MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lringuplu Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lringuplu 20306
Description: If the sum of two elements of a local ring is invertible, then at least one of the summands must be invertible. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Feb-2025.) (Revised by SN, 23-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
lring.b (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…))
lring.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…))
lring.p (πœ‘ β†’ + = (+gβ€˜π‘…))
lring.l (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ LRing)
lring.s (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
lring.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
lring.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
lringuplu (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∨ π‘Œ ∈ π‘ˆ))
Proof of Theorem lringuplu
Dummy variables 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lring.l . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ LRing)
2 lringring 20304 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ LRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
4 lring.x . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
5 lring.b . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…))
64, 5eleqtrd 2835 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
7 lring.s . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
8 lring.u . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…))
97, 8eleqtrd 2835 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
10 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
11 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
12 eqid 2732 . . . . . . . 8 (/rβ€˜π‘…) = (/rβ€˜π‘…)
13 eqid 2732 . . . . . . . 8 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
1410, 11, 12, 13dvrcan1 20215 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 + π‘Œ) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(.rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) = 𝑋)
153, 6, 9, 14syl3anc 1371 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(.rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) = 𝑋)
1615adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(.rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) = 𝑋)
173adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
18 simpr 485 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
199adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
2011, 13unitmulcl 20186 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 + π‘Œ) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(.rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
2117, 18, 19, 20syl3anc 1371 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(.rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
2216, 21eqeltrrd 2834 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ 𝑋 ∈ (Unitβ€˜π‘…))
238adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…))
2422, 23eleqtrrd 2836 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
2524orcd 871 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∨ π‘Œ ∈ π‘ˆ))
26 lring.y . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
2726, 5eleqtrd 2835 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
2810, 11, 12, 13dvrcan1 20215 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 + π‘Œ) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(.rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) = π‘Œ)
293, 27, 9, 28syl3anc 1371 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(.rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) = π‘Œ)
3029adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(.rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) = π‘Œ)
313adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
32 simpr 485 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
339adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
3411, 13unitmulcl 20186 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 + π‘Œ) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(.rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
3531, 32, 33, 34syl3anc 1371 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(.rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
3630, 35eqeltrrd 2834 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ π‘Œ ∈ (Unitβ€˜π‘…))
378adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…))
3836, 37eleqtrrd 2836 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
3938olcd 872 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∨ π‘Œ ∈ π‘ˆ))
40 eqid 2732 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
4110, 11, 40, 12dvrdir 20218 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 + π‘Œ) ∈ (Unitβ€˜π‘…))) β†’ ((𝑋(+gβ€˜π‘…)π‘Œ)(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) = ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(+gβ€˜π‘…)(π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))))
423, 6, 27, 9, 41syl13anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑋(+gβ€˜π‘…)π‘Œ)(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) = ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(+gβ€˜π‘…)(π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))))
43 lring.p . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ + = (+gβ€˜π‘…))
4443eqcomd 2738 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜π‘…) = + )
4544oveqd 7422 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋(+gβ€˜π‘…)π‘Œ) = (𝑋 + π‘Œ))
463ringgrpd 20058 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Grp)
4710, 40, 46, 6, 27grpcld 18829 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋(+gβ€˜π‘…)π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
48 eqid 2732 . . . . . . 7 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
4910, 11, 12, 48dvreq1 20217 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋(+gβ€˜π‘…)π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 + π‘Œ) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (((𝑋(+gβ€˜π‘…)π‘Œ)(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) = (1rβ€˜π‘…) ↔ (𝑋(+gβ€˜π‘…)π‘Œ) = (𝑋 + π‘Œ)))
503, 47, 9, 49syl3anc 1371 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝑋(+gβ€˜π‘…)π‘Œ)(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) = (1rβ€˜π‘…) ↔ (𝑋(+gβ€˜π‘…)π‘Œ) = (𝑋 + π‘Œ)))
5145, 50mpbird 256 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑋(+gβ€˜π‘…)π‘Œ)(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) = (1rβ€˜π‘…))
5242, 51eqtr3d 2774 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(+gβ€˜π‘…)(π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))) = (1rβ€˜π‘…))
53 oveq2 7413 . . . . . 6 (𝑣 = (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) β†’ ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(+gβ€˜π‘…)𝑣) = ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(+gβ€˜π‘…)(π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))))
5453eqeq1d 2734 . . . . 5 (𝑣 = (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) β†’ (((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(+gβ€˜π‘…)𝑣) = (1rβ€˜π‘…) ↔ ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(+gβ€˜π‘…)(π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))) = (1rβ€˜π‘…)))
55 eleq1 2821 . . . . . 6 (𝑣 = (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) β†’ (𝑣 ∈ (Unitβ€˜π‘…) ↔ (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)))
5655orbi2d 914 . . . . 5 (𝑣 = (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) β†’ (((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ 𝑣 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) ↔ ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…))))
5754, 56imbi12d 344 . . . 4 (𝑣 = (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) β†’ ((((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(+gβ€˜π‘…)𝑣) = (1rβ€˜π‘…) β†’ ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ 𝑣 ∈ (Unitβ€˜π‘…))) ↔ (((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(+gβ€˜π‘…)(π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))) = (1rβ€˜π‘…) β†’ ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)))))
58 oveq1 7412 . . . . . . . 8 (𝑒 = (𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) β†’ (𝑒(+gβ€˜π‘…)𝑣) = ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(+gβ€˜π‘…)𝑣))
5958eqeq1d 2734 . . . . . . 7 (𝑒 = (𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) β†’ ((𝑒(+gβ€˜π‘…)𝑣) = (1rβ€˜π‘…) ↔ ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(+gβ€˜π‘…)𝑣) = (1rβ€˜π‘…)))
60 eleq1 2821 . . . . . . . 8 (𝑒 = (𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) β†’ (𝑒 ∈ (Unitβ€˜π‘…) ↔ (𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)))
6160orbi1d 915 . . . . . . 7 (𝑒 = (𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) β†’ ((𝑒 ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ 𝑣 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) ↔ ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ 𝑣 ∈ (Unitβ€˜π‘…))))
6259, 61imbi12d 344 . . . . . 6 (𝑒 = (𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) β†’ (((𝑒(+gβ€˜π‘…)𝑣) = (1rβ€˜π‘…) β†’ (𝑒 ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ 𝑣 ∈ (Unitβ€˜π‘…))) ↔ (((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(+gβ€˜π‘…)𝑣) = (1rβ€˜π‘…) β†’ ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ 𝑣 ∈ (Unitβ€˜π‘…)))))
6362ralbidv 3177 . . . . 5 (𝑒 = (𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((𝑒(+gβ€˜π‘…)𝑣) = (1rβ€˜π‘…) β†’ (𝑒 ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ 𝑣 ∈ (Unitβ€˜π‘…))) ↔ βˆ€π‘£ ∈ (Baseβ€˜π‘…)(((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(+gβ€˜π‘…)𝑣) = (1rβ€˜π‘…) β†’ ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ 𝑣 ∈ (Unitβ€˜π‘…)))))
6410, 40, 48, 11islring 20302 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ LRing ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ βˆ€π‘’ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘£ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((𝑒(+gβ€˜π‘…)𝑣) = (1rβ€˜π‘…) β†’ (𝑒 ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ 𝑣 ∈ (Unitβ€˜π‘…)))))
651, 64sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑅 ∈ NzRing ∧ βˆ€π‘’ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘£ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((𝑒(+gβ€˜π‘…)𝑣) = (1rβ€˜π‘…) β†’ (𝑒 ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ 𝑣 ∈ (Unitβ€˜π‘…)))))
6665simprd 496 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘£ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((𝑒(+gβ€˜π‘…)𝑣) = (1rβ€˜π‘…) β†’ (𝑒 ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ 𝑣 ∈ (Unitβ€˜π‘…))))
6710, 11, 12dvrcl 20210 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 + π‘Œ) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
683, 6, 9, 67syl3anc 1371 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
6963, 66, 68rspcdva 3613 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘£ ∈ (Baseβ€˜π‘…)(((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(+gβ€˜π‘…)𝑣) = (1rβ€˜π‘…) β†’ ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ 𝑣 ∈ (Unitβ€˜π‘…))))
7010, 11, 12dvrcl 20210 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 + π‘Œ) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
713, 27, 9, 70syl3anc 1371 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
7257, 69, 71rspcdva 3613 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(+gβ€˜π‘…)(π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))) = (1rβ€˜π‘…) β†’ ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…))))
7352, 72mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)))
7425, 39, 73mpjaodan 957 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∨ π‘Œ ∈ π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  .rcmulr 17194  1rcur 19998  Ringcrg 20049  Unitcui 20161  /rcdvr 20206  NzRingcnzr 20283  LRingclring 20300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-dvr 20207  df-nzr 20284  df-lring 20301
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator