Theorem r1padd1 33693

Description: Addition property of the polynomial remainder operation, similar to modadd1 13833. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
r1padd1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
r1padd1.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
r1padd1.n	⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
r1padd1.e	⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
r1padd1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
r1padd1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
r1padd1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑁)
r1padd1.1	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐸𝐷) = (𝐵𝐸𝐷))
r1padd1.2	⊢ + = (+g‘𝑃)
r1padd1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
r1padd1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
r1padd1	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶)𝐸𝐷) = ((𝐵 + 𝐶)𝐸𝐷))

Proof of Theorem r1padd1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1padd1.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐸𝐷) = (𝐵𝐸𝐷))
2		r1padd1.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
3		r1padd1.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑁)
4		r1padd1.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		r1padd1.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
6		r1padd1.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
7	4, 5, 6	uc1pcl 26110	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑁 → 𝐷 ∈ 𝑈)
8	3, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑈)
9		r1padd1.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
10		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (quot1p‘𝑅) = (quot1p‘𝑅)
11		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
12		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
13	9, 4, 5, 10, 11, 12	r1pval 26124	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑈) → (𝐴𝐸𝐷) = (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
14	2, 8, 13	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐸𝐷) = (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
15		r1padd1.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
16	9, 4, 5, 10, 11, 12	r1pval 26124	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑈) → (𝐵𝐸𝐷) = (𝐵(-g‘𝑃)((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
17	15, 8, 16	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐸𝐷) = (𝐵(-g‘𝑃)((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
18	1, 14, 17	3eqtr3d 2780	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) = (𝐵(-g‘𝑃)((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
19	18	oveq1d 7376	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) + 𝐶) = ((𝐵(-g‘𝑃)((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) + 𝐶))
20		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘𝑃) = (invg‘𝑃)
21		r1padd1.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
22	4	ply1ring 22193	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
23	21, 22	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
24	10, 4, 5, 6	q1pcl 26123	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑁) → (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷) ∈ 𝑈)
25	21, 2, 3, 24	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷) ∈ 𝑈)
26	5, 11, 20, 23, 25, 8	ringmneg1 20244	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝑃)‘(𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷) = ((invg‘𝑃)‘((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
27	26	oveq2d 7377	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) + (((invg‘𝑃)‘(𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐴 + 𝐶) + ((invg‘𝑃)‘((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷))))
28		r1padd1.2	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝑃)
29	23	ringgrpd 20182	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
30		r1padd1.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
31	5, 28, 29, 2, 30	grpcld 18882	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ∈ 𝑈)
32	5, 11, 23, 25, 8	ringcld 20200	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷) ∈ 𝑈)
33	5, 28, 20, 12	grpsubval 18920	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + 𝐶) ∈ 𝑈 ∧ ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷) ∈ 𝑈) → ((𝐴 + 𝐶)(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐴 + 𝐶) + ((invg‘𝑃)‘((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷))))
34	31, 32, 33	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶)(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐴 + 𝐶) + ((invg‘𝑃)‘((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷))))
35	23	ringabld 20223	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Abel)
36	5, 28, 12	abladdsub 19746	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Abel ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈 ∧ ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷) ∈ 𝑈)) → ((𝐴 + 𝐶)(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) + 𝐶))
37	35, 2, 30, 32, 36	syl13anc 1375	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶)(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) + 𝐶))
38	27, 34, 37	3eqtr2d 2778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) + (((invg‘𝑃)‘(𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) + 𝐶))
39	10, 4, 5, 6	q1pcl 26123	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑁) → (𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷) ∈ 𝑈)
40	21, 15, 3, 39	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷) ∈ 𝑈)
41	5, 11, 20, 23, 40, 8	ringmneg1 20244	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝑃)‘(𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷) = ((invg‘𝑃)‘((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
42	41	oveq2d 7377	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) + (((invg‘𝑃)‘(𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐵 + 𝐶) + ((invg‘𝑃)‘((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷))))
43	5, 28, 29, 15, 30	grpcld 18882	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐶) ∈ 𝑈)
44	5, 11, 23, 40, 8	ringcld 20200	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷) ∈ 𝑈)
45	5, 28, 20, 12	grpsubval 18920	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 + 𝐶) ∈ 𝑈 ∧ ((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷) ∈ 𝑈) → ((𝐵 + 𝐶)(-g‘𝑃)((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐵 + 𝐶) + ((invg‘𝑃)‘((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷))))
46	43, 44, 45	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶)(-g‘𝑃)((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐵 + 𝐶) + ((invg‘𝑃)‘((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷))))
47	5, 28, 12	abladdsub 19746	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Abel ∧ (𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈 ∧ ((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷) ∈ 𝑈)) → ((𝐵 + 𝐶)(-g‘𝑃)((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐵(-g‘𝑃)((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) + 𝐶))
48	35, 15, 30, 44, 47	syl13anc 1375	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶)(-g‘𝑃)((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐵(-g‘𝑃)((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) + 𝐶))
49	42, 46, 48	3eqtr2d 2778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) + (((invg‘𝑃)‘(𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐵(-g‘𝑃)((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) + 𝐶))
50	19, 38, 49	3eqtr4d 2782	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) + (((invg‘𝑃)‘(𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐵 + 𝐶) + (((invg‘𝑃)‘(𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷)))
51	50	oveq1d 7376	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐶) + (((invg‘𝑃)‘(𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷))𝐸𝐷) = (((𝐵 + 𝐶) + (((invg‘𝑃)‘(𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷))𝐸𝐷))
52	5, 20, 29, 25	grpinvcld 18923	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑃)‘(𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)) ∈ 𝑈)
53	4, 5, 6, 9, 28, 11, 21, 31, 3, 52	r1pcyc 33692	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐶) + (((invg‘𝑃)‘(𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷))𝐸𝐷) = ((𝐴 + 𝐶)𝐸𝐷))
54	5, 20, 29, 40	grpinvcld 18923	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑃)‘(𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)) ∈ 𝑈)
55	4, 5, 6, 9, 28, 11, 21, 43, 3, 54	r1pcyc 33692	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 + 𝐶) + (((invg‘𝑃)‘(𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷))𝐸𝐷) = ((𝐵 + 𝐶)𝐸𝐷))
56	51, 53, 55	3eqtr3d 2780	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶)𝐸𝐷) = ((𝐵 + 𝐶)𝐸𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Basecbs 17141  +_gcplusg 17182  ._rcmulr 17183  inv_gcminusg 18869  -_gcsg 18870  Abelcabl 19715  Ringcrg 20173  Poly₁cpl1 22122  Unic_1pcuc1p 26093  quot_1pcq1p 26094  rem_1pcr1p 26095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108  ax-pre-sup 11109  ax-addf 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-ofr 7626  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8106  df-tpos 8171  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-er 8638  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8841  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-fsupp 9270  df-sup 9350  df-oi 9420  df-card 9856  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-4 12215  df-5 12216  df-6 12217  df-7 12218  df-8 12219  df-9 12220  df-n0 12407  df-z 12494  df-dec 12613  df-uz 12757  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-seq 13930  df-hash 14259  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17142  df-ress 17163  df-plusg 17195  df-mulr 17196  df-starv 17197  df-sca 17198  df-vsca 17199  df-ip 17200  df-tset 17201  df-ple 17202  df-ds 17204  df-unif 17205  df-hom 17206  df-cco 17207  df-0g 17366  df-gsum 17367  df-prds 17372  df-pws 17374  df-mre 17510  df-mrc 17511  df-acs 17513  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18871  df-minusg 18872  df-sbg 18873  df-mulg 19003  df-subg 19058  df-ghm 19147  df-cntz 19251  df-cmn 19716  df-abl 19717  df-mgp 20081  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-cring 20176  df-oppr 20278  df-dvdsr 20298  df-unit 20299  df-invr 20329  df-subrng 20484  df-subrg 20508  df-rlreg 20632  df-lmod 20818  df-lss 20888  df-cnfld 21315  df-psr 21870  df-mvr 21871  df-mpl 21872  df-opsr 21874  df-psr1 22125  df-vr1 22126  df-ply1 22127  df-coe1 22128  df-mdeg 26021  df-deg1 26022  df-uc1p 26098  df-q1p 26099  df-r1p 26100

This theorem is referenced by:  r1plmhm  33695