MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lringuplu Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lringuplu 20444
Description: If the sum of two elements of a local ring is invertible, then at least one of the summands must be invertible. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Feb-2025.) (Revised by SN, 23-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
lring.b (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…))
lring.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…))
lring.p (πœ‘ β†’ + = (+gβ€˜π‘…))
lring.l (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ LRing)
lring.s (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
lring.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
lring.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
lringuplu (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∨ π‘Œ ∈ π‘ˆ))
Proof of Theorem lringuplu
Dummy variables 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lring.l . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ LRing)
2 lringring 20442 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ LRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
4 lring.x . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
5 lring.b . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…))
64, 5eleqtrd 2829 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
7 lring.s . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
8 lring.u . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…))
97, 8eleqtrd 2829 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
10 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
11 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
12 eqid 2726 . . . . . . . 8 (/rβ€˜π‘…) = (/rβ€˜π‘…)
13 eqid 2726 . . . . . . . 8 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
1410, 11, 12, 13dvrcan1 20311 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 + π‘Œ) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(.rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) = 𝑋)
153, 6, 9, 14syl3anc 1368 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(.rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) = 𝑋)
1615adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(.rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) = 𝑋)
173adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
18 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
199adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
2011, 13unitmulcl 20282 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 + π‘Œ) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(.rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
2117, 18, 19, 20syl3anc 1368 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(.rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
2216, 21eqeltrrd 2828 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ 𝑋 ∈ (Unitβ€˜π‘…))
238adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…))
2422, 23eleqtrrd 2830 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
2524orcd 870 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∨ π‘Œ ∈ π‘ˆ))
26 lring.y . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
2726, 5eleqtrd 2829 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
2810, 11, 12, 13dvrcan1 20311 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 + π‘Œ) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(.rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) = π‘Œ)
293, 27, 9, 28syl3anc 1368 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(.rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) = π‘Œ)
3029adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(.rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) = π‘Œ)
313adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
32 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
339adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
3411, 13unitmulcl 20282 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 + π‘Œ) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(.rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
3531, 32, 33, 34syl3anc 1368 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(.rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
3630, 35eqeltrrd 2828 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ π‘Œ ∈ (Unitβ€˜π‘…))
378adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…))
3836, 37eleqtrrd 2830 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
3938olcd 871 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∨ π‘Œ ∈ π‘ˆ))
40 eqid 2726 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
4110, 11, 40, 12dvrdir 20314 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 + π‘Œ) ∈ (Unitβ€˜π‘…))) β†’ ((𝑋(+gβ€˜π‘…)π‘Œ)(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) = ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(+gβ€˜π‘…)(π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))))
423, 6, 27, 9, 41syl13anc 1369 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑋(+gβ€˜π‘…)π‘Œ)(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) = ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(+gβ€˜π‘…)(π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))))
43 lring.p . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ + = (+gβ€˜π‘…))
4443eqcomd 2732 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜π‘…) = + )
4544oveqd 7422 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋(+gβ€˜π‘…)π‘Œ) = (𝑋 + π‘Œ))
463ringgrpd 20147 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Grp)
4710, 40, 46, 6, 27grpcld 18877 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋(+gβ€˜π‘…)π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
48 eqid 2726 . . . . . . 7 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
4910, 11, 12, 48dvreq1 20313 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋(+gβ€˜π‘…)π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 + π‘Œ) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (((𝑋(+gβ€˜π‘…)π‘Œ)(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) = (1rβ€˜π‘…) ↔ (𝑋(+gβ€˜π‘…)π‘Œ) = (𝑋 + π‘Œ)))
503, 47, 9, 49syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝑋(+gβ€˜π‘…)π‘Œ)(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) = (1rβ€˜π‘…) ↔ (𝑋(+gβ€˜π‘…)π‘Œ) = (𝑋 + π‘Œ)))
5145, 50mpbird 257 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑋(+gβ€˜π‘…)π‘Œ)(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) = (1rβ€˜π‘…))
5242, 51eqtr3d 2768 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(+gβ€˜π‘…)(π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))) = (1rβ€˜π‘…))
53 oveq2 7413 . . . . . 6 (𝑣 = (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) β†’ ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(+gβ€˜π‘…)𝑣) = ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(+gβ€˜π‘…)(π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))))
5453eqeq1d 2728 . . . . 5 (𝑣 = (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) β†’ (((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(+gβ€˜π‘…)𝑣) = (1rβ€˜π‘…) ↔ ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(+gβ€˜π‘…)(π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))) = (1rβ€˜π‘…)))
55 eleq1 2815 . . . . . 6 (𝑣 = (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) β†’ (𝑣 ∈ (Unitβ€˜π‘…) ↔ (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)))
5655orbi2d 912 . . . . 5 (𝑣 = (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) β†’ (((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ 𝑣 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) ↔ ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…))))
5754, 56imbi12d 344 . . . 4 (𝑣 = (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) β†’ ((((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(+gβ€˜π‘…)𝑣) = (1rβ€˜π‘…) β†’ ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ 𝑣 ∈ (Unitβ€˜π‘…))) ↔ (((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(+gβ€˜π‘…)(π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))) = (1rβ€˜π‘…) β†’ ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)))))
58 oveq1 7412 . . . . . . . 8 (𝑒 = (𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) β†’ (𝑒(+gβ€˜π‘…)𝑣) = ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(+gβ€˜π‘…)𝑣))
5958eqeq1d 2728 . . . . . . 7 (𝑒 = (𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) β†’ ((𝑒(+gβ€˜π‘…)𝑣) = (1rβ€˜π‘…) ↔ ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(+gβ€˜π‘…)𝑣) = (1rβ€˜π‘…)))
60 eleq1 2815 . . . . . . . 8 (𝑒 = (𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) β†’ (𝑒 ∈ (Unitβ€˜π‘…) ↔ (𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)))
6160orbi1d 913 . . . . . . 7 (𝑒 = (𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) β†’ ((𝑒 ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ 𝑣 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) ↔ ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ 𝑣 ∈ (Unitβ€˜π‘…))))
6259, 61imbi12d 344 . . . . . 6 (𝑒 = (𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) β†’ (((𝑒(+gβ€˜π‘…)𝑣) = (1rβ€˜π‘…) β†’ (𝑒 ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ 𝑣 ∈ (Unitβ€˜π‘…))) ↔ (((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(+gβ€˜π‘…)𝑣) = (1rβ€˜π‘…) β†’ ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ 𝑣 ∈ (Unitβ€˜π‘…)))))
6362ralbidv 3171 . . . . 5 (𝑒 = (𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((𝑒(+gβ€˜π‘…)𝑣) = (1rβ€˜π‘…) β†’ (𝑒 ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ 𝑣 ∈ (Unitβ€˜π‘…))) ↔ βˆ€π‘£ ∈ (Baseβ€˜π‘…)(((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(+gβ€˜π‘…)𝑣) = (1rβ€˜π‘…) β†’ ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ 𝑣 ∈ (Unitβ€˜π‘…)))))
6410, 40, 48, 11islring 20440 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ LRing ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ βˆ€π‘’ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘£ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((𝑒(+gβ€˜π‘…)𝑣) = (1rβ€˜π‘…) β†’ (𝑒 ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ 𝑣 ∈ (Unitβ€˜π‘…)))))
651, 64sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑅 ∈ NzRing ∧ βˆ€π‘’ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘£ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((𝑒(+gβ€˜π‘…)𝑣) = (1rβ€˜π‘…) β†’ (𝑒 ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ 𝑣 ∈ (Unitβ€˜π‘…)))))
6665simprd 495 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘£ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((𝑒(+gβ€˜π‘…)𝑣) = (1rβ€˜π‘…) β†’ (𝑒 ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ 𝑣 ∈ (Unitβ€˜π‘…))))
6710, 11, 12dvrcl 20306 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 + π‘Œ) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
683, 6, 9, 67syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
6963, 66, 68rspcdva 3607 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘£ ∈ (Baseβ€˜π‘…)(((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(+gβ€˜π‘…)𝑣) = (1rβ€˜π‘…) β†’ ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ 𝑣 ∈ (Unitβ€˜π‘…))))
7010, 11, 12dvrcl 20306 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 + π‘Œ) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
713, 27, 9, 70syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
7257, 69, 71rspcdva 3607 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(+gβ€˜π‘…)(π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))) = (1rβ€˜π‘…) β†’ ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…))))
7352, 72mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)))
7425, 39, 73mpjaodan 955 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∨ π‘Œ ∈ π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  .rcmulr 17207  1rcur 20086  Ringcrg 20138  Unitcui 20257  /rcdvr 20302  NzRingcnzr 20414  LRingclring 20438
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-dvr 20303  df-nzr 20415  df-lring 20439
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator