Theorem r1padd1 33617

Description: Addition property of the polynomial remainder operation, similar to modadd1 13925. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
r1padd1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
r1padd1.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
r1padd1.n	⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
r1padd1.e	⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
r1padd1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
r1padd1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
r1padd1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑁)
r1padd1.1	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐸𝐷) = (𝐵𝐸𝐷))
r1padd1.2	⊢ + = (+g‘𝑃)
r1padd1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
r1padd1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
r1padd1	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶)𝐸𝐷) = ((𝐵 + 𝐶)𝐸𝐷))

Proof of Theorem r1padd1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1padd1.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐸𝐷) = (𝐵𝐸𝐷))
2		r1padd1.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
3		r1padd1.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑁)
4		r1padd1.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		r1padd1.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
6		r1padd1.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
7	4, 5, 6	uc1pcl 26101	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑁 → 𝐷 ∈ 𝑈)
8	3, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑈)
9		r1padd1.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
10		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (quot1p‘𝑅) = (quot1p‘𝑅)
11		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
12		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
13	9, 4, 5, 10, 11, 12	r1pval 26115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑈) → (𝐴𝐸𝐷) = (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
14	2, 8, 13	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐸𝐷) = (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
15		r1padd1.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
16	9, 4, 5, 10, 11, 12	r1pval 26115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑈) → (𝐵𝐸𝐷) = (𝐵(-g‘𝑃)((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
17	15, 8, 16	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐸𝐷) = (𝐵(-g‘𝑃)((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
18	1, 14, 17	3eqtr3d 2778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) = (𝐵(-g‘𝑃)((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
19	18	oveq1d 7420	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) + 𝐶) = ((𝐵(-g‘𝑃)((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) + 𝐶))
20		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘𝑃) = (invg‘𝑃)
21		r1padd1.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
22	4	ply1ring 22183	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
23	21, 22	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
24	10, 4, 5, 6	q1pcl 26114	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑁) → (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷) ∈ 𝑈)
25	21, 2, 3, 24	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷) ∈ 𝑈)
26	5, 11, 20, 23, 25, 8	ringmneg1 20264	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝑃)‘(𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷) = ((invg‘𝑃)‘((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
27	26	oveq2d 7421	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) + (((invg‘𝑃)‘(𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐴 + 𝐶) + ((invg‘𝑃)‘((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷))))
28		r1padd1.2	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝑃)
29	23	ringgrpd 20202	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
30		r1padd1.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
31	5, 28, 29, 2, 30	grpcld 18930	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ∈ 𝑈)
32	5, 11, 23, 25, 8	ringcld 20220	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷) ∈ 𝑈)
33	5, 28, 20, 12	grpsubval 18968	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + 𝐶) ∈ 𝑈 ∧ ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷) ∈ 𝑈) → ((𝐴 + 𝐶)(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐴 + 𝐶) + ((invg‘𝑃)‘((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷))))
34	31, 32, 33	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶)(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐴 + 𝐶) + ((invg‘𝑃)‘((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷))))
35	23	ringabld 20243	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Abel)
36	5, 28, 12	abladdsub 19793	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Abel ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈 ∧ ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷) ∈ 𝑈)) → ((𝐴 + 𝐶)(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) + 𝐶))
37	35, 2, 30, 32, 36	syl13anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶)(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) + 𝐶))
38	27, 34, 37	3eqtr2d 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) + (((invg‘𝑃)‘(𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) + 𝐶))
39	10, 4, 5, 6	q1pcl 26114	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑁) → (𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷) ∈ 𝑈)
40	21, 15, 3, 39	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷) ∈ 𝑈)
41	5, 11, 20, 23, 40, 8	ringmneg1 20264	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝑃)‘(𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷) = ((invg‘𝑃)‘((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
42	41	oveq2d 7421	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) + (((invg‘𝑃)‘(𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐵 + 𝐶) + ((invg‘𝑃)‘((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷))))
43	5, 28, 29, 15, 30	grpcld 18930	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐶) ∈ 𝑈)
44	5, 11, 23, 40, 8	ringcld 20220	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷) ∈ 𝑈)
45	5, 28, 20, 12	grpsubval 18968	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 + 𝐶) ∈ 𝑈 ∧ ((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷) ∈ 𝑈) → ((𝐵 + 𝐶)(-g‘𝑃)((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐵 + 𝐶) + ((invg‘𝑃)‘((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷))))
46	43, 44, 45	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶)(-g‘𝑃)((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐵 + 𝐶) + ((invg‘𝑃)‘((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷))))
47	5, 28, 12	abladdsub 19793	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Abel ∧ (𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈 ∧ ((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷) ∈ 𝑈)) → ((𝐵 + 𝐶)(-g‘𝑃)((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐵(-g‘𝑃)((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) + 𝐶))
48	35, 15, 30, 44, 47	syl13anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶)(-g‘𝑃)((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐵(-g‘𝑃)((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) + 𝐶))
49	42, 46, 48	3eqtr2d 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) + (((invg‘𝑃)‘(𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐵(-g‘𝑃)((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) + 𝐶))
50	19, 38, 49	3eqtr4d 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) + (((invg‘𝑃)‘(𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐵 + 𝐶) + (((invg‘𝑃)‘(𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷)))
51	50	oveq1d 7420	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐶) + (((invg‘𝑃)‘(𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷))𝐸𝐷) = (((𝐵 + 𝐶) + (((invg‘𝑃)‘(𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷))𝐸𝐷))
52	5, 20, 29, 25	grpinvcld 18971	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑃)‘(𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)) ∈ 𝑈)
53	4, 5, 6, 9, 28, 11, 21, 31, 3, 52	r1pcyc 33616	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐶) + (((invg‘𝑃)‘(𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷))𝐸𝐷) = ((𝐴 + 𝐶)𝐸𝐷))
54	5, 20, 29, 40	grpinvcld 18971	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑃)‘(𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)) ∈ 𝑈)
55	4, 5, 6, 9, 28, 11, 21, 43, 3, 54	r1pcyc 33616	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 + 𝐶) + (((invg‘𝑃)‘(𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷))𝐸𝐷) = ((𝐵 + 𝐶)𝐸𝐷))
56	51, 53, 55	3eqtr3d 2778	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶)𝐸𝐷) = ((𝐵 + 𝐶)𝐸𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Basecbs 17228  +_gcplusg 17271  ._rcmulr 17272  inv_gcminusg 18917  -_gcsg 18918  Abelcabl 19762  Ringcrg 20193  Poly₁cpl1 22112  Unic_1pcuc1p 26084  quot_1pcq1p 26085  rem_1pcr1p 26086

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207  ax-addf 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-ofr 7672  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-sup 9454  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-seq 14020  df-hash 14349  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-hom 17295  df-cco 17296  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-prds 17461  df-pws 17463  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-acs 17601  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-mhm 18761  df-submnd 18762  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-mulg 19051  df-subg 19106  df-ghm 19196  df-cntz 19300  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-ring 20195  df-cring 20196  df-oppr 20297  df-dvdsr 20317  df-unit 20318  df-invr 20348  df-subrng 20506  df-subrg 20530  df-rlreg 20654  df-lmod 20819  df-lss 20889  df-cnfld 21316  df-psr 21869  df-mvr 21870  df-mpl 21871  df-opsr 21873  df-psr1 22115  df-vr1 22116  df-ply1 22117  df-coe1 22118  df-mdeg 26012  df-deg1 26013  df-uc1p 26089  df-q1p 26090  df-r1p 26091

This theorem is referenced by:  r1plmhm  33619