Theorem evls1maprhm 22299

Description: The function 𝐹 mapping polynomials 𝑝 to their subring evaluation at a given point 𝑋 is a ring homomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1maprhm.q	⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
evls1maprhm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
evls1maprhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evls1maprhm.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
evls1maprhm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evls1maprhm.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
evls1maprhm.y	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
evls1maprhm.f	⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝑋))

Assertion

Ref	Expression
evls1maprhm	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑅))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑝   𝑂,𝑝   𝑃,𝑝   𝑈,𝑝   𝑋,𝑝   𝜑,𝑝

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑝)   𝑆(𝑝)   𝐹(𝑝)

Proof of Theorem evls1maprhm

Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1maprhm.u	. 2 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
2		eqid 2734	. 2 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
3		eqid 2734	. 2 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
4		eqid 2734	. 2 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
5		eqid 2734	. 2 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
6		evls1maprhm.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
7		evls1maprhm.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
8		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑆) = (𝑅 ↾s 𝑆)
9	8	subrgcrng 20520	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ CRing)
10	6, 7, 9	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ CRing)
11		evls1maprhm.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
12	11	ply1crng 22119	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝑆) ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
13	10, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ CRing)
14	13	crngringd 20191	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
15	6	crngringd 20191	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
16		evls1maprhm.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝑋))
17		fveq2 6872	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (1r‘𝑃) → (𝑂‘𝑝) = (𝑂‘(1r‘𝑃)))
18	17	fveq1d 6874	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (1r‘𝑃) → ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = ((𝑂‘(1r‘𝑃))‘𝑋))
19	1, 2	ringidcl 20210	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (1r‘𝑃) ∈ 𝑈)
20	14, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑃) ∈ 𝑈)
21		fvexd 6887	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(1r‘𝑃))‘𝑋) ∈ V)
22	16, 18, 20, 21	fvmptd3 7005	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(1r‘𝑃)) = ((𝑂‘(1r‘𝑃))‘𝑋))
23	8, 3	subrg1 20527	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) = (1r‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
24	7, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (1r‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
25	24	fveq2d 6876	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = ((algSc‘𝑃)‘(1r‘(𝑅 ↾s 𝑆))))
26	10	crngringd 20191	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring)
27		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
28		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (1r‘(𝑅 ↾s 𝑆))
29	11, 27, 28, 2	ply1scl1 22215	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘(𝑅 ↾s 𝑆))) = (1r‘𝑃))
30	26, 29	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘(𝑅 ↾s 𝑆))) = (1r‘𝑃))
31	25, 30	eqtr2d 2770	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑃) = ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))
32	31	fveq2d 6876	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(1r‘𝑃)) = (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))))
33	32	fveq1d 6874	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(1r‘𝑃))‘𝑋) = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝑋))
34		evls1maprhm.q	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
35		evls1maprhm.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
36	3	subrg1cl 20525	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
37	7, 36	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
38		evls1maprhm.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
39	34, 11, 8, 35, 27, 6, 7, 37, 38	evls1scafv 22289	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝑋) = (1r‘𝑅))
40	22, 33, 39	3eqtrd 2773	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(1r‘𝑃)) = (1r‘𝑅))
41	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑅 ∈ CRing)
42	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
43		simprl 770	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑞 ∈ 𝑈)
44		simprr 772	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑟 ∈ 𝑈)
45	38	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
46	34, 35, 11, 8, 1, 4, 5, 41, 42, 43, 44, 45	evls1muld 22295	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → ((𝑂‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟))‘𝑋) = (((𝑂‘𝑞)‘𝑋)(.r‘𝑅)((𝑂‘𝑟)‘𝑋)))
47		fveq2 6872	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (𝑞(.r‘𝑃)𝑟) → (𝑂‘𝑝) = (𝑂‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟)))
48	47	fveq1d 6874	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (𝑞(.r‘𝑃)𝑟) → ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = ((𝑂‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟))‘𝑋))
49	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑃 ∈ Ring)
50	1, 4, 49, 43, 44	ringcld 20205	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → (𝑞(.r‘𝑃)𝑟) ∈ 𝑈)
51		fvexd 6887	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → ((𝑂‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟))‘𝑋) ∈ V)
52	16, 48, 50, 51	fvmptd3 7005	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → (𝐹‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟)) = ((𝑂‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟))‘𝑋))
53		fveq2 6872	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑂‘𝑝) = (𝑂‘𝑞))
54	53	fveq1d 6874	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = ((𝑂‘𝑞)‘𝑋))
55		fvexd 6887	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → ((𝑂‘𝑞)‘𝑋) ∈ V)
56	16, 54, 43, 55	fvmptd3 7005	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → (𝐹‘𝑞) = ((𝑂‘𝑞)‘𝑋))
57		fveq2 6872	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑟 → (𝑂‘𝑝) = (𝑂‘𝑟))
58	57	fveq1d 6874	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑟 → ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = ((𝑂‘𝑟)‘𝑋))
59		fvexd 6887	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → ((𝑂‘𝑟)‘𝑋) ∈ V)
60	16, 58, 44, 59	fvmptd3 7005	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → (𝐹‘𝑟) = ((𝑂‘𝑟)‘𝑋))
61	56, 60	oveq12d 7417	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → ((𝐹‘𝑞)(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑟)) = (((𝑂‘𝑞)‘𝑋)(.r‘𝑅)((𝑂‘𝑟)‘𝑋)))
62	46, 52, 61	3eqtr4d 2779	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → (𝐹‘(𝑞(.r‘𝑃)𝑟)) = ((𝐹‘𝑞)(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑟)))
63		eqid 2734	. 2 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
64		eqid 2734	. 2 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
65		eqid 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (eval1‘𝑅) = (eval1‘𝑅)
66	34, 35, 11, 8, 1, 65, 6, 7	ressply1evl 22293	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = ((eval1‘𝑅) ↾ 𝑈))
67	66	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑂 = ((eval1‘𝑅) ↾ 𝑈))
68	67	fveq1d 6874	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → (𝑂‘𝑝) = (((eval1‘𝑅) ↾ 𝑈)‘𝑝))
69		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑝 ∈ 𝑈)
70	69	fvresd 6892	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → (((eval1‘𝑅) ↾ 𝑈)‘𝑝) = ((eval1‘𝑅)‘𝑝))
71	68, 70	eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → (𝑂‘𝑝) = ((eval1‘𝑅)‘𝑝))
72	71	fveq1d 6874	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = (((eval1‘𝑅)‘𝑝)‘𝑋))
73		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
74		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
75	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ CRing)
76	38	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝐵)
77		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (PwSer1‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (PwSer1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
78		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(PwSer1‘(𝑅 ↾s 𝑆))) = (Base‘(PwSer1‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
79	73, 8, 11, 1, 7, 77, 78, 74	ressply1bas2 22148	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ((Base‘(PwSer1‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∩ (Base‘(Poly1‘𝑅))))
80		inss2 4211	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘(PwSer1‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ∩ (Base‘(Poly1‘𝑅))) ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑅))
81	79, 80	eqsstrdi 4001	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
82	81	sselda 3956	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
83	65, 73, 35, 74, 75, 76, 82	fveval1fvcl 22256	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → (((eval1‘𝑅)‘𝑝)‘𝑋) ∈ 𝐵)
84	72, 83	eqeltrd 2833	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) ∈ 𝐵)
85	84, 16	fmptd 7100	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑈⟶𝐵)
86	34, 35, 11, 8, 1, 63, 64, 41, 42, 43, 44, 45	evls1addd 22294	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → ((𝑂‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟))‘𝑋) = (((𝑂‘𝑞)‘𝑋)(+g‘𝑅)((𝑂‘𝑟)‘𝑋)))
87		fveq2 6872	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (𝑞(+g‘𝑃)𝑟) → (𝑂‘𝑝) = (𝑂‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟)))
88	87	fveq1d 6874	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (𝑞(+g‘𝑃)𝑟) → ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = ((𝑂‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟))‘𝑋))
89	49	ringgrpd 20187	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → 𝑃 ∈ Grp)
90	1, 63, 89, 43, 44	grpcld 18915	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → (𝑞(+g‘𝑃)𝑟) ∈ 𝑈)
91		fvexd 6887	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → ((𝑂‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟))‘𝑋) ∈ V)
92	16, 88, 90, 91	fvmptd3 7005	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → (𝐹‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟)) = ((𝑂‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟))‘𝑋))
93	56, 60	oveq12d 7417	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → ((𝐹‘𝑞)(+g‘𝑅)(𝐹‘𝑟)) = (((𝑂‘𝑞)‘𝑋)(+g‘𝑅)((𝑂‘𝑟)‘𝑋)))
94	86, 92, 93	3eqtr4d 2779	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈)) → (𝐹‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟)) = ((𝐹‘𝑞)(+g‘𝑅)(𝐹‘𝑟)))
95	1, 2, 3, 4, 5, 14, 15, 40, 62, 35, 63, 64, 85, 94	isrhmd 20433	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3457   ∩ cin 3923   ↦ cmpt 5198   ↾ cres 5653  ‘cfv 6527  (class class class)co 7399  Basecbs 17213   ↾_s cress 17236  +_gcplusg 17256  ._rcmulr 17257  1_rcur 20126  Ringcrg 20178  CRingccrg 20179   RingHom crh 20414  SubRingcsubrg 20514  algSccascl 21797  PwSer₁cps1 22095  Poly₁cpl1 22097   evalSub₁ ces1 22236  eval₁ce1 22237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5246  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723  ax-cnex 11177  ax-resscn 11178  ax-1cn 11179  ax-icn 11180  ax-addcl 11181  ax-addrcl 11182  ax-mulcl 11183  ax-mulrcl 11184  ax-mulcom 11185  ax-addass 11186  ax-mulass 11187  ax-distr 11188  ax-i2m1 11189  ax-1ne0 11190  ax-1rid 11191  ax-rnegex 11192  ax-rrecex 11193  ax-cnre 11194  ax-pre-lttri 11195  ax-pre-lttrn 11196  ax-pre-ltadd 11197  ax-pre-mulgt0 11198

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-tp 4604  df-op 4606  df-uni 4881  df-int 4920  df-iun 4966  df-iin 4967  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-tr 5227  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6287  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7356  df-ov 7402  df-oprab 7403  df-mpo 7404  df-of 7665  df-ofr 7666  df-om 7856  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8154  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8474  df-2o 8475  df-er 8713  df-map 8836  df-pm 8837  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9368  df-sup 9448  df-oi 9516  df-card 9945  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12233  df-2 12295  df-3 12296  df-4 12297  df-5 12298  df-6 12299  df-7 12300  df-8 12301  df-9 12302  df-n0 12494  df-z 12581  df-dec 12701  df-uz 12845  df-fz 13514  df-fzo 13661  df-seq 14009  df-hash 14337  df-struct 17151  df-sets 17168  df-slot 17186  df-ndx 17198  df-base 17214  df-ress 17237  df-plusg 17269  df-mulr 17270  df-sca 17272  df-vsca 17273  df-ip 17274  df-tset 17275  df-ple 17276  df-ds 17278  df-hom 17280  df-cco 17281  df-0g 17440  df-gsum 17441  df-prds 17446  df-pws 17448  df-mre 17583  df-mrc 17584  df-acs 17586  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-submnd 18747  df-grp 18904  df-minusg 18905  df-sbg 18906  df-mulg 19036  df-subg 19091  df-ghm 19181  df-cntz 19285  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20086  df-rng 20098  df-ur 20127  df-srg 20132  df-ring 20180  df-cring 20181  df-rhm 20417  df-subrng 20491  df-subrg 20515  df-lmod 20804  df-lss 20874  df-lsp 20914  df-assa 21798  df-asp 21799  df-ascl 21800  df-psr 21854  df-mvr 21855  df-mpl 21856  df-opsr 21858  df-evls 22017  df-evl 22018  df-psr1 22100  df-vr1 22101  df-ply1 22102  df-coe1 22103  df-evls1 22238  df-evl1 22239

This theorem is referenced by:  evls1maplmhm  22300  evl1maprhm  22302  ply1annidl  33652  ply1annprmidl  33657  algextdeglem4  33670