Theorem r1padd1 34020

Description: Addition property of the polynomial remainder operation, similar to modadd1 13971. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
r1padd1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
r1padd1.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
r1padd1.n	⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
r1padd1.e	⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
r1padd1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
r1padd1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
r1padd1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑁)
r1padd1.1	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐸𝐷) = (𝐵𝐸𝐷))
r1padd1.2	⊢ + = (+g‘𝑃)
r1padd1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
r1padd1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
r1padd1	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶)𝐸𝐷) = ((𝐵 + 𝐶)𝐸𝐷))

Proof of Theorem r1padd1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1padd1.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐸𝐷) = (𝐵𝐸𝐷))
2		r1padd1.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
3		r1padd1.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑁)
4		r1padd1.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		r1padd1.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
6		r1padd1.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
7	4, 5, 6	uc1pcl 26374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑁 → 𝐷 ∈ 𝑈)
8	3, 7	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑈)
9		r1padd1.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
10		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (quot1p‘𝑅) = (quot1p‘𝑅)
11		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
12		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
13	9, 4, 5, 10, 11, 12	r1pval 26388	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑈) → (𝐴𝐸𝐷) = (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
14	2, 8, 13	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐸𝐷) = (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
15		r1padd1.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
16	9, 4, 5, 10, 11, 12	r1pval 26388	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑈) → (𝐵𝐸𝐷) = (𝐵(-g‘𝑃)((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
17	15, 8, 16	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐸𝐷) = (𝐵(-g‘𝑃)((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
18	1, 14, 17	3eqtr3d 2805	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) = (𝐵(-g‘𝑃)((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
19	18	oveq1d 7431	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) + 𝐶) = ((𝐵(-g‘𝑃)((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) + 𝐶))
20		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘𝑃) = (invg‘𝑃)
21		r1padd1.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
22	4	ply1ring 22476	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
23	21, 22	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
24	10, 4, 5, 6	q1pcl 26387	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑁) → (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷) ∈ 𝑈)
25	21, 2, 3, 24	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷) ∈ 𝑈)
26	5, 11, 20, 23, 25, 8	ringmneg1 20450	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝑃)‘(𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷) = ((invg‘𝑃)‘((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
27	26	oveq2d 7432	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) + (((invg‘𝑃)‘(𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐴 + 𝐶) + ((invg‘𝑃)‘((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷))))
28		r1padd1.2	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝑃)
29	23	ringgrpd 20385	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
30		r1padd1.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
31	5, 28, 29, 2, 30	grpcld 19075	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ∈ 𝑈)
32	5, 11, 23, 25, 8	ringcld 20400	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷) ∈ 𝑈)
33	5, 28, 20, 12	grpsubval 19113	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + 𝐶) ∈ 𝑈 ∧ ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷) ∈ 𝑈) → ((𝐴 + 𝐶)(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐴 + 𝐶) + ((invg‘𝑃)‘((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷))))
34	31, 32, 33	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶)(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐴 + 𝐶) + ((invg‘𝑃)‘((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷))))
35	23	ringabld 20428	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Abel)
36	5, 28, 12	abladdsub 19943	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Abel ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈 ∧ ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷) ∈ 𝑈)) → ((𝐴 + 𝐶)(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) + 𝐶))
37	35, 2, 30, 32, 36	syl13anc 1399	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶)(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) + 𝐶))
38	27, 34, 37	3eqtr2d 2803	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) + (((invg‘𝑃)‘(𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) + 𝐶))
39	10, 4, 5, 6	q1pcl 26387	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑁) → (𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷) ∈ 𝑈)
40	21, 15, 3, 39	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷) ∈ 𝑈)
41	5, 11, 20, 23, 40, 8	ringmneg1 20450	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝑃)‘(𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷) = ((invg‘𝑃)‘((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
42	41	oveq2d 7432	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) + (((invg‘𝑃)‘(𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐵 + 𝐶) + ((invg‘𝑃)‘((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷))))
43	5, 28, 29, 15, 30	grpcld 19075	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐶) ∈ 𝑈)
44	5, 11, 23, 40, 8	ringcld 20400	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷) ∈ 𝑈)
45	5, 28, 20, 12	grpsubval 19113	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 + 𝐶) ∈ 𝑈 ∧ ((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷) ∈ 𝑈) → ((𝐵 + 𝐶)(-g‘𝑃)((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐵 + 𝐶) + ((invg‘𝑃)‘((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷))))
46	43, 44, 45	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶)(-g‘𝑃)((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐵 + 𝐶) + ((invg‘𝑃)‘((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷))))
47	5, 28, 12	abladdsub 19943	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Abel ∧ (𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈 ∧ ((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷) ∈ 𝑈)) → ((𝐵 + 𝐶)(-g‘𝑃)((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐵(-g‘𝑃)((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) + 𝐶))
48	35, 15, 30, 44, 47	syl13anc 1399	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶)(-g‘𝑃)((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐵(-g‘𝑃)((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) + 𝐶))
49	42, 46, 48	3eqtr2d 2803	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) + (((invg‘𝑃)‘(𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐵(-g‘𝑃)((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) + 𝐶))
50	19, 38, 49	3eqtr4d 2807	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) + (((invg‘𝑃)‘(𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐵 + 𝐶) + (((invg‘𝑃)‘(𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷)))
51	50	oveq1d 7431	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐶) + (((invg‘𝑃)‘(𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷))𝐸𝐷) = (((𝐵 + 𝐶) + (((invg‘𝑃)‘(𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷))𝐸𝐷))
52	5, 20, 29, 25	grpinvcld 19116	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑃)‘(𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)) ∈ 𝑈)
53	4, 5, 6, 9, 28, 11, 21, 31, 3, 52	r1pcyc 34019	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐶) + (((invg‘𝑃)‘(𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷))𝐸𝐷) = ((𝐴 + 𝐶)𝐸𝐷))
54	5, 20, 29, 40	grpinvcld 19116	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑃)‘(𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)) ∈ 𝑈)
55	4, 5, 6, 9, 28, 11, 21, 43, 3, 54	r1pcyc 34019	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 + 𝐶) + (((invg‘𝑃)‘(𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷))𝐸𝐷) = ((𝐵 + 𝐶)𝐸𝐷))
56	51, 53, 55	3eqtr3d 2805	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶)𝐸𝐷) = ((𝐵 + 𝐶)𝐸𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Basecbs 17305  +_gcplusg 17346  ._rcmulr 17347  inv_gcminusg 19062  -_gcsg 19063  Abelcabl 19912  Ringcrg 20376  Poly₁cpl1 22406  Unic_1pcuc1p 26357  quot_1pcq1p 26358  rem_1pcr1p 26359

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-ofr 7682  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-seq 14068  df-hash 14397  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-starv 17361  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-unif 17369  df-hom 17370  df-cco 17371  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-prds 17536  df-pws 17538  df-mre 17674  df-mrc 17675  df-acs 17677  df-mgm 18734  df-sgrp 18825  df-mnd 18841  df-mhm 18895  df-submnd 18896  df-grp 19064  df-minusg 19065  df-sbg 19066  df-mulg 19195  df-subg 19250  df-ghm 19345  df-cntz 19448  df-cmn 19913  df-abl 19914  df-mgp 20278  df-rng 20292  df-ur 20325  df-ring 20378  df-cring 20379  df-oppr 20482  df-dvdsr 20502  df-unit 20503  df-invr 20533  df-subrng 20712  df-subrg 20736  df-rlreg 20860  df-lmod 21050  df-lss 21120  df-cnfld 21590  df-psr 22128  df-mvr 22129  df-mpl 22130  df-opsr 22132  df-psr1 22409  df-vr1 22410  df-ply1 22411  df-coe1 22412  df-mdeg 26285  df-deg1 26286  df-uc1p 26362  df-q1p 26363  df-r1p 26364

This theorem is used by:  r1plmhm  34021