Theorem evls1maprhm 22332

Description: The function 𝐹 mapping polynomials 𝑝 to their subring evaluation at a given point 𝑋 is a ring homomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1maprhm.q	⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
evls1maprhm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
evls1maprhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evls1maprhm.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
evls1maprhm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evls1maprhm.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
evls1maprhm.y	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
evls1maprhm.f	⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝑋))

Assertion

Ref	Expression
evls1maprhm	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑅))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑝   𝑂,𝑝   𝑃,𝑝   𝑈,𝑝   𝑋,𝑝   𝜑,𝑝

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑝)   𝑆(𝑝)   𝐹(𝑝)

Proof of Theorem evls1maprhm

Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1maprhm.u	. 2 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
2		eqid 2737	. 2 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
3		eqid 2737	. 2 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
4		eqid 2737	. 2 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
5		eqid 2737	. 2 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
6		evls1maprhm.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
7		evls1maprhm.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
8		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑆) = (𝑅 ↾s 𝑆)
9	8	subrgcrng 20520	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ CRing)
10	6, 7, 9	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ CRing)
11		evls1maprhm.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
12	11	ply1crng 22151	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝑆) ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
13	10, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ CRing)
14	13	crngringd 20193	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
15	6	crngringd 20193	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
16		evls1maprhm.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝑋))
17		fveq2 6842	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (1r‘𝑃) → (𝑂‘𝑝) = (𝑂‘(1r‘𝑃)))
18	17	fveq1d 6844	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (1r‘𝑃) → ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = ((𝑂‘(1r‘𝑃))‘𝑋))
19	1, 2	ringidcl 20212	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (1r‘𝑃) ∈ 𝑈)
20	14, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑃) ∈ 𝑈)
21		fvexd 6857	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(1r‘𝑃))‘𝑋) ∈ V)
22	16, 18, 20, 21	fvmptd3 6973	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(1r‘𝑃)) = ((𝑂‘(1r‘𝑃))‘𝑋))
23	8, 3	subrg1 20527	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) = (1r‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
24	7, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (1r‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
25	24	fveq2d 6846	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = ((algSc‘𝑃)‘(1r‘(𝑅 ↾s 𝑆))))
26	10	crngringd 20193	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring)
27		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
28		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (1r‘(𝑅 ↾s 𝑆))
29	11, 27, 28, 2	ply1scl1 22247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘(𝑅 ↾s 𝑆))) = (1r‘𝑃))
30	26, 29	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘(𝑅 ↾s 𝑆))) = (1r‘𝑃))
31	25, 30	eqtr2d 2773	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑃) = ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))
32	31	fveq2d 6846	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(1r‘𝑃)) = (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))))
33	32	fveq1d 6844	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(1r‘𝑃))‘𝑋) = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝑋))
34		evls1maprhm.q	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
35		evls1maprhm.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
36	3	subrg1cl 20525	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
37	7, 36	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
38		evls1maprhm.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
39	34, 11, 8, 35, 27, 6, 7, 37, 38	evls1scafv 22322	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝑋) = (1r‘𝑅))
40	22, 33, 39	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(1r‘𝑃)) = (1r‘𝑅))
41	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑅 ∈ CRing)
42	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
43		simprl 771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑞 ∈ 𝑈)
44		simprr 773	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑟 ∈ 𝑈)
45	38	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
46	34, 35, 11, 8, 1, 4, 5, 41, 42, 43, 44, 45	evls1muld 22328	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → ((𝑂‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟))‘𝑋) = (((𝑂‘𝑞)‘𝑋)(.r‘𝑅)((𝑂‘𝑟)‘𝑋)))
47		fveq2 6842	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (𝑞(.r‘𝑃)𝑟) → (𝑂‘𝑝) = (𝑂‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟)))
48	47	fveq1d 6844	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (𝑞(.r‘𝑃)𝑟) → ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = ((𝑂‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟))‘𝑋))
49	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑃 ∈ Ring)
50	1, 4, 49, 43, 44	ringcld 20207	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → (𝑞(.r‘𝑃)𝑟) ∈ 𝑈)
51		fvexd 6857	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → ((𝑂‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟))‘𝑋) ∈ V)
52	16, 48, 50, 51	fvmptd3 6973	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → (𝐹‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟)) = ((𝑂‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟))‘𝑋))
53		fveq2 6842	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑂‘𝑝) = (𝑂‘𝑞))
54	53	fveq1d 6844	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = ((𝑂‘𝑞)‘𝑋))
55		fvexd 6857	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → ((𝑂‘𝑞)‘𝑋) ∈ V)
56	16, 54, 43, 55	fvmptd3 6973	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → (𝐹‘𝑞) = ((𝑂‘𝑞)‘𝑋))
57		fveq2 6842	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑟 → (𝑂‘𝑝) = (𝑂‘𝑟))
58	57	fveq1d 6844	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑟 → ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = ((𝑂‘𝑟)‘𝑋))
59		fvexd 6857	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → ((𝑂‘𝑟)‘𝑋) ∈ V)
60	16, 58, 44, 59	fvmptd3 6973	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → (𝐹‘𝑟) = ((𝑂‘𝑟)‘𝑋))
61	56, 60	oveq12d 7386	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → ((𝐹‘𝑞)(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑟)) = (((𝑂‘𝑞)‘𝑋)(.r‘𝑅)((𝑂‘𝑟)‘𝑋)))
62	46, 52, 61	3eqtr4d 2782	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → (𝐹‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟)) = ((𝐹‘𝑞)(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑟)))
63		eqid 2737	. 2 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
64		eqid 2737	. 2 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
65		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (eval1‘𝑅) = (eval1‘𝑅)
66	34, 35, 11, 8, 1, 65, 6, 7	ressply1evl 22326	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = ((eval1‘𝑅) ↾ 𝑈))
67	66	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑂 = ((eval1‘𝑅) ↾ 𝑈))
68	67	fveq1d 6844	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → (𝑂‘𝑝) = (((eval1‘𝑅) ↾ 𝑈)‘𝑝))
69		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑝 ∈ 𝑈)
70	69	fvresd 6862	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → (((eval1‘𝑅) ↾ 𝑈)‘𝑝) = ((eval1‘𝑅)‘𝑝))
71	68, 70	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → (𝑂‘𝑝) = ((eval1‘𝑅)‘𝑝))
72	71	fveq1d 6844	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = (((eval1‘𝑅)‘𝑝)‘𝑋))
73		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
74		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
75	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ CRing)
76	38	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝐵)
77		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (PwSer1‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (PwSer1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
78		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(PwSer1‘(𝑅 ↾s 𝑆))) = (Base‘(PwSer1‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
79	73, 8, 11, 1, 7, 77, 78, 74	ressply1bas2 22180	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ((Base‘(PwSer1‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∩ (Base‘(Poly1‘𝑅))))
80		inss2 4192	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘(PwSer1‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∩ (Base‘(Poly1‘𝑅))) ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑅))
81	79, 80	eqsstrdi 3980	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
82	81	sselda 3935	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
83	65, 73, 35, 74, 75, 76, 82	fveval1fvcl 22289	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → (((eval1‘𝑅)‘𝑝)‘𝑋) ∈ 𝐵)
84	72, 83	eqeltrd 2837	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) ∈ 𝐵)
85	84, 16	fmptd 7068	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑈⟶𝐵)
86	34, 35, 11, 8, 1, 63, 64, 41, 42, 43, 44, 45	evls1addd 22327	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → ((𝑂‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟))‘𝑋) = (((𝑂‘𝑞)‘𝑋)(+g‘𝑅)((𝑂‘𝑟)‘𝑋)))
87		fveq2 6842	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (𝑞(+g‘𝑃)𝑟) → (𝑂‘𝑝) = (𝑂‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟)))
88	87	fveq1d 6844	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (𝑞(+g‘𝑃)𝑟) → ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = ((𝑂‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟))‘𝑋))
89	49	ringgrpd 20189	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑃 ∈ Grp)
90	1, 63, 89, 43, 44	grpcld 18889	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → (𝑞(+g‘𝑃)𝑟) ∈ 𝑈)
91		fvexd 6857	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → ((𝑂‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟))‘𝑋) ∈ V)
92	16, 88, 90, 91	fvmptd3 6973	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → (𝐹‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟)) = ((𝑂‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟))‘𝑋))
93	56, 60	oveq12d 7386	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → ((𝐹‘𝑞)(+g‘𝑅)(𝐹‘𝑟)) = (((𝑂‘𝑞)‘𝑋)(+g‘𝑅)((𝑂‘𝑟)‘𝑋)))
94	86, 92, 93	3eqtr4d 2782	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → (𝐹‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟)) = ((𝐹‘𝑞)(+g‘𝑅)(𝐹‘𝑟)))
95	1, 2, 3, 4, 5, 14, 15, 40, 62, 35, 63, 64, 85, 94	isrhmd 20435	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ∩ cin 3902   ↦ cmpt 5181   ↾ cres 5634  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148   ↾_s cress 17169  +_gcplusg 17189  ._rcmulr 17190  1_rcur 20128  Ringcrg 20180  CRingccrg 20181   RingHom crh 20417  SubRingcsubrg 20514  algSccascl 21819  PwSer₁cps1 22127  Poly₁cpl1 22129   evalSub₁ ces1 22269  eval₁ce1 22270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-ofr 7633  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-sup 9357  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-hash 14266  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-hom 17213  df-cco 17214  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-prds 17379  df-pws 17381  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mhm 18720  df-submnd 18721  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19010  df-subg 19065  df-ghm 19154  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-srg 20134  df-ring 20182  df-cring 20183  df-rhm 20420  df-subrng 20491  df-subrg 20515  df-lmod 20825  df-lss 20895  df-lsp 20935  df-assa 21820  df-asp 21821  df-ascl 21822  df-psr 21877  df-mvr 21878  df-mpl 21879  df-opsr 21881  df-evls 22041  df-evl 22042  df-psr1 22132  df-vr1 22133  df-ply1 22134  df-coe1 22135  df-evls1 22271  df-evl1 22272

This theorem is referenced by:  evls1maplmhm  22333  evl1maprhm  22335  ply1annidl  33880  ply1annprmidl  33885  algextdeglem4  33898