MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lringuplu Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lringuplu 20485
Description: If the sum of two elements of a local ring is invertible, then at least one of the summands must be invertible. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Feb-2025.) (Revised by SN, 23-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
lring.b (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…))
lring.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…))
lring.p (πœ‘ β†’ + = (+gβ€˜π‘…))
lring.l (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ LRing)
lring.s (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
lring.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
lring.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
lringuplu (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∨ π‘Œ ∈ π‘ˆ))
Proof of Theorem lringuplu
Dummy variables 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lring.l . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ LRing)
2 lringring 20483 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ LRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
4 lring.x . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
5 lring.b . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…))
64, 5eleqtrd 2827 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
7 lring.s . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
8 lring.u . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…))
97, 8eleqtrd 2827 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
10 eqid 2725 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
11 eqid 2725 . . . . . . . 8 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
12 eqid 2725 . . . . . . . 8 (/rβ€˜π‘…) = (/rβ€˜π‘…)
13 eqid 2725 . . . . . . . 8 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
1410, 11, 12, 13dvrcan1 20352 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 + π‘Œ) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(.rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) = 𝑋)
153, 6, 9, 14syl3anc 1368 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(.rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) = 𝑋)
1615adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(.rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) = 𝑋)
173adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
18 simpr 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
199adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
2011, 13unitmulcl 20323 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 + π‘Œ) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(.rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
2117, 18, 19, 20syl3anc 1368 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(.rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
2216, 21eqeltrrd 2826 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ 𝑋 ∈ (Unitβ€˜π‘…))
238adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…))
2422, 23eleqtrrd 2828 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
2524orcd 871 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∨ π‘Œ ∈ π‘ˆ))
26 lring.y . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
2726, 5eleqtrd 2827 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
2810, 11, 12, 13dvrcan1 20352 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 + π‘Œ) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(.rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) = π‘Œ)
293, 27, 9, 28syl3anc 1368 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(.rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) = π‘Œ)
3029adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(.rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) = π‘Œ)
313adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
32 simpr 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
339adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
3411, 13unitmulcl 20323 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 + π‘Œ) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(.rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
3531, 32, 33, 34syl3anc 1368 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(.rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
3630, 35eqeltrrd 2826 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ π‘Œ ∈ (Unitβ€˜π‘…))
378adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…))
3836, 37eleqtrrd 2828 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
3938olcd 872 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∨ π‘Œ ∈ π‘ˆ))
40 eqid 2725 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
4110, 11, 40, 12dvrdir 20355 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 + π‘Œ) ∈ (Unitβ€˜π‘…))) β†’ ((𝑋(+gβ€˜π‘…)π‘Œ)(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) = ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(+gβ€˜π‘…)(π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))))
423, 6, 27, 9, 41syl13anc 1369 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑋(+gβ€˜π‘…)π‘Œ)(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) = ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(+gβ€˜π‘…)(π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))))
43 lring.p . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ + = (+gβ€˜π‘…))
4443eqcomd 2731 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜π‘…) = + )
4544oveqd 7433 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋(+gβ€˜π‘…)π‘Œ) = (𝑋 + π‘Œ))
463ringgrpd 20186 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Grp)
4710, 40, 46, 6, 27grpcld 18908 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋(+gβ€˜π‘…)π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
48 eqid 2725 . . . . . . 7 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
4910, 11, 12, 48dvreq1 20354 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋(+gβ€˜π‘…)π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 + π‘Œ) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (((𝑋(+gβ€˜π‘…)π‘Œ)(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) = (1rβ€˜π‘…) ↔ (𝑋(+gβ€˜π‘…)π‘Œ) = (𝑋 + π‘Œ)))
503, 47, 9, 49syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝑋(+gβ€˜π‘…)π‘Œ)(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) = (1rβ€˜π‘…) ↔ (𝑋(+gβ€˜π‘…)π‘Œ) = (𝑋 + π‘Œ)))
5145, 50mpbird 256 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑋(+gβ€˜π‘…)π‘Œ)(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) = (1rβ€˜π‘…))
5242, 51eqtr3d 2767 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(+gβ€˜π‘…)(π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))) = (1rβ€˜π‘…))
53 oveq2 7424 . . . . . 6 (𝑣 = (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) β†’ ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(+gβ€˜π‘…)𝑣) = ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(+gβ€˜π‘…)(π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))))
5453eqeq1d 2727 . . . . 5 (𝑣 = (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) β†’ (((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(+gβ€˜π‘…)𝑣) = (1rβ€˜π‘…) ↔ ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(+gβ€˜π‘…)(π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))) = (1rβ€˜π‘…)))
55 eleq1 2813 . . . . . 6 (𝑣 = (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) β†’ (𝑣 ∈ (Unitβ€˜π‘…) ↔ (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)))
5655orbi2d 913 . . . . 5 (𝑣 = (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) β†’ (((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ 𝑣 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) ↔ ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…))))
5754, 56imbi12d 343 . . . 4 (𝑣 = (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) β†’ ((((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(+gβ€˜π‘…)𝑣) = (1rβ€˜π‘…) β†’ ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ 𝑣 ∈ (Unitβ€˜π‘…))) ↔ (((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(+gβ€˜π‘…)(π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))) = (1rβ€˜π‘…) β†’ ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)))))
58 oveq1 7423 . . . . . . . 8 (𝑒 = (𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) β†’ (𝑒(+gβ€˜π‘…)𝑣) = ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(+gβ€˜π‘…)𝑣))
5958eqeq1d 2727 . . . . . . 7 (𝑒 = (𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) β†’ ((𝑒(+gβ€˜π‘…)𝑣) = (1rβ€˜π‘…) ↔ ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(+gβ€˜π‘…)𝑣) = (1rβ€˜π‘…)))
60 eleq1 2813 . . . . . . . 8 (𝑒 = (𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) β†’ (𝑒 ∈ (Unitβ€˜π‘…) ↔ (𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)))
6160orbi1d 914 . . . . . . 7 (𝑒 = (𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) β†’ ((𝑒 ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ 𝑣 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) ↔ ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ 𝑣 ∈ (Unitβ€˜π‘…))))
6259, 61imbi12d 343 . . . . . 6 (𝑒 = (𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) β†’ (((𝑒(+gβ€˜π‘…)𝑣) = (1rβ€˜π‘…) β†’ (𝑒 ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ 𝑣 ∈ (Unitβ€˜π‘…))) ↔ (((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(+gβ€˜π‘…)𝑣) = (1rβ€˜π‘…) β†’ ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ 𝑣 ∈ (Unitβ€˜π‘…)))))
6362ralbidv 3168 . . . . 5 (𝑒 = (𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((𝑒(+gβ€˜π‘…)𝑣) = (1rβ€˜π‘…) β†’ (𝑒 ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ 𝑣 ∈ (Unitβ€˜π‘…))) ↔ βˆ€π‘£ ∈ (Baseβ€˜π‘…)(((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(+gβ€˜π‘…)𝑣) = (1rβ€˜π‘…) β†’ ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ 𝑣 ∈ (Unitβ€˜π‘…)))))
6410, 40, 48, 11islring 20481 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ LRing ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ βˆ€π‘’ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘£ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((𝑒(+gβ€˜π‘…)𝑣) = (1rβ€˜π‘…) β†’ (𝑒 ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ 𝑣 ∈ (Unitβ€˜π‘…)))))
651, 64sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑅 ∈ NzRing ∧ βˆ€π‘’ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘£ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((𝑒(+gβ€˜π‘…)𝑣) = (1rβ€˜π‘…) β†’ (𝑒 ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ 𝑣 ∈ (Unitβ€˜π‘…)))))
6665simprd 494 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘£ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((𝑒(+gβ€˜π‘…)𝑣) = (1rβ€˜π‘…) β†’ (𝑒 ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ 𝑣 ∈ (Unitβ€˜π‘…))))
6710, 11, 12dvrcl 20347 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 + π‘Œ) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
683, 6, 9, 67syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
6963, 66, 68rspcdva 3602 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘£ ∈ (Baseβ€˜π‘…)(((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(+gβ€˜π‘…)𝑣) = (1rβ€˜π‘…) β†’ ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ 𝑣 ∈ (Unitβ€˜π‘…))))
7010, 11, 12dvrcl 20347 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 + π‘Œ) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
713, 27, 9, 70syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
7257, 69, 71rspcdva 3602 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))(+gβ€˜π‘…)(π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))) = (1rβ€˜π‘…) β†’ ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…))))
7352, 72mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑋(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ (π‘Œ(/rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)))
7425, 39, 73mpjaodan 956 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∨ π‘Œ ∈ π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  .rcmulr 17233  1rcur 20125  Ringcrg 20177  Unitcui 20298  /rcdvr 20343  NzRingcnzr 20455  LRingclring 20479
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-invr 20331  df-dvr 20344  df-nzr 20456  df-lring 20480
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator