Theorem r1padd1 33698

Description: Addition property of the polynomial remainder operation, similar to modadd1 13865. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
r1padd1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
r1padd1.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
r1padd1.n	⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
r1padd1.e	⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
r1padd1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
r1padd1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
r1padd1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑁)
r1padd1.1	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐸𝐷) = (𝐵𝐸𝐷))
r1padd1.2	⊢ + = (+g‘𝑃)
r1padd1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
r1padd1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
r1padd1	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶)𝐸𝐷) = ((𝐵 + 𝐶)𝐸𝐷))

Proof of Theorem r1padd1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1padd1.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐸𝐷) = (𝐵𝐸𝐷))
2		r1padd1.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
3		r1padd1.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑁)
4		r1padd1.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		r1padd1.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
6		r1padd1.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
7	4, 5, 6	uc1pcl 26134	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑁 → 𝐷 ∈ 𝑈)
8	3, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑈)
9		r1padd1.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
10		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (quot1p‘𝑅) = (quot1p‘𝑅)
11		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
12		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
13	9, 4, 5, 10, 11, 12	r1pval 26148	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑈) → (𝐴𝐸𝐷) = (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
14	2, 8, 13	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐸𝐷) = (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
15		r1padd1.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
16	9, 4, 5, 10, 11, 12	r1pval 26148	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑈) → (𝐵𝐸𝐷) = (𝐵(-g‘𝑃)((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
17	15, 8, 16	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐸𝐷) = (𝐵(-g‘𝑃)((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
18	1, 14, 17	3eqtr3d 2783	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) = (𝐵(-g‘𝑃)((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
19	18	oveq1d 7378	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) + 𝐶) = ((𝐵(-g‘𝑃)((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) + 𝐶))
20		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘𝑃) = (invg‘𝑃)
21		r1padd1.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
22	4	ply1ring 22239	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
23	21, 22	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
24	10, 4, 5, 6	q1pcl 26147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑁) → (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷) ∈ 𝑈)
25	21, 2, 3, 24	syl3anc 1379	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷) ∈ 𝑈)
26	5, 11, 20, 23, 25, 8	ringmneg1 20283	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝑃)‘(𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷) = ((invg‘𝑃)‘((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
27	26	oveq2d 7379	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) + (((invg‘𝑃)‘(𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐴 + 𝐶) + ((invg‘𝑃)‘((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷))))
28		r1padd1.2	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝑃)
29	23	ringgrpd 20221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
30		r1padd1.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
31	5, 28, 29, 2, 30	grpcld 18921	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ∈ 𝑈)
32	5, 11, 23, 25, 8	ringcld 20239	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷) ∈ 𝑈)
33	5, 28, 20, 12	grpsubval 18959	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + 𝐶) ∈ 𝑈 ∧ ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷) ∈ 𝑈) → ((𝐴 + 𝐶)(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐴 + 𝐶) + ((invg‘𝑃)‘((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷))))
34	31, 32, 33	syl2anc 590	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶)(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐴 + 𝐶) + ((invg‘𝑃)‘((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷))))
35	23	ringabld 20262	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Abel)
36	5, 28, 12	abladdsub 19785	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Abel ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈 ∧ ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷) ∈ 𝑈)) → ((𝐴 + 𝐶)(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) + 𝐶))
37	35, 2, 30, 32, 36	syl13anc 1380	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶)(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) + 𝐶))
38	27, 34, 37	3eqtr2d 2781	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) + (((invg‘𝑃)‘(𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) + 𝐶))
39	10, 4, 5, 6	q1pcl 26147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑁) → (𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷) ∈ 𝑈)
40	21, 15, 3, 39	syl3anc 1379	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷) ∈ 𝑈)
41	5, 11, 20, 23, 40, 8	ringmneg1 20283	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝑃)‘(𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷) = ((invg‘𝑃)‘((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
42	41	oveq2d 7379	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) + (((invg‘𝑃)‘(𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐵 + 𝐶) + ((invg‘𝑃)‘((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷))))
43	5, 28, 29, 15, 30	grpcld 18921	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐶) ∈ 𝑈)
44	5, 11, 23, 40, 8	ringcld 20239	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷) ∈ 𝑈)
45	5, 28, 20, 12	grpsubval 18959	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 + 𝐶) ∈ 𝑈 ∧ ((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷) ∈ 𝑈) → ((𝐵 + 𝐶)(-g‘𝑃)((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐵 + 𝐶) + ((invg‘𝑃)‘((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷))))
46	43, 44, 45	syl2anc 590	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶)(-g‘𝑃)((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐵 + 𝐶) + ((invg‘𝑃)‘((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷))))
47	5, 28, 12	abladdsub 19785	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Abel ∧ (𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈 ∧ ((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷) ∈ 𝑈)) → ((𝐵 + 𝐶)(-g‘𝑃)((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐵(-g‘𝑃)((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) + 𝐶))
48	35, 15, 30, 44, 47	syl13anc 1380	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶)(-g‘𝑃)((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐵(-g‘𝑃)((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) + 𝐶))
49	42, 46, 48	3eqtr2d 2781	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) + (((invg‘𝑃)‘(𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐵(-g‘𝑃)((𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) + 𝐶))
50	19, 38, 49	3eqtr4d 2785	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) + (((invg‘𝑃)‘(𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐵 + 𝐶) + (((invg‘𝑃)‘(𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷)))
51	50	oveq1d 7378	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐶) + (((invg‘𝑃)‘(𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷))𝐸𝐷) = (((𝐵 + 𝐶) + (((invg‘𝑃)‘(𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷))𝐸𝐷))
52	5, 20, 29, 25	grpinvcld 18962	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑃)‘(𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)) ∈ 𝑈)
53	4, 5, 6, 9, 28, 11, 21, 31, 3, 52	r1pcyc 33697	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐶) + (((invg‘𝑃)‘(𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷))𝐸𝐷) = ((𝐴 + 𝐶)𝐸𝐷))
54	5, 20, 29, 40	grpinvcld 18962	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑃)‘(𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷)) ∈ 𝑈)
55	4, 5, 6, 9, 28, 11, 21, 43, 3, 54	r1pcyc 33697	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 + 𝐶) + (((invg‘𝑃)‘(𝐵(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷))𝐸𝐷) = ((𝐵 + 𝐶)𝐸𝐷))
56	51, 53, 55	3eqtr3d 2783	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶)𝐸𝐷) = ((𝐵 + 𝐶)𝐸𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Basecbs 17177  +_gcplusg 17218  ._rcmulr 17219  inv_gcminusg 18908  -_gcsg 18909  Abelcabl 19754  Ringcrg 20212  Poly₁cpl1 22169  Unic_1pcuc1p 26117  quot_1pcq1p 26118  rem_1pcr1p 26119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114  ax-addf 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-ofr 7628  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-tpos 8173  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-sup 9352  df-oi 9422  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-seq 13962  df-hash 14291  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-prds 17408  df-pws 17410  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-mhm 18749  df-submnd 18750  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-sbg 18912  df-mulg 19042  df-subg 19097  df-ghm 19186  df-cntz 19290  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-cring 20215  df-oppr 20315  df-dvdsr 20335  df-unit 20336  df-invr 20366  df-subrng 20525  df-subrg 20549  df-rlreg 20673  df-lmod 20859  df-lss 20929  df-cnfld 21355  df-psr 21891  df-mvr 21892  df-mpl 21893  df-opsr 21895  df-psr1 22172  df-vr1 22173  df-ply1 22174  df-coe1 22175  df-mdeg 26045  df-deg1 26046  df-uc1p 26122  df-q1p 26123  df-r1p 26124

This theorem is referenced by:  r1plmhm  33700