Theorem rhmcomulmpl 41697

Description: Show that the ring homomorphism in rhmmpl 41698 preserves multiplication. (Contributed by SN, 8-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmcomulmpl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
rhmcomulmpl.q	⊢ 𝑄 = (𝐼 mPoly 𝑆)
rhmcomulmpl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
rhmcomulmpl.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
rhmcomulmpl.1	⊢ · = (.r‘𝑃)
rhmcomulmpl.2	⊢ ∙ = (.r‘𝑄)
rhmcomulmpl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
rhmcomulmpl.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
rhmcomulmpl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
rhmcomulmpl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
rhmcomulmpl	⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹 · 𝐺)) = ((𝐻 ∘ 𝐹) ∙ (𝐻 ∘ 𝐺)))

Proof of Theorem rhmcomulmpl

Dummy variables 𝑑 𝑘 𝑒 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmcomulmpl.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
2		eqid 2727	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2727	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
4	2, 3	rhmf 20406	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐻:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
5	1, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
6		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
7		rhmrcl1 20397	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
8	1, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		rhmcomulmpl.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
10		rhmcomulmpl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
11		rhmcomulmpl.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
12	9, 2, 10, 6, 11	mplelf 21918	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
13		rhmcomulmpl.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
14	9, 2, 10, 6, 13	mplelf 21918	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
15	6, 8, 12, 14	rhmmpllem2 41695	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑))))) ∈ (Base‘𝑅))
16	5, 15	cofmpt 7135	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑))))))) = (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝐻‘(𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑))))))))
17		eqid 2727	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
18	8	ringcmnd 20202	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
19	18	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑅 ∈ CMnd)
20		rhmrcl2 20398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
21	1, 20	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
22	21	ringgrpd 20166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
23	22	grpmndd 18888	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Mnd)
24	23	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑆 ∈ Mnd)
25		ovex 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
26	25	rabex 5328	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
27	26	rabex 5328	. . . . . . 7 ⊢ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ∈ V
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ∈ V)
29		rhmghm 20405	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐻 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
30		ghmmhm 19164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
31	1, 29, 30	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
32	31	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
33		eqid 2727	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
34	8	ad2antrr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑅 ∈ Ring)
35	12	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝐹:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
36		breq1 5145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 = 𝑑 → (𝑒 ∘r ≤ 𝑘 ↔ 𝑑 ∘r ≤ 𝑘))
37	36	elrab 3680	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↔ (𝑑 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ 𝑑 ∘r ≤ 𝑘))
38	37	biimpi 215	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} → (𝑑 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ 𝑑 ∘r ≤ 𝑘))
39	38	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑑 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ 𝑑 ∘r ≤ 𝑘))
40	39	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑑 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
41	35, 40	ffvelcdmd 7089	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝐹‘𝑑) ∈ (Base‘𝑅))
42	14	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝐺:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
43		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
44	6	psrbagf 21831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} → 𝑑:𝐼⟶ℕ0)
45	40, 44	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑑:𝐼⟶ℕ0)
46	39	simprd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑑 ∘r ≤ 𝑘)
47	6	psrbagcon 21843	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ 𝑑:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝑑 ∘r ≤ 𝑘) → ((𝑘 ∘f − 𝑑) ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ (𝑘 ∘f − 𝑑) ∘r ≤ 𝑘))
48	43, 45, 46, 47	syl3anc 1369	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝑘 ∘f − 𝑑) ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ (𝑘 ∘f − 𝑑) ∘r ≤ 𝑘))
49	48	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑘 ∘f − 𝑑) ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
50	42, 49	ffvelcdmd 7089	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑)) ∈ (Base‘𝑅))
51	2, 33, 34, 41, 50	ringcld 20181	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑))) ∈ (Base‘𝑅))
52	6, 8, 12, 14	rhmmpllem1 41694	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))) finSupp (0g‘𝑅))
53	2, 17, 19, 24, 28, 32, 51, 52	gsummptmhm 19879	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑆 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (𝐻‘((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))))) = (𝐻‘(𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))))))
54	1	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
55		eqid 2727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
56	2, 33, 55	rhmmul 20407	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑑) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑)) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐻‘((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))) = ((𝐻‘(𝐹‘𝑑))(.r‘𝑆)(𝐻‘(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))))
57	54, 41, 50, 56	syl3anc 1369	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝐻‘((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))) = ((𝐻‘(𝐹‘𝑑))(.r‘𝑆)(𝐻‘(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))))
58	35, 40	fvco3d 6992	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑑) = (𝐻‘(𝐹‘𝑑)))
59	42, 49	fvco3d 6992	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝐻 ∘ 𝐺)‘(𝑘 ∘f − 𝑑)) = (𝐻‘(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑))))
60	58, 59	oveq12d 7432	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → (((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑑)(.r‘𝑆)((𝐻 ∘ 𝐺)‘(𝑘 ∘f − 𝑑))) = ((𝐻‘(𝐹‘𝑑))(.r‘𝑆)(𝐻‘(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))))
61	57, 60	eqtr4d 2770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝐻‘((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))) = (((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑑)(.r‘𝑆)((𝐻 ∘ 𝐺)‘(𝑘 ∘f − 𝑑))))
62	61	mpteq2dva 5242	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (𝐻‘((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑))))) = (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑑)(.r‘𝑆)((𝐻 ∘ 𝐺)‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))))
63	62	oveq2d 7430	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑆 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (𝐻‘((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))))) = (𝑆 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑑)(.r‘𝑆)((𝐻 ∘ 𝐺)‘(𝑘 ∘f − 𝑑))))))
64	53, 63	eqtr3d 2769	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐻‘(𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))))) = (𝑆 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑑)(.r‘𝑆)((𝐻 ∘ 𝐺)‘(𝑘 ∘f − 𝑑))))))
65	64	mpteq2dva 5242	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝐻‘(𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑))))))) = (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑆 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑑)(.r‘𝑆)((𝐻 ∘ 𝐺)‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))))))
66	16, 65	eqtrd 2767	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑))))))) = (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑆 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑑)(.r‘𝑆)((𝐻 ∘ 𝐺)‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))))))
67		rhmcomulmpl.1	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑃)
68	9, 10, 33, 67, 6, 11, 13	mplmul 21931	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) = (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))))))
69	68	coeq2d 5859	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹 · 𝐺)) = (𝐻 ∘ (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑))))))))
70		rhmcomulmpl.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐼 mPoly 𝑆)
71		rhmcomulmpl.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
72		rhmcomulmpl.2	. . 3 ⊢ ∙ = (.r‘𝑄)
73		rhmcomulmpl.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
74	9, 70, 10, 71, 73, 31, 11	mhmcompl 41693	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ 𝐶)
75	9, 70, 10, 71, 73, 31, 13	mhmcompl 41693	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐺) ∈ 𝐶)
76	70, 71, 55, 72, 6, 74, 75	mplmul 21931	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ∘ 𝐹) ∙ (𝐻 ∘ 𝐺)) = (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑆 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑑)(.r‘𝑆)((𝐻 ∘ 𝐺)‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))))))
77	66, 69, 76	3eqtr4d 2777	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹 · 𝐺)) = ((𝐻 ∘ 𝐹) ∙ (𝐻 ∘ 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3427  Vcvv 3469   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  ^◡ccnv 5671   “ cima 5675   ∘ ccom 5676  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414   ∘_f cof 7675   ∘_r cofr 7676   ↑_m cmap 8834  Fincfn 8953   ≤ cle 11265   − cmin 11460  ℕcn 12228  ℕ₀cn0 12488  Basecbs 17165  ._rcmulr 17219  0_gc0g 17406   Σ_g cgsu 17407  Mndcmnd 18679   MndHom cmhm 18723   GrpHom cghm 19151  CMndccmn 19719  Ringcrg 20157   RingHom crh 20390   mPoly cmpl 21819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-ofr 7678  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-seq 13985  df-hash 14308  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-tset 17237  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-mhm 18725  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-ghm 19152  df-cntz 19252  df-cmn 19721  df-abl 19722  df-mgp 20059  df-ur 20106  df-ring 20159  df-rhm 20393  df-psr 21822  df-mpl 21824

This theorem is referenced by:  rhmmpl  41698  selvmul  41734