Theorem r1padd1 33608

Description: Addition property of the polynomial remainder operation, similar to modadd1 13945. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
r1padd1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
r1padd1.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
r1padd1.n	⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
r1padd1.e	⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
r1padd1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
r1padd1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
r1padd1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑁)
r1padd1.1	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐸𝐷) = (𝐵𝐸𝐷))
r1padd1.2	⊢ + = (+g‘𝑃)
r1padd1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
r1padd1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
r1padd1	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶)𝐸𝐷) = ((𝐵 + 𝐶)𝐸𝐷))

Proof of Theorem r1padd1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1padd1.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐸𝐷) = (𝐵𝐸𝐷))
2		r1padd1.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
3		r1padd1.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑁)
4		r1padd1.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		r1padd1.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
6		r1padd1.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
7	4, 5, 6	uc1pcl 26198	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑁 → 𝐷 ∈ 𝑈)
8	3, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑈)
9		r1padd1.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
10		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (quot1p‘𝑅) = (quot1p‘𝑅)
11		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
12		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
13	9, 4, 5, 10, 11, 12	r1pval 26212	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑈) → (𝐴𝐸𝐷) = (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
14	2, 8, 13	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐸𝐷) = (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
15		r1padd1.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
16	9, 4, 5, 10, 11, 12	r1pval 26212	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑈) → (𝐵𝐸𝐷) = (𝐵(-g‘𝑃)((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
17	15, 8, 16	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐸𝐷) = (𝐵(-g‘𝑃)((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
18	1, 14, 17	3eqtr3d 2783	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) = (𝐵(-g‘𝑃)((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
19	18	oveq1d 7446	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) + 𝐶) = ((𝐵(-g‘𝑃)((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) + 𝐶))
20		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘𝑃) = (invg‘𝑃)
21		r1padd1.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
22	4	ply1ring 22265	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
23	21, 22	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
24	10, 4, 5, 6	q1pcl 26211	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑁) → (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷) ∈ 𝑈)
25	21, 2, 3, 24	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷) ∈ 𝑈)
26	5, 11, 20, 23, 25, 8	ringmneg1 20318	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝑃)‘(𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷) = ((invg‘𝑃)‘((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
27	26	oveq2d 7447	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) + (((invg‘𝑃)‘(𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐴 + 𝐶) + ((invg‘𝑃)‘((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷))))
28		r1padd1.2	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝑃)
29	23	ringgrpd 20260	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
30		r1padd1.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
31	5, 28, 29, 2, 30	grpcld 18978	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ∈ 𝑈)
32	5, 11, 23, 25, 8	ringcld 20277	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷) ∈ 𝑈)
33	5, 28, 20, 12	grpsubval 19016	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + 𝐶) ∈ 𝑈 ∧ ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷) ∈ 𝑈) → ((𝐴 + 𝐶)(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐴 + 𝐶) + ((invg‘𝑃)‘((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷))))
34	31, 32, 33	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶)(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐴 + 𝐶) + ((invg‘𝑃)‘((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷))))
35	23	ringabld 20297	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Abel)
36	5, 28, 12	abladdsub 19845	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Abel ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈 ∧ ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷) ∈ 𝑈)) → ((𝐴 + 𝐶)(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) + 𝐶))
37	35, 2, 30, 32, 36	syl13anc 1371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶)(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) + 𝐶))
38	27, 34, 37	3eqtr2d 2781	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) + (((invg‘𝑃)‘(𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) + 𝐶))
39	10, 4, 5, 6	q1pcl 26211	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑁) → (𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷) ∈ 𝑈)
40	21, 15, 3, 39	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷) ∈ 𝑈)
41	5, 11, 20, 23, 40, 8	ringmneg1 20318	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝑃)‘(𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷) = ((invg‘𝑃)‘((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
42	41	oveq2d 7447	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) + (((invg‘𝑃)‘(𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐵 + 𝐶) + ((invg‘𝑃)‘((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷))))
43	5, 28, 29, 15, 30	grpcld 18978	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐶) ∈ 𝑈)
44	5, 11, 23, 40, 8	ringcld 20277	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷) ∈ 𝑈)
45	5, 28, 20, 12	grpsubval 19016	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 + 𝐶) ∈ 𝑈 ∧ ((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷) ∈ 𝑈) → ((𝐵 + 𝐶)(-g‘𝑃)((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐵 + 𝐶) + ((invg‘𝑃)‘((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷))))
46	43, 44, 45	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶)(-g‘𝑃)((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐵 + 𝐶) + ((invg‘𝑃)‘((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷))))
47	5, 28, 12	abladdsub 19845	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Abel ∧ (𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈 ∧ ((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷) ∈ 𝑈)) → ((𝐵 + 𝐶)(-g‘𝑃)((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐵(-g‘𝑃)((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) + 𝐶))
48	35, 15, 30, 44, 47	syl13anc 1371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶)(-g‘𝑃)((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐵(-g‘𝑃)((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) + 𝐶))
49	42, 46, 48	3eqtr2d 2781	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) + (((invg‘𝑃)‘(𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐵(-g‘𝑃)((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) + 𝐶))
50	19, 38, 49	3eqtr4d 2785	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) + (((invg‘𝑃)‘(𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐵 + 𝐶) + (((invg‘𝑃)‘(𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷)))
51	50	oveq1d 7446	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐶) + (((invg‘𝑃)‘(𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷))𝐸𝐷) = (((𝐵 + 𝐶) + (((invg‘𝑃)‘(𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷))𝐸𝐷))
52	5, 20, 29, 25	grpinvcld 19019	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑃)‘(𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)) ∈ 𝑈)
53	4, 5, 6, 9, 28, 11, 21, 31, 3, 52	r1pcyc 33607	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐶) + (((invg‘𝑃)‘(𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷))𝐸𝐷) = ((𝐴 + 𝐶)𝐸𝐷))
54	5, 20, 29, 40	grpinvcld 19019	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑃)‘(𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)) ∈ 𝑈)
55	4, 5, 6, 9, 28, 11, 21, 43, 3, 54	r1pcyc 33607	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 + 𝐶) + (((invg‘𝑃)‘(𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷))𝐸𝐷) = ((𝐵 + 𝐶)𝐸𝐷))
56	51, 53, 55	3eqtr3d 2783	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶)𝐸𝐷) = ((𝐵 + 𝐶)𝐸𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298  ._rcmulr 17299  inv_gcminusg 18965  -_gcsg 18966  Abelcabl 19814  Ringcrg 20251  Poly₁cpl1 22194  Unic_1pcuc1p 26181  quot_1pcq1p 26182  rem_1pcr1p 26183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-rlreg 20711  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-cnfld 21383  df-psr 21947  df-mvr 21948  df-mpl 21949  df-opsr 21951  df-psr1 22197  df-vr1 22198  df-ply1 22199  df-coe1 22200  df-mdeg 26109  df-deg1 26110  df-uc1p 26186  df-q1p 26187  df-r1p 26188

This theorem is referenced by:  r1plmhm  33610