Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  r1padd1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem r1padd1 33628
Description: Addition property of the polynomial remainder operation, similar to modadd1 13948. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
r1padd1.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
r1padd1.u 𝑈 = (Base‘𝑃)
r1padd1.n 𝑁 = (Unic1p𝑅)
r1padd1.e 𝐸 = (rem1p𝑅)
r1padd1.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
r1padd1.a (𝜑𝐴𝑈)
r1padd1.d (𝜑𝐷𝑁)
r1padd1.1 (𝜑 → (𝐴𝐸𝐷) = (𝐵𝐸𝐷))
r1padd1.2 + = (+g𝑃)
r1padd1.b (𝜑𝐵𝑈)
r1padd1.c (𝜑𝐶𝑈)
Assertion
Ref Expression
r1padd1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶)𝐸𝐷) = ((𝐵 + 𝐶)𝐸𝐷))

Proof of Theorem r1padd1
StepHypRef Expression
1 r1padd1.1 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐸𝐷) = (𝐵𝐸𝐷))
2 r1padd1.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑈)
3 r1padd1.d . . . . . . . 8 (𝜑𝐷𝑁)
4 r1padd1.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (Poly1𝑅)
5 r1padd1.u . . . . . . . . 9 𝑈 = (Base‘𝑃)
6 r1padd1.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (Unic1p𝑅)
74, 5, 6uc1pcl 26183 . . . . . . . 8 (𝐷𝑁𝐷𝑈)
83, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐷𝑈)
9 r1padd1.e . . . . . . . 8 𝐸 = (rem1p𝑅)
10 eqid 2737 . . . . . . . 8 (quot1p𝑅) = (quot1p𝑅)
11 eqid 2737 . . . . . . . 8 (.r𝑃) = (.r𝑃)
12 eqid 2737 . . . . . . . 8 (-g𝑃) = (-g𝑃)
139, 4, 5, 10, 11, 12r1pval 26197 . . . . . . 7 ((𝐴𝑈𝐷𝑈) → (𝐴𝐸𝐷) = (𝐴(-g𝑃)((𝐴(quot1p𝑅)𝐷)(.r𝑃)𝐷)))
142, 8, 13syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐸𝐷) = (𝐴(-g𝑃)((𝐴(quot1p𝑅)𝐷)(.r𝑃)𝐷)))
15 r1padd1.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝑈)
169, 4, 5, 10, 11, 12r1pval 26197 . . . . . . 7 ((𝐵𝑈𝐷𝑈) → (𝐵𝐸𝐷) = (𝐵(-g𝑃)((𝐵(quot1p𝑅)𝐷)(.r𝑃)𝐷)))
1715, 8, 16syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝐸𝐷) = (𝐵(-g𝑃)((𝐵(quot1p𝑅)𝐷)(.r𝑃)𝐷)))
181, 14, 173eqtr3d 2785 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(-g𝑃)((𝐴(quot1p𝑅)𝐷)(.r𝑃)𝐷)) = (𝐵(-g𝑃)((𝐵(quot1p𝑅)𝐷)(.r𝑃)𝐷)))
1918oveq1d 7446 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴(-g𝑃)((𝐴(quot1p𝑅)𝐷)(.r𝑃)𝐷)) + 𝐶) = ((𝐵(-g𝑃)((𝐵(quot1p𝑅)𝐷)(.r𝑃)𝐷)) + 𝐶))
20 eqid 2737 . . . . . . 7 (invg𝑃) = (invg𝑃)
21 r1padd1.r . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
224ply1ring 22249 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
2321, 22syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ Ring)
2410, 4, 5, 6q1pcl 26196 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑈𝐷𝑁) → (𝐴(quot1p𝑅)𝐷) ∈ 𝑈)
2521, 2, 3, 24syl3anc 1373 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(quot1p𝑅)𝐷) ∈ 𝑈)
265, 11, 20, 23, 25, 8ringmneg1 20301 . . . . . 6 (𝜑 → (((invg𝑃)‘(𝐴(quot1p𝑅)𝐷))(.r𝑃)𝐷) = ((invg𝑃)‘((𝐴(quot1p𝑅)𝐷)(.r𝑃)𝐷)))
2726oveq2d 7447 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) + (((invg𝑃)‘(𝐴(quot1p𝑅)𝐷))(.r𝑃)𝐷)) = ((𝐴 + 𝐶) + ((invg𝑃)‘((𝐴(quot1p𝑅)𝐷)(.r𝑃)𝐷))))
28 r1padd1.2 . . . . . . 7 + = (+g𝑃)
2923ringgrpd 20239 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ Grp)
30 r1padd1.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝑈)
315, 28, 29, 2, 30grpcld 18965 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ∈ 𝑈)
325, 11, 23, 25, 8ringcld 20257 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴(quot1p𝑅)𝐷)(.r𝑃)𝐷) ∈ 𝑈)
335, 28, 20, 12grpsubval 19003 . . . . . 6 (((𝐴 + 𝐶) ∈ 𝑈 ∧ ((𝐴(quot1p𝑅)𝐷)(.r𝑃)𝐷) ∈ 𝑈) → ((𝐴 + 𝐶)(-g𝑃)((𝐴(quot1p𝑅)𝐷)(.r𝑃)𝐷)) = ((𝐴 + 𝐶) + ((invg𝑃)‘((𝐴(quot1p𝑅)𝐷)(.r𝑃)𝐷))))
3431, 32, 33syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶)(-g𝑃)((𝐴(quot1p𝑅)𝐷)(.r𝑃)𝐷)) = ((𝐴 + 𝐶) + ((invg𝑃)‘((𝐴(quot1p𝑅)𝐷)(.r𝑃)𝐷))))
3523ringabld 20280 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ Abel)
365, 28, 12abladdsub 19830 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Abel ∧ (𝐴𝑈𝐶𝑈 ∧ ((𝐴(quot1p𝑅)𝐷)(.r𝑃)𝐷) ∈ 𝑈)) → ((𝐴 + 𝐶)(-g𝑃)((𝐴(quot1p𝑅)𝐷)(.r𝑃)𝐷)) = ((𝐴(-g𝑃)((𝐴(quot1p𝑅)𝐷)(.r𝑃)𝐷)) + 𝐶))
3735, 2, 30, 32, 36syl13anc 1374 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶)(-g𝑃)((𝐴(quot1p𝑅)𝐷)(.r𝑃)𝐷)) = ((𝐴(-g𝑃)((𝐴(quot1p𝑅)𝐷)(.r𝑃)𝐷)) + 𝐶))
3827, 34, 373eqtr2d 2783 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) + (((invg𝑃)‘(𝐴(quot1p𝑅)𝐷))(.r𝑃)𝐷)) = ((𝐴(-g𝑃)((𝐴(quot1p𝑅)𝐷)(.r𝑃)𝐷)) + 𝐶))
3910, 4, 5, 6q1pcl 26196 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵𝑈𝐷𝑁) → (𝐵(quot1p𝑅)𝐷) ∈ 𝑈)
4021, 15, 3, 39syl3anc 1373 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵(quot1p𝑅)𝐷) ∈ 𝑈)
415, 11, 20, 23, 40, 8ringmneg1 20301 . . . . . 6 (𝜑 → (((invg𝑃)‘(𝐵(quot1p𝑅)𝐷))(.r𝑃)𝐷) = ((invg𝑃)‘((𝐵(quot1p𝑅)𝐷)(.r𝑃)𝐷)))
4241oveq2d 7447 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) + (((invg𝑃)‘(𝐵(quot1p𝑅)𝐷))(.r𝑃)𝐷)) = ((𝐵 + 𝐶) + ((invg𝑃)‘((𝐵(quot1p𝑅)𝐷)(.r𝑃)𝐷))))
435, 28, 29, 15, 30grpcld 18965 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 + 𝐶) ∈ 𝑈)
445, 11, 23, 40, 8ringcld 20257 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵(quot1p𝑅)𝐷)(.r𝑃)𝐷) ∈ 𝑈)
455, 28, 20, 12grpsubval 19003 . . . . . 6 (((𝐵 + 𝐶) ∈ 𝑈 ∧ ((𝐵(quot1p𝑅)𝐷)(.r𝑃)𝐷) ∈ 𝑈) → ((𝐵 + 𝐶)(-g𝑃)((𝐵(quot1p𝑅)𝐷)(.r𝑃)𝐷)) = ((𝐵 + 𝐶) + ((invg𝑃)‘((𝐵(quot1p𝑅)𝐷)(.r𝑃)𝐷))))
4643, 44, 45syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶)(-g𝑃)((𝐵(quot1p𝑅)𝐷)(.r𝑃)𝐷)) = ((𝐵 + 𝐶) + ((invg𝑃)‘((𝐵(quot1p𝑅)𝐷)(.r𝑃)𝐷))))
475, 28, 12abladdsub 19830 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Abel ∧ (𝐵𝑈𝐶𝑈 ∧ ((𝐵(quot1p𝑅)𝐷)(.r𝑃)𝐷) ∈ 𝑈)) → ((𝐵 + 𝐶)(-g𝑃)((𝐵(quot1p𝑅)𝐷)(.r𝑃)𝐷)) = ((𝐵(-g𝑃)((𝐵(quot1p𝑅)𝐷)(.r𝑃)𝐷)) + 𝐶))
4835, 15, 30, 44, 47syl13anc 1374 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶)(-g𝑃)((𝐵(quot1p𝑅)𝐷)(.r𝑃)𝐷)) = ((𝐵(-g𝑃)((𝐵(quot1p𝑅)𝐷)(.r𝑃)𝐷)) + 𝐶))
4942, 46, 483eqtr2d 2783 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) + (((invg𝑃)‘(𝐵(quot1p𝑅)𝐷))(.r𝑃)𝐷)) = ((𝐵(-g𝑃)((𝐵(quot1p𝑅)𝐷)(.r𝑃)𝐷)) + 𝐶))
5019, 38, 493eqtr4d 2787 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) + (((invg𝑃)‘(𝐴(quot1p𝑅)𝐷))(.r𝑃)𝐷)) = ((𝐵 + 𝐶) + (((invg𝑃)‘(𝐵(quot1p𝑅)𝐷))(.r𝑃)𝐷)))
5150oveq1d 7446 . 2 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐶) + (((invg𝑃)‘(𝐴(quot1p𝑅)𝐷))(.r𝑃)𝐷))𝐸𝐷) = (((𝐵 + 𝐶) + (((invg𝑃)‘(𝐵(quot1p𝑅)𝐷))(.r𝑃)𝐷))𝐸𝐷))
525, 20, 29, 25grpinvcld 19006 . . 3 (𝜑 → ((invg𝑃)‘(𝐴(quot1p𝑅)𝐷)) ∈ 𝑈)
534, 5, 6, 9, 28, 11, 21, 31, 3, 52r1pcyc 33627 . 2 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐶) + (((invg𝑃)‘(𝐴(quot1p𝑅)𝐷))(.r𝑃)𝐷))𝐸𝐷) = ((𝐴 + 𝐶)𝐸𝐷))
545, 20, 29, 40grpinvcld 19006 . . 3 (𝜑 → ((invg𝑃)‘(𝐵(quot1p𝑅)𝐷)) ∈ 𝑈)
554, 5, 6, 9, 28, 11, 21, 43, 3, 54r1pcyc 33627 . 2 (𝜑 → (((𝐵 + 𝐶) + (((invg𝑃)‘(𝐵(quot1p𝑅)𝐷))(.r𝑃)𝐷))𝐸𝐷) = ((𝐵 + 𝐶)𝐸𝐷))
5651, 53, 553eqtr3d 2785 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶)𝐸𝐷) = ((𝐵 + 𝐶)𝐸𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  .rcmulr 17298  invgcminusg 18952  -gcsg 18953  Abelcabl 19799  Ringcrg 20230  Poly1cpl1 22178  Unic1pcuc1p 26166  quot1pcq1p 26167  rem1pcr1p 26168
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-rlreg 20694  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-cnfld 21365  df-psr 21929  df-mvr 21930  df-mpl 21931  df-opsr 21933  df-psr1 22181  df-vr1 22182  df-ply1 22183  df-coe1 22184  df-mdeg 26094  df-deg1 26095  df-uc1p 26171  df-q1p 26172  df-r1p 26173
This theorem is referenced by:  r1plmhm  33630
  Copyright terms: Public domain W3C validator