((𝑂‘𝑟)‘𝑋))
61	56, 60	oveq12d 7428	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → ((𝐹‘𝑞)(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑟)) = (((𝑂‘𝑞)‘𝑋)(.r‘𝑅)((𝑂‘𝑟)‘𝑋)))
62	46, 52, 61	3eqtr4d 2808	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → (𝐹‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟)) = ((𝐹‘𝑞)(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑟)))
63		eqid 2763	. 2 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
64		eqid 2763	. 2 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
65		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (eval1‘𝑅) = (eval1‘𝑅)
66	34, 35, 11, 8, 1, 65, 6, 7	ressply1evl 22530	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = ((eval1‘𝑅) ↾ 𝑈))
67	66	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑂 = ((eval1‘𝑅) ↾ 𝑈))
68	67	fveq1d 6883	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → (𝑂‘𝑝) = (((eval1‘𝑅) ↾ 𝑈)‘𝑝))
69		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑝 ∈ 𝑈)
70	69	fvresd 6901	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → (((eval1‘𝑅) ↾ 𝑈)‘𝑝) = ((eval1‘𝑅)‘𝑝))
71	68, 70	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → (𝑂‘𝑝) = ((eval1‘𝑅)‘𝑝))
72	71	fveq1d 6883	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = (((eval1‘𝑅)‘𝑝)‘𝑋))
73		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
74		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
75	6	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ CRing)
76	38	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝐵)
77		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (PwSer1‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (PwSer1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
78		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(PwSer1‘(𝑅 ↾s 𝑆))) = (Base‘(PwSer1‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
79	73, 8, 11, 1, 7, 77, 78, 74	ressply1bas2 22387	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ((Base‘(PwSer1‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∩ (Base‘(Poly1‘𝑅))))
80		inss2 4190	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘(PwSer1‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∩ (Base‘(Poly1‘𝑅))) ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑅))
81	79, 80	eqsstrdi 3981	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
82	81	sselda 3937	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
83	65, 73, 35, 74, 75, 76, 82	fveval1fvcl 22493	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → (((eval1‘𝑅)‘𝑝)‘𝑋) ∈ 𝐵)
84	72, 83	eqeltrd 2863	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) ∈ 𝐵)
85	84, 16	fmptd 7109	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑈⟶𝐵)
86	34, 35, 11, 8, 1, 63, 64, 41, 42, 43, 44, 45	evls1addd 22531	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → ((𝑂‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟))‘𝑋) = (((𝑂‘𝑞)‘𝑋)(+g‘𝑅)((𝑂‘𝑟)‘𝑋)))
87		fveq2 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (𝑞(+g‘𝑃)𝑟) → (𝑂‘𝑝) = (𝑂‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟)))
88	87	fveq1d 6883	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (𝑞(+g‘𝑃)𝑟) → ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = ((𝑂‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟))‘𝑋))
89	49	ringgrpd 20319	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑃 ∈ Grp)
90	1, 63, 89, 43, 44	grpcld 19009	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → (𝑞(+g‘𝑃)𝑟) ∈ 𝑈)
91		fvexd 6896	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → ((𝑂‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟))‘𝑋) ∈ V)
92	16, 88, 90, 91	fvmptd3 7013	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → (𝐹‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟)) = ((𝑂‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟))‘𝑋))
93	56, 60	oveq12d 7428	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → ((𝐹‘𝑞)(+g‘𝑅)(𝐹‘𝑟)) = (((𝑂‘𝑞)‘𝑋)(+g‘𝑅)((𝑂‘𝑟)‘𝑋)))
94	86, 92, 93	3eqtr4d 2808	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → (𝐹‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟)) = ((𝐹‘𝑞)(+g‘𝑅)(𝐹‘𝑟)))
95	1, 2, 3, 4, 5, 14, 15, 40, 62, 35, 63, 64, 85, 94	isrhmd 20570	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ∩ cin 3904   ↦ cmpt 5192   ↾ cres 5663  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264   ↾_s cress 17285  +_gcplusg 17305  ._rcmulr 17306  1_rcur 20258  Ringcrg 20310  CRingccrg 20311   RingHom crh 20547  SubRingcsubrg 20668  algSccascl 22002  PwSer₁cps1 22335  Poly₁cpl1 22337   evalSub₁ ces1 22473  eval₁ce1 22474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-hash 14363  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-hom 17329  df-cco 17330  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-prds 17495  df-pws 17497  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-mhm 18836  df-submnd 18837  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-mulg 19129  df-subg 19184  df-ghm 19279  df-cntz 19382  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-srg 20264  df-ring 20312  df-cring 20313  df-rhm 20550  df-subrng 20645  df-subrg 20669  df-lmod 20983  df-lss 21053  df-lsp 21093  df-assa 22003  df-asp 22004  df-ascl 22005  df-psr 22059  df-mvr 22060  df-mpl 22061  df-opsr 22063  df-evls 22225  df-evl 22226  df-psr1 22340  df-vr1 22341  df-ply1 22342  df-coe1 22343  df-evls1 22475  df-evl1 22476

This theorem is referenced by:  evls1maplmhm  22537  evl1maprhm  22539  ply1annidl  34092  ply1annprmidl  34097  algextdeglem4  34110